湍流力学课件二

1、哈尔滨工业大学燃烧工程研究所均匀湍流如果任意n点空间几何构形在空间坐标系平移后，脉动速度任意n阶统计相关函数不变（或任意n点联合概率密度不变），则称湍流流场均匀。各向同性湍流如果任意n点空间几何构形在空间坐标系平移、转动和对称后，脉动速度任意n阶统计相关函数不变（或任意n点联合概率密度不变），则湍流流场各向同性。 各向同性湍流首先是均匀的，同时统计特性与方向无关，只能在无界流场中才能存在。 哈尔滨工业大学燃烧工程研究所各向同性湍流具有湍流质量、能量输运的基本属性，这些性质对一般湍流研究十分重要。虽然严格意义上各向同性湍流并不存在，但远离地面大气以及远离海面、海岸和海底的湍流可近似为各向同性。

2、Kolmogrov (1941) ，G. I. Taylor (1935) ，Von Karman 和Howarth(1938) 主要开展了研究。哈尔滨工业大学燃烧工程研究所2.1 两点相关（Two-point Correlation）单点相关函数 对于各向同性湍流，两点相关表示为 在原点 r=0 txutrxutrRjiij,),(jiijuutR), 0(哈尔滨工业大学燃烧工程研究所两点纵向f(r)和横向相关系数g(r) 对于各向同性流场，在 对于均匀湍流，即整个流场内，湍流平均统计性质均匀，f(r)可以表示为对2取平均，即空间平均，则 rer1 21111211/,),(/utxutre

3、xutrfuR 22212222/,),(/utxutrexutrguR 2222121222121)()(1)()(druuruujiRRRij, 0,3322哈尔滨工业大学燃烧工程研究所哈尔滨工业大学燃烧工程研究所在均匀各向同性流场内，两种相关系数的特点： （1）g(0)= f(0)=1 （2） （3）g(r)= g(-r)，对称性 （4） 因为相隔无穷远距离两点的脉动速度完全不相关。 1)r(g1)r(f0)(g)(f哈尔滨工业大学燃烧工程研究所 纵向和横向相关函数的形状讨论 对涡的形式，很难给出准确的分布曲线，从均匀性出发，0)(022022022rrrururuurrgu)()()(

4、)()()(2222222222urrurruu)()()()(22222222ururuu哈尔滨工业大学燃烧工程研究所又由均匀性得，二阶导数为将g(r)在r=0附近进行Taylor级数展开，2020222202222)(rrrruruurrgu2424240011( )12!4!rrggg rrrrr 哈尔滨工业大学燃烧工程研究所 将导数带入得， 当r0时，忽略4阶以上的小项，得出抛物线函数，可定义长度尺度g 其中 或22( )1grg r 20211()2rggr 202222211rgruu.1! 411211)(402224202222rrruurruurrg哈尔滨工业大学燃烧工程研究

5、所l 同样的方法可得到纵向相关系数相应性质，但一般两个相关系数不相等 对各向同性湍流 l得到密切抛物线函数p(r)，p(0)=f(0)，dp(0)/dr= df(0)/dr, d2p(0)/dr2= d2f(0)/dr2 2fg2221)0(211)(frrfrp 20121022221211rrfruurf哈尔滨工业大学燃烧工程研究所f哈尔滨工业大学燃烧工程研究所Taylor给出在各向同性湍流中，利用g可以给出湍流耗散率的表达式，并且认为这一尺度可以用于描述湍流场内耗散结构尺度的大小，称为Taylor 微尺度。 由耗散率的表达式 得但是这个旋涡并不是指场内最小的耗散涡，主要因为u作为耗散涡的

