第三节函数的连续性

1、二、二、 函数的间断点函数的间断点 一、连续函数的概念一、连续函数的概念 第三节 函数的连续性 第一章 四、闭区间上连续函数的性质四、闭区间上连续函数的性质 三、初等函数的连续性三、初等函数的连续性一、一、 函数连续的概念函数连续的概念定义定义1.12uuu设函数y =f (x)在点x0的某一邻域内有定义，当自变量从x0变到x，则称为自变量x的增量， x=xx0对应地，称1. 增量增量 设变量u从初值u1变到终值u2,则称u2u1为变量u的增量，记作y= f (x0 +x)f (x0)为函数y =f (x)的增量. )(xfy xoy0 xxxy0lim0yx那么就称函数y =f (x)在点x

2、0处连续.精确表达为精确表达为,0,0当xxx0时, 有yxfxf)()(0如果当自变量的增量趋于零时，对应的函数增量也趋于零，即2. 函数在一点连续的定义函数在一点连续的定义定义定义2设函数f (x)在点x0的某邻域内有定义 , 定义定义3设函数y = f (x)在x0的某邻域内有定义 , 且, )()(lim00 xfxfxx则称函数 f (x)在x0点连续.(2) 极限)(lim0 xfxx(3). )()(lim00 xfxfxx可见,函数 f (x)在x0点连续. 连续必须具备下列条件:存在 ;(1) f (x)在点x0有定义 ,即f (x0）存在；.,0,00 xxxxxx有时当设

3、)()(limlim000 xfxfyxxx由于).()(lim,0lim,000 xfxfyxxx有时当因此例例68 讨论函数 y=sinx在点x=0处的连续性.解法一解法一 因为因为xxysin0sin)0sin(, 0sinlimlim00 xyxx)0(0sinlim)(lim00fxxfxx所以所以函数 y=sinx在点x=0处是连续的.解法二解法二 因为因为所以所以函数 y=sinx在点x=0处是连续的.例例69 讨论函数解法一解法一 因为因为,)( ,02为无穷小量时且当xx, 0lim0yx故),0(01sinlim)(lim200fxxxfxx所以所以函数在点x=0处连续.解

4、法二解法二 因为因为所以所以函数在点x=0处连续.0,00,1sin)(2xxxxxf在点x=0处的连续性., 11sin,1sin)(2xxxy例例70 讨论函数解解 因为因为, 0lim)(lim00 xxfxx所以所以函数在点x=0处连续.又因为又因为xxf)(在点x=0处的连续性., 0)0(f, 0)(lim)(lim00 xxfxx由极限存在的充分必要条件，得由极限存在的充分必要条件，得, 0)(lim)(lim)(lim000 xfxfxfxxx),0()(lim0fxfx故由极限存在的充分必要条件，得由极限存在的充分必要条件，得定义定义4 如果如果)()(lim00 xfxfx

5、x. )()(lim)(lim000 xfxfxfxxxx, )()(lim00 xfxfxx由此，可得函数在某点处左连续和右连续的定义.成立的充分必要条件是则称函数f (x)在点x0处左连续；如果如果, )()(lim00 xfxfxx则称函数f (x)在点x0处右连续. )()(lim)(lim000 xfxfxfxxxx例71 讨论函数定理1 函数y =f (x)在点x0处连续的充分必要条件是：函数f (x)在点x0处既是左连续又是右连续，即.00,20,2)(处的连续性在 xxxxxxfyxyo22,2)2(lim)(lim00 xxfxx因为解),(lim2)0(0 xffx而因此函

6、数在x=0处不连续 .例72 已知函数.,00,20,2)(2axxxxaxxfy求常数处连续性在,)2(lim)(lim00aaxxfxx因为解, )0(2)2(lim)(lim200fxxfxx且函数在x=0处连续 .由函数连续的充分必要条件，有, )0()(lim)(lim00fxfxfxx.2a即3. 函数在区间上连续的定义函数在区间上连续的定义定义定义5即若,0)()(limlim00 xfxxfyxx. )()(lim0 xfxxfx或者若f (x)在某区间上每一点都连续 , 则称函数在该区间上连续 , 或称函数为该区间上的连续函数连续函数 .在闭区间a, b上的连续函数的集合记作

7、Ca, b.成立，称函数为该区间上的连续函数连续函数 .例例73 证明函数xysin在),(内连续 .证证: ),(xxxxysin)sin()cos(sin222xxx,1)cos(2为有界量由于xx,sin2,02为无穷小量时而当xx于是由无穷小的性质，可得, 0)2cos(2sin2limlim00 xxxyxx这说明xysin在),(内连续 .同样可证: 函数xycos在),(内连续 . 0, 0)( . 0, 0)( . 0, 0)(. 0, 0)(, 0)(lim,),(e)(.74baDbaCbaBbaAbaxfaxxfxbx应满足则常数且内连续在设函数例【分析【分析】要确定所给

