常微分方程3,初值问题解的性质

1、第三节初值问题的解的性质、初值问题的解是自变量、初值的三元函数时至今日，我们都是把初值小,yo视作固定不变的，去讨论初值问题的解，这个解自然是自变量x的函数，但还不能完全反映实际情况.因为在应用上，我们将一个实际问题化为微分方程的初值问题时，初值xo,yo通常是通过做试验进行观察或测量而获得的，难免不产生误差而保持它们绝对准确.由此可知，初值x0,y0一般不是固定不变而是可以变动的.初值,yo的变动，必然导致相应初值问题的解的随之变动.因此，一般地说，初值问题的解该是自变量x,初值,y0的三元函数.例如初值问题dy=y*dxy（x）xo=y。的解是y=y0ex3,它显然是x,xo,yo的三元函

2、数，并且关于x,xo,yo还是连续、可微的.我们把初值问题（2.1.1）,（2.1.2）的解记为y=P（x,xo,yo）,xI（2.3.1）并且假定它已经向左右两个方向延拓，即假定（2.3.1）是（2.1.1）,（2.1.2）的饱和解，同时，按照函数的定义，还应有V。=仅,%）.二、初值问题的解关于初值的一些基本性质1 .初值问题的解关于初值的对称性定理4设初值问题（2.1.1）,（2.1.2）的解y="x,xo,yo）,xI（2.3.1）是唯一的，则式（2.3.1）中的（x,y）与（%,y0）可以互换其相对位置，即（2.3.1）在其存在范围I内可变换为Vo=（xo，x,y）（2.3

3、.2）证若任取x=x1wI,则由（2.3.1）,有必=9（x1,xo,yo）,于是，由初值问题解的唯一性知，方程（2.1.1）的过点（x1,y）的解与过点（xo,yo）的解应是同一个解或同一条积分曲线.因此，方程（2.1.1）的过点（x1，y1）的解可表示为y=(x,Xi,yi)(2.3.3)并且按函数的定义，有V。二(X0,Xi,yi)(2.3.4)由于x=XiWI是任取的，所以(Xi,yi)是方程(2.1.1)的过点(X0,y。)的积分曲线L上的任一点，从而将(2.3.4)中的(xi,yi)换为L上的任一点(x,y)亦是成立的，即有y。二(X0,x,y)这就证明了初值问题关于初值的对称性.

4、2 .初值问题解关于初值的连续性初值问题(2.i.i),(2.i.2)的解y=(x,X0,y。)一般是自变量x,初值Xo,y。的三元函数，并且关于x,y。还是连续和可微的.下面我们就从理论上论述这一事实.引理1设方程(2.1.1)右端的函数f(x,y)在某区域D内连续，且在D内关于y满足L-条件，L-系数是L.若y=9(x)和y=W(x)分别是方程(2.1.1)的定义在区间八和|2上的任意两个解，区间a,b=I1r1|2#仙则对以及某wa,b,均有中(X)中(x)W9(x。)中(X。)eLxf(2.3.5)证令？(x)(x)=v(x),xwa,b,则dvW"(x)6)|月f(x苫(x

5、)-f(xW(x)JdxEL|邛(x)中(x)三Lv(x)于是，有e-Lxdv()-Le-Lxv(x)E。，即dv(x)e、。.故对满足aEx。Wxb的任dxdx意x,有v(x)e-LXvlxje'x。即v(x)Mvlxelx)(2.3.6)而对满足aWxMx。Wb的任意x,令x=t,并记x。=t。，则方程(2.i.i)变为dyn-Mty)(2.3.7)dt且易知(2.3.7)有解y=5(t)和y=(t)再令6(t)=*t)，(t),则由上述推理知，对bwt0wtwa,满足的任意t,有.(t)<.(t0)eL(t_to)(2.3.8)因0=v，0(to儿必=v(xo)(2.3.9

