第一节参数估计第二节假设检验第三节假设检验中的两个问

1、 第四章第四章 统计推断统计推断第一节第一节 参数估计参数估计 第二节第二节 假设检验假设检验第三第三节节 假设检验中的两个问题假设检验中的两个问题 本章小节本章小节主要内容主要内容 第四章第四章 统计推断统计推断第一节第一节 参数估计参数估计 一、一、 点估计点估计 设总体设总体 的分布函数的形式已知，但它含有一个或多的分布函数的形式已知，但它含有一个或多个未知参数，借助于总体的一个样本来估计总体未知个未知参数，借助于总体的一个样本来估计总体未知参数的值的问题称为参数的点估计问题。参数的值的问题称为参数的点估计问题。 常用的构造估计量的方法：矩估计法和最大似然估计常用的构造估计量的方法：矩估

2、计法和最大似然估计法。法。 X 第四章第四章 统计推断统计推断（一）矩估计法（一）矩估计法 英国统计学家英国统计学家K. PearsonK. Pearson提出的矩估计法，其主要思提出的矩估计法，其主要思想是：以样本矩作为相应的总体矩的估计，以样本矩想是：以样本矩作为相应的总体矩的估计，以样本矩的函数作为相应的总体矩的函数的估计。的函数作为相应的总体矩的函数的估计。 这里，这里， 表示总体的矩，它是总体分布参数的函数，表示总体的矩，它是总体分布参数的函数，而而 是样本的函数。由上述是样本的函数。由上述 个方程组成的方个方程组成的方程组，可以解出总体分布中的程组，可以解出总体分布中的 个未知参数

3、。个未知参数。klAll, 2 , 1,llAkk 第四章第四章 统计推断统计推断 例例1 1 设总体的均值及方差设总体的均值及方差 （不为零）都存在，且（不为零）都存在，且均未知。均未知。 又设又设 是来自总体是来自总体 的一个样本，试求的一个样本，试求 的矩估计量。的矩估计量。 解解 由由 ，得，得 再以再以 代替代替 ，即得，即得 的矩估计量分别为的矩估计量分别为 2,nXXX,21X2,22221)()(XEXE2122121, AA21,2,niiXXnX122)(1, 第四章第四章 统计推断统计推断（二）最大似然估计法（二）最大似然估计法 由由R. A. FisherR. A. F

4、isher引进的最大似然估计法，无论从理论引进的最大似然估计法，无论从理论上还是从应用上，至今仍然是一种重要且普遍适用的上还是从应用上，至今仍然是一种重要且普遍适用的方法。方法。 估计过程：估计过程： 由所谓的似然函数（它是参数和样本的函数）由所谓的似然函数（它是参数和样本的函数） niinxfxxxLL121),(),()( 第四章第四章 统计推断统计推断 若若 则称则称 为参数为参数 的最大似然估计值，的最大似然估计值， 为为 的似然估计量。的似然估计量。 一般情况下，可由方程一般情况下，可由方程 求得。求得。);,(max);,(2121nnxxxLxxxL),(21nxxx),(21n

5、XXX0lndd 第四章第四章 统计推断统计推断例例2 2 设设 ， 为未知参数，为未知参数， 是来自是来自此总体的一个样本的观测值，试求这两个未知参数的最大似然估此总体的一个样本的观测值，试求这两个未知参数的最大似然估计量。计量。 解解 容易得到样本的对数似然函数容易得到样本的对数似然函数 求此二元函数的最大值，得到两参数的最大似然估计值分别为求此二元函数的最大值，得到两参数的最大似然估计值分别为 即两参数的最大似然估计量分别为即两参数的最大似然估计量分别为),(2NX2,nxxx,21niixnL1222)(21)ln)2(ln(2lnniiniixxnxxn1221)(1;1212)(1

