第五章结构的位移计算

1、基本要求：基本要求： 理解理解实功、虚功、广义力、广义位移的概念，变形体虚功原理和互等定理。掌握掌握荷载产生的位移计算。熟练掌握熟练掌握图乘法求位移。了解了解了解温度改变、支座移动引起的位移计算。 AAAAAH AVPAHAV绝对位移相对位移：指两点相对位移：指两点或两截面相互之间或两截面相互之间位置的改变量。位置的改变量。FP1CHDHFP2FP3ABABCDABCDCD两点的相对水平位移两点的相对水平位移CDCHDH ABAB两截面的相对角位移两截面的相对角位移ABABFP1CHDHFP2FP3ABABCDABt 铁路工程技术规范规定铁路工程技术规范规定: (1) 验算结构刚度验算结构刚度

2、在工程上，吊车梁允许的挠度在工程上，吊车梁允许的挠度 1/600 跨度；跨度；桥梁在竖向活载下，钢板桥梁和钢桁梁桥梁在竖向活载下，钢板桥梁和钢桁梁最大挠度最大挠度 1/700 和和1/900跨度跨度高层建筑的最大位移高层建筑的最大位移 1/1000 高度。高度。 最大层间位移最大层间位移 1/800 层高。层高。校核结构的位移是否超过允许限值，以防止构校核结构的位移是否超过允许限值，以防止构件和结构产生过大的变形而影响结构的正常使件和结构产生过大的变形而影响结构的正常使用。用。 如屋架在竖向荷载作用下，下弦各结点产生虚线所示位移。将各下弦杆做得比实际长度短些，拼装后下弦向上起拱。在屋盖自重作用

3、下，下弦各杆位于原设计的水平位置。(2）建筑起拱和施工要求）建筑起拱和施工要求(3)为超静定结构计算打基础为超静定结构计算打基础超静定结构的计算要同时满足平衡条件和变形协调条件。超静定结构的计算要同时满足平衡条件和变形协调条件。abABC1c?FP=1ABCabRAF四、虚力原理四、虚力原理已知已知1c求求虚功方程虚功方程设虚力状态设虚力状态abFbFaFRAPRA0011cFRA1cab小结：小结： （1）形式是虚功方程，实质是几何方程；）形式是虚功方程，实质是几何方程；（2）在拟求位移方向虚设一单位力，利用平衡条件求出与已知位移相）在拟求位移方向虚设一单位力，利用平衡条件求出与已知位移相

4、应的支座反力。应的支座反力。构造一个平衡力系构造一个平衡力系；（3）特点是用静力平衡条件解决几何问题。）特点是用静力平衡条件解决几何问题。单位荷载其虚功正好等于拟求位移。单位荷载其虚功正好等于拟求位移。虚设力系求刚体体系位移虚设力系求刚体体系位移五、支座位移时静定结构的位移计算五、支座位移时静定结构的位移计算（1）C点的竖向位移点的竖向位移c（2）杆）杆CD的转角的转角l3l 23lABCDABCD13132ABCD1l 21l2l 23已知位移已知位移Ac求求:cAc 03111DccAcc31 02112AclAcl 21 所得正号表明位移方所得正号表明位移方向与假设的单位力方向向与假设的

5、单位力方向一致。一致。求解步求解步骤骤（1）沿所求位移方向加单位力，求出虚反力；）沿所求位移方向加单位力，求出虚反力；（3）解方程得）解方程得kRkcF定出方向。定出方向。（2）建立虚功方程）建立虚功方程01kRkcF练习： 已知刚架支座B向右移动a,求 。CVDHc、解：1）求CV1()( )44CVddaahh CABhd/2d/2aDCAB1d/4hd/4h0.50.5求CVDCADB10.50.5h/dh/dd/2d/22）求DH)(2)21(1aaDHCADB1/h1/h00d/2d/2113）求C)()1(1haahCCABhd/2d/2aD5.2 5.2 结构位移计算一般公式结构

