高考数学总复习专题4.5 圆锥曲线（解析版）新课标试卷

1、专题4.5 圆锥曲线题组一、 圆锥曲线中的直线问题-试卷1-1、【2022·广东省汕头市澄海中学10月月考】已知椭圆的一个顶点为，右焦点为，且，其中为原点（）求椭圆的方程；（）已知点满足，点在椭圆上（异于椭圆的顶点），直线与以为圆心的圆相切于点，且为线段的中点求直线的方程【解析】（）椭圆的一个顶点为，由，得，又由，得，所以，椭圆的方程为；（）直线与以为圆心的圆相切于点，所以，根据题意可知，直线和直线的斜率均存在，设直线的斜率为，则直线的方程为，即，消去，可得，解得或.将代入，得，所以，点的坐标为，因为为线段的中点，点的坐标为，所以点的坐标为，由，得点的坐标为，所以，直线的斜率为，又因

2、为，所以，整理得，解得或.所以，直线的方程为或.1-2、(2022·沭阳如东中学期初考试-)(12分)已知椭圆C：(ab0)经过点A(2，1)，椭圆C的离心率(1)求椭圆C的方程；(2)设过点B(3，0)且与x轴不重合的直线l与椭圆C交于不同的两点M，N，直线AM，AN分别与直线x3分别交于P，Q，记点P，Q的纵坐标分别为p，q，求pq的值【解析】(1)由题意，则2c2a2，因为a2b2c2，所以a22b2，则椭圆的方程可化简为，因为椭圆过点A(2，1)，所以，解得b23，a26，所以椭圆C的方程为 6分(2)依题意，直线l经过B(3，0)，且不与x轴重合，设1的方程为xty3，设M

3、，联立方程组整理得，故即其中t1或t1又直线AM：，令x3，得同理，故pq12 12分1-3、(2022·苏州期初考试-)(本小题满分12分)椭圆C：(ab0)的上顶点A，右焦点F，其上一点，以AP为直径的圆经过F(1)求椭圆C的方程；(2)直线l与椭圆C有且只有一个公共点求证：在x轴上存在两个定点，它们到直线l的距离之积等于1【解析】(1)F(c，0)，A(0，b)，由题设可知·0，得0 2分又点P在椭圆C上，a22，即 联立解得，c1，b21，故所求椭圆的方程1 4分(2)当直线l的斜率存在时，设其方程为ykxm，代入椭圆方程，消去y，整理得( (*)方程(*)有且只有

4、一个实根，又2k210，所以D0，得， 6分假设存在满足题设，则由1对任意的实数k恒成立，8分所以，解得， 10分-当直线l的斜率不存在时，经检验符合题意 11分综上，存在两个定点，使它们到直线l的距离之积等于112分1-4、（2021·深圳市龙岗区龙城高级中学高三月考）已知椭圆（）的左、右焦点为，离心率为（1）求椭圆的标准方程（2）的左顶点为，过右焦点的直线交椭圆于，两点，记直线，的斜率分别为，求证：【详解】（1）解：因为，所以又因为离心率，所以，则，所以椭圆的标准方程是（2）证明：由题意知，则直线的解析式为，代入椭圆方程，得设，则又因为，所以题组二、 圆锥曲线中的最值与范围问题-

5、试卷2-1、(2022·江苏如皋期初考试-)已知椭圆y21上两个不同的点A，B关于直线ymx对称，求实数m的取值范围（12分）【解析】由题意知m0，可设直线AB的方程为yxb.由消去y，得x2xb210.因为直线yxb与椭圆y21有两个不同的交点，所以2b220.将线段AB中点代入直线方程ymx解得b.由得m或m.故m的取值范围为.2-2、(2022·江苏南京市二十九中学高三10月月考)已知：的上顶点到右顶点的距离为，离心率为，过椭圆左焦点作不与轴重合的直线与椭圆相交于两点，直线的方程为：，过点作垂直于直线交直线于点.（1）求椭圆的标准方程；（2）求证线段必过定点，并求定点

6、的坐标.点为坐标原点，求面积的最大值.【解析】【分析】（1）根据椭圆的几何性质和离心率，列出方程组，即可求出，从而得出椭圆的标准方程；（2）根据椭圆的对称性可知必在轴上，可设直线方程：，联立直线和椭圆的方程组并写出韦达定理，从而得出，求出直线的方程，令，即可求出线段所过的定点的坐标；由可知，根据三角形的面积得出，利用换元法，令，得出，最后利用基本不等式求和的最小值，从而得出面积的最大值.【详解】解：（1）由题可知：，所以，故椭圆的标准方程为；（2）由题意知，由对称性知，必在轴上，设直线方程：，设，联立方程得，得，所以，所以，又，所以直线方程为：，令，则，所以直线过定点.由中，所以，又易知，所以

