第6章-随机信号通过非线性系统

1、第第6 6章章 随机信号通过非线性系统随机信号通过非线性系统随机信号通过非线性系统随机信号通过非线性系统 第第6 6章章 随机信号通过非线性系统随机信号通过非线性系统基本要求基本要求 了解几种常见的非线性系统 了解计算输出信号统计特性的直接法和特征函数法 了解准正弦信号通过非线性系统的分析方法第第6 6章章 随机信号通过非线性系统随机信号通过非线性系统6.1 几种常见的非线性系统几种常见的非线性系统一、非线性系统与线性系统的区别一、非线性系统与线性系统的区别1对于线性系统的解，人们通常能够求得封闭形式的表达式;对非线性系统来说，这一点并不是总能实现的。2相对于线性系统来说，分析非线性系统一般涉

2、及的数学在概念上更高深，在内容上则更繁杂。 第第6 6章章 随机信号通过非线性系统随机信号通过非线性系统x( )ty(t)=sgn(x( ),x( )00,x( )0ttt若y(t)若x( )|ty(t)=|2( )( )x tx ty(t)=2yxxnnn2x( ) ty(t)= b1. 硬限制硬限制2. 线性半波检波线性半波检波3. 线性全波检波线性全波检波4. 二次失真二次失真 其数字信号形式为：5. 平方律检波器平方律检波器 二、几种常用的非线性系统二、几种常用的非线性系统本章重点讨论线性半波检波、线性全波检波和平方律检波本章重点讨论线性半波检波、线性全波检波和平方律检波第第6 6章章

3、 随机信号通过非线性系统随机信号通过非线性系统6.2 直接法直接法一、基本原理一、基本原理二、平方律检波器二、平方律检波器三、线性半波检波器三、线性半波检波器第第6 6章章 随机信号通过非线性系统随机信号通过非线性系统设随机信号的一维概率密度为 ， 一、基本原理一、基本原理 tXtxfX;x1212,; ,fx x t t密度函数为 ， 非线性系统的特性为 ，则( )yf x 二维概率 tX通过该非线性系统得到的输出信号Y(t)的统计特性可按下式计算：xy( )( );Etf x fx t dxxy ( )( );nnEtfx fx t dx y1212x121212R,( ) (),; ,t

4、 tf x f xfx x t tdx dx 第第6 6章章 随机信号通过非线性系统随机信号通过非线性系统二、平方律检波器二、平方律检波器2ybx平方律检波器的传输特性为 ，其中b是常数。22xy ( );x( )nnnnEtbxfx t dxb Et 22222y121212x121212R,( )( )xxx ,x ; ,t tb E x tx tbbft tdx dx 第第6 6章章 随机信号通过非线性系统随机信号通过非线性系统正态噪声作用于平方律检波器正态噪声作用于平方律检波器x( ) txx1 3 512x0nnnnEn 的偶数为奇数2xy ( )1 3 521nnnEtbn 2xy

5、( )Etb2224xy( )33y( )EtbEt 设检波器输入端作用的 是一个零均值的正态噪声，因此令n1 和 n2，得到 由于方差为的正态随机变量X的各阶矩为：2222y( )y( )y( )2y( )tEtEtEt第第6 6章章 随机信号通过非线性系统随机信号通过非线性系统 yR 2222222y121212Rx( ) x( )x( ) x( ) 2x( )x( )b Ettb EtEtEtt 2422xx2bb R输出相关函数输出相关函数 2422yxx( )2( )2jSbbRed 输出功率谱密度输出功率谱密度第第6 6章章 随机信号通过非线性系统随机信号通过非线性系统 xx1R2