6、位移计算一般公式1. 1.局部变形时静定结构的位移计算局部变形时静定结构的位移计算dBAaamaaBAdm1aaABMiiaMsin1虚功方程：虚功方程：01dMmdMmBAiiBAQdQ1AQFsin1QF01dFQQdFQQ 例例1、悬臂梁在截面、悬臂梁在截面B处由于某种原因处由于某种原因产生相对转角产生相对转角d ，试求，试求A点在点在ii方向的方向的位移位移 。m 例例2、悬臂梁在截面、悬臂梁在截面B处由于某种原因处由于某种原因产生相对剪位移产生相对剪位移d ，试求试求A点在点在ii方向方向的位移的位移 。Q 例例3、悬臂梁在截面、悬臂梁在截面B处由于某种原因产生轴向位移处由于某种原因

7、产生轴向位移d 试求试求A点在点在方向的位移方向的位移 。NBABAii NNBA 1NFNF由平衡条件：由平衡条件：cos1NF虚功方程：虚功方程：01dFNNdFNN 当截面当截面B同时产生三种相对位移时，在同时产生三种相对位移时，在ii方向所产生的位移方向所产生的位移 ，即是三者的叠加，有：即是三者的叠加，有：dFdFdMNQNQMd推导位移计算公式的两种途径推导位移计算公式的两种途径由变形体虚功原理来推导；由变形体虚功原理来推导；由刚体虚功原理来推导由刚体虚功原理来推导局部到整体局部到整体。2、局部变形时的位移计算公式、局部变形时的位移计算公式基本思路：基本思路：dsdddRii dd

8、sddsddRdsR1（1）三种变形：）三种变形：在刚性杆中，取微段在刚性杆中，取微段ds设为变形体，分析局部变形设为变形体，分析局部变形所引起的位移。所引起的位移。dsRdsddsddsddsdddRiiddsddsddRds 1QNFFM,（2）微段两端相对位移：）微段两端相对位移：续基本思路：设续基本思路：设,0ds 微段的变形以截面微段的变形以截面B左右两端的相对位移的左右两端的相对位移的形式出现，形式出现，即刚体位移即刚体位移，于是可以利用刚体虚功原理求位移。，于是可以利用刚体虚功原理求位移。（3）应用刚体虚功原理求位移）应用刚体虚功原理求位移d 即前例的结论。即前例的结论。或或ds

9、FFMdQN)(dFdFdMdNQNQM3、结构位移计算的一般公式、结构位移计算的一般公式ii一根杆件各个微段变形引起的位移总和：一根杆件各个微段变形引起的位移总和：如果结构由多个杆件组成，则整个结构变形引起某点的位移为：如果结构由多个杆件组成，则整个结构变形引起某点的位移为：若结构的支座还有位移，则总的位移为：若结构的支座还有位移，则总的位移为：dsFFMdQN)(dsFFMdQN)(0dsFFMdQN)(0KRKQNcFdsFFMd)(0适用范围与特点：适用范围与特点：2） 形式上是虚功方程，实质是几何方程。形式上是虚功方程，实质是几何方程。关于公式普遍性的讨论：关于公式普遍性的讨论：（1

10、）变形类型：轴向变形、剪切变形、弯曲变形。）变形类型：轴向变形、剪切变形、弯曲变形。（2）变形原因：荷载与非荷载。）变形原因：荷载与非荷载。（3）结构类型：各种杆件结构。）结构类型：各种杆件结构。（4）材料种类：各种变形固体材料。）材料种类：各种变形固体材料。1） 适于小变形，可用叠加原理。适于小变形，可用叠加原理。KRKQNcFdsFFM)(04. 4.求位移步骤如下：求位移步骤如下：沿拟求位移方向虚设性质相应的单位载荷；求结构在单位载荷作用下的内力和支座反力；利用位移计算一般公式求位移。 5.广义位移的计算求图a）结构A、B截面相对水平位移 。ABAHBH +a) 给定位移qABAHBH,