6、;niiXXnX 第四章第四章 统计推断统计推断二、估计量的评选标准二、估计量的评选标准 ( (一一) ) 无偏性无偏性 设设 为参数为参数 的点估计量，若的点估计量，若 则称则称 为参数为参数 的无偏估计量。的无偏估计量。)(E 第四章第四章 统计推断统计推断( (二二) ) 有效性有效性 设设 和和 是是 的无偏估计量，若对于的无偏估计量，若对于 的的变化范围内的任意一个值，都有变化范围内的任意一个值，都有 且至少有一个且至少有一个 使得不等号成立，则称使得不等号成立，则称 较较 有效。有效。12)()(21DD12 第四章第四章 统计推断统计推断( (三三) ) 相合性相合性 无偏性与有

7、效性都是基于样本容量无偏性与有效性都是基于样本容量n n固定的前提下提出固定的前提下提出的，我们希望随着样本容量的增大，一个估计量的值的，我们希望随着样本容量的增大，一个估计量的值趋向于待估参数的真值。趋向于待估参数的真值。 设设 为参数为参数 的一个估计量，若对于其变化范围的一个估计量，若对于其变化范围内的任意一个内的任意一个 ，当，当 时，时， 依概率收敛依概率收敛于于 ，则称，则称 为为 的相合估计量。的相合估计量。n 第四章第四章 统计推断统计推断三、三、 区间估计区间估计 定义定义 设总体设总体 的分布函数的分布函数 中含有未知参数中含有未知参数 对于给定的对于给定的 ，有两个样本统

8、计，有两个样本统计量量 ，使得，使得 则称随机区间则称随机区间 是是 的置信度为的置信度为 的置信区间，的置信区间， 分别称为置信度为分别称为置信度为 的双侧置信区间的置信下限和的双侧置信区间的置信下限和置信上限。置信上限。 X),(xF,101P),(1,1 第四章第四章 统计推断统计推断三、三、 区间估计区间估计 第四章第四章 统计推断统计推断例例 题题 第四章第四章 统计推断统计推断例例 题题 第四章第四章 统计推断统计推断确定未知参数置信区间的一般步骤确定未知参数置信区间的一般步骤（1 1）构造一个样本的函数构造一个样本的函数它包含待估未知参数，而不它包含待估未知参数，而不含其它未知参

9、数，并且含其它未知参数，并且的分布已知且不依赖于任何的分布已知且不依赖于任何未知参数；未知参数；（2 2）对于给定的置信度）对于给定的置信度 ，定出两个常数，定出两个常数a a，b b，使得，使得 （3 3）若能由上式得到等价的不等式）若能由上式得到等价的不等式 ， 其中，其中， 都是统计量，那么都是统计量，那么 就是就是 的一个置信度的一个置信度为为 的置信区间的置信区间 11bWaP,),(1 第四章第四章 统计推断统计推断正态总体参数的置信区间正态总体参数的置信区间 1. 1. 单个正态总体单个正态总体 的情况的情况 （1 1） 的置信区间的置信区间 已知时，已知时， 未知时，未知时，

10、（2 2）方差方差 的置信区间（仅以的置信区间（仅以 未知为例）未知为例）),(2N2),(2/2/znXznX2)1(),1(2/2/ntnSXntnSX2)1()1(,)1()1(22/1222/2nSnnSn 第四章第四章 统计推断统计推断例例3 3 现从某天生产的洗衣粉中随机地取现从某天生产的洗衣粉中随机地取1616袋，称得重量（以克计）如下袋，称得重量（以克计）如下表所示。表所示。 设洗衣粉的重量近似地服从正态分布，试求总体均值的置信度为设洗衣粉的重量近似地服从正态分布，试求总体均值的置信度为0.950.95的置的置信区间信区间 。 解解 这里，总体的方差未知，故总体均值这里，总体的

11、方差未知，故总体均值 的置信区间为：的置信区间为： 而，经过计算得，而，经过计算得， 又查表得，又查表得， 故所求的置信区间为（故所求的置信区间为（500.4, 507.1500.4, 507.1）。）。506508499503504510497512514505493496506502509496)1(),1(2/2/ntnSXntnSX,2022. 6,75.503sx1315. 215)(025. 0t 第四章第四章 统计推断统计推断2 2两个正态总体的情况两个正态总体的情况 实际中存在这样的问题：已知产品的某一指标服从正实际中存在这样的问题：已知产品的某一指标服从正态分布，但由于原料、

