高等数学2-4隐函数+对数求导+参数方程的导数+相关变化率(应用,如灌水速率)

1、复习复习 逐阶逐阶求导然后求导然后归纳归纳高阶导数的间接求法：高阶导数的间接求法：利用利用已知的高阶导数已知的高阶导数公式公式高阶导数高阶导数的直接求法：的直接求法： 高阶导数的运算法则和高阶导数的运算法则和莱布尼茨公式莱布尼茨公式( )()ln(0)xnxnaaaa( )()(1)(1)nnxnx ( (注意注意 的情况的情况) )n ( )11nx 1!( 1)(1)nnnx )2n ( )(cos )cos(nxx)2n ( )(sin )sin(nxxaxby 1nnnnnaaxbnaxby1)()()(!)1(1 1( )( 1)(1)!nnnnnyaaxb ln(),ybax )2

2、sin( )sin( )( nbaxabaxnn )2cos( )cos( )( nbaxabaxnn sin() abxayx eyxaxb或或者者用莱布尼茨公式用莱布尼茨公式21, yaxbxc 进行因式分解，化成一次的形式进行因式分解，化成一次的形式sincos, abyxx高阶的三角函数，降幂处理高阶的三角函数，降幂处理 ( )22sinsin()nnxxaaebxabebxn (arctan)ba 第四节第四节隐函数及由参数方程隐函数及由参数方程 确定的函数的导数确定的函数的导数一、隐函数的导数一、隐函数的导数二、对数求导法二、对数求导法三、由参数方程确定的函数的导数三、由参数方程确

3、定的函数的导数 四、相关变化率四、相关变化率 一、隐函数的导数一、隐函数的导数定义定义:0),( yxF)(xfy 隐函数的显化隐函数的显化问题问题: 隐函数不易显化或不能显化如何求导隐函数不易显化或不能显化如何求导?0 yxeexy如如由方程由方程 所确定的函数所确定的函数 ( , )0F x y ( )yy x 称为隐函数称为隐函数 ( )yf x 的形式称为显函数的形式称为显函数 13510135xyyx如如：例例1 1)隐函数求导法则隐函数求导法则:用复合函数求导法则直接对方程两边求导用复合函数求导法则直接对方程两边求导.求由方程求由方程 所确定的隐函数所确定的隐函数 y 的导数的导数

4、0 xyxyee0dd,.ddxyyxx 解解dd0ddxyyyyxeexx解得解得d,dxyyeyxxe . 1 方程两边对方程两边对 x 求导得：求导得：由原方程知由原方程知 时，时，0 x 0,y 000ddxxxyyyeyxxe 解解 故故设设 由方程由方程 确定，确定，例例1 2)( )yy x ( )yfyexe f二阶可导，二阶可导， 求求 1,f .y ( )( )( )yfyfye yexefy y方程两边对方程两边对 x 求导求导:( )( )( )fyyfyeyexefy 11( )xfy 221( )( )1( )fyxfy yyxfy 2331( )( )1( )xf

5、yxfyxfy 设设 由方程由方程例例1 3)( )yy x 222sin()0 xxyexy确定确定, 求求 .y 222cos() (22)20 xxyxyyeyxyy222222cos()2 cos()2xyexyyxyxyddyx 解解解解3 3( ,)2 2设曲线设曲线 C 的方程为的方程为 求过求过 C 上上例例2333,xyxy一点一点 的切线方程，并证明曲线的切线方程，并证明曲线 C 在该点的法在该点的法线线通过原点通过原点.方程两边对方程两边对 x 求导求导:23x 23y y 3y 3xy 3 3(,)2 223 32( , )2 2yxyyx 1. 所求切线方程为所求切线

6、方程为30.xy即即33()22yx 法线法线方程为方程为3322yx即即 显然显然通过原点通过原点.,yx 解解设设 求求 在点在点(0,1) 处的值处的值.例例3441,xxyyy 方程两边对方程两边对 x 求导求导:0,1xy代代入入得得011;4xyy 34xy xy 3 4y y 0(1) 方程方程(1) 两边再对两边再对 x 求导得求导得222312212()40 xyxyyyy y0,1,xy代代入入0114xyy 得得011.16xyy 求其反函数的导数求其反函数的导数 .解解: 方法方法1方法方法2 等式两边同时对等式两边同时对 y 求导求导思考题思考题 设设e ,xyxdd