11、0 , c) 虚设单位荷载1AB1111,NQFFMb)AB1NQFFM,1d) 虚设单位荷载2AB1222,NQFFM=虚设单位载荷如上页图c) ，d)所示。11011AHQNMdsFdsFds22021BHQNMdsFdsFds1212012 =+=()()()ABAHBHQQNNMMdsFFdsFFds由上图b)可得：121212QQQNNNMMMFFFFFF所以得：0ABQNM dsFdsFds 所以，为了求两个截面的相对位移，只需要在该两个截面同时加一对大小相等，方向相反，性质与所求位移相应的单位荷载即可。下面给出几种情况的广义单位荷载：1)q求11单位荷载AB1/l1/l单位荷载A

12、BlAVBV求AB+)/l=(AVBV2)1AB求AV -BV1AB11求AV+BV(A，B截面竖向位移之和）(A，B截面相对竖向位移）ABFPAVBV原结构3)例例: 1)求求A点水平位移点水平位移 所加单位广义力与所求广义位移相对应所加单位广义力与所求广义位移相对应,该单位该单位广义力在所求广义位移上做功广义力在所求广义位移上做功.PAB2)求求A截面转角截面转角3)求求AB两点相对水平位移两点相对水平位移4)求求AB两截面相对转角两截面相对转角1P1P1P1P 5.3荷载作用下结构的位移计算荷载作用下结构的位移计算CABDNQFFM,FP=1给定位移、变形,0 , DH,DV,D(MP,

13、FQP,FNP )FPCABqDD01()QNMdsFFds 若结构只有荷载作用，则位移计算一般公式为：PMEI0QPkFGANPFEA 上式适用的条件是：小变形，材料服从虎克定律，即体系是线性弹性体。1QPNPPQNkFFMMdsFdsFdsEIGAEA 1QQPNNPPkF FF FM MdsdsdsEIGAEA 在荷载作用下，应变 与内力0、 、PQPMF、 的关系式如下：（式中k为剪应力不均匀系数）NPF正负号规则：1） 不规定 和 的正负号，只规定乘积MPMPMM的正负号。若 和 使杆件同一侧纤维受MPM拉伸长，则乘积为正，反之为负；正MMP正MMP负MMP2） 和 以拉力为正，压力

14、为负；NFNPF3） 和 的正负号见下图。QFQPFQFQFQFQF各类结构的位移计算公式1. 梁和刚架 在梁和刚架中，由于轴向变形及剪切变形产生的位移可以忽略，故位移计算公式为：=PMMdsEI 在高层建筑中，柱的轴力很大，故轴向变形对位移的影响不容忽略。 对于深梁，即h/l 较大的梁，剪切变形的影响不容忽略。 5.4荷载作用下结构的位移计算举例荷载作用下结构的位移计算举例2. 桁架 桁架各杆只有轴力，所以位移计算公式为：=NNPF FdsEANNPNNPF FF F ldsEAEA4. 拱NNPPF FMMdsdsEIEA 拱轴截面轴向变形的影响通常不能忽略：3. 组合结构NNPPF F

15、lMMdsEIEA 用于弯曲杆 用于二力杆解：解：例例:求图示桁架求图示桁架(各杆各杆EA相同相同)k点水平位移点水平位移.Paak100PPP211122)()21 (2222) 1)() 1)(1EAPaaPaPaPEA练习练习:求图示桁架求图示桁架(各杆各杆EA相同相同)k点竖向位移点竖向位移.aaPk1110200P2P)()221 (2)2)(2(11EAPaaPaPEANFNPFNNPkHF F lEANPFNFNNPkVF F lEAPP=1例：求图示曲杆（1/4圆弧）顶点的竖向位移。解：1）虚拟单位荷载 cosFQ sinFN sinRMcosPFQPsin PFNPsin P

16、RMP虚拟荷载下内力3）位移公式为QNMGAPREAPREIPR4443pkppds=Rddds钢筋混凝土结构G0.4E矩形截面, k =1.2,I/A=h2/1212001MN4001MQ2MNARI2412MQRhGAREIk可见剪切变形和轴向变 形引起的位移与弯曲变形 引起的位移相比可以忽略 不计。但对于深梁剪切变 形引起的位移不可忽略.2）实际荷载下内力dGAPRdEAPREIPRcossin20203 kpp22h101R如2121RhPGAdsFQPFQEAdsFNPFNEIdsMMk例题53如图所示为等截面简支梁，其左半跨内均布荷载q，梁横截面的弯曲惯性矩为I，试求该梁中点截面C