6、jSed 2xxxRRjjReded/xx12SSd由于所以 224/yxxx( )( )bSbSSd yy( )( )SS 第第6 6章章 随机信号通过非线性系统随机信号通过非线性系统信号和噪声同时作用于平方律检波器信号和噪声同时作用于平方律检波器设平方律检波器输入端的随机信号是 xsnttt噪声的均值为零，信号和噪声彼此不相关，平方律检波器输出的自相关函数是 222y121122222222222121212122112R, s( )+n( )s( )+n( )s ( )s ( )+4s( )s( )n( )n( )+s ( )n ( )+s ( )n ( )+n ( )()t tb Et

7、tttb Ettttttttttt n t21=tt 22222ysnsnsnRR4RR2Rb 当输入是平稳随机过程时， 第第6 6章章 随机信号通过非线性系统随机信号通过非线性系统 22sssRjSbed 22nnnRjSbed 2222snsn4RR4( )js nSbedb 2/222nssn24( )bSSdb 平方律检波器输出端的功率谱密度平方律检波器输出端的功率谱密度 wSwSwSwSnSnSY口口第第6 6章章 随机信号通过非线性系统随机信号通过非线性系统22ny( )2aEtb0422224nny( ) 38aEtba42222224ynny( ) y( )216aEtEtba

8、时，求得的自相关函数便是输出的均方值，即 例例1. 假设输入是等幅正弦信号假设输入是等幅正弦信号是常数，是常数，0s(t)=acosta002为在为在之间均匀分布的随机变量输入噪声之间均匀分布的随机变量输入噪声 为零均值的平稳正态随机过程，信号与噪声彼此不相关。为零均值的平稳正态随机过程，信号与噪声彼此不相关。试计算输出信号的均值、方差、相关函数和功率谱密度。试计算输出信号的均值、方差、相关函数和功率谱密度。解：解：第第6 6章章 随机信号通过非线性系统随机信号通过非线性系统S120 10 2R ( ,)=Ecoscost tatat2021=cos2att 2S0Rcos2a 2242212

9、0 10 2( )( )coscosE st sta Ett44440120cos2cos24848aaaatt 21tt 242nnnR2R输入信号的自相关函数输入信号的自相关函数输入信号平方的自相关函数输入信号平方的自相关函数 输入噪声平方的相关函数为：输入噪声平方的相关函数为： 第第6 6章章 随机信号通过非线性系统随机信号通过非线性系统 22222222ynnn0R2R2Rcos2abbb a420cos28a b 输出信号的相关函数为输出信号的相关函数为 2/24nnnnn2( )bSSSdb 2/222snnsn2SS2( )bSdb a 22/002S()()4nbad 2222

10、( )nb a 2222200=S ()S ()2( )2nnnbab a 第第6 6章章 随机信号通过非线性系统随机信号通过非线性系统 4242ss002( )(2)(2)416a ba bS 22222/ynn2( )2nabSbSSd 22n0n0()()2baSS4200(2)(2)16a b 第第6 6章章 随机信号通过非线性系统随机信号通过非线性系统三、线性半波检波器三、线性半波检波器000bxxyx x t 22x2xx12xfxe设是均值为零的平稳正态随机过程，概率密度是22x2x0 xy( )( )2xbEtbxfx dxxedx2Xb线性检波器输出端的信号均值为第第6 6章

11、章 随机信号通过非线性系统随机信号通过非线性系统22x222222x0 xy ( )( )2xbEtb x fx dxx edx 2222xx222bb222222222xxxy1y ( )y( )1222bbbEtEt y12x1212R,;bxbx fx xdx dx 输出端的自相关函数是线性检波器输出端的信号均方值为第第6 6章章 随机信号通过非线性系统随机信号通过非线性系统( )R1( )0y(t)1( )0 x tx t若若y(t)x( ) t例例 2 2： 设设是均值为零的正态平稳随机过程，是均值为零的正态平稳随机过程， 其相关函数为其相关函数为 , ,我们对我们对 构成如下非线性

