242平面向量数量积的坐标表示_模_夹角

1、2.4.2 2.4.2 平面向量数量积的平面向量数量积的 坐标表示、模、夹角坐标表示、模、夹角 复习复习1、数量积的定义：、数量积的定义： cos|baba cos|b叫做叫做方方向向上上的的投投影影在在ab规定规定0与任何向量的数量积为与任何向量的数量积为03、数量积的几何意义：、数量积的几何意义：ba 等于等于a的长度的长度|a方向上的投影方向上的投影在在ab与与 cos|b的乘积。的乘积。2、投影：、投影：(1)0aba b2|aa(2)(3)cos|a ba b(4) | |a bab| | 4,| | 5,10,(1)2|,|23 |aba bababab1、已知求 与 的夹角；（

2、）求4、数量积的重要性质、数量积的重要性质二、新课学习二、新课学习1 1、平面向量数量积的坐标表示、平面向量数量积的坐标表示如图，如图， 是是x x轴上的单位向量，轴上的单位向量， 是是y y轴上的单位向量，轴上的单位向量，由于由于 所以所以 ijcosbabax ijy o B(x2,y2) abA(x1,y1) iijjijji . . . 1 1 0 一一.平面两向量数量积的坐标表示平面两向量数量积的坐标表示 1122,axybxya b非非零零向向量量1212a bx xy y 11ax iy j 22,bx iy j 1122()()a bx iy jx iy j 221212211

3、2x x ix y ijx y ijy y j 1,i i 1jj ,0ijj i 故故两个向量的数量积等于它们对应两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。坐标的乘积的和。即即ijx o B(x2,y2) A(x1,y1) aby .2121yyxxba 根据平面向量数量积的坐标表示，向量根据平面向量数量积的坐标表示，向量的的数量积的运算数量积的运算可可转化为转化为向量的向量的坐标运算。坐标运算。；或aaaaaa2)1(221221221122222),(),2,),() 1 (yyxxAByxByxAyxayxayxa（则、（设）两点间的距离公式（；或则设向量的模2、向量的模和两点间的距

4、离公式0baba（1）垂直）垂直0),(),21212211yyxxbayxbyxa则（设3、两向量垂直和平行的坐标表示0/),(),12212211yxyxbayxbyxa则（设（2）平行）平行4、两向量夹角公式的坐标运算、两向量夹角公式的坐标运算bababacos1800则），（的夹角为与设0.0.cos)180(0),(),222221212222212121212211yxyxyxyxyyxxbayxbyxa，其中则，夹角为与且（设 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角平面向量数量积的坐标表示、模、夹角例1 ( 3,4),(6, 8), ,.aba b a b a ba b 已知求5 1

5、05075();()a bcab c1.设设a =(2,3)，b =(-1,-2)，c=(2,1)，求，求练习练习2( 1)3( 2)8()8 (2,1)( 16, 8)b c( 1)2( 2) 14()4 (2,3)( 8, 12) a ba bcab c解：解：.(1, ),32222ax ba baba bab已知（- ，1）(1)当x为何值时， 与平行？(2)当x为何值时， 与垂直？例22332或）（311 ）（ 例例3 3 已知已知A(1A(1，2)2)，B(2B(2，3)3)，C(-2C(-2，5)5)，试判断试判断 ABCABC的形状，并给出证明的形状，并给出证明. .A(1,2

6、)B(2,3)C(-2,5)x0y.ABC是直角三角形三角形) 1 , 1 ()23 , 12(AB:证明) 3 , 3() 25 , 12(AC031) 3(1ACABACAB变式变式 在在ABC中，中， =(2， 3)， =(1， k)，且且ABC的一个内角为直角，求的一个内角为直角，求k值值.ABAC当B = 90时， = 0， ABBC = = ( 1， k 3)BC AC AB2(1) +3(k3) = 0 k = 311当C = 90时， = 0， ACBC1 + k(k3) = 0 k = 2133综上所述综上所述 213331123或或k解：当A = 90时，AB AC=0,