17、的角位移C。解：在左半跨内(0 x l/2):=ixMl223=(34)828PqlqqMxxlxx在右半跨内(0 x l/2):=ilxMl=- )8PqlMl x（/220/23 ().(34).()88 384iPclllM MdsEIxqdxlx qldxlxxlxlEIlEIqlEI 作业 5-1 5-2 5-6 5-8 5-105.5 图乘图乘 法法 在杆件数量多的情况下在杆件数量多的情况下,不方便不方便. 下面介绍下面介绍计算位移的图乘法计算位移的图乘法.diPiPM MsEI刚架与梁的位移计算公式为：刚架与梁的位移计算公式为：kidsEIMMkiCEIdxMMEI1PEIydx

18、EIMM0wyEI01wxtgEI01wBAkdxxMtgEI1BAkMdxxtgMEIi1是直线kidxEIMM直杆MiMi=xtgyxMkdxxy0 x0y0=x0tg一、图乘公式推导BAkdxxMMK对 y 轴的静矩。图乘法是图乘法是Vereshagin于于1925年提出的，他当时年提出的，他当时为莫斯科铁路运输学院为莫斯科铁路运输学院的的学生学生。图乘法的图乘法的适用条件是适用条件是什么什么?AB1. 图乘法的应用条件：图乘法的应用条件：（1）等截面直杆，）等截面直杆，EI为常数；为常数；（2）两个）两个M图中应有一个是直线图形；图中应有一个是直线图形；（3） 应取自直线图中。应取自直

19、线图中。0y2. 若若 与与 在杆件的同侧，在杆件的同侧， 取正值；取正值；反之，取负值。反之，取负值。cyww0y(1) 曲曲-折组合折组合1 12233Cyyywww例如例如yc0Cyw1w2w3wwy2y1y31 1221 1Cyyywww(2) 阶梯形截面杆阶梯形截面杆jjjjKiIEyIEyIEyIEyxEIMMw ww ww ww w333322221111d二、几种常见图形的面积和形心位置的二、几种常见图形的面积和形心位置的确定方法确定方法抛物线的顶点（抛物线的顶点（FQ=0处）在抛物线的中点处）在抛物线的中点或端点或端点.例例. 试求图示梁试求图示梁B端转角端转角.解解:cBy

20、EIwABP2/ l2/ lEIBAB1M4/Pl11EIPM 图iM图124Pll 1221()16PlEI例例. 试求图示结构试求图示结构B点竖向位移点竖向位移.解解:0BVyEIwPl1lPEIBEIllPM 图iM图1EI1(2Pl l2.3l)Pl l l 34( )3PlEI21EIqlqllEIB3224121)8132(1（ ）281qlBAq1例例:求图示梁求图示梁(EI=常数常数,跨长为跨长为l)B截面转角截面转角B解解:PM 图iM图三、图形分解三、图形分解B求求1ABmkN 20mkN 40m10EI)(100)203260(110211EIEIB)(100)21102

21、032601021(1EIEIB402060204020112(10 40231110020 10)()23BEIEIPM 图iM图当弯矩图的形心位置或面积不便于确定时，常将该图形分解为几个易于确定形心位置和面积的部分，并将它们分别与另一图形相乘，然后再将所得结果相加。下面分两种情况讨论。三、图形分解三、图形分解B求求1)(24)1322EIqlqllqllEIBAB4/2qllEIq42ql8/2qlq8/2qlPM 图iM图三、图形分解三、图形分解C求求C截面竖向位移截面竖向位移16/3l8/2ql4/3l4/ lABEIqC1P32/32qlq32/32ql4/