6、特征速度是不对的。而耗散涡的特征尺度为Kolmogrove尺度和u2215/gu211)(15xu 哈尔滨工业大学燃烧工程研究所Taylor 微尺度和Kolmogrove尺度的比较 定义大涡的长度尺度，L=k3/2/ 得到湍流雷诺数 得出微尺度表示 可见，在高雷诺数下，Taylor微尺度是介于和L之间的尺度。221RekLkL2/1Re10LgL313210Lg哈尔滨工业大学燃烧工程研究所l 湍流的积分尺度 表征了两点存在相关性最大特性距离，它是湍流中最大涡尺的代表。可分为纵向积分长度，横向积分长度 对于各向同性湍流，可得 011),()(drtrftL022),()(drtrgtL)(21)

7、(1122tLtL哈尔滨工业大学燃烧工程研究所 欧拉时间相关系数。 考虑xj为常数（位置不变）脉动速度分量u1，欧拉时间相关系数为两个不同时刻t与t+脉动速度分量之间关联无因次化 由流场均匀性，同前面讨论纵向相关系数相似，可以证明在t=0 附近，欧拉时间相关系数可表示为 1121( ) ()( )Eu t u tu .! 421)(20212214201212ttEtuutuu哈尔滨工业大学燃烧工程研究所 曲线原点可得密切抛物线方程为 其中 ，E为一个时间尺度。 表示了脉动速度脉动u1(t)最快变化的时间尺度的代表，从耗散角度讲，它是指小涡生存时间，因为与Taylor微尺度之间密切联系，称为欧

8、拉欧拉耗散涡时间尺度耗散涡时间尺度。它不仅与流场内湍流结构有关，且与主流速度对该点输运特性有关。221)(EE0222121221211tEEttuu哈尔滨工业大学燃烧工程研究所l同样可得到积分时间尺度 可以理解为保持湍流行为中最大时间尺度一种度量l在均匀湍流场内有一常数平均速度，假定 ，则在流场内一固定空间点上所观测到u1(t) 随时间变化情况，可以近似的看成是由在沿着过此点的x1方向的直线上分布的速度空间变化，设想被冻结起来，以平均速度移过此点形成Taylor冻结流假设。0)(dTEE11uU哈尔滨工业大学燃烧工程研究所 故 积分长度 湍流的Taylor微尺度与Eular耗散时间尺度之间的

9、关系1Ur1111112211()( )( )( )Eu x uxru t u tf ruu011011)()(EETUdUdrrfL21212222211212121EEgUUtrfEgU12哈尔滨工业大学燃烧工程研究所 2.2 Karman-Howarth 方程Karman和Howarth在1938年从N-S方程得到了f(r,t)的演化方程， 时间导数可表示为 根据脉动速度的N-S方程),(txrRij),(),(,txutrxuttrRtjiij),(),(),(),(txuttrxutrxuttxujiijiijjijijxxuxpxuutu21哈尔滨工业大学燃烧工程研究所 根据各向同

10、性流场条件，带入N-S方程后产生两点三速度相关函数 可以证明，所有的两点三速度相关函数可以被下面函数唯一表示， 且在 r0处， 带入即可得到各向同性K-H动力学方程),(),(),(),(trxutxutxutrSkjiijk3231111111( , )(, )/( , )(, ) /k r tSe r tuu x tu xe r tu32244442()uufu fr krtrrrrr.! 5/! 3/),(53rkrktrkVIII哈尔滨工业大学燃烧工程研究所l 从K-H方程中可得：1、存在方程封闭的问题，方程中存在两个未知数 f 和 k；2、k 和 分别代表了惯性过程和粘性过程；3、当

11、 r0时，可以证明 k=0，对于偶函数f=1, 当r0时，K-H方程变为 或2222( )103gduu tdt 2223( )152gduu tdt 哈尔滨工业大学燃烧工程研究所4、对于Richardson-Kolmogorov能量级联的观点，在高雷诺数条件下，能量将通过惯性作用机制从大尺度旋涡向小尺度旋涡传递，其尺度（r ）,因此能量传递的机制由k项完成。哈尔滨工业大学燃烧工程研究所l 从K-H方程中更多结果：1、Loitsyanskii 积分 对K-H方程两面乘以r4，并从0积分至R,得四阶积分矩 Loitsyanskii将R同时假设f和k随着r下降的充分快，得到Loitsyanskii

