经典数学选修1-1常考题1949

1、经典数学选修1-1常考题单选题（共5道）1、若F1、F2是双曲线=1的两个焦点，点P是该双曲线上一点，满足|PF1|+|PF2|=9，则|PF1|?|PF2|=（）A4B5其中一条与双曲线交于点B,若（扁+心）D2作两条相互垂直的直线分别过两焦点,?=0,则双曲线的离心率为（）3、已知直线y=x+1与曲线y=ln（x+a）相切，贝Ua的值为A1B2C-1D-24、已知函数f（x）,当自变量由x0变化到x1时函数值的增量与相应的自变量的增量比是函数（）A在x0处的变化率B在区间x0，x1上的平均变化率C在x1处的变化率D以上结论都不对5、给出以下四个命题： 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直

2、线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行； 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面； 如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行； 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直；其中真命题的个数是A4B3C2D1简答题（共5道）6（本小题满分12分）求与双曲线JV有公共渐近线，且过点2丄二的双曲线的标准方程。7、(2015?淮南校级三模)已知函数f(x)=alnx-2x，g(x)=x2-(2-a)x-(2-a)lnx，其中aR.(1) 判断f(x)单调性；(2) 若g(x)在其定义域内为增函数，求正实数a的取值范围；(3) 若F

3、(x)=f(x)-g(x)函数存在两个零点m、n，且2x0=m+n问:函数F(x)在点(x0，F(xO)处的切线能否平行于x轴？8、设函数f(x)=x3-kx2+x(kR).(1) 当k=1时，求函数f(x)的单调区间；(2) 当kv0时，求函数f(x)在k，-k上的最小值m和最大值M9、（本小题满分12分）求与双曲线有公共渐近线，且过点4煎的双曲线的标准方程。10、（本小题满分12分）求与双曲线有公共渐近线，且过点丄二的双曲线的标准方程。填空题（共5道）11、设-一为双曲线2壬的左右焦点，点P在双曲线的左支上，且謬的最小值为二，贝U双曲线的离心率的取值范围是.12、.经过原点（0,0）做函数

4、f（x）=x3+3x2的切线，则切线方程为.13、已知a=（+»），b=*4（1+壮+古+），则a、b的值分另S为，C=lg=.14、设.：为双曲线-的左右焦点，点P在双曲线的左支上，且孚的最小值为二，贝U双曲线的离心率的取值范围是.15、设-.为双曲线的左右焦点，点P在双曲线的左支上，且-d*J"|的最小值为二，贝U双曲线的离心率的取值范围是.解：不妨设P是双曲线右支上一点，则|PF1|-|PF2|=4,：|PF1|+|PF2|=9，|PF1|?|PF2|=苧.故选：C.2- 答案：tc解：（闷+A忌）？时飞=0二厶ABF2是等腰三角形，设AF2=mAF1=x又AB=AF

5、2则BF1=m-x=2aBF2.BF2-BF1=2a,即回】”-2a=2a，故am,又m-x=2a,解得x=1m在厶AF1F2中，由勾股定理知，2c=|,='m所以双曲线的离心率故选B.3- 答案：B4- 答案：tc解：当自变量由x0变化到x1时，自变量的“增量”为x1-x0，对应的函数值的“增量”为f(xl)-f(xO),比值为函数在区间xO,x1上的平均变化率故选B.5- 答案：B1- 答案：设所求双曲线的方程为-，将点-代入得-匚，所求双曲线的标准方程为略止42- 答案：解：(1)f'(x)乂-2,(x>0),a>0时，令f'(x)>0,解得：x

6、>¥，令f'(x)v0,解得:0vxv牛，f(x)在(0,)递减，在(专,r-rr+x)递增；a<0时，f'(x)<0,f(x)在(0,+x)递减，综上，a>0时，f(x)在(0,)递减，在待，+x)递增；a<0时，f(x)在(0,+x)rr递减.(2)若g(x)在其定义域内为增函数，则只需g'(x)=2x-(2-a)-宁2牛丁=0在(0,+x)恒成立，即2x2-(2-a)x-(2-a)>0,令hX(x)=2x2-(2-a)x-(2-a),对称轴x韦巴，当于>0,即av2时，只需二(2-a)2+8(2-a)<0,

