第七章离散系统分析

1、第七章第七章 离散控制系统离散控制系统 前几章讨论的是连续系统的相关理论问题。前几章讨论的是连续系统的相关理论问题。在连续系统中，每一点上的信号都是时间在连续系统中，每一点上的信号都是时间t t的连续的连续函数。这种在时间上连续、在幅值上也连续的信号函数。这种在时间上连续、在幅值上也连续的信号称为连续信号，也称为模拟信号。称为连续信号，也称为模拟信号。 随着脉冲技术、数字元件，特别是数字计算随着脉冲技术、数字元件，特别是数字计算机技术的迅速发展，离散控制系统得到了广泛的应机技术的迅速发展，离散控制系统得到了广泛的应用。在离散控制系统中，有一处或多处的信号不是用。在离散控制系统中，有一处或多处的

2、信号不是连续信号，而在时间上是离散的脉冲序列或数码，连续信号，而在时间上是离散的脉冲序列或数码，这样的信号称为离散控制信号。这样的信号称为离散控制信号。7-1 离散控制系统概述离散控制系统概述 由于炉子本身时间常数较大，炉温上升很慢，当炉温升高到由于炉子本身时间常数较大，炉温上升很慢，当炉温升高到给定值时，阀门早已超过规定的开度，因此炉温继续上升，造成给定值时，阀门早已超过规定的开度，因此炉温继续上升，造成超温，又导致电动机反过来旋转。根据同样的道理，又会造成反超温，又导致电动机反过来旋转。根据同样的道理，又会造成反方向超调，这样引起炉温震荡。采用离散控制，如图方向超调，这样引起炉温震荡。采用

3、离散控制，如图7-2所示，在所示，在误差信号与电动机之间加一个采样开关，它周期性的闭合和断开。误差信号与电动机之间加一个采样开关，它周期性的闭合和断开。当炉温出现误差时，该信号只有在开关闭合时才能使执行电动机当炉温出现误差时，该信号只有在开关闭合时才能使执行电动机旋转，进行炉温调节。当采样开关断开，执行电动机立即停下来，旋转，进行炉温调节。当采样开关断开，执行电动机立即停下来，阀门位置固定，炉温自动变化，直到下次采样开关闭合，根据炉阀门位置固定，炉温自动变化，直到下次采样开关闭合，根据炉温误差大小再进行调节。由于电动机时转时停，超调现象受到控温误差大小再进行调节。由于电动机时转时停，超调现象受

4、到控制，即使采用较大的开环放大系数仍能保持系统稳定。制，即使采用较大的开环放大系数仍能保持系统稳定。采样：就是在采样开关作用下将连续信号采样：就是在采样开关作用下将连续信号 变成脉冲序列。变成脉冲序列。 除了等周期采样外，还有其他采样形式：除了等周期采样外，还有其他采样形式：（1）多阶采样）多阶采样:采样间隔不等成周期性重复的采样。采样间隔不等成周期性重复的采样。（2）多速采样）多速采样:有两个以上不同采样周期的采样开关有两个以上不同采样周期的采样开关 对信号同时进行采样。对信号同时进行采样。（3）随机采样）随机采样:采样是随机进行的，没有固定的规律采样是随机进行的，没有固定的规律。 7-2

5、采样过程及采样定理采样过程及采样定理一、一、 采样过程采样过程 采样过程就是对连续信号进行采样得到采样过程就是对连续信号进行采样得到一个脉冲序列的过程。采样开关或采样器可一个脉冲序列的过程。采样开关或采样器可以看作是产生脉冲序列的元件，采样过程可以看作是产生脉冲序列的元件，采样过程可以理解为脉冲调制过程，图以理解为脉冲调制过程，图7-4表示采样的基表示采样的基本过程。本过程。 )17()()( nTnTtt 在数学上在数学上, (t)表示的是宽度为零，表示的是宽度为零，幅值为无穷大的单幅值为无穷大的单位脉冲。位脉冲。实际上的脉冲函数是脉宽很小的矩形函数，叫实际上的脉冲函数是脉宽很小的矩形函数，

6、叫脉冲函数如图脉冲函数如图7-4（c）所示。）所示。理想单位脉冲序列理想单位脉冲序列 综上所示，采样过程相综上所示，采样过程相当于一个脉冲调制过程当于一个脉冲调制过程,其中输入信号其中输入信号e(t)为为被调制信号，载波信号被调制信号，载波信号 决定采样时刻，即决定采样时刻，即采样开关输出信号采样开关输出信号 的幅值由的幅值由e(t)决定，决定，存在的时刻由存在的时刻由 决定决定,如图如图7-6所示所示. )37()()()()()(00* nnnTtnTenTttete )(tT )(*te)(tT 采样开关的输出信号：采样开关的输出信号：二、二、 采样定理采样定理 （7-9）式中式中 E*