7、yx 1ex ddxy1y 11ex 1 ddxyex ddxy ddxy 11ex 二、对数求导法观察函数观察函数方法方法:先在方程两边取对数先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导然后利用隐函数的求导方法求出导数方法求出导数.-对数求导法对数求导法适用范围适用范围:3sin2(1)1,.(4)xxxxyyxxe 多个函数相乘和幂指函数多个函数相乘和幂指函数 的情形的情形.()( )v xu x解解等式两边取对数得等式两边取对数得例例4 设设32(1)1, .(4)xxxyyxe 求求1lnln(1)ln(1)2ln(4)3yxxxx上式两边对上式两边对 x 求导得：求导得：112113(

8、1)4yyxxx 32(1)11121(4)13(1)4xxxyxexxx 解解等式两边取对数得等式两边取对数得例例5 设设sin(0), .xyxxy 求求lnsinlnyxx上式两边对上式两边对 x 求导得：求导得：11coslnsinyxxxyx 1(coslnsin)yyxxxx sinsin(cosln)xxxxxx一般地一般地()( )( )( ( )0)v xf xu xu xln( )( ) ln ( )f xv xu xd1ln( )( )d( )f xfxxf x 又又 ( )( )lnfxf xv xu x ()( )( )( )( ) ( ) ln ( )( )v xv

9、 x u xfxu xv xu xu x 例例6 1) 设设sin(sin ) (0), .xxyxxxy 求求 2) 设设(0), .xxyxxy 求求 3) 设设(0), .xyyxxy 求求三、由参数方程所确定的函数的导数三、由参数方程所确定的函数的导数例如例如 ,22tytx2xt 22)2(xty 42x xy21 消去参数消去参数问题问题: 消参困难或无法消参如何求导消参困难或无法消参如何求导?t若参数方程若参数方程 确定确定 y 与与 x 的函数关系，的函数关系，称此函数为由参数方程确定称此函数为由参数方程确定 的函数的函数.( )( )xtyt 由复合函数及反函数的求导法则得由

10、复合函数及反函数的求导法则得ddddddyytxtxd1dddyxtt( )( )tt 1( ).yx 则则在方程在方程 中，中，( )( )xtyt 再设函数再设函数 都可导，且都可导，且( ),( )xtyt( )0,t 设函数设函数 具有单调具有单调( )xt 连续的反函数连续的反函数 1( ),tx d( ) d( ) ttyytxtx 例：方程组例：方程组 所确定的函数所确定的函数 当当t =0 时可导，但其导函数不能用普通的公式求得时可导，但其导函数不能用普通的公式求得.22| |54 | |xttytt t ( )yy x 例：例： 抛射体运动轨迹的参数方程为抛射体运动轨迹的参数

11、方程为求抛射体在时刻求抛射体在时刻 t 的运动速度的大小和方向的运动速度的大小和方向. 12122 xv tyv tg t 解解:速度的水平分量为速度的水平分量为垂直分量为垂直分量为故抛射体故抛射体速度大小速度大小22dd()()ddxyvtt2212()vvgt2d,dyvgtt1d,dxvt 先先求速度大小求速度大小:再求速度方向再求速度方向(即轨迹的切线方向即轨迹的切线方向):设设 为切线倾角为切线倾角,则则 yxO例：例： 抛射体运动轨迹的参数方程为抛射体运动轨迹的参数方程为求抛射体在时刻求抛射体在时刻 t 的运动速度的大小和方向的运动速度的大小和方向. 12122 xv tyv tg