12、积分 可解释为湍流场内总扰动量和总角动量守恒。2434240( , )( , )2( , )Rdu r f r t dru R k R tu R fR tdt2420,varBu r f r t driniant哈尔滨工业大学燃烧工程研究所2、最终阶段的衰减 当各向同性湍流衰减，随着雷诺数的减少，惯性作用相对于粘性作用逐渐消失，最终当雷诺数充分小的时候，惯性作用可以忽略不计。 Batchelor and Townsend (1948)研究表明当惯性项忽略后，K-H方程可以得到自相似的解 对于后期充分衰减的流动有效。 可以用于非常低雷诺数的流动。)8/exp(),(2trtrf哈尔滨工业大学燃烧

13、工程研究所2.3 Taylor一维能谱分析问题的提出 湍流运动常被描述为许许多多不同尺度涡运动叠加而成，具有不同频率的大量脉动的组合，这种形象化描述可以利用严格数学方法Fourier分析实现。 一个在空间或时间做随机变化的物理过程，例如光波、电磁波、海面波都可以通过Fourier分析，分解成许许多多具有不同波长或频率简谐波叠加而成，包含在每一简谐波中分量总和就等于此方程物理量大小。哈尔滨工业大学燃烧工程研究所 对于一个确定周期函数f(t)，且在其周期内积分为有限值，可以展开为Fourier级数 其中， w为基频 系数 10sincos2)(nnnnntbtaatf2nnwnwT., ,n ,d

14、ttcos)t (fTaTTnn3210222., ,n ,dttsin)t (fTbTTnn3210222哈尔滨工业大学燃烧工程研究所为了计算方便常采用Fourier的级数形式其中，一维能谱方程考虑均匀流场内某一固定点的湍流脉动速度u1，设流场是准定常的。存在脉动速度的方差由一切频率n的脉动贡献之和组成。 其中，E1(n)为湍流脉动在n与n+dn频率之间的贡献量。2110( )uE n dnntine )n(F)t (f221TTtidte )t (fT)n(Fn哈尔滨工业大学燃烧工程研究所 如果空间某一固定点的脉动速度u1(t)是时间的周期函数，则可将其展开为离散频率的Fourier级数，

15、显然湍流脉动速度不存在周期性，因此只能用连续频谱Fourier积分表示。其逆变换为dne)n( I)t (unti21dte)t (u)n( Inti211哈尔滨工业大学燃烧工程研究所 上述Fourier积分只有在积分为有限值下成立。考虑一掐头去尾函数uT(t)，上面积分就可以成立而不失物理上的正确性，即满足数学变换又不失物理上正确近似。则22022Tt ,Tt ,TtT),t (u)t (uT22222( )( )11( )( )( )intTTTintintTTTTutIn ednInut edtut edt哈尔滨工业大学燃烧工程研究所对于湍流流场内的欧拉时间相关T取为有限值)()()(1

16、1tuutRE22111TTT)t(u)(udTlim2211)()(1)(TTEtuudTtR2221TT)t(niTe )n(Idn)(udT22212TTnintiTe )(ude )n(IdnTdne )n(I)n(ITnti*TT22哈尔滨工业大学燃烧工程研究所其中IT（n）是IT*（n）的共轭复数，则当t=0时，故 其中 称为一维能谱函数因此ntiTEeTnIdntR222)(221)(21)0(uRE)n(Ednu12121T/)n(I)n(ET2212ntiEenEdntR21)(21)(ntiEetRdtnE21)(2)(哈尔滨工业大学燃烧工程研究所对于各向同性湍流和偶函数特