7、（j）采样信号采样信号e*（t） 的频谱；的频谱； E（j）连续信号连续信号e（t） 的频谱。的频谱。 nsjnsETjE)(1)(* 采样信号的频谱采样信号的频谱T(t) = njnntsecs=2/T为采样角频率为采样角频率,Cn是傅氏系数是傅氏系数,其值为：其值为： njn*tse ) t (eT1) t (e 00nT1dt) t (T1CT(t) = njntseT1 )(1)(* nsnjETjE nsjnsETsE)(1)(* 连续信号的频谱为连续信号的频谱为)j (E 采样信号的频谱为采样信号的频谱为)j (E* max-max0)j (E max-max0s2s3s-3s-2

8、s-s)j (E* T1max-max0)j (E* T1s-sm-m0s2s3s-3s-2s-s)j (E* T1s =2max二采样定理二采样定理从采样信号中毫不从采样信号中毫不失真地复现原连续失真地复现原连续信号信号,必须满足必须满足香农定理香农定理: s 2 max 由图由图7-8可见，相邻两部分频谱彼此不能重叠可见，相邻两部分频谱彼此不能重叠的条件是：的条件是： 采样频率采样频率s必须大于或等于采样开关必须大于或等于采样开关输入连续信号输入连续信号e（t）频谱中最高频率）频谱中最高频率max的的2倍。倍。即即 这就是著名的香农（这就是著名的香农（Shannon）采样定理，）采样定理，

9、简称采样定理。简称采样定理。 如果如果 不能满足采样定理，发生相不能满足采样定理，发生相邻部分频谱重叠的现象，即使通过图邻部分频谱重叠的现象，即使通过图7-8（a）虚）虚线所示理想滤波器，也难以准确的恢复原来的连线所示理想滤波器，也难以准确的恢复原来的连续信号。续信号。max2 smax2 s7-3 保持器保持器 一、一、 零阶保持器零阶保持器 把前一个采样时刻把前一个采样时刻nT的采样值不增不减的保持到的采样值不增不减的保持到下一个采样时刻下一个采样时刻(n+1)T的保的保持器称为零阶保持器。其输持器称为零阶保持器。其输入信号与输出信号之间的关入信号与输出信号之间的关系如图系如图7-9所示。

10、所示。它的单位脉冲响应如图它的单位脉冲响应如图7-10所示。所示。 由图可见，采样值经过保持器由图可见，采样值经过保持器即不放大，也不衰减，保存一个采即不放大，也不衰减，保存一个采样周期样周期T。 零阶保持器脉冲响应可表示为零阶保持器脉冲响应可表示为)117()( 1)( 1)( Ttttgh零阶保持器的传递函数为零阶保持器的传递函数为)127(1)( sesGTsh)137(2)2sin(2)(21)(2222 TjTjTjTjTjheTTTjeeejejG 零阶保持器的频率特性零阶保持器的频率特性 )147(2)2sin()( TTTjGh )157(2)( TjGh 由图由图7-11可见

11、，幅频特性的幅值随频率可见，幅频特性的幅值随频率的增的增大而衰减，具有明显低通滤波特性。大而衰减，具有明显低通滤波特性。 零阶保持器的幅频特性和相频特性分别为零阶保持器的幅频特性和相频特性分别为 但零阶保持器不是一个理想的低通滤波器，它但零阶保持器不是一个理想的低通滤波器，它除了允许主频谱通过外，还允许部分高频频谱通过。除了允许主频谱通过外，还允许部分高频频谱通过。因此，由零阶保持器恢复的连续信号因此，由零阶保持器恢复的连续信号eh（t）与原来）与原来的连续信号的连续信号e（t）是有差别的。当采样周期）是有差别的。当采样周期T取得越取得越小，两者差别就越小。从图小，两者差别就越小。从图7-11

