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1、3.1.33.1.3空间向量的数量积运算空间向量的数量积运算回顾引入平面向量夹角数量积定义数量积的几何意义数量积的性质数量积的运算律数量积 等于的长度与在的方向上的投影 的乘积为非零向量，为单位向量已知两个非零向量，在平面中任取一点，则角叫做向量的夹角，记作：, ,已知两个非零向量在空间任取一点作则叫做向量的夹角 记作a bOOAa OBbAOBa ba b O OA AB Ba a b b (1)向量的夹角：0,a b 1.空间向量的夹角空间向量的夹角(2),a bb a (3),2如果，则称 与 垂直，记作a babab abBB1 1AA1 12.2.空间向量数量积的定义空间向量数量积的

2、定义cos,a ba ba b 0, a b 注意注意: : 两个向量的数量积是两个向量的数量积是数量数量，而不是向量，而不是向量. . 规定规定: :零向量与任意向量的数量积等于零零向量与任意向量的数量积等于零. 已知已知空间空间两个非零向量两个非零向量 , 则则叫做叫做 的数量积，记作的数量积，记作 , 即即, a b cos,a ba b a b , a b 3 3. .空间两个向量的数量积性质空间两个向量的数量积性质求求向量的长度（模向量的长度（模）证明两证明两向量向量垂直垂直bababa，）（cos5；）（baba44 4、空间向量数量积的运算律：空间向量数量积的运算律：(1) ()

3、()(2)()(3)()()交换律分配律aba ba bb aabca ba c 注：向量的数量积运算类似于多项式运算注：向量的数量积运算类似于多项式运算, ,平方差公式、平方差公式、 完全平方公式、十字相乘等均成立。完全平方公式、十字相乘等均成立。积满足结合律吗？也就是说，向量的数量成立吗？，、）对于向量（)()(3cbacbacba吗？，能得到）由（cbcaba1？也就是说向量有除法吗）？（或，能否写成，若、）对于向量（akbbkakbaba2不满足结合律。不成立，向量的数量积不能，向量没有除法。，而未必有都垂直时，有、与向量不能，如向量cbcabacba5 5、空间向量数量积可以解决的立体几何问题：、空间向量数量积可以解决的立体几何问题：（3）向量的夹角（两异面直线所成的角）；）向量的夹角（两异面直线所成的角）；（2）证明垂直问题；）证明垂直问题；（1）线段的长（两点间的距离）；）线段的长（两点间的距离）；cos,a ba ba b 0;aba b 2aa a 2aa ，也就是说，也就是说( ,)a b 是是非非零零向向量量4 .3 .2 .1 .231DCBAbaqpqpbqpa）（则，是相互垂直的单位向量和，、已知的模是则向量，且，、设cbacbacbcaba321632bababa，则，、已知3233.21DCBCA

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