12、 t tan ddyx ddxt21vgtv ddyt在刚射出在刚射出 (即即 t = 0 )时时, 倾角为倾角为201arctanvv yx抛射体轨迹的参数方程抛射体轨迹的参数方程速度的水平分量速度的水平分量垂直分量垂直分量达到最高点的时刻达到最高点的时刻高度高度落地时刻落地时刻抛射抛射最远距离最远距离速度的方向速度的方向0 d0dyt 12122 xv tyv tg t 1d,dxvt 2d,dyvgtt21tanvgtv 2,vtg 2vtg y2212vg 22,vtg 22vtg x122v vg 例例7 1）求摆线）求摆线 处的方程处的方程. 解解ddyx 所求切线方程为所求切线方

13、程为(sin ) 2(1cos )xa tttyat 在在sincosataat sin1costt 2sind2d1cos2tyx 1. 当当 时，时，2t (1),.2xaya (1)2yaxa 0510152000.511.52解解:化为参数化为参数方程：方程：ddyxsincos cossin cossinxryr cos sin 2) 求螺线求螺线在对应于在对应于的点处的切线方程的点处的切线方程.2 r 当当时对应点时对应点(0,),2M 2 2 ddykx 2 切线方程为切线方程为22yx 补充：补充：极坐标系：在平面内由极点、极轴和极径组极坐标系：在平面内由极点、极轴和极径组 成

14、的坐标系。成的坐标系。 ),( P cos , sinxy x),(yxPyOxOr ( (阿基米德螺线阿基米德螺线) )2sin4r ( (玫瑰线玫瑰线) )-101234-3-2-101232 (2cos )ra ( (心脏形线心脏形线) )练习：练习： 设设) ) (1cos )arabra ,y求求例例8. 设设由方程由方程解解: 方程组两边对方程组两边对 t 求导求导,得得222 (01)sin1xtttyy 求求确定函数确定函数( ),yy x .yddxt22t2t ddytcos y ddyt0 d2(1)dxttd2d1cosytty 故故ddyx (1)(1cos )tty

15、 22ddd()dddyyxxx d( ) d()d( ) dttttx 若函数若函数 二阶可导，二阶可导，( )( )xtyt 22d( )d( )ddddtttyxxt 2( )( )( )( )1( )( )tttttt 223d( )( )( )( ).d( )yttttxt 即即( tan ) t 解解注意：注意：例例9 求由方程求由方程 表示的函数的二阶导数表示的函数的二阶导数.33cossinxatyat ddyx223 sincos3 cos( sin )attatt tant 22ddyx3( tan )( cos)tat 22sec3 cossintatt 4sec3 si

16、ntat 22ddyx 四、相关变化率四、相关变化率相关变化率问题相关变化率问题解法解法: 相关变量的关系式相关变量的关系式对对 t 求导求导相关变化率之间的关系式相关变化率之间的关系式求出未知的相关变化率求出未知的相关变化率称为称为相关变化率相关变化率已知其中一个变化率时如何求出另一个变化率已知其中一个变化率时如何求出另一个变化率?相关变化率问题相关变化率问题:均为可均为可导函数导函数( ) ,( )xx tyy t之间有联系之间有联系,xy之间也有联系之间也有联系dd,ddxytt例例10 一汽球从离开观察员一汽球从离开观察员500m处离地面铅直上升，处离地面铅直上升， 解解2d1dsec

17、d500 dhtt 仰角增加率仰角增加率 米米500米米h（相关方程）（相关方程）上升速率为上升速率为140m/分钟分钟. 当汽球高度为当汽球高度为500m 时，时， 观观察员视线的仰角增加率是多少？察员视线的仰角增加率是多少？设设t 时刻，气球上升的高度为时刻，气球上升的高度为 h, 观察员视线的仰角为观察员视线的仰角为 ， 则则 tan500h 上式两端对上式两端对 t 求导得：求导得：d140/ min,dhmt 当当 h = 500m 时，时，2sec2 d0.14(/ min)dradt 思考思考: 当气球升至当气球升至500m时停住时停住,有一观测者以有一观测者以100m/min

18、的速率向气球出发点走来的速率向气球出发点走来, 当距离当距离为为500m时时, 仰角的增加率是多少仰角的增加率是多少 ?提示提示: 对对 t 求导求导已知已知求求x 500tan 500 x2sec ddt 2500 ddxxt d100m/ mindxt 500m,x d.dt 试求当试求当容器容器例例11. 有一底半径为有一底半径为 R cm , 高为高为 h cm 的圆锥容器的圆锥容器 ,今以今以 自顶部向容器内注水自顶部向容器内注水 ,内水内水位位等于锥高的一半时水面上升的速度等于锥高的一半时水面上升的速度.解解: 设时刻设时刻 t 容器内水面高度为容器内水面高度为 x ,而而故故水的