12、设备条件、操作人员不同，或态分布，但由于原料、设备条件、操作人员不同，或工艺过程的改变等因素的影响，而引起总体均值、方工艺过程的改变等因素的影响，而引起总体均值、方差的改变。差的改变。 我们要考察这些变化的大小，这就涉及我们要考察这些变化的大小，这就涉及两个正态总体均值差或方差比的估计问题。两个正态总体均值差或方差比的估计问题。 设有两个正态总体设有两个正态总体 ，样，样本均值和方差分别为本均值和方差分别为),(),(222211NN2221,SSYX 第四章第四章 统计推断统计推断（1 1）两个总体均值差的置信区间）两个总体均值差的置信区间 均已知，均已知， 的置信区间的置信区间 未知但相等

13、，未知但相等， 的置信区间的置信区间21,),(2221212/2221212/nnzYXnnzYX21,2121)11) 2(,11) 2(21212/21212/nnSnntYXnnSnntYXww 第四章第四章 统计推断统计推断例例4 4 为提高某一化学生产过程的得率，拟采用一种新的催化剂。为提高某一化学生产过程的得率，拟采用一种新的催化剂。 为此，先为此，先进行试验。进行试验。 设采用原来的催化剂进行了设采用原来的催化剂进行了 次试验，得到得率的平均次试验，得到得率的平均值和样本方差分别为值和样本方差分别为 ；又采用新的催化剂进行了；又采用新的催化剂进行了 次试验，得到得率的均值和样本

14、方差分别为次试验，得到得率的均值和样本方差分别为 。 假设假设两总体都服从正态分布，方差相等，两样本独立。两总体都服从正态分布，方差相等，两样本独立。 试求两总体均值差试求两总体均值差 的置信度为的置信度为0.950.95的置信区间。的置信区间。 解解 由题意，可得由题意，可得 ，则，则 的置的置信度为信度为0.950.95的置信区间为的置信区间为 即（即（-4.15,0.11-4.15,0.11）81n82n89. 373.9121,sx02. 4,2275.93sy2196. 3ws21)14(,)(8181818114025. 0025. 0wwstyxstyx 第四章第四章 统计推断统

15、计推断（2 2）两个总体方差比的置信区间）两个总体方差比的置信区间 这里仅讨论这里仅讨论 未知的情形未知的情形 对于给定的置信度对于给定的置信度 ， 的置信区间为的置信区间为21,) 1, 1(1,) 1, 1(1(212/12221212/2221nnFSSnnFSS12221 第四章第四章 统计推断统计推断四、大样本下总体均值、比率的区间估计四、大样本下总体均值、比率的区间估计 （一）总体均值（一）总体均值 的区间估计的区间估计 这里的大样本，是指样本的容量不小于这里的大样本，是指样本的容量不小于3030 1. 1. 总体方差总体方差 已知时总体均值已知时总体均值 的置信区间的置信区间 2

16、. 2. 总体方差总体方差 未知时总体均值未知时总体均值 的置信区间的置信区间2),(2/2/nzXnzX),(2/2/nSzXnSzX2 第四章第四章 统计推断统计推断 例例5 5 某保险公司有某保险公司有3636个投保人的年龄资料如表表所示个投保人的年龄资料如表表所示所示。所示。 试求投保人平均年龄的置信度为试求投保人平均年龄的置信度为95%95%的置信区间。的置信区间。 233642343934354253284939394645393845274354363438363147444845443324405032 第四章第四章 统计推断统计推断 解解 这里总体的方差未知，但为大样本情形。