22、3lq32/32qlq32/32ql4/ lq32/32ql8/) 4/3 (2lq8/) 4/(2lqPM 图iM图212 3(3 /4)1 3(3 482 16Cl qllEI 21 332 32 4323 16lqll22( /4)1 33 482 16lq ll2132 3)2 4323 16lqll419( )4048qlEI当抛物线的顶点（当抛物线的顶点（FQ=0处）不在抛处）不在抛物线的中点或端点时，可将其分成物线的中点或端点时，可将其分成直线形和简单抛物线（如图示），直线形和简单抛物线（如图示），然后两者分别与另一图形相乘，再然后两者分别与另一图形相乘，再把乘得的结果相加。把乘

23、得的结果相加。PPaaa例：求图示梁中点的挠度。PaPaMPP=13a/4MEIPaPaaaaPaEIaa24232222232213432a/2a/2PaaaEI343211Pl/2l/2C例：求图示梁C点的挠度。MPPlCP=1l/2Ml/6l6EIPl123PlEIC212EIPl4853Pl65llEIyC22210w5Pl/6？两个图形均非直线性竖标不是取在直线图形中四、图乘法小结四、图乘法小结1. 图乘法的应用条件：图乘法的应用条件：（1）等截面直杆，）等截面直杆，EI为常数；为常数；（2）两个）两个M图中应有一个是直线；图中应有一个是直线；（3） 应取自直线图中。应取自直线图中。

24、cy2. 若若 与与 在杆件的同侧，在杆件的同侧， 取正值；取正值；反之，取负值。反之，取负值。cywwcy3.当图乘法的适用条件不满足时的处理方法：当图乘法的适用条件不满足时的处理方法：a）曲杆或）曲杆或EI=EI（x）时，只能用积分法求位）时，只能用积分法求位移；移；b）当）当EI分段为常数或单位弯矩图、荷载分段为常数或单位弯矩图、荷载弯矩图均非直线时，应分段图乘再叠加；弯矩图均非直线时，应分段图乘再叠加； 例例 1. 已知已知 EI 为常数，求为常数，求C、D两点相对水平位移两点相对水平位移 。CD 五、应用举例五、应用举例ClqDhq8/2qlh11h解：解：PM 图iM图1cCDyE

25、IEIw2238qllh3()12qhlEI 例例 2. 已知已知 EI 为常数，求铰为常数，求铰C两侧截面相对转角两侧截面相对转角 。C五、应用举例五、应用举例解：解：AlqBlClq4/ql4/ql0l /123121382()24cCyqlEIEIqlEIw 1M iM图14/2ql4/2qlPM 图 例例 3. 图示梁图示梁EI 为常数，求为常数，求C点竖向位移。点竖向位移。五、应用举例五、应用举例iM2/ lAl/2qBCl/2MP2/2ql1C22311 33()3824 22845( )128cCVyqllllqllEIEIqlEIw8/2ql231 11322 21( )24c

26、CVyqlllEIEIqlEIw 32/2ql 例例 3. 图示梁图示梁 EI 为常数，求为常数，求C点竖向位移点竖向位移 。五、应用举例五、应用举例iM2/ lAl/2qBCl/2MP2/2ql1C222412112(3 2 32 2 22 223 211)2 283 217( )384cCVyEIlqlllqllEIlqllqlEIw8/2qlq8/2ql2/2ql2/2ql8/2ql 例例 3. 图示梁图示梁 EI 为常数，求为常数，求C点竖向位移点竖向位移 。iM2/ lAl/2qBCl/2MP2/2ql1C222411312(3 284 22 243 21)282 217( )384

27、cCVyEIl qlll qllEIl qllqlEIw8/2qlq8/2ql2/qlq8/2ql4/2ql2/ql8/2ql8/2ql5.6 温度作用时的位移计算温度作用时的位移计算 静定结构在温度变化作用下各杆能自由变形，所以结构不产生内力。1. 是温度改变值，而非某时刻的温度。12tt、某时刻温度另一时刻温度t1,t2是温度改变值C10C10C25C35Ct1510251Ct2510352 2. 温度沿杆件截面厚度方向成线性变化。截面上、下边缘温差：21()tt令21-ttt 101121(- )httdtttth11 21 11 211-(-)=hth th th tthhhh1 22

