经典数学选修1-1复习题1051

1、经典数学选修1-1复习题单选题(共5道)1、已知直线I:y=ax+1-a(aR).若存在实数a使得一条曲线与直线I有两个不同的交点，且以这两个交点为端点的线段长度恰好等于|a|，则称此曲线为直线I的“绝对曲线”下面给出四条曲线方程：y=-2|x-1|:y=x2:(x-1)2+(y-1)2=1:x2+3y2=4;则其中直线I的“绝对曲线”有()ABCDI222、双曲线-一：:离心率为2,有一个焦点与抛物线y2=4x的Li焦点重合，则双曲线的渐近线方程为(By=±2xDy='3、若函数f(x)=4x3-ax2-2x+b在x=1处有极值，则a的值等于()A2B3C5D64、已知R上

2、的可导函数f(x)和g(x)，当x>1时f'(x)>g'(x)，当xv1时f'(x)vg'(x),则必有()Af(2)-f(1)>g(2)-g(1)Bf(2)+f(1)>g(2)+g(1)Cf(2)-f(1)vg(2)-g(1)Df(2)+f(1)vg(2)+g(1)5、给出以下四个命题： 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行； 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面； 如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行； 如果一个平面经过另一个平面的一条

3、垂线，那么这两个平面互相垂直；其中真命题的个数是A4B3C2D1简答题（共5道）6（本小题满分12分）求与双曲线一有公共渐近线，且过点的双曲线的标准方程。7、已知函数-(xR).(1)求函数.的单调区间和极值；已知函数-5的图象与函数.的图象关于直线x=1对称，证明当x>1时,.»心8、已知函数.1-<,且其导函数；;.上：的图像过原点.当.-.时，求函数匚处的图像在-?处的切线方程；若存在.-<,使得，求-'的最大值；9、(本小题满分12分)求与双曲线-有公共渐近线，且过点的双曲线的标准方程。10、已知定点F与分别在轴、轴上的动点.-.满足:动点一二满足.

4、二：（1）求动点二的轨迹的方程；（2）设过点F任作一直线与点三的轨迹交于二、匚两点，直线二-三与直线:=-2分别交于点（二为坐标原点）；（i）试判断直线1-与以.二为直径的圆的位置关系；（ii）探究兀尸是否为定值？并证明你的结论填空题（共5道）11、设一：为双曲线一的左右焦点，点P在双曲线的左支上，且三的最小值为二，贝U双曲线的离心率的取值范围是.12、设为双曲线-的左右焦点，点P在双曲线的左支上，且三的最小值为4，贝U双曲线的离心率的取值范围是.13、已知点F1、F2分别是双曲线三彳=论>0,b>0）的左、右焦点，过F1垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若ABF2为锐角三角

5、形，则双曲线的离心率e的取值范围是.14、已知点P在双曲线厂-77=1上，并且P到这条双曲线的右准线的距离恰是P到这条双曲线的两个焦点的距离的等差中项，那么，P的横坐标是15、若关于x的方程kx+1=lnx有解，则实数k的取值范围是解：由直线y=ax+1-a,可知此直线过点A(i,i),y=-2|x-1|=仁“1-V0AfiV=-2|xd|J1如图所示,l与函数y=-2|x-1|的图象只能由一个交点,1解得,1V=fl.H-1d或故不是“绝对函数”；y=x2与l:y=ax+1-ajr,此两个交点的距离"F=|a|，化为(a-2)2y=(1+a2)-a2=0，令f(a)=(a-2)2(

6、1+a2)-a2，则f(1)=2-1=1>0,f(2)=0-4v0,因此函数f(a)在区间(1,2)内存在零点，即方程(a-2)2(1+a2)-a2=0，有解.故此函数是“绝对函数”；3(x-1)2+(y-1)2=1是以(1,1)为圆心，1为半径的圆，此时直线l总会与此圆由两个交点，且两个交点的距离是圆的直径2,存在a=±2满足条件，故此函数是“绝对函数”；把直线y=ax+1-a代入x2+3y2=4得(3a2+1)x2+6a(1-a)x+3(1-a)2-4=0,k"=Id)若直线I被椭圆截得的弦长是|a|，则百'二I+")仁口七乜|'丄“七=

7、1+旷)趴严3“卅一宀，化为，令f(a)+13ij+l-加+2(I-+I3ti-+I函数ffa)在区间f1,3)内有零点，即方程ffa)=0有实数根，而直线I过椭圆上的定点f1,1)，当a(1,3)时，直线满足条件，即此函数是“绝对函数”.综上可知：能满足题意的曲线有.故选D.2- 答案：tc刃'=I解：抛物线y2=4x的焦点为f1,0),则双曲线的焦距2c为2,则有=4解得a=-,b£则双曲线的渐近线方程为：v=故选D3- 答案：C4- 答案：tc解：由题意，构造新函数hfx)=ffx)-gfx)v当x>1时，f'(x)>g'(x),当xv1时，

8、f'(x)vg'(x),二当x>1时，h'(x)>0,当xv1时，h'(x)v0.函数hfx)=ffx)-gfx)的单调增区间为f1,+),单调减区间为(-%,1).hf1)vhf2).ff1)-gf1)vff2)-g(2).ff2)-ff1)>gf2)-gf1)故选A.5- 答案：B-，将点代入得.=-2,所求双曲线的标准方程为略匚42- 答案：f(x)在(乂,1)上是增函数，在(1,+x)上是减函数故函数f(x)在x=1处取得极大值f(1)，且f(1)=(2)见解析本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用。(1)根据已知函数求解导数，结合导