12、的相频特性上还可的相频特性上还可以看出，采用零阶保持器还将产生滞后相移，这将以看出，采用零阶保持器还将产生滞后相移，这将使系统的相对稳定性降低。从图使系统的相对稳定性降低。从图7-9（c）中也可看）中也可看出，将阶梯信号的中点连接起来形成的虚线的形状出，将阶梯信号的中点连接起来形成的虚线的形状与原连续信号与原连续信号e（t）相同，相位滞后）相同，相位滞后T/2，该曲线的，该曲线的数字表达式为数字表达式为e（t-T/2）。）。 产生相位滞后是各阶保持器所具有的共性，与产生相位滞后是各阶保持器所具有的共性，与其他各阶保持器相比，零阶保持器产生的相位滞后其他各阶保持器相比，零阶保持器产生的相位滞后最

13、小，因此相对稳定性最好。最小，因此相对稳定性最好。 根据两个采样值根据两个采样值y（nT）与）与y（n-1）T，按照线，按照线性规律外推的保持器为一阶保持器，其表达式为性规律外推的保持器为一阶保持器，其表达式为 )187()1()()()( tTTnynTynTytnTy 二、二、 一阶保持器一阶保持器 一阶保持器输出信号如一阶保持器输出信号如图图7-14所示，由图可见，它所示，由图可见，它与虚线表示的输入连续信号与虚线表示的输入连续信号之间是有差别的。之间是有差别的。 一阶保持器单位脉冲响应如图一阶保持器单位脉冲响应如图7-15（a）所示，）所示，按图按图7-15（b），根据组成），根据组成

14、gh（t）的各个分量的拉普）的各个分量的拉普拉斯变换拉斯变换Gh（s）可表示为）可表示为 TsTsTsTsheTseseTsesTsssG22222112211)( )197()1)(1()(2 TseTsTsGTsh)207()(22sin1)(22 TTarcctgTTTTjGh 将将s=j带入式带入式(7-19),可得一阶保持器的频率特性为可得一阶保持器的频率特性为整理后得整理后得 一阶保持器的幅频特性如图一阶保持器的幅频特性如图7-16所示，为了便于比所示，为了便于比较，图中还用虚线绘出了零阶保持器的幅频特性。较，图中还用虚线绘出了零阶保持器的幅频特性。7-4 z z变换变换 一、一、

15、z z 变换的定义变换的定义 0*)()()(nnTsenTftfLsFnnTsTszeez 则则令令)257()()()(0* nnznTftfZzF 0)()()(nnTtnTftf 应该指出，应该指出，z z变换只适用于离散信号，或变换只适用于离散信号，或者说者说z z变换所考虑的是连续信号在采样时刻的变换所考虑的是连续信号在采样时刻的特性，它并不反映各时刻之间的关系。从这特性，它并不反映各时刻之间的关系。从这个意义上讲，连续信号个意义上讲，连续信号f(t)f(t)与离散信号与离散信号f f* *(t)(t)具具有相同的有相同的z z变换。变换。 f(t)Zf(nT)zf(nT)Z(t)

16、fZF(z)0nn-习习惯惯n10nnf(nT)zf(T)zf(0)f(nT)zF(z)F(z) z 1(t)f(t) 1-7 变变换换的的求求例例n210nnz zz11(nT)z1(t)Z 解解时，级数收敛写成闭式时，级数收敛写成闭式当当 1 z 11)z(1-zzz-111(t)ZF(z)1级数求和法级数求和法 1.二二.Z变换的方法变换的方法变变换换的的求求例例 z ef(t) 27atnnaT22aT1aTn-0nanT-at-zezeze1zeeZ 解解1)(e-zzz)(e11z)(ez)(e11aT1aT2aT1aT ze-aT eAf(t) psAF(s) F(s) tp-n

17、1iin1iiii则则式式展开成部分分式和的形展开成部分分式和的形将将n1iTpiie-zzAF(z) 则则2. 部分分式法部分分式法 z a)s(saF(s) 37变变换换的的求求例例at e 1(t) f(t) as1 s1a)s(saF(s) 则则解解aTaT2aTaTe)ze(1 - z)e-z(1e -zz 1-zzF(z)3、留数法、留数法设连续信号设连续信号f（t）的拉普拉斯变换式）的拉普拉斯变换式F（s）及其）及其全部极点全部极点pi为已知，利用留数法求其为已知，利用留数法求其z变换变换式中：式中： 为为 在在s=pi处的留数处的留数当当s=pi为一阶极点时，其留数为为一阶极点

18、时，其留数为 （7-31）当当s=pj为为q阶极点时，其留数为阶极点时，其留数为 （7-32） )307()()()(11* niniiTPiRezzpFrestfZzFi)(TPiiiezzpFresR sTezzsF )()()(limsTipsiezzsFpsRi )()()!1(111limsTqiqqpsjezzsFpsdsdqRi 例例 求求F(s)的的Z变换变换解解 两个极点两个极点 p1= -1 p2= -2)2)(1(3)( ssssF2121)2()2)(1(3)1()2)(1()3()2)(1(3)( ssTssTPisTsezzssssezzsssezzsssreszF

