计算方法第一章_绪论好用2013秋改上课用

1、计 算 方 法主讲：李福利主讲：李福利哈尔滨工业大学数学系计算数学教研室哈尔滨工业大学数学系计算数学教研室电子邮箱：电子邮箱：教材：计算方法 张池平 主编 科学出版社参考书：计算方法学习指导 陈艳梅 主编 科学出版社考核方式及课程要求 上机+平时作业 ：20% 期末考试：闭卷 80% 本课程为限修课，选课同学务必在网上选课 课程小论文+10% （选）：word2003发至电子邮箱 上机要求：Matlab语言 5人一组， word2003 编辑完成上机报告，发到老师邮箱。 作业要求：统一格式，中间抽查。 如想得到尽快批改，可用 word2003编辑好作业，发至 第零章 绪论一. 什么是计算方法

2、首先，计算方法是数学一. 什么是计算方法 其次，计算方法是一门有自身特点的数学1. 研究对象： 用计算机求解数学问题的数值方法及其理论，是程序设计和对数值结果进实际问题行分析的依据。建立数学模型构造数值算法用计算机求出近似结果代数方程、微分方程等等计算方法的地盘计算方法的地盘2.课程特点课程特点： 计算方法主要讨论如何构造求数学模型的近复杂性，并通过编写程序进行计算试验来验证算似解的算法。研究算法的理论依据，精度和计算法的有效性。 与纯数学的理论方法不同，数值计算方法求出的一般是近似解，而不是精确解。计算方法所研究的算法具有严格的理论依据，所求出的近似解是满足误差要求的 “近似”。3.本课程的

3、学习目标本课程的学习目标： 掌握掌握常用的数值方法的基本原理会会套用计算公式求解简单的数学问题掌握掌握常用的科学与工程计算的基本方法会会上机编写常用数值方法的计算程序4. 本课程的学习方法本课程的学习方法：1). 理解建立算法的理论依据和过程，适应本课程2). 注意每章开头问题的引入，搞清楚问题的来源“公式多公式多” 的特点。提法，逐步深入。3). 理解每个算法建立的数学原理和基本线索，对最基本的算法要非常熟悉！深对算法的理解。4). 认真进行上机实践，编写和调试算法程序，加5.本课程要解决的问题本课程要解决的问题：2)插值3) 数值积分1)方程求根4)常微分方程的数值解法求方程 的近似解的问

4、题。( )0f x 已知函数 在几个点 处的值，( )f x12,.,nx xx求此函数的近似。求定积分 的值。( )dbaf xx已知 ，求函数 。( , )yf x yy5) 线性方程组的数值解法求线性方程组 的解， 是 阶矩阵。AxbAn21sin xdxx高等数学求解积分的牛顿莱布尼兹公式： 设设 ， 是是 在在a,b上上的一个原函数，则有的一个原函数，则有,)(baCxf)()()(aFbFdxxfba)(xfxxsin的原函数无法求出，怎么办？通过计算方法，可求得其近似解。)(xF1. 大量的数学问题不能精确求解二二. 为什么要学习计算方法为什么要学习计算方法：线性代数中求解线性方

5、程组的克莱姆法则： 如果线性方程组如果线性方程组 的系数行列式不等于零，那末，的系数行列式不等于零，那末，方程组有唯一解方程组有唯一解其中，其中， 为方程组的系数行列式，为方程组的系数行列式， 是把系数行列式中第是把系数行列式中第j j列的元列的元素用方程组右端的自由项素用方程组右端的自由项b b代替后所得到的代替后所得到的n n阶行列式。阶行列式。DDxjj 求解20阶线性方程组，用克莱姆法则要用 次乘法运算,用每秒1亿次的计算机计算,大约需算30多万年;采用本门课程介绍的计算方法，却只要几秒钟。209.7 10bAx DjD2. 求解不切实际研究例子:求解线性方程组其准确解为x1=x2=x

6、3=1604751413112134131216113121321321321xxxxxxxxx78. 020. 025. 033. 01 . 125. 033. 050. 08 . 133. 050. 0321321321xxxxxxxxx如把方程组的系数舍入成两位有效数字它的解为x1 =-6.222. x2=38.25 x3=-33.65.3. 计算机实现问题4.不同的计算方法效果不一样1812123x270991)12(127099)12(66xxxx可用四种算式算出：计算实例19 如果分别用近似值 和 按上列四种算法计算，其结果如下表表1-11-1所示。 4 . 15724166. 1