8、函数中的未知参数的变化范围使之连续要确定所给函数中的未知参数的变化范围使之连续,只需要使分母无零点即可只需要使分母无零点即可,然后再根据极限存在确定另一参数然后再根据极限存在确定另一参数解解 因因f(x)连续连续, 故故a +ebx0, 而而ebx0, 因此只要因此只要a0即可即可., 0lim)(limbxxxeaxxf再由),(,否则极限不存在必为无穷大时可知bxeax此时需b0,故(D)入选.左、右极限是，极限不存在左、右极限存在 ， 但 不 相等函数在x0处无定义极限存在二、二、 函数的间断点函数的间断点0 xxyo(a)(c)oxy0 xoxy0 x(b)左、右极限存在且相等，但不等

9、于函数在该 点 的 函 数值(d)oxy0 x在在(1) 函数)(xf0 x(2) 函数)(xf0 x)(lim0 xfxx不存在;(3) 函数)(xf0 x)(lim0 xfxx存在 , 但)()(lim00 xfxfxx 不连续 :0 x设0 x在点)(xf的某去心邻域内有定义 , 则下列情形这样的点0 x之一之一函数 f (x) 在点虽有定义 , 但虽有定义 , 且称为间断点间断点 . 在无定义 ;例75 函数即函数在点x=1处极限存在,但函数在该点没有定义.112xxyxoy1在x=1处间断 .,2)1(lim11lim121xxxxx1121yx例76 函数1,21, 11, 1)(

10、xxxxxf在x=1处间断 .,2)1(lim)(lim11xxfxx,22lim)(lim11xxxf,2)(lim1xfx.1) 1 (2)(lim1fxfx但x1121yyx1例77 函数1,1, 1)(xxxxxf在x=1处间断 .,2)1(lim)(lim11xxfxx,1lim)(lim11xxfxx.)(lim1不存在xfx例78 函数11)(xxf在x=1处间断 .,11lim)(lim11xxfxx,11lim)(lim11xxfxx.)(lim1不存在xfx间断点分类间断点分类: :第一类间断点第一类间断点:)(0 xf及)(0 xf均存在 , )()(00 xfxf若称0

11、 x, )()(00 xfxf若称0 x第二类间断点第二类间断点:)(0 xf及)(0 xf中至少一个不存在 ,称0 x若其中有一个为振荡 ,称0 x若其中有一个为,为可去间断点为可去间断点 .为跳跃间断点为跳跃间断点 .为无穷间断点无穷间断点 .为振荡间断点为振荡间断点 .xytan) 1 (2x为其无穷间断点无穷间断点 .0 x为其振荡间断点振荡间断点 .xy1sin) 2(1x为可去间断点可去间断点 .11)3(2xxyxoy1例如例如:xytan2xyoxyxy1sin01) 1 (1)(lim1fxfx显然1x为其可去间断点可去间断点 .1,1,)(21xxxxfy(4)xoy211

12、(5) 0,10,00,1)(xxxxxxfyxyo11, 1)0(f1)0(f0 x为其跳跃间断点跳跃间断点 .思考：xeyxy1,sgn212xxy1, 1xx的间断点，并判断其类型。例79 求函数的间断点，并判断其类型。解：函数没有定义的点,)(lim,)(lim11xfxfxx因为所以1, 1xx都是无穷间断点。例80. 讨论函数间断点的类型.xxexf111)(解解: 间断点1,0 xx)(lim0 xfx,0 x为无穷间断点;,1 时当x xx1,0)(xf,1 时当x xx1,1)(xf故1x为跳跃间断点. ,1,0处在x.)(连续xf例81.1, 0)1)()(lim)(lim

13、1)(lim)(1.0, 0,lim)()1)(lim)(1lim0,)(lim0)(.1, 0)1)()()(,1110000bxaxxfbxbxfxfxbabxaxbxxaxxfxfxxfxxxaxbxxfbaxxxxxxx故存在的可去间断点，所以是又故或有处为无穷间断点，所以在解：因为有可去间断点有无穷间断点的值，使确定.0)().()(0)(.)(0).()(0)(.0, 00)1()(,)(lim,),()(.82的取值有关的连续性与在的连续点必是的第二类间断点必是的第一类间断点必是则内有定义在设例axxgDxgxCxgxBxgxAxxxfxgaxfxfxaufxfxgutuxx)(