28、 1=h th th对于矩形截面杆件， ， 。12/2hhh012()/2ttthb杆轴线处温度改变值 ：0th1h2ht1t2t2 - t1dth1h2ht1t2dsdst1dst2dst03. 微段ds的应变拉应变弯曲应变剪应变00t dstds21-1t dst dsdtdsdshh021ttt 4. 位移计算公式1NMdsFd 0=NtMdsFt dsh0( )NtMdstF dsh小结：1） 正负号规则： 及温度变化使杆件同一侧纤M维伸长（弯曲方向相同），则乘积tM dsh为正，反之为负。0t以温度升高为正，降低为负， 以拉力为正，NF压力为负。2）21|- |ttt 例 求图示刚架

29、C截面水平位移 。已知杆件线 CH膨胀系数为 ，杆件矩形横截面高为h。120=52otttCo=10-0=10tC解：CABddCt01Ct1021CAB dd图MCAB图NF1NF1NF02105210(1)()CHNtMdstF dshdddahh 22122Mdsdd2 12NF dsdd 5-8 变形体虚功原理及位移计算一般公式一、 变形体虚功原理 定义：设变形体在力系作用下处于平衡状态，又设该变形体由于其它原因产生符合约束条件的微小连续变形，则外力在位移上做的外虚功W恒等于各微段应力的合力在变形上作的内虚功Wi ，即W=Wi 。下面讨论W及Wi 的具体表达式。条件：1）存在两种状态：

30、 第一状态为作用有平衡力系； 第二状态为给定位移及变形。 以上两种状态彼此无关。 2）力系是平衡的，给定的变形是符合 约束条件的微小连续变形。 3）上述虚功原理适用于弹性和非弹性 结构。ds1C2C( )w s123第二状态（给定位移和变形）dsddsds0dds0ddsddsMMQFQFNFNFsd1RF2RF1PF2PF3PFq(s)q(s)dsds第一状态（给定平衡力系）1122331122( ) ( )( ) ( )PPPRRPiiRKKiKWq s w s dsFFFF CF CWq s w s dsFF C 外力虚功：微段ds的内虚功dWi：00()iQNQNQNdWMdF dF

31、dM dsFdsF dsMFFds整根杆件的内虚功为：0()iiQNWdWMFFdsds1C2C( )w s123第二状态（给定位移和变形）1RF2RF1PF2PF3PFq(s)q(s)dsds第一状态（给定平衡力系）根据虚功方程W=Wi，所以有：0( ) ( ) ()PiiRKKiKQNq s w s dsFFCMFFds 结构通常有若干根杆件，则对全部杆件求总和得：0( ) ( ) ()PiiRKKiKQNq s w s dsFF CMFFds 小结： 只要求两个条件：力系是平衡的，给定的变形是符合约束条件的微小连续变形。 上述虚功原理适用于各类结构（静定、超静定、杆系及非杆系结构），适用

32、于弹性或非弹性结构。 考虑了杆件的弯曲、剪切及轴向变形。1)2)3)变形体虚功原理有两种应用形式，即虚力原理和虚位移原理。虚力原理：虚设平衡力系求位移; 虚位移原理：虚设位移求未知力。 用变形体虚力原理求静定结构的位移，是将求位移这一几何问题转化为静力平衡问题。 二、位移计算的一般公式01()RKKQNKF CMFFds所以01()QNRKKKMFFdsF C1=1PF 在变形体虚功方程中，若外力只是一个单位荷载 ，则虚功方程为 ：5.9 互等定理 互等定理适用于线性变形体系，即体系产生的是小变形，且杆件材料服从虎克定律。一、 功的互等定理功的互等本质上是虚功互等。下图给出状态I和状态II。P