17、查标准这里总体的方差未知，但为大样本情形。查标准正态分布表得正态分布表得 ，再由上表数据，再由上表数据，得得 ，由此，可以得到投保人平均年，由此，可以得到投保人平均年龄龄 的置信度为的置信度为95%95%的置信区间为，的置信区间为， 即（即（39.96, 42.0439.96, 42.04） 96. 1025. 0z77. 75 .39, sx),(2/2/nszxnszx 第四章第四章 统计推断统计推断（二）总体比率的区间估计（二）总体比率的区间估计 由样本比率的抽样分布可以知，当样本容量由样本比率的抽样分布可以知，当样本容量 足够大足够大时（一般指不小于时（一般指不小于3030，且且 都大

18、于都大于5 5），）， 样本比率样本比率 的抽样分布近似正态分布。设总体比率的抽样分布近似正态分布。设总体比率为为 ，则有，则有 对于置信度对于置信度 ，P P的置信区间为的置信区间为n)1 (,pnnppP)1 (,(nPPPNp近似1)1 (,)1 (2/2/nppzpnppzp 第四章第四章 统计推断统计推断 例例6 6 某公司要估计某天生产的某型号的全部产品的合某公司要估计某天生产的某型号的全部产品的合格率。格率。 为此随机抽取了为此随机抽取了100100件产品，经检验其中有件产品，经检验其中有9494件为合格品。件为合格品。 对于置信度对于置信度95%95%，试求该天此型号产品，试求

19、该天此型号产品合格率的区间估计。合格率的区间估计。 解解 由题意，易得样本合格率由题意，易得样本合格率 ，从而得全，从而得全部产品合格率置信度为部产品合格率置信度为95%95%的置信区间为的置信区间为 即即 (89.35%, 98.65%)(89.35%, 98.65%)%94p)1 (,)1 (2/2/nppzpnppzp 第四章第四章 统计推断统计推断（三）两个总体均值差的区间估计（三）两个总体均值差的区间估计 对于给定的置信度对于给定的置信度 ， 的置信区的置信区间间 这里，这里， 为来自与两个总体的样本均值；为来自与两个总体的样本均值； 为样本的方差。为样本的方差。121),(2221

20、212/2221212/nSnSzYXnSnSzYXYX,2221,SS 第四章第四章 统计推断统计推断例例7 7 为了评估甲乙两种方法包装某产品所需要的时间，在不同的为了评估甲乙两种方法包装某产品所需要的时间，在不同的方法下独立地抽取两个随机样本，经整理计算得到下列资料。试方法下独立地抽取两个随机样本，经整理计算得到下列资料。试在置信度在置信度95%95%下，给出这两种方法下包装某产品平均时间之差的下，给出这两种方法下包装某产品平均时间之差的置信区间。置信区间。 解解 由公式由公式 得到这两种方法下包装某产品平均时间之差的置信度为得到这两种方法下包装某产品平均时间之差的置信度为 95%95%

21、的置信区间为的置信区间为（3.863.86，10.1410.14）甲方法乙方法1 . 6834111sxn3 . 7763211sxn),(2221212/2221212/nSnSzYXnSnSzYX 第四章第四章 统计推断统计推断第二节第二节 假设检验假设检验 一、一、 参数假设检验参数假设检验 在总体的分布函数已知，但参数未知时，如对总在总体的分布函数已知，但参数未知时，如对总体分布中的未知参数提出假设，则如何利用样本提供体分布中的未知参数提出假设，则如何利用样本提供的信息来检验这个假设，即接受此假设还是拒绝此假的信息来检验这个假设，即接受此假设还是拒绝此假设。设。 这类统计问题我们称之为

22、参数的假设检验问题。这类统计问题我们称之为参数的假设检验问题。参数估计和参数检验是利用样本对总体的统计特性提参数估计和参数检验是利用样本对总体的统计特性提供的信息，建立样本的函数，即估计量或检验统计量，供的信息，建立样本的函数，即估计量或检验统计量，是从不同角度处理总体未知参数的两种统计方法。是从不同角度处理总体未知参数的两种统计方法。 第四章第四章 统计推断统计推断（一）（一） 假设检验的基本思想假设检验的基本思想 设总体为设总体为 ，建立假设，建立假设 这里这里 表示原假设，表示原假设， 表示备择假设。表示备择假设。 假设检验问题，就是要建立一个合理的法则，根据这假设检验问题，就是要建立一