7、1217220 1 2 3 4序号 算 式计 算 结 果5/72 12/172 126270991216270991表表1-11-1004096.0526 1005233.01256005076. 01971166667.061005046. 0237812005020.029126005233.0125621 由表表1-1可见，按不同算式和近似值计算出的结果各不相同，有的甚至出现了负值，这真是差之毫厘，谬以千里。可见近似值和算法的选定对计算结果的精确度影响很大。 因此，在研究算法的同时，还必须正确掌握误差的基本概念，误差在近似值运算中的传播规律，误差分析、估计的基本方法和算法的数值稳定性概念

8、，否则，一个合理的算法也可能会得出一个错误的结果。第一章误差基本理论本章重点：误差的基本概念； 分析误差的原则。本章难点：相对误差；有效数字。一、误差来源：误差在现实生活中广泛存在！小学时用刻度尺度量；计算 “神十” 运行的轨道；计算机中存储的数是有限位的，等等按照误差的来源可分为以下四类：（1）模型误差 将实际问题转化为数学问题是通常只是简化的、近似的。实际问题数学问题忽略次要因素，关注主要因素第一节第一节 误差的来源与误差分析的重要性误差的来源与误差分析的重要性（2）观测误差 实际观测中由于受到设备、自然条件等因素的影响，所得的数据存在的误差。（3）截断误差 用数值方法求出的近似解与精确解

9、之间的误差称为截断误差。例如，由泰勒公式：11111.2 !3!en精确值若用有限项11111.2!3!en 近似计算 ，则截去的e11.(1)!(2)!nn就是截断误差。（4）舍入误差 受计算机位数限制，需要对参数，中间结果和最终结果做舍入处理，用有限字长的数值代替精确数，由此而产生的误差为舍入误差。例如：在一台计算机中用 3.14159 代替 所产生的误差。 模型误差观测误差截断误差舍入误差在设计算法时进行误差分析，控制截断误差注意编写程序的技巧，减小舍入误差的影响二、绝对误差与绝对误差限定义：设 为准确值， 为 的一个近似值，则称xx*x *xxx为近似值 的绝对误差，简称误差，若误*x

10、差的绝对值不超过某个正数 *xxx称正数 为近似值 的绝对误差限，简称误差限。x例如，用最小刻度为厘米的刻度尺测得某物体的长度为5 m，其误差不超过 0.01 米，即误差限为 0.01 米。注意：注意：绝对误差限是有量纲的！该物体的准确长度可记为： 。(50.01)ms 三、相对误差与相对误差限只用绝对误差不能真正刻画近似值的优劣，例如，分别测量10 m 和16 m 的两根旗杆，产生的误差均为0.1m，显然，测量16m 的旗杆时更准确些。如何刻画这一点呢？ 我们引入相对误差的概念。定义：称绝对误差 与准确值的比值， *xxx为近似值 的相对误差。*x *rxxxxxx作为 的相对误差。*x于是

11、，测量10m 和16m 旗杆的相对误差分别为：可见后者测量的更准确。注意：注意：相对误差限是没有量纲的！实际计算中的准确值是不知道的，通常用 *rxxxxxx0.1m0.0110m和0.1m0.0062516m同样，若 ， 则称 为近似值 的相对误差限。 rx * x四、有效数字按四舍五入原则对取 3 位：3.14159265x取前几位近似 ，*x*33.14,x 取 5 位：*53.1416,x 30.00250.0000082110241102取 7 位：*73.141593,x 70.000000461102它们的误差都不超过末位数字的半个单位。一般地，有如下定义：文字定义：若近似值 的

12、误差限是它某一位的半个单位，就说近似数就说近似数x* 准确到该位；准确到该位； *x且从这一位直到左边第一位非零数字一共有 位，则n*x称近似值 有 位有效数字。n*x n位误差不超过该位的半个单位左边第一个非零数字因此，当取 作 的近似时，有 3 个有效数字。*33.14x 当取 作 的近似时，有 5 个有效数字。*33.1416x 注：注：经过四舍五入得到的数字都是有效数字。数学定义可写成 1*1212311 10101010 , 0, 0,1,2,.,9nmnix *x若近似数并且，*x的绝对误差 *112102m nxx 则称 具有 n 位有效数字*x有效数字与误差的关系*(1)()1

13、(1)*()11.2.11021102(1)rnnrnxnxaxaxn有效数位 越多，则绝对误差越小定理：若近似数具有 位有效数字，则反之，若则至少有 位有效数字。1*121231 10101010 ,0, 0,1,2,.,9nmnix 证： *111*111*111110(1) 100.5 101101021(1) 10102(1)0.5 10,mmm nnrmmnrm naxxnxxxxxxxn 因，故当有 位有效数字时，反之，由因此，至少具有 位有效数字。证毕。定理有效数字与相对误差的关系(A)若近似值 具有(A)式的形式，且具有*x位有效数字，则其相对误差限为：n *11110.2nr