19、i TTTTTTTezeezeezzezzezz32222)()2(2 【例【例7-4】求】求f（t）=t的的z 变换变换t0，f（t）=t。 解解 因为因为所以在所以在s=0处有二重极点，其留数为处有二重极点，其留数为21)(ssF 2020)1()()( zTzezzTeezzdsdzFssTsTssT 三、三、z变换的基本定理变换的基本定理 1、线性定理、线性定理 设连续时间函数设连续时间函数 若若ai为常数，则为常数，则 （7-33） 线性定理说明，各函数线性组合的线性定理说明，各函数线性组合的z变换等于各变换等于各函数函数z变换的线性组合。变换的线性组合。)()()()()(2211

20、1tfatfatfatfatfnnniii )()()(zFatfZzFii 2、 延迟定理延迟定理 设设f（t）的）的z变换为变换为F（z），且），且t0时，时，f（t）=0 则则 3、 超前定理超前定理 设函数设函数f（t）的）的z变换为变换为F（z），）， 则则 )347()()( zFzkTtfZk)357()()()(10 kmmkzmTfzFzkTtfZ存在，则存在，则而且而且变换为变换为的的设设)(limF(z),z(t)zFfz )367()(lim)(lim(0)0t zFtffz4、 初值定理初值定理 5、 终值定理终值定理 设函数设函数f（t）的）的z变换为变换为F（z）

21、，而且（），而且（1-z-1）F（z）在）在z平面上的以原点为圆心的单位圆上和平面上的以原点为圆心的单位圆上和圆外均没有极点，则圆外均没有极点，则 6、复数偏移定理、复数偏移定理 设函数设函数f（t）的）的z变换为变换为F（z），则），则 7、卷积定理、卷积定理 (7-42) )377()()1(lim)(lim)(10s zFzssFfz)407()()( aTatzeFetfZ)()()( )()()(*)(0zCzRzGnTrnTkTgZkTrkTgZkn 由由F(z)求求f*(t)的过程称为的过程称为z反变换，表示为反变换，表示为)()()(*1nTftfzFZ 或或)437()()(

22、)(*1 tftfzFZ四、四、z反变换反变换因为因为z变换只表征连续函数在采样时刻的特性，并不变换只表征连续函数在采样时刻的特性，并不反映采样时刻之间的特性，所以反映采样时刻之间的特性，所以z反变换也只能求出反变换也只能求出采样函数采样函数f*(t),不能求出连续函数不能求出连续函数f(t)。所以。所以 三种三种z反变换法反变换法1、长除法、长除法反反变变换换的的求求例例z2310)(672 zzzzF解解 用长除法可以求得用长除法可以求得 321703010)(zzzzF所以所以 )3(70)2(30)(10)(*TtTtTttf 则对应函数为则对应函数为反反变变换换的的求求例例z)5 .

23、 0)(1(5 . 0)(77 zzzzF5 . 0111)5 . 0)(1(5 . 0)( zzzzzzF5 . 01)( zzzzzF)()5 . 01()()()(00*nTtnTtnTftfnnn 2、部分分式法、部分分式法解解 将将F(z)/z展开成部分分式为展开成部分分式为所以所以3、 留数法留数法根据复变函数理论知根据复变函数理论知)467()()(21)(1111 niininiicnRppFresdzzzFjnTf 当当z=pi为一阶极点时，其留数为为一阶极点时，其留数为)477()()(1lim nipzizzFpzRi当当z=pi为为q重极点时，其留数为重极点时，其留数为

24、)487()()()!1(1111lim nqjqqpzjzzFpzdzdqRj【例【例7-8】求】求 的的z反变换反变换2)1()( zTzzFnTTzdzdzzFzdzdRznzn 1112)()1()!12(1 0*)()()()(nTnTtnTnTtttf 所以所以 f(nT)=nT f(t)=t解解 F(z)zn-1在在z=1处有二重极点，其留数为处有二重极点，其留数为或写成或写成) m (k),nT(rbT)1n(rbT)mn(rb)nT(T)1n(T)1kn(cT)k ck01011k mcacaa(n阶阶差差分分方方程程运算关系的方程。运算关系的方程。脉冲序列之间脉冲序列之间描