23、个合理的法则，根据这一法则，利用已知样本作出接受原假设（即拒绝备择一法则，利用已知样本作出接受原假设（即拒绝备择假设），还是拒绝原假设（即接受备择假设）的决策。假设），还是拒绝原假设（即接受备择假设）的决策。 ),(2N0100:;:HH0H1H 第四章第四章 统计推断统计推断（二）（二） 判断判断“假设假设”的依据的依据 实际推断原理：概率很小的事件在一次试验中几乎是实际推断原理：概率很小的事件在一次试验中几乎是不会发生的。不会发生的。 如果原假设为真，则由一次抽样计算而得的样本观测如果原假设为真，则由一次抽样计算而得的样本观测值，满足不等式值，满足不等式 此事件几乎是不会发生的。此事件几乎

24、是不会发生的。 现在在一次观测中竟然出现在在一次观测中竟然出现了满足上述不等式的样本均值，则我们有理由怀疑现了满足上述不等式的样本均值，则我们有理由怀疑原来的假设的正确性，因而拒绝原假设。原来的假设的正确性，因而拒绝原假设。 若出现的观若出现的观测值不满足上述不等式，此时没有足够的理由拒绝，测值不满足上述不等式，此时没有足够的理由拒绝，因此只能接受原假设。因此只能接受原假设。 2/0/znx 第四章第四章 统计推断统计推断（三）（三） 两类错误两类错误 在使用任何一个检验法在使用任何一个检验法( (相当于确定一个拒绝域相当于确定一个拒绝域) )时时, , 由于抽样的随机性由于抽样的随机性, ,

25、 作出的判断总可能会犯两类错误：作出的判断总可能会犯两类错误：一是假设实际上为真时一是假设实际上为真时, , 我们却作出拒绝的错误决策我们却作出拒绝的错误决策, , 称这类称这类“弃真弃真”的错误为第一类错误；的错误为第一类错误； 二是当实际上不真时二是当实际上不真时, , 我们却接受了我们却接受了, , 称这类称这类“取伪取伪”的错误为第二类错误。我们这里讨论的检验问题中的的错误为第二类错误。我们这里讨论的检验问题中的显著性水平控制了犯第一类错误的概率。显著性水平控制了犯第一类错误的概率。 这种只对这种只对犯第一类错误的概率加以控制犯第一类错误的概率加以控制, , 而不考虑犯第二类错而不考虑

26、犯第二类错误的检验问题误的检验问题, , 称为显著性检验问题。称为显著性检验问题。 第四章第四章 统计推断统计推断参数假设检验问题的步骤：参数假设检验问题的步骤： 第一步：根据实际问题的要求第一步：根据实际问题的要求, ,提出原假设和备择假设；提出原假设和备择假设； 第二步：第二步： 给定显著性水平以及样本容量；给定显著性水平以及样本容量； 第三步：确定检验统计量及其分布，并由原假设的内第三步：确定检验统计量及其分布，并由原假设的内容确定拒绝域的形式（构建统计量）；容确定拒绝域的形式（构建统计量）； 第四步：第四步： 由由 拒绝拒绝 | | 为真为真 求出拒绝域；求出拒绝域； 第五步；根据样本

27、观测值计算检验统计量的具体值；第五步；根据样本观测值计算检验统计量的具体值； 第六步；作出拒绝还是接受原假设的统计判断。第六步；作出拒绝还是接受原假设的统计判断。 P0H0H 第四章第四章 统计推断统计推断（四）单个总体参数的假设检验（四）单个总体参数的假设检验 1 1单个正态总体单个正态总体 下参数下参数 的假设检验的假设检验 （1 1） 单个正态总体均值的检验单个正态总体均值的检验 已知，关于已知，关于 的检验（的检验（Z Z检验）检验） 检验统计量：检验统计量： 可以根据假设检验的不同类型，确定检验问题的拒绝可以根据假设检验的不同类型，确定检验问题的拒绝域。域。),(2N2nXZ/0 第