9、数的符号与单调性的关系得到单调区间。(2)构造函数由题意可知g(x)=f(2x)，得g(x)=(2x)ex2.令F(x)=f(x)g(x)，即F(x)=xex+(x2)ex2.于是F'(x)=(x1)(e2x21)ex.当x>1时，2x2>0，从而e2x21>0.又ex>0，结合单调性得到结论。解：(1)f'(x)=(1x)ex.令f'(x)=0，解得x=1.当x变化时,f'(x)，f(x)的变化情况如下表:J(8I1、1()十oc)+0*所以f(x)在(X，1)上是增函数，在(1，+)上是减函数.故函数f(x)在x=1处取得极大值f(1

10、)，且f(1)=.(2)证明：由题意可知g(x)=f(2x)，得g(x)=(2bx)ex2.令F(x)=f(x)g(x)，即卩F(x)=xex+(x2)ex2.于是F'(x)=(x1)(e2x21)ex.当x>1时，2x2>0，从而e2x21>0.又ex>0，所以F'(x)>0,从而函数F(x)在1，+)上是增函数.又F(1)=e1e1=0,所以x>1时，有F(x)>F(1)=0,因此，当x>1时，f(x)>g(x).3- 答案：（1）汪-：仝-】；-7本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用。（1）根据导数的计算，以及导函

11、数过原点，且在a=1的情况下，分析得到结论。（2）对于参数a进行讨论，分析要是导函数在-9时，方程有解。，对于a分为几种情况分别说明，a>O,a<O,a=O。解：一：十亠|由.一一得,广；门|：.2分（1）当时，-.-，一一，.一-所以函数.的图像J在"处的切线方程为：-1-1,即-二二4分（2）存在.：,使得二mJ-十一*,：_-._，,.，当且仅当-时，.-一所以-：的最大值为-7.9分4- 答案：设所求双曲线的方程为-，将点代入得=-：，所求双曲线的标准方程为略5- 答案：（1）；（2）（i）相切；（ii）壬三为定值，且定值为0.证明过程见解析.试题分析：（1）假设

12、P点坐标，由，经向量的坐标运算，易得P的轨迹方程.（2）（i）A，B,两点到准线的距离与到焦点距离相等，又1-是方程的准线，结合图形，易得直线与圆相切（ii）假设过F点的直线方程AB为苫-'汀上与抛物线方程联立，求得A,B两点坐标.写出OA0B所在直线方程，求出与hx=-2的交点S、T坐标，转化为向量的坐标运算，可知二二-=0试题解析：解：（1）设动点三的坐标为，.,则1- 11）1分又一厉玖二-用JF'm卜粉町，由ACV-JVF-O得匚注门2分.:-:-即卜泳吩说亦即-_y3分代入H-+2=0即得：动点尸的轨迹的方程为：科I2-4分（2）由（1）知动点三的轨迹是以-为焦点，I

13、-为准线的抛物线,设直线上匸的方程为二-宀+；点上'三的坐标分别为心"用:m.（i）设一:两点到准线:=-1的距离分别为一，则s隐心品,设一二的中点匚到准线的距离为，.，5分则业+仇十”訂日+0®*r|JiJ.丄7分直线=<与以-二为直径的圆13新g+m于是拓吩咲貯皿曙"12相切.8分（注：直接运算得到正确结果同样给分）（ii）由:：二得聲小血，一.：-10分二：的方程为-，即-JF=A由Y得点£的坐标为勺亠m，同理可得点厂的坐标为>1IJ-x>111分分因此匚茁为定值，且定值为0.分1-答案:口=1试题分析：双曲线一(a>

14、;0,b>0)的左右焦点分旷犷别为F1,F2,P为双曲线左支上的任意一点，二|PF2|-|PF1|=2a,|PF2|=2a+|PF1|,-一-2：:(当且仅当时取等号)，所以|牛|rrt1|PF2|=2a+|PF1|=4a,v|PF2|-|PF1|=2av2c,|PF1|+|PF2|=6a>2c,所以e(1,3。点评：本题把双曲线的定义和基本不等式相结合，考查知识点的灵活应用。解题时要认真审题，注意基本不等式的合理运用。2- 答案：.试题分析：v双曲线，匚-)(a>0,b>0)的左右焦点分别为F1,F2,P为双曲线左支上的任意一点，二|PF2|-|PF1|=2a,|PF

15、2|=2a+|PF1|,-一八(当且仅当时取等号)，所以|PF2|=2a+|PF1|=4a,v|PF2|-|PF1|=2av2c,|PF1|+|PF2|=6a>2c,所以e(1,3。点评：本题把双曲线的定义和基本不等式相结合，考查知识点的灵活应用。解题时要认真审题，注意基本不等式的合理运用。3- 答案：在双曲线£-$=1(a>0,b>0)中,令x=-c得,y=±牛，二A,B两点的纵坐标分别为土T.由厶ABF2是锐角三角形知,/AF2FV于,tan/AF2F1=vtant=1，二士v1,c2-2ac-a2v0,e2-2e-1v0,.l-卜耳vev1+辽.又e>1,二1<ev1+门,故答案为：(1,1+匹).4- 答案：记半实轴、半虚轴、半焦距的长分别为a、b、c,离心率为e,点P到右准线I的距离为d，则a=4，b=3，c=5,：e=，右准线I为x=-=.如果P在双曲线右支，则|PF1|=|PF2|+2a=ed+2a.从而，|PF1|+|PF2|=(ed+2a)+ed=2ed+2a>2d,这不可能；故P在双曲线的左支，则|PF2|-|PF1|=2a，|PF1|+|PF2|=2d.两式相加得2|PF2|=2a+2d.又|PF2|=ed，从而ed=a+d.故d=丄弓=16.因此，P的横坐标为罟-16=課.5-