25、述离散系统输入输出描述离散系统输入输出差分方程差分方程一一 .时时间间变变量量序序列列阶阶次次输输出出输输入入式式中中-n -k -c(nT) -r(nT) :7-5 线性差分方程线性差分方程y(nT)-1)Ty(ny(nT) 一阶前向差分一阶前向差分y(n) 1)2y(n -2)y(ny(n) -1)y(n -1)y(n-2)y(n y(n) 1)y(ny(n)y(n)1T 2 设设二二阶阶前前向向差差分分后向差分后向差分 2.1)-y(n-y(n)y(n) 一阶后向差分一阶后向差分2)-y(n1)-2y(n-y(n)y(n) 2二阶后向差分二阶后向差分是完全等效的。是完全等效的。两种差分方

26、程表达形式两种差分方程表达形式1.前向差分前向差分设连续函数为设连续函数为y(t),采样函数为采样函数为y(nT)【例7-10】控制系统如图7-19所示，试求其差分方程 解 由图可知其微分方程为即 现在用一个差分方程来逼近微分方程。因为 在t=nT（n=1，2，）时的值可用一阶前向差分来近似，即 式中T采样周期。将式（7-51）代入式（7-50）的差分方程c(n+1)T+(KT-1)c(nT)=KTr(nT)显然，T越小，差分方程逼近微分方程的精度越高。 )()()()(tKctKrtKetc )507()()()( tkrtkctcdttdctc)()()517()()1()()1()()(

27、lim0 TnTcTncTnTcTncdttdctcT【例7-11】离散系统如图7-20所示，采样周期为T，试求其差分方程。解 在相邻两采样时刻之间，零阶保持器输出为在相邻两采样时刻之间，积分器输出为当t=（n+1）T时，上式化为所以离散系统的差分方程为TntnTnTeteh) 1(),()(TntnTnTcnTtnTKetc) 1()()()()()()()()() 1(nTcnTrKTnTcnTKTenTcTnc)()() 1() 1(nTKTrnTcKTTnc定常、时变系统定常、时变系统迭代法迭代法定常系统定常系统变换法变换法 2. z 1.1y(T) 0y(0) 02y(nT)1)T3

28、y(n2)Ty(n (t)yy(nT)Z 1 初初始始条条件件、系系统统响响应应变变换换法法解解差差分分方方程程，求求用用例例据据超超前前定定理理变变换换对对方方程程两两边边取取解解 Z 02Y(z)3zy(0)-3zY(z)zy(T)-y(0)z-Y(z)z 22得得1)T-zy(k-y(2T)z-y(T)z-y(0)z-Y(z)zkT)y(t Z2-k-1kkk二二.差分方程的求解差分方程的求解02Y(z)3zY(z)z-Y(z)z 2代代入入初初始始条条件件得得2)1)(z(zz23zzzY(z)22z1 1z12)1)(z(z1zY(z)aa-zz Z 2zz 1zzY(z)n 查查表

29、表)0,1,2(n (-2)-(-1)y(nT)nnnT)-(t(-2)-(-1)nT)-(ty(nT)(t)y0nnn0n 3T)-(t72T)-(t3-T)-(t(t)0y(nT) y(n) (t)yy(n) 0y(1) 0y(0) (t),r(t) r(n)2y(n)1)3y(n-2)y(n 2表表示示用用简简化化符符号号、求求初初始始值值输输入入已已知知离离散散系系统统例例 12Y(z)3zY(z)-Y(z)z Z 2入初始值入初始值变换，并代变换，并代方程两边取方程两边取解解2-z0.51-z1 - z0.52)-1)(z-z(z1zY(z)反反变变换换得得 2-z0.5z1-zz-

30、0.5Y(z)0,1,2(n0.5(2)1-(n)0.5y(n)n 2)-1)(z-z(zz2)-1)(z-(z123z-z1Y(z) 2因因此此5T)-(t154T)-(t73T)-(t32T)-(tnT)-(ty(nT)(t)y0n 15y(5) 7y(4) 3y(3) 1y(2) 0y(1) 0y(0), 2 1 0n 时时、当当y(n) 2)-1)(z-(z1 Y(z) 求求已已知知留留数数法法：）、 3 2 1n ( 212)-1)(z-(z2)-(zz2)-1)(z-(z1)-(zzz Y(z)Ry(n)1n2z-1n1z-1np-1n21iesi 0y(0) 0.5- 0.5-1

