导数及其应用

1、导数应用专练-参数问题本节学习目标：依据不等式求参数问题.常用方法：(1)对参数分类讨论；(2)分离参数,有时需要二次甚至三次求导，若端点出现0型，需要应用洛必达法则(大学内容)0补充：洛必达法则：设函数f(x)、g(x)满足：(1)limf(x)=limg(x)=0；xaxa(2)在u'(a)内，f(x)和g'(x)都存在，且g'(x)00；f(x)(3)lim一工=A(A可为实数，也可以是坟).x-ag(x)f(x),f(x)贝Ulim=lim：=A.xag(x)xag(x)三、典型例题1. (2010新课标文)(可只做第二问)设函数f(x)-x(ex-1)-ax2

2、(e=2.71828)_1(1)若2=,求f(x)的单调区间；2(2)若当x>0时f(x)>0,求a的取值范围.2. 2010新课标1理21(可只做第二问)设函数f(x)=ex-1xax2.(1)若a=0,求f(x)的单调区间；(2)若当x之0时f(x)至0,求a的取值范围.3. 2011新课标1理(21)(选彳)alnxb已知函数f(x)=十一，曲线y=f(x)在点(1,f(12的切线方程为x1xx+2y-3=0.(i)求a、b的值；lnxk(n)如果当x>0,且x#1时，f(x)>+一,求k的取值氾围.x-1x4. 2012天津理20.已知函数f(x)=x_ln(x

3、+a)的最小值为0,其中a>0.(I)求a的值；(n)若对任意的xw0,y)，有f(x)wkx2成立，求实数k的最小值.5. 2013济南二模设f(x)=(x+a)1nx,曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线与直线2x+y+1=0垂直.x1(1)求a的值；(2)若Vxw1,+=c),f(x)Mm(x-1)恒成立，求m的范围.4/i*求证：ln32n+1<Z1.(nWN).y4i-1导数答案1.解(I)a=1时，f(x)=x(ex1)1x2,f'(x)=ex1+xexx=(ex1)(x+1).当22xw,_1)时f'(x)>0;当x气一1,0)时,f

4、9;(x)<0;当x%0,代)时,f'(x)>0.故f(x)在(血,-1),(0,收)单调增加，在(-1,0)单调减少.(n)f(x)=x(ex-1-ax).令g(x)=ex-1-ax,贝Ug'(x)=3a.若aW1,贝U当xw(0,+oc)时，g'(x)a0,g(x)为减函数，而g(0)=0,从而当x>0时g(x)>0,即f(x)>0.若aa1,则当xw(0,lna)时，g'(x)<o,g(x)为减函数，而g(0)=0,从而当xw(0,lna)时g(x)v0,即f(x)<0.综合得a的取值范围为(-m,1xx.2.解：

5、(1)a=0时，f(x)=e1一x,f(x)=e1.当xw(-0o,0)时，f'(x)<0；当xw(0,y)时，f'(x)>0.故f(x)在(3,0)单调减少，在(0,一)单调增加(11) f'(x)=ex12ax由(I)知ex父1+x,当且仅当x=0时等号成立.故，r1,，一f'(x)2x2ax=(12a)x,从而当12a20,IPa<-时，f'(x)>0(x>0),而2f(0)=0,于是当x±0时，f(x)>0.由ex1+x(x#0)可得二1t,e>1-x(.从而叫a>时，2f'(x)

6、;ex-12a(e"-1)=e"(ex-1)(ex-2a),故当xw(0,ln2a)时，f'(x)<0,而f(0)=0,于是当xW(0,ln2a)时，f(x)<0.L，E1综上得a的取值范围为(-00,.22nxxx由1.2拓展得设n匚N,x>0,求证：e>1十一+十十.1!2!n!2n(本质是泰勒展开式ex=1-+.(xR)1!2!n!3.解析：(I)f'(x)=zx1(-lnx)xb(x1)2f(1)=1,由于直线x+2y3=0的斜率为一,且过点(1,1),故12为b=1,ab2lnx1(n)由(i)知f(x)=十,所以x1x(k

7、-1)(x21)2xf(x)一型+K(2lnx+(k-1)(x2f).x-1x1-xx考虑函数h(x)-2lnx-(k"-2-1)。>。)，则h'(x)=(i)设kW0,由h'(x)=22k(x1)-(x-1)知，当x"1时，h'(x)<0,h(x)递减.而h(1)=01故当x=(0,1)时，h(x)>0,可得2h(x)A0；1-x1当x=(1,+g)时，h(x)<0,可得2h(x)>01-x从而当x>0,且x/1时，f(x)-("x+)>0,即f(x)>1nx+x-1xx-1x(ii)设0&

