线性代数试题二

1、、选择题(每题3分，共15分)1设A为n阶可逆矩阵，A的第二行乘以2为矩阵B，则A1的(A)第二行乘以2；(B)第二列乘以2；1(C)第二行乘以-;23线性无关,(D)2.设向量组1第二列乘以-24线性相关,则以下命题中，不一定成(A)1不能被2,3,4线性表示;(B)2不能被(C)4能被1,2,3线性表示；(D)1,2,33.设Aj)nn,则二次型f(X1,X2,Xn)n(ai1x1a立的是0i10i2X21，3?4线性相关4线性表示;ainXn)2的矩阵为(A)A；(B)A2;(C)ata;(D)AAT4.设A,B为4阶方阵，且秩r(A)4,r(B)=3,A和B的伴随矩阵为A和B,贝Vr(

2、AB)。(A)1；(B)2;(C)3；(D)45.已知1,2,3,4是线性空间V的一个基，以下也是V的基(A)!2，2+3，3+4，4+1;(B)12，23，34，41;(C)12，2+3，3+4，41;(D)12，2+3，34，410二、填空题(每题3分，共15分)1 设1，2，3是欧氏空间的标准正交基，则模21233=2 112设矩阵A3 .2.1为正交矩阵，则aab一2113213. 若实二次型f(X1,X2,X3)x；2X1X22x1X34x24x2X34x3为正定二次型,则的取值范围为。4. 已知1，2是非齐次线性方程组Axb线性无关的解，A为23矩阵，且秩r(A)2。若k1l2是方

3、程组Axb的通解，则常数k,丨须满足关系式5. 设A为n阶实对称矩阵，且A22A列式|A2E|。三、计算题(每题9分,共54分)1. 计算n阶行列式D,其中Xi0,i3E0，1是A的一重特征值，则行12n112(n1)XnD12x2n11x12n12设3阶方阵A,B满足方程A2BA101其中A020E2013.设A为三阶实对称矩阵，且满足A20111,2001求是A对应特征值1的特征向量,1,2,，；nXnInnnBE，试求矩阵B以及行列式|B100010。001A2E0已知向量An，其中n为自然数。4.已知实二次型f(X1,x2,x3)=2x-|X22x2x32x3X,求正交变换xQy,将二

4、次型彳&1以2以3)化为标准形，并写出正交变换xQy5.已知线性空间R3的基1,2,3到基1,2,3的过渡矩阵为P，且X13x2X36.设线性方程组为X14x2ax32%X23x30b，问：a、b取何值时，方程组无解、510122110，21，32;P322102430试求出在基1,2,3与1,2,3下有相同坐标的全体向量有唯一解、有无穷多解？在有无穷多解时求出其通解。四、证明题(第一题6分，第二题10分)1.设为n维列向量，且T1，矩阵AET，证明：行列式|A|02. 设A是mn实矩阵,0是m维实列向量，证明:(1)秩r(A)r(ATA)；(2)非齐次线性方程组ATAxAT有解线性代数试卷参

5、考答案、选择题1.(D)2.(B)3.(C)4.(A)5.(C)、填空题1.14；2.a1/3,b0;3.21；4.k1l|AE|(1)n13.,l为任意常数；5.三、计算题1.D(1)n(n1)nn2(1n)Xii1Xni12.(A2E)BAE0011001/2B(A2E)11(AE)(AE)010010200100|B|1/23.(AE)(A2E)0,特征值1、1、2,特征向量(1,1,1)T，所以An002)nAn4.f的矩阵A(2)n0(2)n00(2)n(2)n0(2)n，有特征值1,对应的线性无关的和单位正交的特征向量于是正交变换xQy,化二次型为标准形f11X1y16y2211X

6、22y16y22X36y2222yiy22y3yyyyyy31313设所求向量的坐标为x则AxAPx，即A(PE)x0，因为A为可逆矩阵，得(PE)x0，由121101(PE)3120114310005设A(1,2,3),B(1,2,3),则BAP。得xk(1,1,1),故k(i23)k(2,1,3)t131013106.A14ab0111213500a2b1当a-2时，方程组有唯一解当a2,b1时，方程组无解当a2,b2时，r(A)r(A)=23，方程组有无穷多组解其通解为(3,1,0)Tk(2,1,1)T,k为任意常数四、证明题1.证：因为A2A，特征值的可能取值为0,1。A的对角线元素之和为n(或TATTTTT0,0,A非正定)所以0是A的一个特征值，故行列式|A|02.证：(1)因为若A0，则AtAA00;而当ATA0时，由|A|2(A)tAtataT00,得A0。因此齐次线性方程组Ax0与