31、y(0) 0,n ，初初始始值值与与初初始始值值不不符符。若若31y(6) 15y(5) 7y(4) 3y(3) 1y(2) 0y(1) 3 2 1n 时时，、当当【例【例7-12】用】用z变换法求二阶差分方程变换法求二阶差分方程 )()(2)1(3)2(nTrnTyTnyTny 初始条件初始条件 y(0)=0, y(T)=1，输入输入 r(t)=1(t)解解 z变换变换)()(2)0()( 3)()0()(22zRzYzyzzYTzyyzzYz 将已知条件代入上式，得将已知条件代入上式，得11)()23(22 zzzzzzYzz)1)(2)(1()23)(1()(222 zzzzzzzzzY

32、利用部分分式法求利用部分分式法求Y(z)的的z反变换反变换23/212/116/1)( zzzzzY)2(32)1(2)1(6)( zzzzzzzY)2 , 1 , 0()2(32)1(21)1(61)( nnTynnn )3(5)2(2)()()2(32)1(2161)()()(00*TtTtTtnTtnTtnTytynnnn 脉脉冲冲传传递递函函数数第第六六节节 基本概念基本概念一一 .。传传递递函函数数或或函函数数变变换换之之比比，称称脉脉冲冲传传递递与与输输入入的的变变换换始始条条件件为为零零时时，输输出出的的在在线线性性离离散散系系统统中中，初初定定义义)Z( G(z)ZZ 1.的求

33、法的求法G(z) 2.g(t) Z G(s) Z (t)g ZR(z)C(z)G(z)习惯习惯习惯习惯 G(z) 10)s(s10G(s) 1。的脉冲传递函数的脉冲传递函数求求例例 10s1 - s1G(s) 解解 10t1e-1G(s)g(t) L 10Te-zz - 1-zz)(G(z) tgZ求求脉脉冲冲传传递递函函数数。已已知知差差分分方方程程例例 r(n)2c(n)1)3c(n-2)c(n 2 R(z)2C(z)3zC(z)-C(z)z , Z 2 令令初初始始值值为为零零变变换换两两边边取取解解23z-z1R(z)C(z)2数数开环系统的脉冲传递函开环系统的脉冲传递函二二 .G(z

34、)数是不同的。数是不同的。样开关，其脉冲传递函样开关，其脉冲传递函串联环节之间，有无采串联环节之间，有无采可简化为可简化为图图 (a) (z)GG(s)(s)GZGR(z)C(z)G(z)2121变换变换积的积的等于各环节传递函数乘等于各环节传递函数乘ZG1(s)G2(s)C(z)R(z)G(z)关关串联环节之间有采样开串联环节之间有采样开 2.(z)GR(z)X(z) 1第一环节第一环节(z)GX(z)C(z) 2第第二二环环节节G(z)(z)(z)GGR(z)C(z)21 Z 传递函数的乘积传递函数的乘积等于各环节等于各环节G1(s)G2(s)R(z)X(z)C(z)G1(z)G2(z)。

35、求求系系统统的的脉脉冲冲传传递递函函数数中中，设设在在图图例例bssGassG 1)(1)( 227 137 21)()()(11)( (a) 227 21bTaTbTaTezezabeezbsasZzGG 所示的脉冲传递函数为所示的脉冲传递函数为图图解解)(1Z1Z)()( (b) 227 221bTaTezezzbsaszGzG 图图(z)(z)GG (z)GG 2121显显然然 1.当当参参考考输输入入作作用用时时B(s)E(z)C(z)(1) B(s)-R(s)E(s) (2) B(z)-R(z)E(z) (3) s)E(z)G(s)H(B(s) (4) E(z)GH(z)ZG(s)H

36、(s)E(z)H(s)ZE(z)G(s)B(z) 式式式代入式代入将将(2)(4)E(z)GH(z)-R(z)E(z) GH(z)1R(z)E(z) E(z)G(s)C(s) 变换变换取取 Z GH(z)1R(z)G(z)E(z)G(z)C(z)GH(z)1G(z)R(z)C(z)(z) 闭闭环环脉脉冲冲传传函函 GH(z)11R(z)E(z)(z) e误差脉冲传函误差脉冲传函 0GH(z)1 采采样样系系统统特特征征方方程程三三.闭环系统的脉冲传递函数闭环系统的脉冲传递函数)(1)()()(zGzGzRzC )(11)()(zGzRzE 1H(s) 时，则有时，则有当当55 D(s) 2.时

