高等数学第二版(上)2-2精品课件剖析

1、第二节 导数的运算第二节第二节 导数的运算导数的运算 一、内容要点：一、内容要点：函数的和、差、积、商的导数、复合函函数的和、差、积、商的导数、复合函数的导数、基本初等函数的导数公式数的导数、基本初等函数的导数公式. 初等函数的求导初等函数的求导问题问题.二、教学要求：二、教学要求：（1）掌握导数的有理运算法则和复合函数的求掌握导数的有理运算法则和复合函数的求导法导法（2）掌握基本初等函数的导数公式掌握基本初等函数的导数公式三、讲授方法及板书设计三、讲授方法及板书设计 以讲解式为主本节概念较多，基本采用多媒体以讲解式为主本节概念较多，基本采用多媒体授课授课.定理定理( ),( ),(),u x

2、v xxx如如果果函函数数在在点点 处处可可导导 则则它它们们的的和和、差差、积积、商商 分分母母不不为为零零 在在点点 处处也也可可导导 并并且且2(1) ( )( )( )( );( ( )( )( )( )( )( );(2) ( )( )( ) ( )( ) ( );( )( )( ( )( )( )( )( ) ( )( ) ( )(3) ( ( )0)( )( )u xv xu xv xu xv xw xu xv xw xu xv xu x v xu x v xcu xcu xu xv xw xu v wu v wu v wu xu x v xu x v xv xv xvx .一、

3、导数的四则运算法则一、导数的四则运算法则证证: : 设设, 则则vuvu )() 1 ()()()(xvxuxfhxfhxfxfh)()(lim)(0hxvxuhxvhxuh )()( )()(lim0hxuhxuh)()(lim0hxvhxvh)()(lim0)()(xvxu故结论成立故结论成立. .例例1 145cosln.yxxx求求的的导导数数解解4(cosln5)yxxx例例2 22sin.yxx 求求的的导导数数解解4()(cos )(ln )(5)xxx314sinxxx(2sin)yxx2() sin2(sin )xxxxsin2cosxxxx例例3 3.tan的导数的导数求求

4、xy 解解)cossin()(tan xxxyxxxxx2cos)(cossincos)(sin xxx222cossincos xx22seccos1 .sec)(tan2xx 即即.csc)(cot2xx 同理可得同理可得例例4 4.sec的导数的导数求求xy 解解)cos1()(sec xxyxx2cos)(cos .tansecxx xx2cossin .cotcsc)(cscxxx 同理可得同理可得定理定理01( )( ),( ),( ).( )yxxyIyyf xIfxy 如如果果函函数数在在某某区区间间内内单单调调、可可导导且且那那末末它它的的反反函函数数在在对对应应区区间间内内

5、也也可可导导且且有有即即 反函数的导数等于原函数导数的倒数反函数的导数等于原函数导数的倒数.二、反函数的求导法则二、反函数的求导法则证证,xIx 任取任取xx 以以增增量量给给的单调性可知的单调性可知由由)(xfy , 0 y于是有于是有,1yxxy ,)(连续连续xf),0(0 xy0)( y 又又知知xyxfx 0lim)(yxy 1lim0)(1y .)(1)(yxf 即即), 0(xIxxx 例例5 5.arcsin的的导导数数求求函函数数xy 解解,)2,2(sin内内单单调调、可可导导在在 yIyx, 0cos)(sin yy且且内内有有在在)1 , 1( xI)(sin1)(ar

6、csin yxycos1 y2sin11 .112x .11)(arccos2xx 同理可得同理可得;11)(arctan2xx )(arcsin x.11)cot(2xx arc例例6 6.log的的导导数数求求函函数数xya , 0ln)( aaayy且且,), 0(内内有有在在 xI)(1)(log yaaxaayln1 .ln1ax 解解,),(内内单单调调、可可导导在在 yyIax定理定理 ( ) ,( )( ), ( ), ( )( ).ug xxyf uug xyf g xxdydydy dufug xdxdxdu dx如如果果函函数数在在点点可可导导而而在在点点可可导导则则复复

7、合合函函数数在在点点可可导导且且其其导导数数为为或或即即 因变量对自变量求导因变量对自变量求导, ,等于因变量对中间变等于因变量对中间变量求导量求导, ,乘以中间变量对自变量求导乘以中间变量对自变量求导.(.(链式法则链式法则) )三、复合函数的求导法则三、复合函数的求导法则证证( ),yf uu由在点 可导0lim( )uyfuu0( )(lim0)uyfuu 故( )yfuuu则xyx 0lim0lim( )xuufuxx 000( ) limlimlimxxxuufuxx ( )( ).fu gx推广推广),(),(),(xvvuufy 设设.)(dxdvdvdududydxdyxfy

8、的的导导数数为为则则复复合合函函数数 例例7 7.sinln的的导导数数求求函函数数xy 解解.sin,lnxuuy dxdududydxdy xucos1 xxsincos xcot 例例8 8122sin().xy 求求函函数数的的导导数数解解122sin,xyu u 设设则有：则有：dy duydu dx 1222coslnxu2222lncos()xx例例9 9.)2(21ln32的的导导数数求求函函数数 xxxy解解),2ln(31)1ln(212 xxy)2(31211212 xxxy)2(3112 xxx例例1010.arcsin22222的的导导数数求求函函数数axaxaxy

9、解解)arcsin2()2(222 axaxaxy2222222222121xaaxaxxa .22xa )0( a1 3arccos.yx 求求函函数数的的导导数数13arccos ,yu uv vx 设设 则有则有dy du dvydu dv dx 11( 3)32 1 3xx 232 39xx例例1111解解(sin), .yfxy 设设函函数数求求( )(sin)yfux (sin )cosfxx sinux 设设dydy dudxdu dx例例1212解解0()C 1. 基本初等函数的导数公式基本初等函数的导数公式1()xx axxaaaaxxln1)(logln)( xxeexx1

10、)(ln)( 2211)(arctan11)(arcsinxxxx 221111(arccos )(cot)xxarcxx 四四 基本导数公式及初等函数的导数基本导数公式及初等函数的导数2(sin )cos(tan )sec(sec )sectanxxxxxxx 2(cos )sin(cot)csc(csc )csccotxxxxxxx 2.函数的和、差、积、商的求导法则函数的和、差、积、商的求导法则设设)(),(xvvxuu 可导，则可导，则（1） vuvu )(, （2）uccu )(（3）vuvuuv )(, （4）)0()(2 vvvuvuvu.( ( 是常数是常数) )C 3.反函数的求导法则反函数的求导法则1( )( )fxy 即即 反函数的导数等于原函数导数的倒数反函数的导数等于原函数导数的倒数.4.复合函数