17、性相关函数和一维能量谱函数成Fourier余弦函数变换 01)2cos()()(ntnEdntRE01)2cos()(4)(nttRdtnEE哈尔滨工业大学燃烧工程研究所l对于u1的均匀流场，Taylor冻结流假设成立，由于f(x1)=E(t)，且 ，得 当x1=0， E1(n)代表频率位于n与n+dn之间那些谐波分量对湍流动能的贡献，是频率空间能谱函数。 tUx11011121121)Unxcos()n(Ednu)x(f01111121124)Unxcos()x(fdxUu)n(E2101101udn)n(E)(f0121dn)n(Eu哈尔滨工业大学燃烧工程研究所推论：1、当n0时，有 可见

18、积分尺度TE、f，可以从曲线 和纵坐标轴交点得出，这提供了一个确定这些尺度的方法。 012104)(4)(1limEEnTtdtnEu0111112104)(4)(1limfnUxfdxUnEu1( ), E n n哈尔滨工业大学燃烧工程研究所2、对于与耗散过程有关的旋涡，这些较小尺度的旋涡的表征尺度决定于高频值n的值。 02121202222211dnn)n(EutRtEE02121220212222111dnn)n(EuUxfxf哈尔滨工业大学燃烧工程研究所3、E1(n)和f(x1)互为Fourier余弦变换，已知其一即可通过积分方法得出另一个函数。但是需要已知其函数解析式，或利用实验关联

19、式来近似替代。 从实验上测量得出函数分布也很有意义。但实际上测量误差意味着这种方法的冒险性。通常，当两点距离大时，相关测量更准确，在高频区，谱测量更准确，因此用两者的相互变换来校核两者的测量结果更为适宜。 哈尔滨工业大学燃烧工程研究所举例：在许多均匀湍流条件下， 近似成立，可得到E1(n)近似表达式)/xexp()x(ff11011111121241)/xexp(UnxcosdxU)n(Euf221221414ff)Un(U2212221114114ff)Un(u)n(EU哈尔滨工业大学燃烧工程研究所哈尔滨工业大学燃烧工程研究所2.4 三维能谱分析问题的提出 N-S方程的特性还需要在波数空间内

20、进行描述将在均匀湍流流场内研究波数空间的影响。kxk itkuetxu),(),(哈尔滨工业大学燃烧工程研究所三维Fourier级数的表达形式 我们讨论在三维空间内 0 xiL，L与泰勒积分尺度L11相比拟。 在x1方向上，傅里叶级数含有下面项 其中k0=2/L为最低波数值，其复数形式为 n1为正或负的整数11011cos2cosxnkLxn)sin(cos110110110 xnkixnkexnik哈尔滨工业大学燃烧工程研究所l 波数矢量 由3个分量组成，构成三维波数空间的一个矢量，称为波矢量，量纲为L-1,则级数通用形式变为， 在垂直于矢量k的平面上是常数。 33221100nenenek

21、nkk330220110 xnikxnikxnikxk ieeee,/kkekk，xesksxekxk，其中xk ie哈尔滨工业大学燃烧工程研究所哈尔滨工业大学燃烧工程研究所l 速度谱张量 在均匀湍流中，进一步讨论速度谱张量 其中， 为连续的波矢量，速度谱张量具有复数形式kdekrRrk iijij)()(rderRkrk iijij)(21)(3321,kkkk 哈尔滨工业大学燃烧工程研究所 速度谱张量代表了在波数空间雷诺应力的密度函数，表示了在单位波数体积空间内，通过Fourier级数对雷诺应力的贡献。当r=0时，kdkuuRijjiij)()0(哈尔滨工业大学燃烧工程研究所速度谱张量包含