8、lt;k<1.由于(k1)(x2+1)+2x=(k1)x2+2x+k1的图像开口向下，且A=44(k-1)2>0,对称轴x=1-k1一>1当x=(1,)时,1k(k-1)(x2+1)+2x>0,(x)>0,而h(1)=0,故h'(x)>0,而h(1)=0,故当xe(1,)时，h(x)>0,1-k一,11可得rh(x)<0,与题设矛盾.1-x2(iii)设k21.此时x2+122x,(k1)(x2+1)+2x>0=h一，一一一一1故当x亡(1,+00)时，h(x)>0,可得2h(x)<0,与题设矛盾.1-x综合得，k的取值

9、范围为(-00,0点评；求参数的范围一般用分离参数法，然后用导数求出最值进行求解.若求导后不易得到极值点，可二次求导，还不行时，就要使用参数讨论法了.即以参数为分类标准，看是否符合题意.求的答案.此题用的便是后者.法二分离参数lnxklnx1Inxk当x>0,且x#1时，f(x)>+,即+>+,x-1xx-lxxlxxInx1xInx2xInx_2xlnx也即k<+=-十1,记g(x)=+1,x>0,且x#1x：u1xx_11_x21_x2则g'(x)='222(x21)lnx2(1-x2)-7；2T2(1-x)22(x21)73；2T2-(1-x

10、)1-x2(lnx"记h(x)TnxM'则h'(x)=1+9=S0从而h(x)在(0,七c)上单调递增，且h=0,因此当x三(0,1)时，h(x)<0,当xw(1,七0时，h(x)>0；当xW(0,1)时，g'(x)<0,当xW(1,卡啰时，g'(x)0,所以g(x)在(0,1)上单调递减，在(1,也)上单调递增.由洛必达法则有limg(x)=lim(x1x-1.即当xT1时，2xInx1-x22xInx彳.2Inx2+1)=1+1im丁=1+1im=0，x_11_x2x_1_2xg(x)>o，即当x>0,且x=1时，g(

11、x)>0.因为k<g(x)恒成立，所以k<0.综上所述，当x>0,且x#1时,f(x)1nx成立，kx-1x的取值范围为(_5,0.4.解：f(x月勺定义域为(-a,+)=I-L由，用xhI-oam.JE+dX+U与工变化时，/b).的受他情况如F表iX(-a,1-a)1-aQ-*«)/w0十、被小值同此，八口在M=处取肉单小的.故由黑建7(|-0=1-0所以0al.<in解：当上WQ时，取*n】/£l)=I-6n2>Q,故不含展意一当*时*令氟D=/幻匕：*叩威幻工工一回上中一父旧*；：丁出=7-却令*<±)。，得玉=。

12、*(D3时,三台喘入g在(0.y)上恒成立.E目此对外在助*«)上用谑建此一从而对丁任意的jfE*,思育即人用Wb：在乩用j上恒戒立，故上mg符心题总.(2>>c>.对需+(*)au./*re在口，二工出单调遣晒一国此寺取wn.七产】时.则,24*口，口口门号)龙父不应故QqJt<-不含噩意一2琮上*的电小俄内:，xa(1a)242(1nx)(x1)-(xa)1nx15.解:f'(x)=-由题设f")、1,二(x1)2，1+a=1,二a=0.x1nx1(2)f(x)=,Vx=(1,收)，f(x)Wm(x1),即1nxWm(x一)x1x，、.,

13、1设g(x)=1nxm(x)，即Vx=(1,2)，g(x)W0x11-mx2x-mg(x)=m(12)=-xxx若mE0,g'(x)>0,g(x)主g=0,这与题设g(x)w0矛盾.若m>0方程221.-mx+xm£的判别式1=1-4m；当E0,即m至3时，g(x)<0./rg(x)在一，、，八1,、(0,收)上单调递减，,g(x)Eg(1)=0即不等式成立.当0<m<时，方程21一二1m4其根x=>02m11-4m2.，K)12mxw(1,x2),g'(x)>0,g(x)单调递增，g(x)>g(1)=0,与题设矛盾.综上所述,1.112k1(3)由(2)知，当xa1时，m=一时，lnx<x-I成