12、运算：构成如下非线性运算：求求 的均值和相关函数。的均值和相关函数。x( ) ty()y( )1x()x( )0 1x()x( )0EttPttPtt 解：解：x()tx( ) t( )(0)RrR与是联合正态的，具有相关系数第第6 6章章 随机信号通过非线性系统随机信号通过非线性系统( )sin(0)RR22112y()y( )()22Etty2( )( )arcsin(0)RRR设 ,这里 ， 容易得出： 第第6 6章章 随机信号通过非线性系统随机信号通过非线性系统 拉普拉斯变换(单边和双边) 非线性系统输出端自相关函数 特征函数法计算线性半波检波器输出信号的自相关函数6.3 计算输出信号

13、统计特性的特征函数法计算输出信号统计特性的特征函数法第第6 6章章 随机信号通过非线性系统随机信号通过非线性系统一、拉普拉斯变换一、拉普拉斯变换(单边和双边单边和双边)( )yf x( )f x( )f x dx ( )( )j xFf x edx( )F 若为某非线性系统的传输特性，函数在任意有限区间分段光滑且满足绝对可积条件，即( )f x( )F则的傅氏变换为该非线性系统的转移函数。存在，为在某些情况下，f(x)不满足绝对可积条件，需要引入拉普拉斯变换来定义转移函数。第第6 6章章 随机信号通过非线性系统随机信号通过非线性系统1. 单边拉普拉斯变换单边拉普拉斯变换( )xf x e( )

14、( )xj xFf x eedx0( )jxf x edx 若 x0时，f(x)=0，且 满足绝对可积条件，则有sj0( )( )sxF sf x edx1( )( )2jsxjf xF s e dsj 令为f(x)的单边拉氏变换，而逆拉氏变换为，有第第6 6章章 随机信号通过非线性系统随机信号通过非线性系统2. 双边拉普拉斯变换双边拉普拉斯变换( )f x, 0 x ( )f x若在上不绝对可积，且当时不为零 ( )0( )00f xxfxx 00( )( )0 xfxf xx ( )( )( )f xfxfx定义，即( )fx( )fx0( )( )sxF sfx edx若函数 和 的单边

15、拉氏变换存在，且 Re sa0( )( )sxF sfx edx Re sb时收敛，在 时收敛， 在( )( )( )( )sxF sF sF sf x edx则称为f(x)的双边拉普拉斯变换，收敛域为 Reasb第第6 6章章 随机信号通过非线性系统随机信号通过非线性系统二、非线性系统输出端自相关函数二、非线性系统输出端自相关函数非线性系统输出端的相关函数为 yRy( )y()Ett ( )()y11R( )( )22j X tj X tEFedFed( )()21( )( )4j X tj X tFdFE ed ( )()2, ;j X tj X tE eM X t是随机过程的二维特征函数

16、。 其中第第6 6章章 随机信号通过非线性系统随机信号通过非线性系统输入信号为正态噪声时，二维特征函数是 22121 2x12R2212,;sss sMs se 2x1Et x0Et 22121 2x12R2y112221R( )()2sss sDDF s dsF s edsj时，输出端自相关函数为 1 2xRs se 1 2xkRX1 20R!ks skes sk将 展成级数 2212kX22y11122220RR( )()! 2sskkDDkF s s e dsF s s e dskj，则有：第第6 6章章 随机信号通过非线性系统随机信号通过非线性系统 y221R( )( ), ;4FdF

17、Md yR可写成 y1221221R( )(), ;2DDF sF s Mds dsj 如果用拉氏变换表示，则有 第第6 6章章 随机信号通过非线性系统随机信号通过非线性系统三、线性半波检波器输出信号的相关函数三、线性半波检波器输出信号的相关函数线性检波器的传输特性是线性检波器的传输特性是 ，设输入信号，设输入信号x(t)为零为零均值，方差为均值，方差为1的平稳高斯白噪声，求输出信号的相关函数。的平稳高斯白噪声，求输出信号的相关函数。 ,00,0bxxf xx 第第6 6章章 随机信号通过非线性系统随机信号通过非线性系统系统的转移函数为系统的转移函数为 200( )sxsxbF sf x ed