22、三个部分的含义：1）其下标i，j表明在物理空间内的速度方向；2）给出了波数空间方向；3）波数大小给出了波数长度尺度；4）根据速度梯度的计算，可得耗散率为kl2 kdkkij2122哈尔滨工业大学燃烧工程研究所l 能谱函数速度谱张量含有大量的信息，能谱函数是标量函数，可以从速度谱张量中导出，将波数空间的方向性去掉，在某一波数 上进行积分在整个波数空间内积分，可得到湍流动能kk )()()(21kSiikdSkkEkdkuukiiii)(2121哈尔滨工业大学燃烧工程研究所在各向同性湍流中，速度谱函数唯一决定于E(k),可表示两个标量函数的组合，其均为k 偶函数。求解得进一步的变化得能谱函数E(k

23、)为在波数空间上在 薄层内对湍流脉动总能贡献密度，它描述了湍流能量在各个波数下，即在各涡长度上分布。 dkkkkjiijijkkkBkAk)()()(224)()(kkkkkEkjiijij 00)(2)()(4)(21dkkEdkkdSkkEuuksii哈尔滨工业大学燃烧工程研究所 各向同性湍流湍能能谱方程 由于均匀湍流中，当x绝对值趋近于无穷大时，ui并不趋于零，因而Fourier变换存在的必要条件并不满足，三维脉动速度场通常意义下的Fourier变换不存在。 对于速度两点相关函数其变换存在，可得如下关系：),(),(),(trxutxutrRjiijkrk iijetkR),(哈尔滨工业

24、大学燃烧工程研究所可定义速度谱张量（Velocity-spectrum tensor） 而二元速度关联张量Rij，当 ，其取值很地趋向于零，故其Fourier变换存在，二元速度关联张量可表示为 ),(,tkRkktkijkijr kdetktrRrk iijij),(),(哈尔滨工业大学燃烧工程研究所如令r=0， 代表在三维波数空间中对雷诺应力张量的贡献量，而 代表了贡献密度，故称之为速度谱张量。 在谱区域K内的贡献量为kdtktkRtRijkijij),(),(), 0(),(,tkRji),(,tkjiKijkdtk,哈尔滨工业大学燃烧工程研究所湍流动能k(t) 代表波数空间中对湍流能量的

25、贡献量。可得耗散率的Fourier表达式 可见， 和 分别是湍流能量和耗散率的贡献密度。kdtkktkEkuutiikjj),(212,2)(222),(22tkEk),(tkEkdtktkEtkRuutkiikkiiii,21),(),(2121)(),(tkE哈尔滨工业大学燃烧工程研究所推得湍流能谱方程 其中在各向同性湍流中， 代表了能量在各个波数之间的再分配。上式给出在不同尺度旋涡运动中，能量的定量关系，特别是输运谱函数在能量级联过程中具有重要作用。),(2),(),(2tkEktkTtkEdtd0),(ktkT哈尔滨工业大学燃烧工程研究所 Kolmogorov spectra根据Kol

26、mogorov假设，当流动雷诺数充分高速度谱具有通用形式，且流动为各向同性，这个区域在lKEI=2/lEI，流动可由E(k)表示，通过量纲分析，E(k)只与k，有关。可得能谱函数的通用形式，其中， 为无因次通用函数，Kolmogorov谱函数。如果带入k, ，则 其中， kkE415k kkkE3/53/2)()()(3/5kkk哈尔滨工业大学燃烧工程研究所l对于粘性耗散区l对于惯性子区 可得其中，C为模型常数。这就是Kolmogorov-5/3谱分布律，实验确定的C为1.5。2DIklEIEIDIDIklklk223532)(kCkE哈尔滨工业大学燃烧工程研究所哈尔滨工业大学燃烧工程研究所l

27、 模型谱函数引入近似的模型谱函数其中函数fL确定含能区的谱函数形状，对于大kL,其取值趋近于1。 函数f描述耗散区谱函数形状，对于小的k,其取值趋近于1。 在惯性子区以上两个函数均趋于1，得到Kolmogorov-5/3谱分布律。)()(3532kfkLfkCkEL哈尔滨工业大学燃烧工程研究所哈尔滨工业大学燃烧工程研究所l 耗散谱1）模型谱与实验结果吻合很好；2）k10.1,谱线重合在一起。3) 不同雷诺数存在不同汇合点。2( )2( )DE(0, )0()Dd哈尔滨工业大学燃烧工程研究所耗散谱最大值取在k=0.26,l/=24；整体耗散区在0.1k2x10-3E22和E33形状分布完全相似。