33、bFPaFQFMNF状态IIAB12ab21PaFPbFAB2PF1PF12abba2PF1PFQFMNF状态I120PQNQQNNWFMdsFdsFdskF FF FM MdsdsdsEIGAEA MdsdsEI0QkFdsdsGANFdsdsEAMdsdsEI0QkFdsdsGANFdsdsEA令状态I的平衡力系在状态II的位移上做虚功，得到：PbFPaFQFMNF状态IIAB12ab21PaFPbFAB2PF1PF12abba2PF1PFQFMNF状态I 同样，令状态II的平衡力系在状态I的位移上做虚功，得到：210PQNQQNNWFMdsFdsFdskF FF FM MdsdsdsEI

34、GAEA 所以PPFF 即1122PPPaaPbbFFFF 定理 在任一线性变形体系中，第一状态的外力在第二状态的位移上所做的虚功W12等于第二状态的外力在第一状态的位移上所做的虚功W21。二、 位移互等定理定理 在任一线性变形体系中，由荷载FP1引起的与荷载FP2相应的位移影响系数21等于由荷载FP2引起的与荷载FP1相应的位移影响系数12。即 12= 211221WW即212121PPFF由功的互等定理可得： 在线性变形体系中，位移ij与力FPj的比值是一个常数，记作ij，即：i ji jP jF或2112112212PPijPjijFFF于是21121221PPPPFFFF所以2112状

35、态II2PF122212状态I1PF12211111PF12211121PF122212说明：1） ij也称为柔度系数，即单位力产生的位移。 i 产生位移的方位； j 产生位移的原因。2） FP1和FP2可以是集中力也可以是集中力偶，则相应的12和21就是线位移影响系数或角位移影响系数。即荷载可以是广义荷载，而位移则是广义位移。两个广义位移的量纲可能不等，但它们的影响系数在数值和量纲 上仍然保持相等。12()PPW F F 图示同一结构的两种状态，根据位移互等定理下列式子正确的是 A 1=3 B 2=4 C 3=2 D 1=4 例 验证位移互等定理。EIMaMaaEIEIFaFaaEI1621

36、41211162141211212221解：a/2a/21EIFP1=F212a/2a/21EIFP2=M122FFa/4M11a/41/2M/2EIaMEIaF16/16/2121222121所以2112例 验证位移互等定理。4m1m1EIFP1=5kN.m2124m1m1EIFP2=3kN212解：2121211212121111025 41/52333111223 41/3233EIEIEIEIEIEI 所以2112153111三、反力互等定理 反力互等定理只适用于超静定结构，因为静定结构在支座移动时只产生刚体位移，其内力和支座反力均等于零。12C1FR21FR11状态I12C2FR22

37、FR12状态II根据功的互等定理有：002211222111RRRRFCFCFF212121RRFCFC 在线性变形体系中，反力FRij与Cj的比值为一常数，记作rij，即R ijijjFrC或2121112122RijijjRRFr CFr CFr C所以21121221r CCr C C得1221rr说明： rij 也称为刚度系数，即产生单位位移所需施加的力。其量纲为 。 i 产生支座反力的方位； j 产生支座移动的支座。1 2()W cc某桁架支座B被迫下沉5mm，并测得下弦结点相应的挠度如题1.7（a）图所示，此时桁架上无其它荷载。题1.7（b）图所示荷载作用下引起的支座B的反力为 。

38、 定理 在任一线性变形体系中，由位移C1引起的与位移C2相应的反力影响系数r21等于由位移C2引起的与位移C1相应的反力影响系数r12。四、位移反力互等定理根据功的互等定理有：1122121122120PRPRFFCFFC 令1221122121RPFrCF状态I1FP12FR21状态II1122C2位移反力互等定理在混合法中得到应用。所以11221 212PPFCFr C 由此得到1221r 即1212221211RPCFr F 上式中力可以是广义力，位移可以是广义位移。符号相反表明：虚功方程中必有一项，其力和位移方向相反。 系数 、 的量纲都是 。1221r1 2()PW F c定理 在任一线性变形体系中，由位移C2引起的与荷载FP1相应的位移影响系数 在绝对值上等于由荷载FP1引起的与位移C2相应的反力影响系数 ，但二者符号相反。1221r作业 5-18 5