14、x (B)要求所取近似值的相对误差限满足(B)式。在实际计算中，为使近似值具有 位有效数字，n注注1： 该定理表明，有效数字越多，相对误差限越小，精度越高。注注2：1*121231 10101010 ,0, 0,1,2,.,9nmnix例1-1 以四舍五入原则写出下列各数具有5个有效数字的近似数。123.456， 0.3455678， 4.000045.*x n位误差不超过该位的半个单位左边第一个非零数字有效数字定义解： 按四舍五入原则，所求近似数分别为123.46，0.34557，4.0000注意：注意：4.000045的具有5个有效数字的近似数不是4！4 只有一个有效数字！例1-2 为使2

15、0的近似值的相对误差小于 1%，问至少应取几位有效数字？解：方法： 使相对误差满足（B）式。 *11110.2nrx ( B )为有效数字个数n1为左边第一个非零数字20的近似值的左边第一个非零数字为 4，1x 由（B）式有， *11101%2 4nrx 解得2n ，取 即可，3n 此时204.47.五、数据误差的影响（传播）五、数据误差的影响（传播）和当*12, xx存在有误差限1()x2()x时，加减：由它们经过*1212()()();xxxx乘：*121221()()();x xxxxx除：2*1212212(/)()()xxxxxxx运算公式 而得到的近似数的误差限是：12( ,)yf

16、 x x*1*212(,)(,)yyf x xfxyx *1212112212(,)(,)()()f xxf xxxxxxxx*12121212(,)(,)()()f xxf xxxxxx 特别地，加减法的误差限*()()()()()()xyxyxyxy *()()()()()()()xyxyxyxxyyxy *()()()()()()()xyxyxyxxyyxy *| ()| ()()| ()| ()|()()xyxyxyxy *| ()| ()()| ()| ()|()()xyxyxyxy 加减法的误差限（续）*| ()| ()| ()|xyxyxyxy *| ()| ()|xxyyxyx

17、xyy *|()()|rrxyxyxyxy *|max(),()|rrxyxyxy *max(),(),| ()|max(),(),|rrrrxyxyxyxyxyxyxyxy 同号同号异号异号*,xy异号，且两者的绝对值非常接近时异号，且两者的绝对值非常接近时非常大非常大*()dxxxxxxxxxx *| ()|max(),()|rrxyxyxyxyxy 乘法的误差限（续）*()| () | ()()()()rrrx yxyyxx yxy*| ()|()()|()|()| | ()| | ()|() | ()x yxyyxxyyxxyyxxyyx d()ddxyx yy x *()dd()()

18、x yxyyxxyyx *| ()|() | ()()()|()()rrx yxyyxyxx yx yyxyx除法的误差限（续）*2*| ()| ()|()(),0rrrxxyyxyyxxyy yy 2dddxy xx yyy * 2* 2dd()()()()xyxxyyxxyyyy 除法的误差限（续）* 2* 2* 2* 2()()|()()|()| | ()| | ()|() |()|xyxxyyxxyyyyxyyxyxyyxy *2*|()()|xyxyy 当除数绝对值较小时，商当除数绝对值较小时，商的绝对误差的绝对值将非的绝对误差的绝对值将非常大常大*2*|() |()|() | ()

19、|()()|()()rrxxyyxyyxxyyxyyxx yyxyxxy * 2|() |()|xxyyxyy 幂、对数的误差限*1*()| |()()|()nnnrrxnxxxnx *ln?ln?rxx 请同学们自己推导请同学们自己推导例1-3 已测得某场地的长 的值为 ，宽 的l*110ml d值为 ，已知*80md *0.2m, 0.1m, lldd试求解：*( )0.2m, ()0.1m,ld根据本小节结论，*()()()( )sl dlddl110 0.1 80 0.2272(m )面积*sl d于是，相对误差限为*()rss*()27110 80sl d100%0.31%面积 的绝

20、对误差限和相对误差限。*s的绝对误差限为第二节 选用算法应遵循的原则 一. 尽量简化计算步骤，减少乘除等运算的次数。100111)111()1(1)()0121( 2)1(.21.)(10001100010110 nnnkkknnnnnnnnnnuxp,n-n-kaxuuaunnnxaxaaxp。又又如如则则乘乘法法次次数数仅仅为为若若采采用用递递推推算算法法，通通常常运运算算的的乘乘法法次次数数为为例例如如，计计算算多多项项式式第二节 选用算法应遵循的原则 二. 尽量避免相近数相减 例：a1 = 0.12345，a2 = 0.12346， 各有 5 位有效数字。 而a2 - a1= 0.00001, 只