14、lim)1(lim)(lim/100因为解, 0)0(g又;0)(),0()(lim,00处连续在此时有时所以当xxggxgax,)(0),0()(lim,00的第一类间断点是此时有时当xgxgxgax.)(.0)(,正确的取值有关处的连续必性与在因此Daxxg.)2)(1()2sin()(.1的间断点类型讨论函数xxxxxxf. 1)(. 0)(. 1)(.)(,)(,11lim)(. 22xDxCxBAxfxxxfnn存在间断点存在间断点存在间断点不存在间断点其结论为的间断点讨论函数设【分析【分析】因函数以极限的形式给出因函数以极限的形式给出,因此必须先求极限得到函数因此必须先求极限得到函

15、数的表达式的表达式,具体应根据自变量具体应根据自变量x的不同变化范围求出的不同变化范围求出n的极限的极限,确定确定f(x),然后再讨论然后再讨论 f(x)的连续性的连续性.nnxxxf211lim)1 ()(1, 01, 111,11, 0 xxxxx1,1, 11, 0lim2xxxxnn考研题内容小结内容小结)()(lim00 xfxfxx0)()(lim000 xfxxfx)()()(000 xfxfxf左连续右连续)(. 2xf0 x第一类间断点可去间断点跳跃间断点左右极限都存在 第二类间断点无穷间断点振荡间断点左右极限至少有一个不存在在点间断的类型)(. 1xf0 x在点连续的等价形

16、式思考与练习思考与练习1. 讨论函数231)(22xxxxfx = 2 是第二类无穷间断点 .间断点的类型.2. 设0,0,sin)(21xxaxxxfx_,a时提示提示:,0)0(f)0(f)0(fa0)(xf为连续函数.答案答案: x = 1 是第一类可去间断点 ,xxxfsin1sin1)() 1 ()()2(xf有理点x,1无理点x,1)()3(xf有理点x,x无理点x,xxyo11xyo（一）连续函数的运算法则（一）连续函数的运算法则 （二）初等函数的连续性（二）初等函数的连续性 三、初等函数的连续性三、初等函数的连续性 第一章 定理定理3. 连续单调递增 函数的反函数xx cot,

17、tan在其定义域内连续（一）连续函数的运算法则（一）连续函数的运算法则定理定理2 在某点连续的有限个有限个函数经有限次有限次和 , 差 , 积 ,( 利用极限的四则运算法则证明)连续xx cos,sin商(分母不为 0) 运算, 结果仍是一个在该点连续的函数 .例如例如,例如例如,xysin在,22上连续单调递增，其反函数xyarcsin(递减).(证明略)在 1 , 1 上也连续单调递增.递增(递减)也连续单调定理定理4. 连续函数的复合函数是连续的.xey 在),(上连续 单调 递增,其反函数xyln在),0(上也连续单调递增.证证: 设函数)(xu,0连续在点 x.)(00ux,)(0连

18、续在点函数uxfy . )()(lim00ufufuu于是)(lim0 xfxx)(lim0ufuu)(0uf)(0 xf故复合函数)(xf.0连续在点 x又如又如, 且即例如例如,xy1sin是由连续函数链),(,sinuuy,1xu *Rx因此xy1sin在*Rx上连续 .复合而成 ,xyoxy1sin例例82 .设, 0,2, 0,)(, 1, 1,)(xxxbxgxaxxxf上连续在使函数的值试确定),()()()(,xgxfxFba,),()()(,2, 1上连续都在和函数时故当xgxfba由定理2可知 ,此时;),()(,1,) 1 ()(lim1上连续在函数时即时当解xfafxf

19、x;),()(,2,)0()(lim0上连续在函数时即时当xgbgxgx.),()()()(上连续在函数xgxfxF1,41,)(xxxxx例例83. 设,1,21,)(2xxxxxf解解:讨论复合函数)(xf的连续性 . )(xf1,2xx1,2xx故此时连续; 而)(lim1xfx21lim xx1)(lim1xfx)2(lim1xx3故 )(xfx = 1为第一类间断点 .1)(),(2xx1)(, )(2xx,)(1为初等函数时xfx在点 x = 1 不连续 , 例例84. 求.)1 (loglim0 xxax解解: 原式xxax1)1 (loglim0ealogaln1习作习作1.