28、四章第四章 统计推断统计推断 例例8 8 某厂生产某种型号的内胎，从长期的生产经验知某厂生产某种型号的内胎，从长期的生产经验知道其扯断强力服从均值道其扯断强力服从均值 =1380=1380（N/N/），标准差），标准差 = =5050（N/N/）的正态分布。）的正态分布。 该厂为提高产品的质量，改该厂为提高产品的质量，改变了原来的配方进行现场生产试验。设新配方生产的变了原来的配方进行现场生产试验。设新配方生产的内胎其扯断强力仍服从正态分布。由于在试验中除配内胎其扯断强力仍服从正态分布。由于在试验中除配方外，其他条件都保持不变，因此可以认为新配方未方外，其他条件都保持不变，因此可以认为新配方未改

29、变此型号内胎扯断强力的方差。改变此型号内胎扯断强力的方差。 采用新配方的采用新配方的5 5 次次试验，测得内胎扯断强力为（单位：试验，测得内胎扯断强力为（单位：N/N/）：）：14501450，1 1460460，13601360，14301430，14201420，试问采用新配方，是否能提，试问采用新配方，是否能提高内胎的扯断强力？高内胎的扯断强力？0 第四章第四章 统计推断统计推断解解 对这个假设检验问题，需要检验假设对这个假设检验问题，需要检验假设 形如形如这样的这样的假设检验，称为右边检验（类似也有左边检验）。假设检验，称为右边检验（类似也有左边检验）。 此检验问题的拒绝域的形式为此检

30、验问题的拒绝域的形式为 查表得查表得 ，而经计算得，而经计算得， ，从而有，从而有 ， 即即 ，据此，拒绝原假设。，据此，拒绝原假设。0100:;:HHznxz/0645. 105. 0z1424x97. 1zzz 第四章第四章 统计推断统计推断 未知，关于未知，关于 的检验（的检验（t t检验）检验） 检验统计量：检验统计量： 可以根据假设检验的不同类型，确定此检验问题的拒可以根据假设检验的不同类型，确定此检验问题的拒绝域绝域2nSXt/0 第四章第四章 统计推断统计推断例例8 8 某种元件，按照标准其使用寿命不低于某种元件，按照标准其使用寿命不低于10001000（小时），现从生产（小时）

31、，现从生产出的一批元件中随机抽取出的一批元件中随机抽取2525件，测得其平均寿命为件，测得其平均寿命为950950（小时），样本（小时），样本标准差为标准差为100100（小时）。（小时）。 假设该种元件寿命服从正态分布，对于置信假设该种元件寿命服从正态分布，对于置信度度95%,95%,试问这批元件是否可以认为合格？试问这批元件是否可以认为合格？ 解解 此问题即要检验此问题即要检验 拒绝域的形式为拒绝域的形式为 而由已知可得，而由已知可得， , , 又又 ，即，即 。故拒绝原假设，。故拒绝原假设，认为这批元件不合格。认为这批元件不合格。0100:;1000:HH) 1(/0ntnsxt1009

32、50, sx7109. 124)() 1(05. 0tnt5 . 2t) 1( ntt 第四章第四章 统计推断统计推断（2）单个正态总体单个正态总体 的方差检验的方差检验 设设 未知，建立假设未知，建立假设 ： ； ： 检验统计量：检验统计量： 拒绝域：拒绝域： 或或),(2N2022020H1H202) 1(Sn) 1() 1(22/202nsn) 1() 1(22/1202nsn 第四章第四章 统计推断统计推断2 2非正态总体参数的假设检验非正态总体参数的假设检验 这里讨论的是在大样本（样本容量）情形下总体均值这里讨论的是在大样本（样本容量）情形下总体均值和总体比率的假设检验。和总体比率的