28、2)平台区E22与E11，常数比为4/3。3）试验值与计算值比值相差10%以内。哈尔滨工业大学燃烧工程研究所l 含能区谱函数1）含能区分布依赖于具体流动特性，雷诺数影响不大。2）在L11/6l6L11,含能量在80%左右。(0, )0()kEd哈尔滨工业大学燃烧工程研究所湍流中的能量级联过程l含能涡的运动1）湍流能量均含于较大漩涡内，其尺度为l，可以与L11相比拟，速度可以与k1/2相比拟，这些尺度受流动几何形状影响很大。2）其旋涡时间尺度L11/ k1/2较均流时间尺度要大，因此受上游流动历史影响较大。3）不具有通用的统计表达形式。4）所有各向异性特性均存在于大含能涡中，同时湍流能量的产生均

29、来自这些旋涡。粘性作用可以忽略。哈尔滨工业大学燃烧工程研究所l能谱的平衡方程对于均匀湍流，可推出能谱平衡方程（Hinze，1975；Monin，1975），右侧第一项右侧第一项能谱产生项，由于外界引入均流速度梯度引起，是各向异性项，所有各向异性均在含能涡中。),(2),(,2tkEktkTktkPtkEtkkbabakkkkkdkPP),(), 0(), 0(EIkPPP1/),(PPEIk哈尔滨工业大学燃烧工程研究所右侧第二项右侧第二项能谱输运速率项，是由能量在波数小于k 部分向波数大于k 部分传递速率，称为输运谱函数。右侧第三项右侧第三项为耗散谱函数。湍流能量耗散速率与各波数能量密度分量贡

30、献与k2 权因子积分相等，这就使湍流总粘性耗散主要由高波分量，即小尺度涡决定。这部分涡只包含总能量中微不足道的份额，但却承担了全部粘性耗散，把湍流动能转化为热能。D(k,t)()()(bkakkkkkTkTdkkTkba哈尔滨工业大学燃烧工程研究所哈尔滨工业大学燃烧工程研究所1）在含能区内其它过程都很重要，除了粘性耗散过程。由于 ，所以在整个含能涡区内积分可得，其中，TEI=Tk(kEI)。2）在惯性子区，仅存在谱空间内的能量传递，得出，其中，TDI=Tk(kDI)。PP0), 0(), 0(), 0(EIEIEIkkkkk，EITPdtdkDIEITT0哈尔滨工业大学燃烧工程研究所3）在耗散

31、区进行积分将前三个方程累加可得上述过程反映出，来自含能涡能量传递速率并 不遵守通用形式，受速度梯度和含能谱的范围决定。但在惯性子区建立了通用形式，Tk(k)=TEI，同时在耗散区以接受的能量速率进行耗散。TDI= TEI=DIT0 Pkdtd)(哈尔滨工业大学燃烧工程研究所2.5 湍流的能量级联和Kolmogrov假设在Re数很大的条件下，形成充分发展的湍流。l这个湍流是由不同尺度的旋涡构成， 特征尺度 l , 特征速度 u(l), 时间尺度(l)=l/u(l)。对于最大尺度的旋涡： l0 L , u0=u(l0) r.m.s, Re0=u0l0/ Richardson I 定理l大旋涡是不稳定的，将不断破碎将他们能量传递给小旋涡，直到Re充分小，形成稳定旋涡 Richardson II 定理哈尔滨工业大学燃烧工程研究所在能量级联的最终层次，将由粘性耗散将能量消耗，耗散率将由大旋涡向小旋涡传递能量速率决定。l Big whorls have little whorls, Which feed on their velocity; And little whorl