19、水的体积体积为为V ,则则325cm s22225,()hRhx ddxt 2hx 当当 时，时，2d100(cm s)dxtR ddVt22Rh 2()hxd,dxt 3d25 (cm s)dVt V 213R h2(13)rhx2332() 3RhhxhxRhr内容小结内容小结1. 隐函数求导法则隐函数求导法则直接对方程两边求导直接对方程两边求导2. 对数求导法对数求导法:适用于幂指函数及某些用连乘适用于幂指函数及某些用连乘,连除表示的函数连除表示的函数3. 参数方程求导法参数方程求导法极坐标方程求导极坐标方程求导4. 相关变化率问题相关变化率问题列出依赖于列出依赖于 t 的相关变量关系式

20、的相关变量关系式对对 t 求导求导相关变化率之间的关系式相关变化率之间的关系式转化转化求高阶导数时求高阶导数时,从低到高每次都用参数方程求导公式从低到高每次都用参数方程求导公式思考与练习思考与练习提示提示: : 分别求分别求 xyovxvyv0v1 不计空气的阻力，以初速度不计空气的阻力，以初速度 ，发射角，发射角 发射发射炮弹，其运动方程为炮弹，其运动方程为求求(1) (1) 炮弹在时刻炮弹在时刻 的运动方向；的运动方向； (2) (2) 炮弹在时刻炮弹在时刻 的速度大小的速度大小. .020cos ,1sin,2xv tyv tgt 0v 0t0t 000dtan,| ,|dxttyttt

21、yxvvxy 2001(sin)d2d(cos)v tgtyxv t 00sincosvgtv 0000sind.dcost tvgtyxv (2) 炮弹在时刻炮弹在时刻 沿沿x，y 轴方向的分速度为轴方向的分速度为0t000d(cos)dxt tt txvv tt 0cosv 0020d1(sin)d2yt tt tyvv tgtt 00sinvgt 22xyvvv22 200002sinvv gtg t 炮弹在时刻炮弹在时刻 的速度为的速度为0t2 求对数螺线求对数螺线在点在点切线切线的直角坐标方程。的直角坐标方程。解：解： e /2( ,)(,/ 2)e 处处的的曲线在点曲线在点处的切线

22、的斜率为处的切线的斜率为/2(,/ 2)e /2(, /2)/2sincos1cossineeeyee 点点的的直角坐标直角坐标为为/2(,/ 2)e /2(0,)e 因此，所求切线方程为因此，所求切线方程为2(0).yex coscos ,sinsinxeye 解解水面上升水面上升之速率之速率0604000m是长为是长为400m,顶角为顶角为 的水槽，问水深的水槽，问水深20m 时，时，3 河水以河水以 的体流量流入水库中，水库的形状的体流量流入水库中，水库的形状012038m /s水面每小时上升几米？水面每小时上升几米？d0.104/dhm ht 3d28800/ ,dVmht 当当 时，

23、时，20hm dd8000 3ddVhhtt上式两端对上式两端对 t 求导得：求导得：2( )4000 3V th 设时刻设时刻 t 水深为水深为 ( ),h t水库内水量为水库内水量为 则则( ),V ttan3ln22(sin ),(2)xxxxyxxx 4. 设设求求提示提示: 分别用对数微分法求分别用对数微分法求.,21yy 答案答案:21yyy )1sinln(sec)(sin2tan xxxx32ln)2(31xxxx )2(32)2(3ln21xxxxx .y 1y2y5. 设设由方程由方程确定确定 , 求求( )yy x eeyxy(0),y (0).y 解解: 方程两边对方程两边对 x 求导求导, 得得再求导再求导, 得得当当0 x时时,1 y故由故由 得得e0yyyxy2eyy (e)yx y 20y 再代入再代入 得得21