第三章 插值法 Hermite插值

1、第三章第三章 插值法插值法第五节第五节 Hermite插值插值埃尔米特插值埃尔米特插值埃尔米特埃尔米特Hermite插值问题插值问题其中其中), 1 , 0(nixi 互异，互异，im为正整数，记为正整数，记，10 mmnii)(xfy 给定给定)1()1(1)1(0)1()1()1(1)1(0101010)()()( nimnmmmnnnfffxffffxffffxfxxxx函数值函数值表及各阶表及各阶导数值导数值表如下：表如下：),()()()(ikikxfxP ) 1, 1 , 0;, 1 , 0( imkni寻求寻求m次多项式次多项式P( (x) )使满足插值条件：使满足插值条件：He

2、rmite插值问题插值问题共有共有m+1+1个条件个条件)()(),()(iiiixfxPxfxP我们只讨论我们只讨论 的情形。的情形。).(15一一 讨论讨论Hermite插值问题插值问题,)(1baCxfy 函数函数表表及导数表及导数表nnnyyyxfyyyxfxxxx 101010)()(已知已知 ), 1 , 0()()(1212niyxHyxHiiniin其中其中互异互异,寻求寻求), 1 , 0(nixi 12 n次多项式次多项式使满足使满足)(12xHn 插值条件插值条件:).(25,)(1baCxf 且已知且已知)(xf函数表及导数表，函数表及导数表，如果如果12 n 次多项式

3、次多项式 满足插值条件满足插值条件(5.2).则存在唯一次数不超过则存在唯一次数不超过)(12xHn 证明：证明：先证唯一性。先证唯一性。下证下证存在性。存在性。（用（用构造构造法，同构造法，同构造L L- -插值多项式的方法）插值多项式的方法） ), 1 , 0( , 0)(, 0, 1)(nkxjkjkxkjkj 时时当当时时当当的的12 n次多项式次多项式。),.1 , 0(),(njxj 第一，求第一，求Hermite Hermite 插值基函数插值基函数1.1.求满足插值条件：求满足插值条件：问题问题定理定理其中其中C C为待定常数为待定常数, , ,于是可令于是可令由由为为)(xj

4、 的二重零点且的二重零点且njjxxxxx,1110 1)( jjx ).(35 )(xlj njiiijixxxx0 (5.3)(5.3)式求导，得式求导，得)()( 1)( 2)()(2xlxlxxcxclxjjjjj ，得由0)(jjx)()(2)()(02jjjjjjjjxlxlxclx )(2)()(2jjjjjjxlxlxlc 所以所以), 1 , 0()(1)(21)(20njxlxxxxxjnjiiijjj )(1 (jxxc ）（xlj2 njiiijxx012221212120)()()()()(njjxxxxxxxxxx 221212120221212120)()()()

5、()()()()()()()(1 ()(njjjjjjjnjjjjxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxcx 221212120221212120)()()()()()()()()()(njjjjjjjnjjxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx (2) 已知已知，001000)(0000)(10 xfxfxxxxxnj 由于由于njjxxxxx,1110 为为)(xj 的二重零点且的二重零点且,0)( jjx )()()()(12212120njjjjjjxxxxxxxxA 又由又由1)( jjx ，则，则有有221212120)()()()()()(1njjjjjjjjjxxxxx

6、xxxxxAx ).(45212120)()()()( jjjxxxxxxxxAx 221)()(njxxxx 则可令则可令), 1 , 0(),()()(2njxlxxxjjj 于是于是求求12 n次多项式次多项式), 2 , 1 , 0()(njxj , ,使满足插值条件：使满足插值条件： ), 1, 0( , 0)(nkxkj 时时当当时时当当jkjkxkj, 0, 1)( 第二，求第二，求多项式多项式)(12xHn njjjjjnyxyxxH012)()()( ).(55 injjijjijinyyxyxxH)()()(012 ), 1 , 0(ni （满足插值条件（满足插值条件(5.

7、2)(5.2)的多项式）的多项式）)(12xHn njijijiijinyyxyxxH012)()()( 事实上事实上, ,有有即即(5.5)(5.5)式是满足插值条件式是满足插值条件(5.2)(5.2)的插值多项式的插值多项式 . .所以存在所以存在2 2n n+1+1次多项式满足插值条件次多项式满足插值条件(5.2).(5.2). #；)()()(2xlxxxjjj ), 1 , 0(),(),(njxxjj 为为HermiteHermite插值基函数插值基函数, ,即即其中其中ijinjiijxxxxxl 0)(？；)()1)( 21 ()(20 xlxxxxxjnjiiijjj Her