37、时制器制器当采样系统中有数字控当采样系统中有数字控z)H(s)G(s)X(-R(s)E(s) (1) GH(z)X(z)-R(z)E(z) D(s)E(z) X(s) 又又(2) D(z)E(z)X(z) 式式整整理理得得式式代代入入将将 (1) (2) (3) GH(z)D(z)1R(z)E(z) G(s)X(z)C(s) 而而(4) G(z)X(z)C(z) 所所以以式式式式代代入入将将 (4) (2) (5) z)G(z)D(z)E(C(z) 式式式式代代入入将将 (5) (3) (6) GH(z)D(z)1R(z)G(z)D(z)C(z)GH(z)D(z)11R(z)E(z) GH(z

38、)D(z)1G(z)D(z)R(z)C(z)7-7 离散系统的时域分析离散系统的时域分析 一、系统的暂态响应分析一、系统的暂态响应分析 与用拉普拉斯变换法分析连续系统的暂与用拉普拉斯变换法分析连续系统的暂态响应相似，用态响应相似，用z变换法分析离散系统的暂态变换法分析离散系统的暂态响应，根据闭环脉冲传递函数和输入信号，响应，根据闭环脉冲传递函数和输入信号，求出离散系统输出信号求出离散系统输出信号 。 t % C(z),Z (t)c (z)R(z),C(z) Z s , -1变变换换法法求求用用。其中其中、标标及性能指及性能指阶跃响应阶跃响应求二阶离散系统的单位求二阶离散系统的单位例例1)T(

39、,t%(t)c s(5%) Z 传传递递函函数数开开环环解解 1)(ss1)Zz-(11)s(s1se-1ZG(z)2-1ze-TsTs0.3681.368z-z0.2640.368ze)ze(1-z)e-Te-(1)ze1-(T1s1s1-s1)Zz-(12T-T-2-T-T-T2-1 0.632z-z0.2640.368zG(z)1G(z)R(z)C(z)(z) Z 2传传函函闭闭环环1-zzR(z) 1(t)r(t)时时，3-2-1-2-120.632z-1.632z2z-10.264z0.368z1-zz0.632z-z0.2640.368z(z)R(z)C(z)-7-6-5-4-3-

40、2-10.802z0.895z1.147z1.4z1.4zz0.368z7T)-(t0.8026T)-(t0.8955T)-(t1.147 4T)-(t1.43T)-(t1.42T)-(tT)-(t0.368(t)c Z 反变换反变换取取c(t) (t)c 画画出出连连续续信信号号据据 0e (s) 1212Tt 40%100%1.01.0-1.4 sss(5%)性性能能指指标标 Z 1.变换的局限性变换的局限性 Z (1)隔中的信息。隔中的信息。间间数值，不能反映采样数值，不能反映采样变换只反映采样点上的变换只反映采样点上的 c(t)c(nT) 2)m-n( , 0sG(s)lim (2)s

41、。各各点点的的包包络络线线描描述述用用时时，才才能能即即只只有有满满足足条条件件2. 闭环极点与暂态响应的关系闭环极点与暂态响应的关系上式右边第一项为系统的稳态响应分量，第二项上式右边第一项为系统的稳态响应分量，第二项为暂态响应分量。下面分析极点为暂态响应分量。下面分析极点l li在在z平面不同位置平面不同位置时的暂态响应情况时的暂态响应情况（1）l li为正实数。为正实数。输出采样信号的暂态分量为输出采样信号的暂态分量为 ci(k)=Ai l li ik 当当l li1时，时，ci(k)为发散的指数函数。为发散的指数函数。当当l li1时，时，ci(k)为衰减的指数函数，为衰减的指数函数，l

42、 li距坐标原距坐标原点越近，点越近，l lik衰减越快。衰减越快。离散系统输出采样信号为离散系统输出采样信号为 nikiiAkAkc10)( 1)(l l（2）li为负实数。当k为偶数时，lik为正；当k为奇数时，lik为负.随着k增加，lik符号交替变化，当li1时，ci(k)为发散振荡；当li1时，ci(k)为衰减振荡,振荡的角频率为/T。（3）有一对共轭复数极点 。当li1时，ci(k)为发散振荡函数；当li1时，ci(k)为衰减振荡函数，振荡角频率为 .i为共轭复数系数Ai的幅角。以上各种情况如图7-27所示。 iill和Tii闭环实极点分布与相应的动态响应形式闭环实极点分布与相应的