7、，令，则，又因为在单调递减，所以，.2-3、【2022·广东省梅江市梅州中学10月月考】已知椭圆：（）的离心率为，的长轴是圆：的直径.（1）求椭圆的标准方程；（2）过椭圆的左焦点作两条相互垂直的直线，其中交椭圆于，两点，交圆于，两点，求四边形面积的最小值.【答案】（1）；（2）2.【解析】【分析】（1）根据的长轴是圆：的直径，可得a，再由离心率，求得b即可.（2）由（1）可得，分过点的直线的斜率不存在，斜率为0，的直线的斜率存在且不为0时，分别求得弦长，根据两直线垂直，由求解.【详解】（1）由，得.由，得，所以.所以椭圆的方程为.（2）由（1）可得.当过点的直线的斜率不存在时，这时.

8、当过点的直线的斜率为0时，这时.当过点的直线的斜率存在且不为0时，设直线的方程为，.由，整理可得.，.所以.直线的方程为，坐标原点到的距离，所以，所以.由，得，即.综上所述，四边形的面积的最小值为2.题组三、圆锥曲线中的定点、定值问题-试卷3-1、(2022·青岛期初考试-)(12分)已知O为坐标原点，抛物线C：y22px(p0)的准线与圆O：交于M，N点，抛物线C与圆O交于M，N两点，且|MN|MN|(1)求抛物线C的标准方程；(2)动点G在抛物线C的准线上，直线AB与抛物线C交于A，B两点，直线AB与抛物线C交于A，B两点，AB与AB的交点为G，且|GA|×|GB|2|

9、GA|×|GB|，设直线AB，AB的斜率分别为k1，k2，证明：为定值【考点】圆锥曲线中抛物线的标准方程、直线与抛物线的位置关系：证明定值问题-试卷【解析】(1)由对称性可知，MNx轴，所以MNMN，MN|MN|a，则O到MN的距离与O到MN的距离相等，均为，所以直线MN过抛物线C的焦点，设，由，解得p2，所以抛物线C的标准方程为；(2)设G(，直线AB的方程为：，则，将代入可得：，所以，因为，所以|GA|，设直线AB的方程为：，则，同理可得|，因为|GA|·|GB|2|GA|·|GB|，所以，即，所以为定值3-2、(2022·江苏如皋中学高三10月月考

10、)己知抛物线，过点作两条互相垂直的直线和，交抛物线于两点，交抛物线于两点，当点的横坐标为1时，抛物线在点处的切线斜率为.（1）求抛物线的标准方程；（2）已知为坐标原点，线段的中点为，线段的中点为，求证：直线过定点.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由抛物线方程化为并求导，根据切线斜率求参数p，即可写出抛物线方程.（2）由题意设直线、为、，令、，联立抛物线方程并结合韦达定理求，进而求AB、EF中点、N坐标，进而可得直线方程，即可确定是否过定点.【详解】（1）由可化为，则.当A的横坐标为1时，抛物线C在A处的切线斜率为，即，抛物线C的标准方程为.（2）由（1）知：点T坐标为(

11、0,2)，由题意知，直线和斜率都存在且均不为0，设直线为，由，联立消去y并整理得，设，则，又M为AB中点，则，N为EF中点，则直线为，联立抛物线可得，则，直线MN为，整理得，直线MN恒过定点(0,4).3-3、（2021·广东珠海·高三月考）已知双曲线的一个焦点为，且经过点（1）求双曲线C的标准力程；（2）己知点A是C上一定点，过点的动直线与双曲线C交于P，Q两点，若为定值，求点A的坐标及实数的值【答案】（1）；（2），或者，【分析】（1）结合两点的坐标求得，由此求得双曲线的标准方程.（2）设，设出动直线的方程并与双曲线方程联立，化简写出根与系数关系以及判别式.由列方程，化

12、简求得，由此求得的坐标以及对应的值.【详解】（1）由题意且联立解得，所以双曲线C的标准方程为（2）设，过点的动直线为：设，联立得，-所以，由且，解得且，即，即，化简得，所以，化简得，由于上式对无穷多个不同的实数t都成立，所以如果，那么，此时不在双曲线C上，舍去因此，从而，所以，代入得，解得，此时在双曲线C上综上，或者，题组四、 圆锥曲线中的探索性问题-试卷4-1、【2022·广东省珠海市第二中学10月月考】已知椭圆：的离心率为，点在上.（1）求椭圆的标准方程；（2）设为坐标原点，试判断在椭圆上是否存在三个不同点(其中的纵坐标不相等)，满足，且直线与直线倾斜角互补？若存在，求出直线的方程，若不存在，说明理由.【答案】（1）；（2）存在，方程为或.【解析】【分析】（1）由离心率及过的点的坐标，及，之间的关系可得，的值，进而可得椭圆的方程；（2）设直线的方程，与椭圆联立求