第7讲三角函数模型与解三角形的实际应用

1、本课件主要使用工具为Office2003，Mathtype6.0, 几何画板4.0, Flashplayer10.0更多信息请登录： 2011届新课标高中总复习（第届新课标高中总复习（第2轮）轮）（湖南）2专题二 三角变换与平面向量、复数【考题1】(2010北京)如右图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动设顶点P(x，y)的纵坐标与横坐标的函数关系式是y=f(x)，则f(x)的最小正周期为 ；y=f(x)在其两个相邻零点间的图象与x轴所围区域 的面积为 .说明：“正方形PABC沿x轴滚动”包括沿x轴正方 向和沿x轴负方向滚动沿x轴正方向滚动指的是先以顶点A为中心顺时针旋转，当顶点B落在x轴

2、上时，再以顶点B为中心顺时针旋转，如此继续类似地，正方形PABC可以沿x轴负方向滚动 41【解析】 224.111441( 2)1 1 2122PABCPyf x 当正方形滚动四边时 才回到左下方的位置，所以最小正周期是在其两个相邻零点的图象如下图所示面积为命题立意：本题主要考查周期函数、函数零点的概念，考查动点形成图形的理解能力和运算能力 【专题2】(2010陕西)如图，A，B是海面上位于东西方向相距5(3+ )海里的两个观测点现位于A点北偏东45，B点北偏西60的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60且与B点相距20 海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救

3、援船到达D点需要多长时间？ 33【解析】3,sinsinsin5(33) sin45sinsin1055 3(35(3)()93) sin45sin45 cos60cos40603095 si04545180(4530n605 3( 3)105 .DBABDABABDBADABADBDADBABDABAABDBDB 由题意知海里 ，所以在中，由正弦定理得所以1)10 3)2(31海里 722230(9060 )6020()2cos300 12002 102090030()13133230(130)DBCDBAABCBCDBCCDBDBCBD BCDBCCDDt 又，海里 ，在中，由余弦定理得，

4、所以海里 ，则需要的时间小时 答：救援船到达 点需要 小时命题立意：本题主要考查方位角概念，运用正弦定理、余弦定理解决实际应用问题的能力8考情扫描：1本节内容在高考中以考查用“五点法”作y=Asin(x+ )的图象为主，同时考查三角函数图象的变换和对称性及图象的应用2利用三角函数的周期性及有界性研究实际问题的变化规律和取值范围3三角函数图象的变换是高考考查的热点，多为选择题形式，解题关键是熟练掌握平移、伸缩变换的规律94在高考试题中，出现有关解三角形的内容大多属于容易题，最多是中档题，主要考查正弦定理、余弦定理的应用及利用三角公式进行恒等变形的技能及运算能力，以化简、求值或判断三角形的形状为主

5、，考查有关定理的应用、运算能力及转化的数学思想解三角形常作为工具解决实际问题，将实际问题转化为解斜三角形的问题，再确定是哪类解斜三角形问题，就用哪个定理来解决解斜三角形的问题在近几年高考中经常出现，并且与实际问题的联系仍是高考命题的热点，要加强这方面的训练 三角函数是描述周期现象的数学模型高考中，单摆、弹簧振子、圆上一点的运动、以及音乐、波浪、潮汐、四季变化等周期性现象是新的命题背景1新教材中增设了三角函数模型的简单应用，且在课程标准中把“潮汐与港口水深”这一三角问题专门作为参考案例(在原来的教材中只有阅读材料)，教材中有几处涉及三角函数在物理学科中的应用，如用函数y=Asin(x+ )的物理

6、意义刻画简谐振动、交流电等，说明三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，显示重视三角函数实际应用的意图 2融入三角形之中的实际问题也常出现这种题型既能考查解三角形的知识与方法，又能考查运用三角公式进行恒等变换的技能，故近年来备受命题者的青睐，主要解法是充分利用三角形的内角和定理、正(余)弦定理、面积公式等，并结合三角公式进行三角变换，从而获解 sin()sin()(00 |)sin()112ItIAtIAtAIAt已知电流 与时间 的关系式为下图是，在一一、三角函数图象的个周期内的【图象，根据图中数据求的】应用例解析式； sin()15210tIAt如果 在任意一段秒的时间内，电流都能取得最