33、假设检验。 总体均值总体均值 和总体比率和总体比率 的假设检验的假设检验 这里利用中心极限定理，在样本容量充分大时，样本这里利用中心极限定理，在样本容量充分大时，样本均值近似服从正态分布，从而可以构造相应的检验统均值近似服从正态分布，从而可以构造相应的检验统计量和确定出检验问题的拒绝域。计量和确定出检验问题的拒绝域。 对于总体比率的检验，在样本容量充分大时，样本比对于总体比率的检验，在样本容量充分大时，样本比率近似服从正态分布，也可以类似构造检验统计量及率近似服从正态分布，也可以类似构造检验统计量及确定出拒绝域。确定出拒绝域。P 第四章第四章 统计推断统计推断（五）两个正态总体下参数的假设检验

34、（五）两个正态总体下参数的假设检验 1. 1. 有关平均值的假设检验有关平均值的假设检验 设设 分别表示来自两个具有相同方差的正态分别表示来自两个具有相同方差的正态总体的样本均值，则对于两个总体均值的假设检验问总体的样本均值，则对于两个总体均值的假设检验问题，可以通过构造检验统计量题，可以通过构造检验统计量 来确定拒绝域的形式。来确定拒绝域的形式。YX,)2(112121nntnnSYXw 第四章第四章 统计推断统计推断 第四章第四章 统计推断统计推断2. 2. 方差的假设检验方差的假设检验 设设 分别表示来自两个具有不同方差的正态总分别表示来自两个具有不同方差的正态总体的样本方差，则对于两个

35、总体方差的假设检验问题，体的样本方差，则对于两个总体方差的假设检验问题，可以通过构造检验统计量（在原假设可以通过构造检验统计量（在原假设 为真的情形下）为真的情形下） 根据备择假设的不同类型可以确定出检验问题的拒绝根据备择假设的不同类型可以确定出检验问题的拒绝域。域。2221,SS) 1, 1(/212221nnFSS22210:H 第四章第四章 统计推断统计推断 第四章第四章 统计推断统计推断 第四章第四章 统计推断统计推断 第四章第四章 统计推断统计推断二、二、 非参数假设检验非参数假设检验 前一节所讨论的假设检验问题，只是对服从正态分布前一节所讨论的假设检验问题，只是对服从正态分布的总体

36、中的某些未知参数进行假设检验。的总体中的某些未知参数进行假设检验。 但在实际问但在实际问题中，总体的分布函数的形式往往未知；或者知道的题中，总体的分布函数的形式往往未知；或者知道的很少，甚至只知道是离散型或连续型。很少，甚至只知道是离散型或连续型。 本节讨论总体本节讨论总体分布函数的拟合问题分布函数的拟合问题, , 即研究检验总体分布函数的非即研究检验总体分布函数的非参数假设检验问题。参数假设检验问题。 第四章第四章 统计推断统计推断（一）符号检验法（一）符号检验法 这里只介绍检验两个总体分布函数是否相同的符号检这里只介绍检验两个总体分布函数是否相同的符号检验法验法 设有两个总体设有两个总体

37、，要检验假设，要检验假设 设有来自两个总体的样本设有来自两个总体的样本 将它们所对应的样本观察值进行比较，可以得到对应将它们所对应的样本观察值进行比较，可以得到对应值差的符号，以值差的符号，以 记正、负号的个数，则它们为记正、负号的个数，则它们为随机变量。构造检验统计量随机变量。构造检验统计量 就可以确定出检验问题的拒绝域。就可以确定出检验问题的拒绝域。)(),(xGxF)()(:0 xGxFHnnYYYXXX,;,2121nn ,),min(nnS 第四章第四章 统计推断统计推断例例9 9 甲、乙两分析人员分析同一物体中的某成分含量，测得数据甲、乙两分析人员分析同一物体中的某成分含量，测得数