7、21+3k=0k = 23 A.1 B. 2 C. 3 D. 4在直角坐标系在直角坐标系xoy中中，i,j 分别是与分别是与x轴轴，y轴正方向轴正方向同向的单位向量，在同向的单位向量，在RtABC中中，AB=2i+j，AC=3i+kj,则则 k 的可能值个数是的可能值个数是（ ）设a=(1,2)，b=(-2,-3)，又c=2a+b，d=a+mb，若c与d的夹角为450，求实数m的值。1.已知已知(1,2),( 2, 4),|5 abc若若5()2 abc，则，则a与与c的夹角为的夹角为35 m2.已知已知0013(cos ,sin )(0360 ),(,)22 ab则则a+b与与a-b的夹角为

8、的夹角为23 2 oooooo2 32 34:已4:已知知=( 3, )( 0), =(-2,)，=( 3, )(6 aOA OB求实数求实数a的取值范围的取值范围。的值。，求且设的长度的最大值。求向量已知向量cos)(4)2() 1 ().0 , 1(),sin,(cos),sin,(cos. 1cbacbcba的最小值。，试求，且使得和存在实数已知ttkyxb takybtaxtkba22,)3(),23,21(),1, 3(. 2恒成立。，不等式证明：对于任意的)()(,. 122222dcbabdacRdcba|,nmnmnm利用不等式提示：构造向量变式变式2332244)()(,.

9、1babababa为不等正数，求证：设byaxabbyaxbayx求证：设),0()()(. 222222的最值。求已知byaxRbayxbayx, 4, 3. 22222的最小值。求已知yxxy,4)1 (1. 4221, 111. 32222baabba求证：已知例例2.2.如图，连接平行四边形如图，连接平行四边形ABCDABCD的一个顶点至的一个顶点至ADAD、DCDC边边的中点的中点E E、F F，BEBE、BFBF分别与分别与ACAC交于交于R R、T T两点，你能发现两点，你能发现ARAR、RTRT、TCTC之间的关系吗？之间的关系吗？ABCDEFRT,ABa ADbACab 解设

10、，则：，ARAC 与共线,()ARn ab 设12EBABAEab 又EREB 与共线,1()2ERmEBm ab 设111()(1)222ARAEERbm abmam b 1()(1)2n abmam b1(1)2nmnm13nm解得13ARAC 11,33TCAC RTAC 同理ARRTTC如如图图以以分分别别为为 轴轴, ,轴轴建建立立平平面面直直角角坐坐标标系系, ,AB ACxy练习：练习：已已知知直直角角三三角角形形的的两两直直角角边边长长为为4 4和和6,6,试试用用向向量量方方法法求求两两直直角角边边中中线线所所成成钝钝角角的的余余弦弦值值. .ABC64解法一：解法一：xyO

11、 则则，A 0 0 ,B 4 0 ,C 0 6 ,EF 易易知知两两中中点点为为，E 0 3 ,F 2 0 , 4,3 ,2, 6 BECF cos, BE CFBE CFBECF 423626 BE CF 2222435,262 10 BECF 261310505 2 10ABC64EF已已知知直直角角三三角角形形的的两两直直角角边边长长为为4 4和和6,6,试试用用向向量量方方法法求求两两直直角角边边中中线线所所成成钝钝角角的的余余弦弦值值. .练习：练习：法二法二设设则则 11,22 ABa ACbBEab CFba cos, BE CFBE CFBECF 1122 BE CFabba

12、22118182622ab5,2 10 BECF 261310505 2 10练习练习1 1、证明直径所对的圆周角是直角、证明直径所对的圆周角是直角ABCO如图所示，已知如图所示，已知 O，AB为直径，为直径，C为为 O上任意一点。求证上任意一点。求证ACB=90分析：分析：要证要证ACB=90，只须证向，只须证向量量 ，即，即 。CBAC 0CBAC解：设解：设 则则,AO a OC b ,ACa b CB a b AC CBabab 2222abab220rr即即 ，ACB=900A CC B 例例3. 已知正方形已知正方形ABCD中，如图点中，如图点P为对角线为对角线AC上任一上任一点，点，PEAB于点于点E，PF BC于点于点F，连接，连接DP、EF，求证：求证： DPEF.AFEPDBC证明：证明：设设, ABa ADb三三点点共共线线, ,A P C 则则设设 APACab 1 DPAPADabbab ,1, AEABa PFEBa EPADb 1 EFEPPFba 11 DP EFabba 22110ab 0, a bab即即. DPEFDPE