(完整版)统计与概率一轮复习导学案3-样本估计总体2导学案及答案

1、友好三中高三数学一轮复习（文科）设计：苑长厚审核：苑长厚时间：2019/11/9第12周统计与概率3用样本估计总体（2）一、考纲解读1了解频率分布直方图的意义和作用，能根据频率分布表画频率分布直方图、频率折线图、茎叶 图，并体会它们各自的特点.2理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差；能从样本数据中提取基本的数字特征，并 作出合理的解释.3会用样本的频率分布估计总体分布，用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征.4会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决实际问题.二、学习重难点重点：用样本的频率分布估计总体分布难点：用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征三、考向预测从近三

2、年高考情况来看，本讲是高考中的一个热点预测2020年将会考查用样本估计总体，主要体现在利用频率分布直方图或茎叶图估计总体，利用样本数字特征估计总体题型以客观题呈现， 试题难度不大，属中、低档题型频率分布直方图与茎叶图也可能出现于解答题中，与概率等知识综 合命题.四、重要知识梳理1样本的数字特征（1）众数、中位数、平均数数字特征定义与求法优点与缺点众数一组数据中重复出现次数最多的数众数体现了样本数据的最大集中点，不受极端值的影响.但显然它对其他数据信息的忽视使 得无法客观地反映总体特征中位数把一组数据按从小到大的顺序 排列，处在中间位置的一个数 据（或两个数据的平均数）中位数等分样本数据所占频率

3、，它不受少数几个极端值的影响，这在某些情况下是优点， 但 它对极端值的不敏感有时也会成为缺点平均数如果有n个数据X1, X2,Xn,那么这n个数的平均数7 =X1+ X2+ + Xnn平均数与每一个样本数据有关， 可以反映出更 多的关于样本数据全体的信息，但平均数受数 据中的极端值的影响较大， 使平均数在估计总 体时可靠性降低（2）标准差、方差 标准差：样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表示，s= . X1 X 2 + X2 x 2+ + Xn x 勺t4 方差：标准差的平方s2= 1【(X1x)2 +(X2x)2+(XnX)2，其中Xi(i = 1,2,3,，n)是样本数据,n是样本容

4、量,Y是样本平均数. 方差与标准差相比，都是衡量样本数据离散程度的统计量，但方差因为对标准差进行了平方运算，夸大了样本的偏差程度.(3)平均数、方差公式的推广若数据X1,X2,，xn的平均数为x，方差为s2,则数据mx a, mx2+ a,，mxn+a的平均数为m x + a,方差为m2s2.五、典例讲解 题型一、与频率分布直方图交汇命题w立方米的部分按410 000位居民，获得例3(2016北京高考)某市居民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量中不超过元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费.从该市随机调查了了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图.(1) 如果w为整数，

5、那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，w至少定为多少？(2) 假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替.当w = 3时，估计该市居民该月的人均水费.解(1)由用水量的频率分布直方图，知该市居民该月用水量在区间0.5,1 , (1,1.5, (1.5,2,(2,2.5 , (2.5,3内的频率依次为 0.1,0.15,0.2,0.25,0.15.所以该月用水量不超过3立方米的居民占85%，用水量不超过2立方米的居民占45%.依题意，w至少定为3.(2)由用水量的频率分布直方图及题意，得居民该月用水费用的数据分组与频率分布表如下：组号12345678分组2,4(4

6、,6(6,8(8,10(10,12(12,17(17,22(22,27频率0.10.150.20.250.150.050.050.05根据题意，该市居民该月的人均水费估计为4X 0.1 + 6X 0.15+ 8X 0.2+ 10 X 0.25+ 12X 0.15+ 17X 0.05+ 22X 0.05+ 27X 0.05= 10.5(元).-3 -设计：苑长厚审核：苑长厚时间：2019/11/9友好三中高三数学一轮复习(文科) 题型二、与茎叶图交汇命题例4 (1)如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位:分)，已知甲组数据的中位数为17,乙组数据的平均数为17

7、.4,则x, y的值分别为()甲组乙组9099 y 6166 x629A.7,8 B. 5,7C. 8,5D. 7,7(2)将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91.现场作的9个分数的茎叶图后来有 1个数据模糊，无法辨认，在图中以x表示：89则7个剩余分数的方差为0x9解析(1)甲组数据的中位数为17,故y=乙乙组数据的平均数为3X 10+ 20+ 9 + 6+ 6+ x + 9 _5=17.4,解得x = 7.(2)由图可知去掉的两个数是87,99，所以 87 + 90X 2+ 91 X 2+ 94 + 90 + x= 91 X 7,解得 x= 4.S2=

8、7(87 - 91)2+ (90 - 91)2X2+ (91 - 91)2X2+ (94- 91)2X2=孚答案(1)D (2)7题型三、与优化决策问题交汇例5甲、乙、丙、丁四人参加某运动会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差如下表所示:甲乙丙丁平均环数x8.38.88.88.7方差S23.53.62.25.4从这四个人中选择一人参加该运动会射击项目比赛，最佳人选是()A .甲B .乙C .丙D .丁解析由题目表格中数据可知，丙平均环数最高，且方差最小，说明成绩好，且技术稳定，选C.答案C六、达标训练1如图是某学校举行的运动会上七位评委为某体操项目打出的分数的茎叶统计图,去掉一个最高分和-5

