哈工程随机信号分析2

1、1.6 随机变量的数字特征随机变量的数字特征1.6.4 随机变量的各阶矩随机变量的各阶矩1、2、一一. .k阶原点矩，阶原点矩，k阶中心矩阶中心矩11.6 随机变量的数字特征随机变量的数字特征3、1.6.4 随机变量的各阶矩随机变量的各阶矩21.6 随机变量的数字特征随机变量的数字特征方差性质：方差性质：c为常数为常数1.6.4 随机变量的各阶矩随机变量的各阶矩31.6 随机变量的数字特征随机变量的数字特征1.6.4 随机变量的各阶矩随机变量的各阶矩41.6 随机变量的数字特征随机变量的数字特征二、二、联合联合矩矩1、2、1.6.4 随机变量的各阶矩随机变量的各阶矩51.6 随机变量的数字特征

2、随机变量的数字特征3、（中心化的两个随机变量的互相关矩）（中心化的两个随机变量的互相关矩）1.6.4 随机变量的各阶矩随机变量的各阶矩61.6 随机变量的数字特征随机变量的数字特征3、（归一化协方差系数）（归一化协方差系数）1.6.4 随机变量的各阶矩随机变量的各阶矩71.6 随机变量的数字特征随机变量的数字特征三、讨论：两个随机变量的相互关系三、讨论：两个随机变量的相互关系1、统计独立统计独立1.6.4 随机变量的各阶矩随机变量的各阶矩81.6 随机变量的数字特征随机变量的数字特征2、互不相关、互不相关注意注意：1.统计独立必不相关，反之不然统计独立必不相关，反之不然。 2.正态分布的随机变

3、量，互不相关与统计独立正态分布的随机变量，互不相关与统计独立等价。等价。3、相互正交、相互正交如果如果X、Y中至少有一个零均值，则互不相关与相互正交等价中至少有一个零均值，则互不相关与相互正交等价1.6.4 随机变量的各阶矩随机变量的各阶矩91.6 随机变量的数字特征随机变量的数字特征101.7 随机变量的特征函数随机变量的特征函数随机现象随机现象随机变量随机变量分布函数分布函数数字特征数字特征各各 阶阶 矩矩描述统计规律分布函数某些特性决定数字特征问题：问题：1、随着、随着阶数的增加阶数的增加，如何简化矩计算中用分布函数求积分复杂，如何简化矩计算中用分布函数求积分复杂的过程。的过程。2、对于

4、多个独立的随机变量，求其和的分布复杂，如何简化。、对于多个独立的随机变量，求其和的分布复杂，如何简化。111.7 随机变量的特征函数随机变量的特征函数1.7.1 特征函数定义特征函数定义（是X的函数的数学期望）特征函数与特征函数与概率密度概率密度关系关系看作傅氏变换对，一一对应（注意正、负号与傅氏变换相反）逆转公式121.7 随机变量的特征函数随机变量的特征函数1.7.2 特征函数性质特征函数性质（1）（2）（3）相互独立的随机变量之和的特征函数，等于各个随相互独立的随机变量之和的特征函数，等于各个随机变量特征函数之积。机变量特征函数之积。131.7 随机变量的特征函数随机变量的特征函数1.7

5、.4 特征函数与矩函数的关系特征函数与矩函数的关系14 唯一确定特征函数各阶矩1.7 随机变量的特征函数随机变量的特征函数1.7.5 多维随机变量联合特征函数多维随机变量联合特征函数一、两个随机变量X和Y的联合特征函数注意：针对几个随机变量的联合特征函数，就有几个自变量看作二维傅立叶变换151.7 随机变量的特征函数随机变量的特征函数二、当X、Y相互独立时1.7.5 多维随机变量联合特征函数多维随机变量联合特征函数16三.边沿分布( ,0)( )(0, )( )XYXXYYCuCuCvCv1.7 随机变量的特征函数随机变量的特征函数四、N个随机变量的联合特征函数（1）（2）注意区别：注意区别：

6、一维特征函数一维特征函数N维维联合特征函数联合特征函数171.7.5 多维随机变量联合特征函数多维随机变量联合特征函数1.8 极限定理与收敛极限定理与收敛1.8.1、切比雪夫不等式、切比雪夫不等式数学期望数学期望随机变量随机变量任意正数任意正数方差方差意义：给出了随机变量X分布未知的情况下，任意随机变量与其 数学期望的偏差落在某一区域以外的概率。任何随机变量与其数学期望的偏差落在其3倍标准差以外的概率，不会超过 1/9。181.8 极限定理与收敛极限定理与收敛1.8.5中心极限定理中心极限定理说明： 一般情况下，不同分布律的随机变量之和趋向高斯分布的速度是不同的。 在工程上，如果不是某个或某些

7、变量对和的贡献很大，710 个变量之 和的分布可认为服从正态分布。191.8 极限定理与收敛极限定理与收敛1.8.4 收敛收敛随机变量是随机试验的结果，当随机试验样本空间的所有随机变量是随机试验的结果，当随机试验样本空间的所有元素对应的一族序列都收敛，称随元素对应的一族序列都收敛，称随 机变量序列机变量序列处处收敛处处收敛2. 随机变量的处处收敛随机变量的处处收敛201.8 极限定理与收敛极限定理与收敛1.8.4 收敛收敛2. 常用意义上的弱收敛常用意义上的弱收敛 准处处收敛准处处收敛 （almost-everywhere, a.e.收敛）收敛）表示方法表示方法211.8 极限定理与收敛极限定

8、理与收敛1.8.4 收敛收敛2. 常用意义上的弱收敛常用意义上的弱收敛 均方收敛均方收敛 （mean-square, m.s.收敛）收敛）表示方法表示方法221.8 极限定理与收敛极限定理与收敛1.8.4 收敛收敛2. 常用意义上的弱收敛常用意义上的弱收敛 依概率收敛依概率收敛 （probability, p收敛）收敛）表示方法表示方法231.8 极限定理与收敛极限定理与收敛1.8.4 收敛收敛2. 常用意义上的弱收敛常用意义上的弱收敛 分布收敛分布收敛 （distribution, d收敛）收敛）表示方法表示方法241.8 极限定理与收敛极限定理与收敛1.8.4 收敛收敛2. 常用意义上的弱

9、收敛常用意义上的弱收敛251.10 高斯随机变量高斯随机变量一、高斯随机变量一、高斯随机变量221()( )exp22xmf x一维概率密度函数一维概率密度函数f x 0,1,()f x 0,0.5,()0.2f x 0,2,()4202400.40.655xf x 1,0.5,()261. 10 高斯随机变量高斯随机变量二、性质二、性质1. 正态随机变量经线性变换后仍服从正态分布。正态随机变量经线性变换后仍服从正态分布。271. 10 高斯随机变量高斯随机变量281. 10 高斯随机变量高斯随机变量5. 平面平面直角坐标上构成一点的两个相互独立的直角坐标上构成一点的两个相互独立的标准正标准正态态随机变量，变换为极坐标后，模服从瑞利随机变量，变换为极坐标后，模服从瑞利分布分布，相位服，相位服从均匀分布，且模和相位相互独立。从均匀分布，且模和相位相互独立。291. 10 高斯随机变量高斯随机变量6. 两两个相互独立的正态随机变量，经过坐标旋转个相互独立的正态随机变量，经过