7、大值和最小值，那么 的最小正整数值是多少？ 122111,900180111,18090075211180180,.26).6300.22()150 .0sin(150)0|300sin(1501AttTtttIItT 由图可知设，则周期所以又当时，即，而所以故所求的解析式为【解析】15 *(0)3009412115015022.943.T N依题意，周期，即，所以又，故 的最小正整数值是:本题解答的切入点是将图形语言转化为符号语言其中，读图、识图、用图是数形结合评析的有效途径二、三角函数的应用【例2】如图，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救信

8、息中心立即把消息告知在其南偏西30、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东 的方向沿直线CB前往B处救援，求cos 的值【解析】如题图所示，在ABC中，AB=40，AC=20，BAC=120，2227.,2cos120280020sisinsin120cos30coscos(30 )coscos30sinsin30nsin21.72 7.721.14ABBCACBBACABCABACAB ACBCACBBACBACACBACBBBCACBACBACBACB 由余弦定理知，得由正弦定理得由，则为锐角，由，则18评析：本题是解斜三角形的应用题，考查了正、余弦定理以及两角和余弦公式的应用，考查学生

9、利用数学知识解决实际问题的能力三、解三角形的应用【例3】在海岛A上有一座海拔1千米的山，山顶设有一个观察站P.上午11时，测得一轮船在岛北偏东30，俯角为30的B处，到11时10分又测得该船在岛北偏西60、俯角为60的C处(该船沿直线航行)(1)求船的航行速度；(2)又经过一段时间后，船到达海岛的正西方向的D处，问此时船距岛A有多远？ 【解析】(1)如图所示，在RtPAB中，APB=60，PA=1，则AB= .322223.33303,3330Rt3030609012 30/6(3)PACAPCACACBCABBCACAB 在中，则在中，则故船的航行速度为千米 小时 2906030sinsin

10、(180)sinsinsin(30 )sin3 3310,10303313101cos30cossi101022103 311n220.030DACDCAACBACBCDAACBACABBBCACB ，22,sinsin33 10sin93310,sin13(3 31) 102093.13ADACDCACDAACDCACDACDAAAD在中，据正弦定理得所以即此时船离岛千米距评析：本题主要考查三角形基础知识，以及学生的识图能力和综合运用三角知识解决实际问题的能力23备选题如图所示，某动物园要为刚入园的小老虎建造一间两面靠墙的三角形露天活动室，已知已有两面墙的角为60(即C=60)现有可供建造第

11、三面墙的材料6米(两面墙的长均大于6米)，为了使得小老虎能健康成长，要求所建造的三角形露天活动室尽可能大，记ABC= ，问当 为多少时，所建造的三角形露天活动室的面积最大？24【解析】224sin ,4sin()sin12sinsin()112si,sinsinsin()3333312333332331cos233()2213n( sincos )2sin(6(sinsi2),2ncos )6si6n6ABCACABABCACBCSACCBBC在中，化简得，所以25max3)3.6sin(232()96,3.62603ABCABCSS即所以，当即时，故当时，所建造的三角形露天活动室的面积最大评析：三角形中的有关最值问题，可采用数形结合的思想或函数的思想进行解决261三角函数模型的常见应用三角函数能够模拟许多周期现象，因此在解决实际问题时有着广泛的应用如果某种变化着的现象具有周期性，那么它就可以借助三角函数来描述三角函数模型的常见类型有：(1)航海类问题：涉及方位角概念方位角指的是从指北方向顺时针旋转到目标方向线的水平角(2)涉及正、余弦定理与三角函数图象有关的应用题.2010年全国高考有一解答题正是此类应用题(3)引进角为参