9、-友好三中高三数学一轮复习（文科）设计：苑长厚审核：苑长厚时间：2019/11/9一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为A. 84,4.84B.84,1.6C. 85,1.685,4解析：选C 依题意，所剩数据的平均数是180+ =X (4X 3+ 6 + 7) = 85，所剩数据的方差是5X 3 (84 - 85)2+ (86 - 85)2 + (87 85)2 = 1.6.2为比较甲、乙两地某月14时的气温情况，随机选取该月中的 5天,将这5天中14时的气温数据位：C ）制成如图所示的茎叶图考虑以下结论:甲地该月甲地该月14时的平均气温；甲198628 914时的平均气温；1 1301

10、 Z14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的气温的标准差;甲地该月14时的气温的标准差小于乙地该月甲地该月14时的气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差.-9 -其中根据茎叶图能得到的统计结论的编号为（A .B .C .D .解析：选 Bx 心 26+ 28+ 29+ 31 + 31 = 29,X乙=28+ 29 + 严 31 + 32 = 30,又$甲 =18 215"，品=4+ 1 + 0 + 1+ 45=2, s甲s 乙.故可判断结论正确.3从甲、乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机，对其销售额进行统计，统计数据用茎叶图表示（如图所示）设甲、乙两

11、组数据的平均数分别为x甲、x乙，中位数分别为 m甲、m乙，则（）A. x甲 x乙,m甲m乙B. x甲 x乙,m甲m乙1'乙8 6 50 百日10 010 2 8C. x甲 x乙,m甲m乙D. x甲x乙,m甲m乙7 5 220 2 3 3 ?8 0 03 t3412 4 4 82 3 4解析：选B 由茎叶图知 m甲=22+ 18= 20, m乙=27+ 31 = 29,二m甲v m乙;x乙=x 甲=；6(41 + 43 + 30 + 30+ 38 + 22+ 25 + 27+ 10+ 10+ 14+ 18+ 18+ 5 + 6 + 8)=囂,+ 43+ 48+ 31+ 32 + 34+

12、34 + 38+ 20+ 22 + 23+ 23+ 27+ 10 + 12+ 18) =164.甲、乙两名射击运动员参加某大型运动会的预选赛，他们分别射击了5次，成绩如下表(单位：环)：甲108999乙1010799如果甲、乙两人中只有 1人入选，则入选的最佳人选应是 . 一 1 2解析：x 甲=x 乙= 9,矗= X (9 10)求直方图中a的值； 设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由;+ (9 8)2 + (9 9)2+ (9 9)2 + (9 9)2=55虽=1 X (9 10)2+ (9 10)2+ (9 7)2+ (9 9)2+ (9 9)2 =

13、6>s甲，故甲更稳定.55答案：甲甲:£5 a 0 fi 27S961 1 y1 I 65某中学高三从甲、乙两个班中各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩(满分100分)的茎叶图如图所示，其中甲班学生成绩的众数是85,乙班学生成绩的中位数是83，则x+ y的值为.83,得y= 3.所以x解析：由甲班学生成绩的众数是85，知x= 5，由乙班学生成绩的中位数是+ y= 8.答案：86我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x(吨)，一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费为了了

14、解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照0,0.5) , 0.5,1),，4,4.5分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.(3) 若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准 x(吨)，估计x的值，并说明理由.解：由频率分布直方图可知，月均用水量在0,0.5)中的频率为0.08 >0.5= 0.04同理，在0.5,1),1.5,2) , 2 , 2.5), 3,3.5) , 3.5,4), 4,4.5中的频率分别为 0.08, 0.20, 0.26,0.06,0.04,0.02.由 0.04+ 0.08+ 0.5X a + 0.2

15、0+ 0.26+ 0.5 > a+ 0.06 + 0.04+ 0.02 = 1,解得 a = 0.30.(2) 由(1)知100位居民每人的月均用水量不低于3吨的频率为0.06 + 0.04+ 0.02 = 0.12.由以上样本的频率分布，可以估计全市30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300 000> 0.12= 36 000.(3) 因为前6组的频率之和为 0.04 + 0.08 + 0.15+ 0.20 + 0.26+ 0.15 = 0.88> 0.85，而前 5组的频率之和为 0.04 + 0.08+ 0.15+ 0.20 + 0.26= 0.73V 0.85，所

16、以 2.5< xv 3.由 0.30 > (x 2.5) = 0.85- 0.73, 解得x= 2.9.所以，估计月用水量标准为2.9吨时，85%的居民每月的用水量不超过标准.7.从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：质量指标值分组75,85)85,95)95,105)105,115)115,125)频数62638228(1)作出这些数据的频率分布直方图(2) 估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(3) 根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的

17、产品 至少要占全部产品的 80% ”的规定？解：(1)如图所示:(2)质量指标值的样本平均数为x = 80X 0.06+ 90X 0.26+ 100X 0.38+ 110X 0.22+ 120 X 0.08= 100.质量指标值的样本方差为s2= (-20)2X 0.06 + (- 10)2X 0.26+ 0X 0.38+ 102X 0.22+ 202X 0.08 = 104.所以这种产品质量指标值的平均数的估计值为100,方差的估计值为104.(3)质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为0. 38+ 0.22+ 0.08= 0.68.由于该估计值小于 0.8，故不能认为该企业生产的这种产品符合"质量指标值不低于 95的产品至少要占全部产品的80% ”的规定.七、课堂小结1、频率分布直方图与众数、中位数、平均数的关系(1)最高的小长方形底边中点的横坐标为众数；(2)中位数左边和右边