20、求.1lim0 xaxx解解: 令, 1xat则, )1 (logtxa原式)1 (loglim0ttataln说明说明: 当, ea 时, 有0 x)1ln(x1xexx习作习作2 求求.)21 (limsin30 xxx解解:原式ex0lim)21ln(sin3xxex0limx36e说明说明: 若,0)(lim0 xuxx则有)()(1lim0 xvxxxu,)(lim0 xvxxe)(1ln)(lim0 xuxvxxe)()(lim0 xuxvxxx2.)()()(.)()(.)()(.)()(,)(, 0)(,)(,),()()(. 32必有间断点必有间断点必有间断点必有间断点则有间

21、断点且连续函数上有定义在和设习作xfxDxfCxBxfAxxfxfxxf.0,10,1)(,),(, 1)(xxxxxf取解则则f (x), (x)满足题设条件满足题设条件由于由于 f (x)=1, (x)2=1,f (x)=1都是连续函数都是连续函数.故可排除故可排除(A),(B),(C),因而因而(D)入选入选.（二）初等函数的连续性（二）初等函数的连续性基本初等函数在定义区间内连续连续函数经四则运算仍连续连续函数的复合函数连续一切初等函数在定义区间内连续例如例如,21xy的连续区间为1, 1(端点为单侧连续)xysinln的连续区间为Znnn, ) 12( ,2( 内容小结内容小结基本初

22、等函数在定义区间内在定义区间内连续连续函数的四则运算四则运算的结果连续连续函数的反函数反函数连续连续函数的复合函数复合函数连续初等函数在定义区间内连续说明说明: 分段函数在分段点处是否连续需讨论其 左、右连续性.思考与练习思考与练习,)(0连续在点若xxf是否连在问02)(, )(xxfxf续? 反例, 1,1)(xf x 为有理数 x 为无理数)(xf处处间断,)(, )(2xfxf处处连续 .反之是否成立?提示提示:“反之” 不成立 .（一）（一）最值定理最值定理 （二）介值定理（二）介值定理 四、闭区间上连续函数的性质 第一章 注意注意: 若函数在开区间上连续,结论不一定成立 .（一）（

23、一）最值定理最值定理定理定理6 在闭区间上连续的函数，即: 设, ,)(baCxfxoyab)(xfy 12则, ,21ba使)(min)(1xffbxa)(max)(2xffbxa有最大值和最小值.或在闭区间内有间断 在该区间上一定(证明略)点 ,例如例如,)1,0(,xxy无最大值和最小值 xoy1121,31,110,1)(xxxxxxfxoy1122也无最大值和最小值 又如又如, ,)(baxf在因此bxoya)(xfy 12mM定理定理7由定理 1 可知有, )(max,xfMbax)(min,xfmbax, ,bax故证证: 设, ,)(baCxf,)(Mxfm有上有界 .二、介值

24、定理二、介值定理定理定理8 ( 零点定理 ), ,)(baCxf至少有一点, ),(ba且使xyoab)(xfy .0)(f0)()(bfaf( 证明略 )在闭区间上连续的函数在该区间上有界. 定理定理9. ( 介值定理 ) 设 , ,)(baCxf且,)(Aaf,)(BABbf则对 A 与 B 之间的任一数 C ,一点, ),(ba证证: 作辅助函数Cxfx)()(则,)(baCx 且)()(ba)(CBCA0故由零点定理知, 至少有一点, ),(ba使,0)(即.)(Cf推论推论:Abxoya)(xfy BC使.)(Cf至少有在闭区间上的连续函数 必取得介于最小值与最大值之间的任何值 .例

25、例1. 证明方程01423 xx一个根 .证证: 显然, 1 ,014)(23Cxxxf又,01)0(f02) 1 (f故据零点定理, 至少存在一点, ) 1 ,0(使,0)(f即01423说明说明:,21x,0)(8121f内必有方程的根 ;) 1 ,(21取 1 ,21的中点,43x,0)(43f内必有方程的根 ;),(4321可用此法求近似根.二分法二分法4321x01在区间)1 ,0(的中点取1 ,0内至少有则则0)()()(212xfxff上连续 , 且恒为正 ,例例2. 设)(xf在,ba对任意的, ),(,2121xxbaxx必存在一点证证:, ,21xx使. )()()(21x

26、fxff令)()()()(212xfxfxfxF, 则,)(baCxF)()(21xFxF)()()(2112xfxfxf)()()(2122xfxfxf)()(21xfxf221)()(xfxf0使,)()(21时当xfxf,0)(xf,0)()(21xFxF故由零点定理知 , 存在, ),(21xx,0)(F即. )()()(21xfxff当)()(21xfxf时, 取1x或2x, 则有)()()(21xfxff证明:,4,0)(上连续在闭区间xf例例87 13xex至少有一个不超过 4 的正根. 证证：证明令1)(3xexxf且)0(f13e)4(f1434e003e根据零点定理 , )4,0(,0)(f使原命题得证 .)4,0(内至少存在一点在开区间显然则, 2,0)(aCxf, )2()0(aff证明至少存在, ,0a使. )()(aff提示提示: 令, )()()(xfaxfx则, ,0)(aCx 易证0)()0(a例例88.