导数的思想方法和基本理论

1、导数的思想方法和基本理论有着广泛的应用，除对中学数学有重要的指导作用外，也能在中学数学的许多问题上起到居高临下和以简化繁的作用。本文对2007年数学高考试题中有关运用导数解决问题的试题进行分析，看如何运用导数解决中学数学中相关问题：如函数单调性、最值等函数问题；在掌握导数的相关概念的基础上应用导数作出特殊函数的图象；应用导数解题的一般方法证明某些不等式的成立和解决数列的有关问题，再根据导数所具有的几何意义对切线相关问题及平行问题等几何问题进行了一些探讨，并最终运用导数解决实际问题中的最值。在我国现在中学数学新教材中，导数处于一种特殊的地位，是高中数学知识的一个重要交汇点，是联系多个章节内容以及

2、解决相关问题的重要工具。在2007年各省高考试题中，我们不难发现导数的应用在中学数学中是非常广泛的，涉及到了中学数学的各个方面，具体如下：（一）在函数方面的应用1.1函数单调性的讨论函数的单调性是函数最基本的性质之一，是研究函数所要掌握的最基本的知识。通常用定义来判断，但当函数表达式较复杂时判断/何）-/（跖）正负有困难时选用导数就会很方便。运用导数知识来讨论函数单调性时，只需求出,再考虑秋X）的正负即可。此方法简单快捷而且适用面广。江西卷12.设？：/（工）*+山1+29+尔+1在（0,+中）内单调递增，q：附一5，则P是0的（b）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不

3、充分也不必要条件安徽卷18.设启利=1-1-岛+2加加。）,令喇川，讨论网工）在十°0）内的单调性。解：根据求导法则有工x,故巴力-看-工2出工+2/2I-21工工八0,当0。<2时，尸八，当工>2时，尸>°故知尸在戊2）内是减函数，在（2,+8）内是增函数。.陕西卷20.设函数加不示，其中“为实数.当丁的定义域为R时,求烟的单调减区间.,=式兀+，一2%”解：（/+”+程y,令f（x）<o,得武工+”2）4o,由八加o,得1二。或工二2-&,又：:0<以2时，由八）°得。门（2-曰；当”2时，/3）0；当2s<4时，由

4、f<0得2-ai<0,即当0<。<2时，的单调减区间为（0，2-4.当2<a<4时,/H）的单调减区间为Q一篇°）./-2浙江卷22设3,对任意实数1，记3.（I）求函数/占八叶的单调区间;竺解：3-3.由/=八4二0,得了二£.因为当xc（to2）时，y0，当xe（-2,2）时，:0,当xe（2,+r）时，'。，故所求函数的单调递增区间是（一凶，-2）,（2）+00）,单调递减区间是（一2,2）.分析：这类求函数单调区间的问题要比给出某个区间判断函数的单调性复杂一些.在这类题型中，首先对/W求导;再令或/（工）。，通过解关于X的

5、不等式，即可得到了（I）的单调递增（减）区间.1.2函数的最值（极值）的求法最值（极值）问题是高中数学的一个重点，也是一个难点.它涉及到了中学数学知识的各个方面，用导数解决这类问题可以使解题过程简化，步骤清晰，也好掌握。一般地，函数/（1）闭区间a,b上可导，则/（工）在a,b上的最值求法：求函数，在（a,b）上的驻点；计算/W在驻点和端点的函数值，比较而知，最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。江苏卷13.已知函数，二£一12工+8在区间卜，3上的最大值与最小值分别为般，朋，则M-加二_32一辽宁卷12.已知/与g（K）是定义在R上的连续函数，如果/与g（x）仅当x=0时的函数值

6、为0,且,那么下列情形不可能出现的是（C）A.0是/（3）的极大值，也是g（x）的极大值B.0是广的极小值，也是的极小值C.0是1）的极大值，但不是g（x）的极值D.0是/的极小值但不是g（x）的极值"）=天津卷20.已知函数'7+1“，其中仪eR.当aw0时，求函数/的单调区间与极值.解:2a(x2+1)-2x(2ax-厘，1)-2(x-dr)(ax+l)由于仪H0,以下分两种情况讨论.（i）当a。时，令=得到“白，工厂".当又变化时，J/（工）的变化情况如下表:STa9,+8)0+0递减极小值递增极大值递减所以/（x）在区间ooa）,（%+0°）内为减