7、解得：2<a<10,不合题意，当.<0,即a>2时，只需h(0)=-2+a>0即可，解得：a<2,二a=2,故a=2时，g(x)在其定义域内为增函数.(3) F(x)=alnx-2x-x2-(2-a)x-(2-a)Inx=-x2-ax+2Inx，二F'(x)&-2x-a,由题意得：21nm-m2-am=0D,21nn-n2-an=C，m+n=2x，-2x0-a=0®.-得：2ln-(m+r)(m-n)=a(m-n),a=-In巴-，设u丰士l由得：a£-2x0.2_(0,1),得式变形为Inu-=0,(u(0,1),设y=

8、lnu-,(u(0,1),得：y'=14L)21)->0,-2(-1)驾v0,即lnninV叶1|'n函数y=lnu-在(0,1)递增，yvy|u=1=0,即Inu-H+1与矛盾，函数F(x)在点(x0,F(x0)处的切线和x轴不平行.解：(1)f'(x)=-2,(x>0),a>0时，令f'(x)>0,解得：x>,令f'(x)v0,解得：0vxVy,f(乂)在(0，)递减，在(£,+x)递ImIm-iXr增；aW0时，f'(x)<0,f(x)在(0,+x)递减，综上，a>0时，f(x)在(0,秩

9、)递减，在(扌，+x)递增；a<0时，f(x)在(0,+x)递减.(2) 若g(x)在其定义域内为增函数，则只需g'(x)=2x-(2-a)-亍=_0在(0,+x)恒成立，即2x2-(2-a)x-(2-a)>0,令hX(x)=2x2-(2-a)x-(2-a),对称轴x亍，当乎>0,即av2时，只需二(2-a)2+8(2-a)<0,解得：2<a<10,不合题意，当.<0,即a>2时，只需h(0)=-2+a>0即可，解得：a<2,-a=2,故a=2时，g(x)在其定义域内为增函数.(3) F(x)=alnx-2x-x2-(2-a)

10、x-(2-a)Inx=-x2-ax+2lnx，-F'(x)彳-2x-a,由题意得：2lnm-m2-am=0D,2lnn-n2-an=0，m+n=2x,二-2x0-a=0,択2-2x02-得：2ln-(m+n(m-n)=a(m-n),-a=_”一，由得：a亍-2x0,ffinitt+n.ln-2，设u兰(0,1),设y=lnu-lu-2卄1(0,1),得式变形为lnu-,(u(0,1),得：y'=函数y=lnu-在(0,1)递增，yvy|u=1=0,即Inu-=0,(u1斗=u-)2li(H4L)-1J"esn2(-1)忤v0,即lnnv卄1|nfl>0,与矛盾，

11、.函数F(x)在点(x0,F(x0)处的切线和x轴不平行.3- 答案：解：f'(x)=3x2-2kx+1(1) 当k=1时f'(x)=3x2-2x+1,=4-12=-8v0,二f'(x)>0,f(x)在R上单调递增.(2) 当kv0时，f'(x)=3x2-2kx+1，其开口向上，对称轴过(【，且过(0,1)(i)当=4八-1"皿+3心$灿,即會心时，f'(x)>0,f(x)在k,-k上单调递增，从而当x=k时，f(x)取得最小值m=f(k)=k,当x=-k时，f(x)取得最大值M=f(-k)=-k3-k3-k=-2k3-k.(ii)

12、当厶=4*12=4(受+3私0丙，即2-囲时，令f'(x)_A+12_j_A齐=3x2-2kx+1=0解得注意到kvx2vx1v0,am=minf(k),f(x1),M=maxf(-k),f(x2),vii-ii-'f(x)的最小值m=f(k)=k,v+r'，二f(x)的最大值M=f(-k)=-2k3-k.综上所述,当kv0时，f(x)的最小值m=f(k)=k,最大值M=f(-k)=-2k3-k解法2：(2)当kv0时,对?xk,-k,都有f(x)-f(k)=x3-kx2+x-k3+k3-k=(x2+1)(x-k)>0,故f(x)>f(k).f(x)-f(-