6、)故将(2.3.9)代入(2.3.8),得v(x)_v(xo)eL(»Xo)=v(xo)eL(Xo),a_x_x0_b(2.3.10)于是，由(2.3.6)和(2.3.1O)即知，对/x及某xoea,b,均有中(x)中(x)wM(xo)中(x°),eLxM定理5设方程(2.1.1)右端的函数f(x,y)在区域G内连续，且在G内关于y满足局部L-条件，L-系数是L,(xo,yo)wG,若y=9(x,xo,yo)是初值问题(2.1.1)、(2.1.2)的定义于区间a,b上的解，则对任给的君>0,存在6=6(*a,b)>0,使当(Xo-xo)2+(弘-yo)2<

7、52时,方程(2.1.1)的过点(%,治)的解丫=中0区,%)三中(x)至少亦在区间a,b上有定义，并且对任意xwa,b,有<p(x,Xo,yo)-(x.xo,yo)|<s证首先，若记S=(x,y):y=(x,xo,yo)三邛(x),aEx、xo<b则可以找到一个满足SUDUG的有界闭集D,使f(x,y)在D内关于y满足L-条件，L-系数是L.事实上，S是方程(2.1.1)的过点(,%)的一条积分曲线段，它显然是区域G内的一个有界闭集.于是，由定理5的假定，对每一(又,)S,必可作一个开圆C=i(x,y):(x-x)2(y-y)2二r2,(x,y)G)G使方程(2.1.1)右

8、端的函数f(x,y)在C内关于y满足L-条件，L-系数是Lr.因此，根据有限覆盖定理，可以找到具有上述性质的有限个开圆G"(x,y):(x-为)2(y-yi)2二n2,(x,y)G,(xi,yJS.',(i-1；,n)n把它们全部拼起来”，即UCiG既在G内，又完全覆盖S,亦即ScGaG且f(x,y)在i1每个内关于y满足L-条件，L-系数是L,(i=1;,n).当然，f(x,y)亦在G内关于y满足L-条件，L-系数可取为L=maxL,L2,，Ln,同时，根据聚点原理可推知，S与G的边界的距离P>0.于是，对任给O0,若取g.PLn=min1%万|及L=maxaL,Ln

9、并记C=(x,y):(xx*)2+(y-y*)2<n2,V(x,y)eG,V(x*,y*)eS,则D满足S二D二G二G且f(x,y)在D内关于y满足L-条件，L-系数是L.其次证明，对上述任给的s>0,必找得到正数(=5(%a,b)<”,使当又0,%满足不等式_2_22(%-%)(Yo-Yo)二,时，方程(2.1.1)的过点阮豆)的解y=9(x,Xo，Y0)三中(x)至少亦在区间a,b上有定义.事实上，因方程(2.1.1)的右端函数f(x,y)在有界闭集D上连续且在D内关于y满足L-条件，故由解的延拓定理4知，方程(2.1.1)的过点(Xo，Yo)的积分曲线Y=邛(乂,无刀0

10、)必能延拓到区域D的边界上去.设它在D的边界上的点为(cW(c)和(dW(d)(c<d),则这时c、d必满足c_a-b-d如若不然，则有a:c二d:b于是，由引理1则有中(x)(x),W中()川(xo)eLx01,c<x<d.1又由y三中(x)作为x的函数的连续性知，对61=%(b),存在为例)。，使当2x-x0<62时，有e(x)W(xo)三加.若取m=min(4,G2),则当(x-xo)2(Y-Yo)2：:-2时，有中(x)Z(x)«仔(先)川(X°)|eLxR< (I)-5(xo)十四x°)中(X°)|eLx用<

11、 g+y。%£”)< 21eL(bJ)< 21eeL(j2二力即对vxec,d,有fP、(2.3.11)中(x)-中(刈<n=minI®,yj<£特别地，当x=c和x=d时，即有中(c)一w(c)<n和怛(d)7(d)<n这说明：点(cW(c)卜(d9(d)均不在有界闭集D的边界上而在D的内部，这与假设矛盾.故cMaWbMd,从而解y三中(x)至少在区间a,b上有定义.最后，由(2.3.11)即知，对任给w>0,存在6=min31,62)>0,(其中，61=-ne-L(b),22,22.-而见自)>0,且&qu

