多元函数微分学复习题及答案

1、第八章多元函数微分法及其应用复习题及解答、选择题1.极限limx0y0(提示：令y(B)不存在(C)年(D)存在且不等于则极限limf(x,y)=x0y01-12、设函数f(x,y)xsin；ysin；xy0xy(提示：有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小)(A)不存在(B)等于(C)3、设函数f(x,y)xyx20y2(提示：在xy20，则f(x,y)y20f(x,y)处处连续；在kx21Tx2=k2x2kxlim-=0f(0,0)x0.1k2,故在x2y20,函数亦连续.所以,f(x,y)在整个定义域内处处连续.)(A)处处连续(C)仅在(0,0)点连续(B)(D)处处有极限，但不连续除(0,

2、0)点外处处连续4、函数zf(x,y)在点(x0,y0)处具有偏导数是它在该点存在全微分的(A)(A)必要而非充分条件(B)充分而非必要条件(C)充分必要条件5、设uarctany,贝Uu=(D)既非充分又非必要条件(B)(C)6、设f(x,y)arcsiniR,则fx(2,1),x(B)(C)1(D)-2一、rrx7、设zarctan,xuyv,则ZuZv8、若f(x,2x)x2(B二uv'3x,fx(x,2x)(C)(D)uv6x1,则fy(x,2x)二(A)x(C)2x1(D)2x9、设z一)(2,1)y(A)2(B)1+ln2(C)0(D)110、设zxyexy,则zx(x,x

3、)2x2_2(A)2x(1x)e(B)2x(1x)x2e(C)x(12x2一x2)ex(D)x(12x2x)e11、曲线x2sint,y4cost,zt在点(2,0,)处的法平面方程是2(A)2xz(B)2xz-4(C)4y2(D)4y12、曲线4x5y,yVZ,在点(8,2,4)处的切线方程是(A)(A)(C)x820x85z44z44(B)(D)x1220x3544z413、曲面xcoszycosxz2一在点一,1一，02处的切平面方程为(D)(A)xz(B)xy1(C)x2(D)14、曲面x2yz23xyz6在点(3,2,1)处的法线方程为(A)(A)z1918118(C)8x3y18z

4、(D)8x3y18z1215、设函数z1Jx2y2,则点(0,0)是函数z的(A)极大值点但非最大值点(B)极大值点且是最大值点(C)极小值点但非最小值点(D)极小值点且是最小值点16、设函数zf(x,y)具有二阶连续偏导数，在P0(x0,y0)处，有fx(P。)0,fy(P0)0,fxx(P0)fyy(P。)。，fxy(P。)fyx(P。)2,则(C)(A)点P0是函数z的极大值点(B)点P0是函数z的极小值点(C)点P0非函数z的极值点(D)条件不够，无法判定5、设函数f(x,y)x2.答：k2f(x,y)2x(Qf(xy,xy)(xy)(xy)(xy)(xy)2x7、设f(x,y)A=8

5、、设f(x,y)22ln(1xy)A.答：ln2,22、tan(xy)22xyA22xy22xy1/22,要使f(x,y)处处连续，则1/2则A=.答：1229、函数z-一匕的间断点是x1(x,y)(0,0),要使f(x,y)在(0,0)处连续,(x,y)(0.0)答：直线x10上的所有点17、函数f(x,y,z)z2在4x22y2z21条件下的极大值是(C)(A)1(B)0(C)1(D)2二、填空题1、极限iim"”=,答：x0xy*22、极限lim唯Li=.答：ln2x022y1xy3、函数zJln(xy)的定义域为.答：xy14、函数zarcs吧的定义域为.答：1x1,y0yy

6、2xyln-,贝Uf(kx,ky)=x6、设函数f(x,y)-xy-，贝1f(xy,xy)=xy.答：直线yx及x010、函数f(x,y)212cos上的间断点为xyx.答：3cos511、设zsin(3xy)y,贝(J-zx12、设f(x,y);x答：x3y11e2022、曲面xeyy2e2zz3e3x21在点(2,1,0)处的法线方程为e答：x2UZ2e2ey2,则fy(0,1)=.答：1z、一x一,一33113、设u(x,y,z)一,贝Udu“"=.答：dxdy-In2dzya816814、设u/2，则在极坐标系下,=答：02xy2ex23、曲面arctan-1xz在点(2,1

7、,0)处的切平面方程是415、设uxyy,贝Uu2=.答：笃23xxx2u116、设uxlnxy,贝U=.答：一xyy17、函数yy(x)由1x2yey所确定，则dy=dx18、设函数zz(x,y)由方程xy2zxyz所确定，则一z二y2xyz121xy19、由方程xyz&7z7<2所确定白函数zz(x,y)在点(1,0,1)处的全微分dz=.答：dx22dy20、曲线xt2,y2t,z1t3在点(1,21)处的切线方程是33答：x_JLJz122321、曲线x2te2t,y3e2t,zt2e2t在对应于t1点处的法平面方程是y2z11 c24、设函数zz(x,y)由方程/x3x