13、k)=x3-kx2+x+k3+k3+k=(x+k)(x2-2kx+2k2+1)=(x+k)(x-k)2+k2+1<0,故f(x)wf(-k)，而f(k)=kv0,f(-k)=-2k3-k>0.所以f(x)min=f(k)=k.解：f'(x)=3x2-2kx+1(1) 当k=1时f'(x)=3x2-2x+1，：=4-12=-8v0,二f'(x)>0,f(x)在R上单调递增.(2) 当kv0时，f'(x)=3x2-2kx+1，其开口向上，对称轴过(，且过(0,1)(i)当A=4r-12=4(i4-3)(A-)<0,即悴心时，厂(x)>0

14、,f(x)在k，-k上单调递增，从而当x=k时，f(x)取得最小值m=f(k)=k，当x=-k时，f(x)取得最大值M=f(-k)=-k3-k3-k=-2k3-k.(ii)当=12=4"+仗_屆戸0，即z-囲时，令(x)_a+A2-3-A_Jk2-3、=3x2-2kx+1=0解得：，注意到kvx2vx1v0，m=minf(k)，f(x1)，M=maxf(-k)，f(x2)，vf(x)的最小值m=f(k)=k，v.r'，f(x)的最大值M=f(-k)=-2k3-k.综上所述，当kv0时，f(x)的最小值m=f(k)=k，最大值M=f(-k)=-2k3-k解法2：(2)当kv0时

15、，对?xk，-k，都有f(x)-f(k)=x3-kx2+x-k3+k3-k=(x2+1)(x-k)>0,故f(x)>f(k).f(x)-f(-k)=x3-kx2+x+k3+k3+k=(x+k)(x2-2kx+2k2+1)=(x+k)(x-k)2+k2+1<0,故Ujr/EE.fJ.*九*f(x)wf(-k)，而f(k)=kv0,f(-k)=-2k3-k>0.所以，f(x)min=f(k)=k.4- 答案：设所求双曲线的方程为.-，将点-代入得-=-,所求双曲线的标准方程为一一略5-答案：设所求双曲线的方程为匸沁，将点-'代入得=-,所求双曲线的标准方程为-略丄-

16、11-答案：一试题分析：双曲线24-(a>0,b>0)的左右焦点分别为F1,F2,P为双曲线左支上的任意一点，二|PF2|-|PF1|=2a,|PF2|=2a+|PF1|,-:；(当且仅当一时取等号)，所以|PF2|=2a+|PF1|=4a,v|PF2|-|PF1|=2av2c,|PF1|+|PF2|=6a>2c,所以e(1,3。点评：本题把双曲线的定义和基本不等式相结合，考查知识点的灵活应用。解题时要认真审题，注意基本不等式的合理运用。2-答案：vf'(x)=3x2+6x，若原点(0,0)是切点，则切线的斜率为f'(0)=0,贝U切线方程为y=0;若原点(0

17、,0)不是切点，设切点为P(x0,y0),则切线的斜率为f'(x0)=3+6x0,因此切线方程为y-(+3)=(3k烈+6x0)(x-x0),因为切线经过原点(0,0),-(3+)=-x0(3+6x0),vx0m0,解得x0二扌.切线方程为y=-x,化为9x+4y=0.切线方程为y=0或9x+4y=0.故答案为y=0或9x+4y=0.b=1111丄r41=叫,a=7ull丄+池丄“1叩1123n丄X丄+-Pll.il齐囂II7a*1miij_=L:fs2ii卞-*diA；则卅3-答案：+"+,所以c=4訥影；1+;=_,=,故答案为：7,4-答案：试题分析：v双曲线-(a>0,b>0)的左右焦点分别为F1,F2,P为双曲线左支上的任意一点，二|PF2|-|PF1|=2a,|PF2|=2a+|PF1|,-'当且仅当八时取等号)，所以|PF2|=2a+|PF1|=4a,v|PF2|-|PF1|=2av2c,|PF1|+|PF2|=6a>2c,所以e(1,3。点评：本题把双曲