7、函数，在区间_1J内为增函数.函数/1工）在ia处取得极小a处取得极大值/（a）,且/=1.当口。时,令得到2白，当变化时，m的变化情况如下表:所以/（x）在区间严、a一，+8,I5）内为增函数，在区间I切内为减函数.函数/在工产°处取得极大值/，且/.函数/在a处取得极小值产,*hi)1a(11，+°01金J小）+00+fW递增极大值递减极小值递增y=sM有公共点，且在该点处的切线相同.（I）用窗表示6,并求A的最大值;解：（I）设y二/与y=°）在公共点（即为）处的切线相同.八一空，'=x+2。，后父，由题意/So）=g（M）,/'（/）=0（

8、%）.+2a/=3dIn飞+b,乙+,至由“W得:上。，或铲i=-?+2?-3a2l即有-na-3a2lnah(f)=-Z1>0)“小门f八2.令2、则糕)=2t(l-31M于是当“1-出口力二°,即0时，做）。；当£（l-31n£）0,即£的时，碇）0分析：本小题考查两个函数的和、差、积、商的导数，利用导数研究函数的单调性和极值等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法。湖北卷20.已知定义在正实数集上的函数”'）一丁+2：g（»=3hii+方,其中.设两曲线尸危）,故力C）在I/1、丁,+8/为增函数，在I/为减函数，于h是

9、人在电+8）的最大值为分析：这类题目解决的关键在于深刻理解并灵活运用导数的知识，实质是确定新构造函数的最大值。（二）在不等式证明方面的应用利用导数证明不等式，就是利用不等式与函数之间的联系，将不等式的部分或者全部投射到函数上。直接或等价变形后，结合不等式的结构特征，构造相应的函数。通过导数运算判断出函数的单调性或利用导数运算来求出函数的最值，将不等式的证明转化为函数问题，即转化为比较函数值的大小，或者函数值在给定的区间上恒成立等。江苏卷9.已知二次函数公二加+历+e的导数为，/'。，对于任意实数晨有了0,/(I)则/'的最小值为(C)A.3B.2c.2D.2安徽卷18.设仑。欧

10、=工-1城1+2心姓。）.（in求证：当工1时，恒有rln2r-2tjlnr+l.证明：由口0知，网工）的极小值f=2-21。2+2白0.于是由（I）知，对一切工£0,+8），恒有F-.从而当工0时，恒有尸0,故/国在（。,+8）内单调递增.所以当了1时，=即.故当x>1时，恒有x>In'x-x+1.湖北卷20.已知定义在正实数集上的函数2”'如,g（x）=3Jlni+b，其中a.设两曲线）二,，J=g（x）有公共点，且在该点处的切线相同.（II）求证：/WgW（»Q）.=/-gQ）=工/+加工-3前1口工一占（30）证明：设一2则，至二（）（）

11、.故尸在俱鼻）为减函数,在（m+8）为增函数，于是函故当工0时，有/W-gWo,即当尸在+8）上的最小值是F=九）=/（%）-g（%）=。,全国卷20.设函数-E.（I）证明：/（X）的导数八”2；（n）若对所有工。都有了（I）织，求山的取值范围.解（I）/的导数/0）二+巳由于启二2,故尸2.（当且仅当工二。时，等号成立）.i）若白式2,当工。时，n）令北）=抬一右，则a=/（1）-”/+尸-4黑4+尸-八2y>0,故在（0，+8）上为增函数,所以，x>o时，g（x）>g（0）,即/a+y?-4（H）若a>2,方程，二。的正根为"-"2,此时，若了

12、近。，h）,则，<0,故g在该区间为减函数.所以，&（0,h）时，g（x）<g（0）=0,即/<勰，与题设了相矛盾.综上，满足条件的a的取值范围是产2NI2浙江卷22.设""3,对任意实数t,记乙"）3”.（II）求证：（i）当XA。时，对任意正实数2成立；-222当/>。时，由“二。,1抑户）=。.故当m>Q时,力=/（»-&S）=-Px+-£（x>0）Lrrr._2_Z3证明：（i）方法一：令33，则欠（工）一X£11得工二户，当（/，+时，所以“在仅+0°）内的最小值

