应用数理统计—随机变量及其分布

1、应用数理统计应用数理统计随机变量及其分布随机变量及其分布 3随机变量的分布随机变量的分布一、随机变量一、随机变量 设设E是一个随机试验，其样本空间为是一个随机试验，其样本空间为 = ，如果对于每一个样本点，如果对于每一个样本点 ，都有唯一的实数值都有唯一的实数值X( )与之对应，则称与之对应，则称变量变量X( )为一随机变量，简记为为一随机变量，简记为X 。4随机变量的分布随机变量的分布二、随机变量的分布函数二、随机变量的分布函数 设是设是X 一个随机变量，一个随机变量，x 是任意实数是任意实数,则函数则函数F(x)=PX x称为称为X 的分布函数。的分布函数。分布函数分布函数F(x)具有如下

2、性质：具有如下性质： 0 F(x) 1 F(- - )=0，F(+ + )=1 若若x1 x2 ，则，则F(x1) F(x2) F(x)右连续，即右连续，即F(x+ +0) =F(x) Px1 X x2= =F(x2)- -F(x1)5随机变量的分布随机变量的分布三、随机变量的分类三、随机变量的分类 离散型随机变量离散型随机变量 连续型随机变量连续型随机变量 混合型随机变量混合型随机变量 奇异型随机变量奇异型随机变量6随机变量的分布随机变量的分布四、离散型随机变量四、离散型随机变量 只取有限或可列值的随机变量只取有限或可列值的随机变量 分布律分布律 PX=xk=pk，k=1，2， 这里这里0

3、pk 1，且，且 分布函数分布函数 F(x)=PX x=11kkpxxkkp7随机变量的分布随机变量的分布五、连续型随机变量五、连续型随机变量 设设F(x)是是X的分布函数，对的分布函数，对f(x) 0有有 则称则称 f(x)为为X的概率密度函数，简称密的概率密度函数，简称密 度函数。度函数。 Pa0,0,如果随机变量如果随机变量X的分布律为的分布律为则称则称X服从参数为服从参数为 的泊松分布的泊松分布记为记为X P( )nkkekXk, 1 , 0,!P 11几种重要的分布几种重要的分布 设有设有Xn B(n, pn)和常数和常数 0 0 ，如果，如果n pn = ，则有，则有 即泊松分布为

4、二项分布的极限分布即泊松分布为二项分布的极限分布nkkeppkknnnknn, 1 , 0,!)1 (Clim 12几种重要的分布几种重要的分布3.超几何分布 设有产品设有产品l 件，其中正品件，其中正品N件，次品件，次品M件件(l = M + +N)，从中随机地抽取，从中随机地抽取n件件(n N),记记X为为抽抽到的正品件数，到的正品件数，(1)有放回有放回抽取时，抽取时， X B(n,p)其中其中p=N/l 为正品率为正品率(2)不放回不放回抽取时，抽取时，X 为超几何分布为超几何分布nkkXnlknMkN, 1 , 0,CCCP13 当当l ,M, ,N都很大时，或都很大时，或n相对于相

5、对于l ,M, ,N很很小时小时 即超几何分布近似于二项分布即超几何分布近似于二项分布几种重要的分布几种重要的分布nklMlNknkknnlknMkN, 1 , 0,CCCC14几种重要的分布几种重要的分布二、连续型随机变量的分布二、连续型随机变量的分布1.正态分布正态分布 密度函数密度函数 分布函数分布函数222)(21)( xexfxttexFd21)(222)( 15几种重要的分布几种重要的分布 标准化标准化 重要概率重要概率 P|X- - | =0.6826 P|X- - | 2 =0.9546 P|X- - | 3 =0.9914) 1 , 0(),(2NXNX 16几种重要的分布几

6、种重要的分布2.2.指数分布指数分布 密度函数密度函数 分布函数分布函数 无记忆性无记忆性 若若X E( )，则对任何则对任何s0，x0有有PXs+x|Xs= PXx0,00,)(xxexfx 0,00,1)(xxexFx 17几种重要的分布几种重要的分布3.3.均匀分布均匀分布 密度函数密度函数 分布函数分布函数 几何概率几何概率 X U(a,b) , (c,d) (a,b) 其他其他,0,1)(bxaabxfbxbxaabaxxf,1,1,0)(abcddXcP18几种重要的分布几种重要的分布4.4.伽玛分布伽玛分布 密度函数密度函数 记为记为X G( , ) 当当 =1=1时，时，X服从

7、参数为服从参数为 的指数分布的指数分布0,00,00,)()(1 xxexxfx19几种重要的分布几种重要的分布5.5.威布尔分布威布尔分布 密度函数密度函数 当当 =1=1， = =0 0时，时，X服从参数为服从参数为 =1/ 的指的指数分布数分布0,0,00,exp)(1 xxxxxf20随机变量函数的分布随机变量函数的分布 设设f(x)是是x的函数，当随机变量的函数，当随机变量X取值为取值为x时，时，Y取值为取值为y=f(x),此时此时Y也是一个随机也是一个随机变量，称为随机变量变量，称为随机变量X的函数，记为的函数，记为Y=f(X) 设设X是离散型随机变量，概率分布为是离散型随机变量，

8、概率分布为Xx1x2xkPX=xip1p2pk21随机变量函数的分布随机变量函数的分布Y=f(X)也是一个离散型随机变量，也是一个离散型随机变量，yi=f(xi),如果如果yi值互不相等，则值互不相等，则Y的概率分布为的概率分布为当当yi值不是互不相等，应把那些相等的值值不是互不相等，应把那些相等的值分别合并，并根据概率的加法公式把相应分别合并，并根据概率的加法公式把相应的的pi相加，即得到相加，即得到Y的概率分布的概率分布Yy1y2ykPY=yip1p2pk22随机变量函数的分布随机变量函数的分布 连续型随机变量连续型随机变量X的密度函数为的密度函数为f(x)，g(x)是一个连续函数，则是一个连续函数，则Y=g(X)的分布的分布函数为函数为其中其中D(y)= x | g(x) y 然后对然后对FY(y)求导，得到求导，得到Y的密度函数的密度函数)(d)()()(yDXYxxfyDXPyYPyF23随机变量函数的分布随机变量函数的分布 若若X有概率密度函数有概率密