18、xbxedxs 22121 2x12R2212,;sss sMs se输入信号的二维特征函数为：输入信号的二维特征函数为： 2xxxx2xRR0R1 0R0E XtrE Xt由于 22121 2 x122212,;sss s rMs se有：第第6 6章章 随机信号通过非线性系统随机信号通过非线性系统 2212x22y1122222012R! 2ksskkDDkrbbs e dss e dssskj 22122x22221122204!ksskkDDkrbse dsse dsk 222x22204!kskjkkjkrbse dsk 2x2204!kkkrbIk 输出信号的自相关函数为输出信号的

19、自相关函数为经过一系列变换，得到 2222222y121 !R244222 ! 21nnnrbbbbrrnn第第6 6章章 随机信号通过非线性系统随机信号通过非线性系统6.4 准正弦振荡信号通过非线性系统准正弦振荡信号通过非线性系统一、窄带正态随机过程通过非线性系统一、窄带正态随机过程通过非线性系统问题描述：问题描述：设窄带随机过程为0 x( )( )cos( )tA ttt( )A t( ) t和是随机慢变化的时间函数， ，其中y( )f x0y( )( )cos( )tfA ttt非线性系统的特性为上述窄带随机过程通过非线性系统后，得到 求输出信号的统计特性第第6 6章章 随机信号通过非线

20、性系统随机信号通过非线性系统( )A t( ) ttAt0y ( )costtttfAt0ttt t012ycoscos2ttttttfAfAfA 001costtttfAfAd02coscosntttttfAfAnd1,2,n ,，于是令 ，便得到变量为 将随机过程和在某一时刻t 采样值写成的周期性函数。该函数用傅里叶级数的形式表示为其中第第6 6章章 随机信号通过非线性系统随机信号通过非线性系统012tnYIIII00tIfA0cosnnttIfAnt则 式中表示输出端得到的低频分量. 表示输出端得到的高频分量。第第6 6章章 随机信号通过非线性系统随机信号通过非线性系统012y tnEE

21、 IIII 012nE IE IE IE I0cos00nttEfAntn 00y ttEE IEfA000ttAttEfAfAfA dAAtfA( )A t输出端随机过程的统计平均值输出端随机过程的统计平均值 由于 所以 为非线性系统输入端随机过程包络的一维概率分布。密度函数第第6 6章章 随机信号通过非线性系统随机信号通过非线性系统 00HIIE I 2222000E IE I2200tAttE IfAfA dA 输出端随机过程的方差输出端随机过程的方差因此其(或低频分量)方差应是输出端随机过程低频的起伏分量是其中第第6 6章章 随机信号通过非线性系统随机信号通过非线性系统二、窄带正态随机

22、过程通过线性平方律检波器二、窄带正态随机过程通过线性平方律检波器问题描述：问题描述：xcostttA平方律检波器的特性为，作用在检波器，在线输入端的窄带正态随机过程在t时刻的状态为 性检波器输出端得0( )00bxxyf xx cosy()220tttttbAf x 其它求输出信号的均值和方差第第6 6章章 随机信号通过非线性系统随机信号通过非线性系统H000ytttIIEfAEfA0I001costttIfAd20021coscos2tttttttAIbAdbAd tbA 000tttAttE IEfAfA fA dA由于检波以后，我们关心的只是随机过程的低频起伏分量式中 为检波器输出端的低频分量，因此第第6 6章章 随机信号通过非线性系统随机信号通过非线性系统22220ttAtAttAfAeA 222020tAtttbAAE IedA2222202tAttAbbedA2b 窄带正态噪声包络的一维概率密度为于是可得第第6 6章章 随机信号通过非线性系统随机信号通过非线性系统 22