38、据如下表（单位：如下表（单位：% %）。）。 问两人的分析结果有无显著差异问两人的分析结果有无显著差异 （对于显（对于显著性水平著性水平0.1)0.1)甲14.914.815.114.815.514.614.814.815.114.5乙14.314.915.214.715.214.714.714.615.214.5符号+0甲15.014.914.715.015.114.915.214.715.415.3乙14.914.714.815.314.914.614.814.915.215.0符号+ 第四章第四章 统计推断统计推断 解解：由上表，可以得到数据间比较的符号，若对比的由上表，可以得到数据间比

39、较的符号，若对比的数据相等，符号以数据相等，符号以0 0表示，结果见上表。表示，结果见上表。 再根据数据计算得再根据数据计算得 =12=12， =7=7，所以，所以 =19=19，且，且 =7=7。由显著性水平。由显著性水平 =0.10=0.10及及 =19=19，由附表查得，由附表查得 。 因因 =75=75，于，于是接受原假设是接受原假设 ，即认为两人的分析结果无显著差异。，即认为两人的分析结果无显著差异。 由上面的分析可以看到，符号检验法简单、直观，且无由上面的分析可以看到，符号检验法简单、直观，且无须知道被检验量的分布形式，但其精度较差，而且要须知道被检验量的分布形式，但其精度较差，而

40、且要求数据成对出现。求数据成对出现。nnnnm),min(nnsm51 . 0,19, ssms0H 第四章第四章 统计推断统计推断（二）（二） 秩和检验法秩和检验法 设从总体设从总体 中分别抽取容量为中分别抽取容量为 的独立样本。的独立样本。要检要检验假设验假设 为讨论方便，不妨设为讨论方便，不妨设 。 把两个样本的观测数据合在一起按把两个样本的观测数据合在一起按从小到大的次序排列，定义每个数据在排列中所对应的序号为该从小到大的次序排列，定义每个数据在排列中所对应的序号为该数的秩，对于相同的数据则利用他们序数的平均值来做秩。将容数的秩，对于相同的数据则利用他们序数的平均值来做秩。将容量较少的

41、样本的各观测值的秩之和记为量较少的样本的各观测值的秩之和记为 ，以，以 作为检验统计量。作为检验统计量。然后确定出相应的拒绝域。然后确定出相应的拒绝域。 )(),(xGxF21,nn)()(:0 xGxFH21nn TT 第四章第四章 统计推断统计推断 例例1010 某厂用两种材料制造灯泡，现有分别随机抽取某厂用两种材料制造灯泡，现有分别随机抽取若干个进行寿命试验的数据如下：若干个进行寿命试验的数据如下： 问两种材料对灯泡寿命的影响有无显著的差问两种材料对灯泡寿命的影响有无显著的差 异（取异（取 =0.20=0.20）。）。 甲甲15981598169816981680168016501650

42、174017401790179017201720 乙乙1698169816401640157615761640164015901590 第四章第四章 统计推断统计推断解：解：将全部数据按从小到大的次序排列，结果如下表所示将全部数据按从小到大的次序排列，结果如下表所示 。 将数据少的乙组的数据个数用将数据少的乙组的数据个数用 表示，另一组用表示，另一组用 表示。表示。 由此算得由此算得 ，即，即 =1+2+4+5+8.5=20.5=1+2+4+5+8.5=20.5 因因 =5=5， =7=7， =0.20, =0.20, 由附表查得由附表查得 =22=22， = 43= 43。 由于由于 ，故认为两种材料对灯泡寿命的影响有显著差异。，故认为两种材料对灯泡寿命的影响有显著差异。 秩秩1 12 23 34 45 56 67 78.58.5101011111212甲甲15981598165016501680168016981698172017201740174017901790乙乙15761576159015901640164016401640169816981n2nTT1n2n1T2T1TT 第四章第四章 统计推断统计推断（三）（三） 拟合优度检验法拟合优度检验法 实际上，有时连总体服从什么类型的分布都不知道，实际上，有时连总体服从什么类型的分布