8、mite插值余项插值余项)(12xHbn ）（为为Hermite插值多项式，插值多项式， 证明与拉格朗日余项公式证明类似证明与拉格朗日余项公式证明类似. .举例时再证举例时再证. .存存在在，于于设设),()(,)()()22(12baxfbaCxfann ,(baxi ), 1 , 0互互异异ixni 有有关关。且且与与 xba),( ),()!22()(21)22(xnfnn 22120)22()()()()!22()(nnxxxxxxnf )()()(1212xHxfxRnn 则则定理定理二二 带导数的两点插值（特例带导数的两点插值（特例: : ）1 n,)(1baCxf 函数表及导数表

9、函数表及导数表111)( )( kkkkkkmmxfyyxfxxx 已知已知).( 75求求3次多项式次多项式)(3xH使满足插值条件使满足插值条件: : 11331133)(,)()(,)(kkkkkkkkmxHmxHyxHyxH).(85).(95)(3xH存在且唯一，表达式为存在且唯一，表达式为)()()()()(11113xmxmxyxyxHkkkkkkkk 21111)(21 ()(kkkkkkkxxxxxxxxx 211)()( kkkkkxxxxxxx ,)()(2111kkkkkxxxxxxx ,1 kkxxx2111)(21()( kkkkkkkxxxxxxxxx 其中其中)

10、.(105；)()()(2xlxxxjjj ；)()1)( 21 ()(20 xlxxxxxjniijjjji ijinjiijxxxxxl 0)(问题问题结论结论余项公式为余项公式为:2124334)()(!)()()()()(kkxxxxfxHxfxR例例已知已知)(xfy 函数表及导数表函数表及导数表1210210)()(fxfyyyxfxxxx 1133)()2 , 1 , 0( ,)(fxpiyxPii)(3xP使满足插值条件：使满足插值条件：求次数不超过求次数不超过3 3的多项式的多项式已知已知),(),(),(221100yxyxyx三点，由牛顿插值多项式，三点，由牛顿插值多项式

11、，可确定可确定2 2次多项式，在此基础上，增加了节点，则增加三次项即次多项式，在此基础上，增加了节点，则增加三次项即可，并使前三个插值条件不受影响。可，并使前三个插值条件不受影响。分析分析解：解： )(,)(,)()(1021001002xxxxxxxfxxxxfxfxP 221100,yxyxyx的的2 2次牛顿插值多项式为次牛顿插值多项式为过过3 3点点 21210,xxxxxf 2110,xxxxf 1021001003)(,)()(xxxxxxxfxxxxfxfxP )()(,)(210101210101xxxxxxxxxfxxfxfA 12101012101013)()(,)(fxx

12、xxAxxxxxfxxfxP 由由- - 带重节点的牛顿插值多项式带重节点的牛顿插值多项式 1021001003)(,)()(xxxxxxxfxxxxfxfxP 设所求多项式为设所求多项式为113)(fxP 确定确定A . .再由条件再由条件,11xxf重节点定义重节点定义)(1xf 011011,xxxxfxxf 110,xxxf 21210110,xxxxxfxxxf 重节点定义重节点定义)()(210 xxxxxxA )()(,2102110 xxxxxxxxxxf )(01xx )(01xx 插值余项（误差估计）插值余项（误差估计）:存存在在。，）（)(,)(43xfbaCxf xxx

13、且且依依赖赖于于20, 。)()(! 4)()()()(2210)4(3xxxxxxfxPxfxR ; 00)(,)2 , 1 , 0(1 右端右端时时）当）当（iixRixx,)2 , 1 , 0(2时时）当当（ ixxi)()()()()()(22103xtxtxtxktPtft 构造构造函数（作辅助函数函数（作辅助函数):):至至少少有有四四个个互互异异根根)(t 至至少少有有一一个个根根，）（)(4t 0,420 ）（使使即即至至少少存存在在一一点点）（ xx!4)(4 xkf）（）（ !4)(4）（）（ fxk )()(! 4)()(2210)4(xxxxxxfxR 设设)()()()(2210 xxxxxxxkxR , 其中其中)(xk为待定函数。为待定函数。的的根根是是的的根根，且且为为)()(,1210txtxxxx 则则条件条件结论结论证明证明P.88 15作业作业: : (1) (1)理解理解H-H-插值多项式的插值多项式的构造构造方法（方法（基函数法基函数法与与例的方法例的方法）；）； (2)(2)能能根据具体条件根据具体条件求出求出插值多项式及插值余项。插值多项式及插值余项。HermiteHermite插值插值（以（以 mi=2, i=0,1,n 为例）为例）；)()()(2xlxxxjjj ), 1 , 0(),