13、是/（心&对任意正实数f成立.222-“仆碗）=&伽=/一世下0）=三/5-"）川伊一。,3方法二：对任意固定的1>0,令3，则3，由心一U,得£二.当（y*7时,口）>。当时,柳）40所以当I二时，取得最大值因此当工>0时,/式幻对任意正实数！：成立.分析：这类题型主要考查函数的基本性质、导数在不等式的证明中的应用、以及综合运用所学知识分析和解决问题的能力。当不等式直接证明比较困难时可对不等式一边作一变形，再构造函数利用求导分析。（三）在数列方面的应用数列是高中数学中一个重要的部分，也是个难点。事实上数列可看作是自变量为正整数的特殊的函数

14、，所以可以利用数列和函数的关系，运用导数来解决数列的有关问题。广东卷21.已知函数，。）=/+尸1,就£是方程一。的两个根（a>£）,f（x）是了的导数，设二L%+L=/一m-12)J1%).(1)求a口的值;（2）证明：对任意的正整数弘，都有">a；解析：（i）./0=+卜1,以口是方程-1+Af（x）=0的两个根一2-1-出二；（2）102用,Q1(2+l)+l(2an+l)-1-1口4+&门L口,4141a=a-la+1)+.,：.=.=一,4=1,有基本不等式可知/Tan>=a,2(n=1,2,),（四）在解析几何方面的应用导数在

15、解析几何中应用主要体现在求曲线的切线上。江西卷11.设函数/（只是R上以5为周期的可导偶函数，则曲线丁二/Q）在工二5处的切线的斜率为（B）1A.5B.。C.5D.5分析：这道题可以根据导数的几何意义来求，导数的几何意义是函数/在点M的导数/'（%）是曲线在点处的切线斜率.全国卷二22.已知函数力一才7.（1）求曲线在点/&）处的切线方程；（2）设n>。，如果过点（如与可作曲线"/（x）的三条切线，证明：-a<b4/.解：（1）求函数/（1）的导数；/'（力=3/-1,曲线J=在点W/）处的切线方程为：广人）才即尸如果有一条切线过点1，可，则存在f

16、,使8二（3/一加一2.于是，若过点（如切可作曲线的三条切线，则方程2/-知2+。+3=0有三个相异的实数根.记g«）=2?-3/+。+方，则次二当！.变化时，g口g'口）变化情况如下表：£（-叫。）0口）a(%+s)+00+递增极大值a+b递减极小值方-拉）递增由统）的单调性，当极大值a+b<Q或极小值）-/>°时，方程g©二°最多有一个实数根;当a+b=O时，解方程g©二°£=0,i=-_得2,即方程gQ）二0只有两个相异的实数根;a£=一,t-a当=。时，解方程g©二。

17、得2,即方程g口）二。只有两个相异的实数根.>0,综上，如果过包为可作曲线二/三条切线，即g©二°有三个相异的实数根，则心一了皿即-。<旌加）.（五）在实际问题中的应用北京卷19.如图，有一块半椭圆形钢板，其半轴长为2r,短半轴长为r,计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底幺是半椭圆的短轴，上底CD的端点在椭圆上，记CD=2工，梯形面积为S.（I）求面积S以工为自变量的函数式,以幺3的中点。为原点建立直角坐标系S的最大值.。一书（如图），则点C的横坐标为工.点C的足方程力山°）解8(2工+2”2/，-V=2(X-2其定义/=4。+/）'（八,则

18、/=即+/-2x）.令八1）二0/gO；当2c时，八力。,所以3也112大值为.即梯形面积S的最大值为2II）记1/F0<X<，得2.因为当2时,2）是f（x）的最大值.因此，当1x-r2时，S也取得最大值，最福建卷19.某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交管理费，预计当每件产品的售价为X元（9（工11）时，一年的销售量为02-1）万件.（I）求分公司一年的利润（万元）与每件产品的售价1的函数关系式；（n）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润£最大，并求出L的最大值。.解：（I）分公司一年的利润（万元）与售价工的函数关系式£=问9,11.n)£气)=。2-42。-35)。2-彳)_工2.228=（12-加8+2”3x）.令r=0得钎5+丁或工二12（不合题意，舍去）.-3a5,“铲”1在229x-6+-a8式6H-a<93Ca<3两侧£的值由正变负.所以(1)当3即2时,小=£(9)=(9-3-琐12俗=9(6-乃9<6+-c7<-<s<52)当33即2时，9(6f),2112-6+-aI3)=46+乙