41～2渐开线与摆线

1、 高二数学高二数学 选修选修4-4 第二章第二章参数方程参数方程4.12 渐开渐开线与摆线线与摆线1. 渐开线的定义渐开线的定义探究：探究：P40 把一条没有弹性的把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，细绳绕在一个圆盘上，在绳的外端系上一支铅在绳的外端系上一支铅笔笔, 将绳子拉紧将绳子拉紧, 保持绳子与圆保持绳子与圆相切而逐渐展开相切而逐渐展开,那么铅笔会画那么铅笔会画出一条曲线出一条曲线. 这条曲线的形状怎样？能否求出它的轨迹方程？这条曲线的形状怎样？能否求出它的轨迹方程？动点动点(笔尖笔尖)满足什么几何条件？满足什么几何条件？ABMO设开始时绳子外端（笔尖）位于点A，AB)( ).),(,确

2、确定定唯唯一一由由角角，显显然然，点点的的坐坐标标为为外外端端绳绳子子设设基基圆圆的的半半径径为为建建立立平平面面直直角角坐坐标标系系轴轴为为直直线线为为原原点点我我们们以以基基圆圆圆圆心心 MyxMrxOAO2. 渐开线的参数方程渐开线的参数方程 rBMryrxBMrrB ),sin,cos()sin,cos(,从从而而的的坐坐标标为为则则点点为为参参数数取取ABMOxy同方向的单位向量，同方向的单位向量，是与是与由于向量由于向量OBe)sin,(cos1 单位向量，单位向量，同方向的同方向的是与向量是与向量因而向量因而向量BMe)cos,(sin2 )cos,)(sin()sin,cos(

3、)(2 rryrxerBM所所以以ABMOxy数方程。数方程。这就是圆的渐开线的参这就是圆的渐开线的参为参数为参数解得解得)()cos(sin)sin(cos ryrx?)cos,(sin2什什么么成成立立吗吗你你能能说说明明这这个个结结论论为为相相同同方方向向”这这一一结结论论，有有与与向向量量中中用用到到“向向量量线线的的参参数数方方程程的的过过程程思思考考：在在探探究究圆圆的的渐渐开开BMe 22121,0)cos(sinsincos)cos,(sin)sin,(coseBMeeee平平行行即即 ABMOxyABMOxy2. 渐开线的参数方程渐开线的参数方程(cossin )()(sin

4、cos )xryr是参数 。渐开线的应用：渐开线的应用： 由于渐开线齿行的齿轮磨损少，传动平稳，制造由于渐开线齿行的齿轮磨损少，传动平稳，制造安装较为方便，因此大多数齿轮采用这种齿形。安装较为方便，因此大多数齿轮采用这种齿形。设计加工这种齿轮，需要借助圆的渐开线方程。设计加工这种齿轮，需要借助圆的渐开线方程。 在机械工业中在机械工业中, 广泛地广泛地使用齿轮传递动力。使用齿轮传递动力。3. 摆线的定义摆线的定义: 思考：思考：P41 如果在自行车的轮子上喷一个白色印记如果在自行车的轮子上喷一个白色印记, 那么自行车那么自行车在笔直的道路上行使时在笔直的道路上行使时, 白色印记会画出什么样的曲线

5、？白色印记会画出什么样的曲线？OABM 上述问题抽象上述问题抽象成数学问题就是：成数学问题就是： 当一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时当一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时, 圆周上一个定点的轨迹是什么？圆周上一个定点的轨迹是什么？ 同样地同样地, 我们先分析圆在滚动过程中我们先分析圆在滚动过程中, 圆周上的这个圆周上的这个动点满足的几何条件。动点满足的几何条件。MA( 我们把点我们把点M的轨迹叫做的轨迹叫做平摆线平摆线, 简称简称摆线摆线, 又叫又叫旋轮线。旋轮线。 摆线在它与定直线摆线在它与定直线的两个相邻交点之间的两个相邻交点之间的部分叫做的部分叫做一个拱一个拱。),(,yxMDCxABM

6、BAxM的的坐坐标标为为，设设点点垂垂线线，垂垂足足分分别别为为轴轴的的，分分别别作作，从从点点，圆圆心心在在点点相相切切于于点点轴轴角角后后与与在在原原点点，圆圆滚滚动动了了设设开开始始时时定定点点 3. 摆线的参数方程摆线的参数方程OABM 根据点根据点M满足的几何条件满足的几何条件, 我们取定直线为我们取定直线为x轴轴, 定定点点M滚动时落在定直线上的一个位置为原点滚动时落在定直线上的一个位置为原点, 建立直角建立直角坐标系坐标系.xyO DAEBMC满足的几何条件满足的几何条件根据点根据点为参数为参数取取M, xyO DAEBMC cossinrrCBABACDMyrrMCOADAOA

7、ODx )()cos1 ()sin(为参数为参数为为所以，摆线的参数方程所以，摆线的参数方程 ryrxOABM3. 摆线的参数方程摆线的参数方程xyO DAEBMC摆线的参数方程为：摆线的参数方程为：(sin ),()(1 cos ).xryr为参数思考：思考：P42宽宽度度与与高高度度各各是是多多少少？范范围围是是什什么么？一一个个拱拱的的的的取取值值参参数数中中程程思思考考：在在摆摆线线的的参参数数方方 ,) 1 (), 0 的的取取值值范范围围是是参参数数 ,2 r 一一个个拱拱的的宽宽度度是是)(2是是滚滚动动圆圆的的半半径径其其中中高高度度是是rr1. 当当 时时, 求圆渐开线求圆渐开线 上对应点上对应点A、B坐标并求出坐标并求出A、B间的距离。间的距离。 ,2 cossinsincosyx练习练习:),1 ,2( A), 1( B, 2452 AB1. 求圆的渐开线求圆的渐开线 上当上当 对应的点的直角坐标对应的点的直角坐标. )cos(s