8、yy5x5ye2z4确止，则函数z的驻点是.答：(一1,2)27、函数z2x23y24x6y1的驻点是洛：(1,1)25、若函数f(x,y)x22xy3y2axby6在点(1,1)处取得极值，则常数a,b.答：a0,b426、函数f(x,y,z)2x2在x2y22z22条件下的极大值是答：4三、计算题1、求下列二元函数的定义域，并绘出定义域的图形.(1) z,1x2y2(2)zln(xy)1(3)z1(4)zln(xy1)ln(xy)解：(1)要使函数z，1x27有意义，必须有1x2y20,即有x2y21.故所求函数的定义域为D(x,y)|x2y21,图形为图3.1(2)要使函数zln(xy)

9、有意义，必须有xy0.故所有函数的定义域为D(x,y)|xy0,图形为图3.21(3)要使函数z有息义，必须有ln(xy)0,即xy0且ln(xy)xy1.故该函数的定义域为D(x,y)|xy0,xy1,图形为图3.3(4)要使函数zln(xy1)有意义，必须有xy10.故该函数的定义域为D(x,y)|xy1,图形为图3.4图3.1图3.2ysin2x2、求极限limx0y0.xy解：y0ysin2xlimx0y0ysin2x(xy11)_4xy13、求极限lim-x0y01、sin(xy).解：原式=xim0y0x3y2(1.x2y1)sin(xy)y0sin(xy)xy4、求极限lim0x

10、解：lmy_；04，165、设uxsiny解：uxsiny6、设z_yxey解：zxey7、设函数zxxyexyxyxyex(4呵y0ycosx,求ysinxuyyex,求zx,zy.yex16xy)_8xyux,uy.xcosycosxzyxeyez(x,y)由yzzxxy解一：原式两边对x求导得3所确定，试求解二:（其中zFxzyzFyzxxFyyx，yFxyx8、求函数z2x23xy2y24x3y1的极值.解：由zxzy4x3y43x4y30、一0,得驻点(1,0)zxxzxyDzyxzyyzxx40,函数z在点(1,0)处取极小值z(1,0)1.9、设ze3x2y，而xcost,yt2

11、,求dz.dt解：dz3e3x2y(sint)2e3x2y(2t)(3sint4t)e3x2ydt10、设zy'ln(xy),求,.xyIx1xx11x解：zxylnylnxyyzyxyln(xy)yxy11、设uaxyzlnxa(a0),求du.Uxyz1UxyzUxyz用牛：alnaax,azlna,yalnaxyzdu(axyzlnaax1)dxaxyzlna(zdyydz)12、求函数zln(x2y2exy)的全微分.解：-xxy2xyexyz2yxe22xyyxye1dzx2y2exy(2xye)dx(2yxe)dy四、应用题1、要造一容积为128立方米的长方体敞口水池，已知

12、水池侧壁的单位造价是底部的2倍，问水池的尺寸应如何选择，方能使其造价最低？解：设水池的长、宽、高分别为x,y,z米.水池底部的单位造价为a.则水池造价Sxy4xz4yza且xyz128令Lxy4xz4yzxyz128Lxy4zyz0,Lvx4zxz0由yLz4x4yxy0Lxyz1280得xy8z2由于实际问题必定存在最小值，因此当水池的长、宽、高分别为8米、8米、2米时，其造价最低.2、某工厂生产两种商品的日产量分别为x和y(件)，总成本函数222C(x,y)8xxy12y(兀).商品的限额为xy42,求最小成本.解：约束条件为(x,y)xy420,构造拉格朗日函数F(x,y,)8x2xy1

13、2y2(xy42),Fx16xy0解方程组Fyx24y0,得唯一驻点(x,y)(25,17),Fxy420由实际情况知，(x,y)(25,17)就是使总成本最小的点，最小成本为C(25,17)8043(元).3、某工厂生产两种产品甲和乙，出售单价分别为10元与9元，生产x单位的产品甲与生产y单位的产品乙的总费用是4002x3y0.01(3x2xy3y2)元，求取得最大利润时，两种产品的产量各为多少？解：L(x,y)表示获得的总利润，则总利润等于总收益与总费用之差，即有利润目标函数L(x,y)(10x9y)4002x3y0.01(3x2xy3y2)228x6y0.01(3xxy3y)400,(x0,y0),Lx80.01(6xy)0令，解得唯一驻点(120,80)Ly60.01(x6y)0又因ALxx0.060,BLxy0.01,CLyy0.06,得_23ACB3.5100.得极大值L(120,80)320.根据实际情况，此极大值就是最大值.故生产120单位产品甲与80单位产品乙时所得利润最大320元.五、证明题(11)1、设zex-y求证x2y22zxy证明:(11)因为二eI?2xx2z(-1)1zexy2yy2所以(11)(11)x