43、动态响应形式Z平面平面ImRe01ImRe11闭环复极点分布与相应的动态响应形式闭环复极点分布与相应的动态响应形式二二.离散系统的稳定性分析离散系统的稳定性分析1、s平面与平面与z平面的映射关系平面的映射关系zjTjTTjTsezeeezjsez )(,则则代代入入将将已已知知单单位位圆圆外外部部区区域域；平平面面对对应应于于平平面面单单位位圆圆内内部部区区域域；平平面面对对应应于于平平面面单单位位圆圆周周；平平面面对对应应于于平平面面相相角角；幅幅值值1zz01zz01zz0 ssesTzezTT当当 时，时， ，即，即左半左半s平面映射平面映射为为z平面上单位平面上单位圆内域圆内域,为稳定

44、为稳定区域。区域。01z01z当当 时，时， ，即右半，即右半s平面映射为平面映射为z平面上圆外域，为不平面上圆外域，为不稳定区域。两个平面的映射关系如图稳定区域。两个平面的映射关系如图7-28所示。所示。 2、线性离散系统稳定的充要条件、线性离散系统稳定的充要条件闭环离散系统稳定的充要条件是闭环极点均在闭环离散系统稳定的充要条件是闭环极点均在z平平面上的单位圆内，面上的单位圆内， 即即 lli 1例例 已知二阶离散系统框图，试判断闭环系统的稳已知二阶离散系统框图，试判断闭环系统的稳定性，设定性，设T=1, K=1)1( ssKC(s)R(s)T 65)-(7jvu jy,xz 式式代代入入令

45、令 w的应用的应用劳斯判据在离散系统中劳斯判据在离散系统中 3.变换。变换。双线性变换，又称双线性变换，又称的虚轴，这种变换称为的虚轴，这种变换称为标系标系为新坐为新坐平面上的单位圆周映射平面上的单位圆周映射采用坐标变换把采用坐标变换把 Z w）（则则设设657 1z1-z -11z www1-z1z 1-1z 则则或设或设www jvuy1)(x2yjy1)(x1-)y(x222222 w 0u1yxz 222 时时，当当 虚轴虚轴圆周圆周 0u 1yxz 222 时时，当当平平面面左左半半圆圆内内 0u 1yxz 222 时时，当当 平面平面右半右半圆外圆外 其其稳稳定定性性。变变换换，再

46、再用用劳劳斯斯判判据据判判系系统统的的特特征征方方程程进进行行代代入入离离散散先先令令时时分分析析离离散散系系统统的的稳稳定定性性 -11z , www z平面与平面与w平面的映射关系平面的映射关系值范围。值范围。求使系统稳定的求使系统稳定的其中其中已知离散系统方框图已知离散系统方框图例例 k , s 0.1T,1)s(0.1skG(s) , 147 G(s) r(t) e(t) e*(t) c(t)0.3681.368z-z0.632kz)e-zz-1-zzk()10s1-s1k(Z1)s(0.1skZG(z) Z 20.1T-10T 传传函函开开环环解解 00.3681.368)z-(0.

47、632kz 0G(z)1 2 即即特特征征方方程程00.632k)-(2.7361.2640.632k -11z 2 wwww代入上式，化简后得代入上式，化简后得令令0.632k-2.736 0 1.264 0.632k-2.736 0.632k 012 列劳斯表列劳斯表0 0.632k-2.736 , 必必须须要要使使系系统统稳稳定定 4.32 k 0 k 值范围值范围使系统稳定的使系统稳定的定性变差。定性变差。关的引入会使系统的稳关的引入会使系统的稳得不稳定。说明采样开得不稳定。说明采样开增加，系统会变增加，系统会变，随，随离散系统后离散系统后加入采样开关变成二阶加入采样开关变成二阶。值取

48、多大，总是稳定的值取多大，总是稳定的不论不论二阶线性连续系统中二阶线性连续系统中 k k , 静静态态误误差差系系数数法法变变换换的的终终值值定定理理用用两两种种计计算算方方法法离离散散系系统统的的稳稳态态误误差差三三 (2) Z(1) .所示所示设稳定的离散系统如图设稳定的离散系统如图G(s) r(t) e(t) e*(t) c(t) G(z)1R(z)(z)R(z)E(z) e 68)-(7 G(z)1R(z)1)-(zlim1)E(z)-(zlim(t)elim)(e 1z1zt 的值有关。的值有关。的形式、采样周期的形式、采样周期的类型、输入的类型、输入与与TR(z)G(z)(e 69)-(7 )p(z1)-(z )z(zkG(z) Z -n1iim1jj1 传传函函开开环环 为系统的型为系统的型 (t)e 误差误差三种典型输入下的稳态三种典型输入下的稳态 k1 G(z)1lim11-zzG(z)111)-(zlim)(e