12、ot;=min；名,万|),使当(XoXo)十(y。yO)<6时，对Vx=a,b,甲(x,Xo,%)-甲(x,%,yo)<s推论2(初值问题的解对初值的连续性定理)在定理5的条件下，方程(2.1.1)的过点(Xo,yO)的解y=*%5,y°)作为自变量x,初值Xo,y0的三元函数在点(x,x°,y°)处连续.证因y=<P(x,Xo,yo)作为自变量x的函数在区间a,b上连续.故对任给的EA0,存在61=6(8)a0,使当Xxc房时,中(X,Xo,yo)中(x,Xo,yo)<一，xo,xea,b.2又由定理5知，对上述任给的6A0,362=d

13、2(s)>0,使当(Xo-Xo)2(yo-yo)2二'2时，有(x,x0,y0)-(x,x0,y0)：二万，x,x0,x0a,b.若取m=min(61，0)，则当(X-x)2+(x0-x0)2+(%)2<52时,就有：(兄兄,工)-(x,x0,y0)m(兄元,/)-;：(x,x0,y0)|-(x,x0,yO)-(x,%,y°)zz<一十一=z22这表明，解y=邛（凡比，丫0）作为自变量x,初值Xo,yo的三元函数在点（x,刈，y°）处连续.推论3（初值问题的解对初值的连续性定理）在定理5的条件下，方程（2.1.1）的过点（xo,yo）的解y=cP（

14、x,xo,yo）作为自变量x,初值比，yO的三元函数在其存在域内是连续的证对任意（x0,y0）wG,由定理1及定理3即知，方程（2.1.1）的过点（x0,y0）的解存在、唯一，经延拓可得饱和解，不妨仍记此饱和解为y=邛（x,x0,y0）,其存在区间为a<x<P（注意这里%P是（x0,y0）的函数）.令V=(x,x0,y0):xw(o(,P),(x0,y0)wG,则解y=*(x,x0,y0)作为x,x0,y0的三元函数，其定义域（存在域）为V,且在V上连续.这是因为对任意点（x,x0,y0）EV,解y=*（x,x0,y0）作为自变量x的函数，其最大存在区间9,B）内必含有点x,%.于

15、是，存在区间（n,P）的闭子区间a<x<b,使解y=炉(凡。0),a：二x0;二b在区间a,b上有定义，从而由推论2知：解y=*（x,x0,y0）作为x,x0,y0的三元函数在点（x,x0,yo）上连续，由于点（x,x0,y°）在V上任取的，所以解y=®（x,%,y0）作为x,%）。的三元函数在其存在域V内是连续的.3.含有参数九的微分方程的初值问题的解对初值和参数的连续性含有参数九的微分方程的初值问题为dy=f（x,y,'）dx(2.3.12)y(x)(2.3.13)在上述初值问题所描述的实际系统中，参数九常常表征各种持续的随机干扰因素的影响，而这种影

16、响往往又无法精确地测量出来.若参数九的微小变动引起对应的初值问题的解的巨大变动，则所求得的这种解就不能近似地描述所研究的自然、社会现象，从而也就没有多大的实际价值若f(x,y,九)在区域G、=(x,y,?)(x,y)G,a<z<P上连续，且在G、内一致地儿儿关于y满足局部L-条件，即对任意(x,y,九)wG都存在以该点为中心的球CuG使/u/u得对任意(x,yi，九卜(x,y2,wC,都有f(x,yi,九)f(x,y2,Z.)<Lyy2其中，L是与久无关的正常数亦称为L-系数.则由定理1知，对每一九oWa,B,方程(2.3.12)存在过点(%,y°)wG的唯一解，记

17、它为y=9(x,xo,yo,%),并且按照函数的定义，自然有yo=(xo,xo,yo,>-o).定理6(初值问题的解对初值和参数的连续依赖性)设方程(2.3.12)右端的函数f(x,y,X)在区域G-上连续，且在G.内关于y一致地满足局部L-条件，L-系数是L./u/u(xo,yo,%)wG?,若y=?(x,xo,yo,%)是方程(2.3.12)的定义在区间aMxWb上的过点Au(xo,yo)及欠o亡a,P的解，其中，xoa,by=?(x,兄,九)是方程(2.3.12)的过点(xo,yo)及九wu,P的解，其中，xowa,b,则对任给的s>o,存在6=6(w,a,b)Ao使当(*-

18、xo)2+(y°yo)2+(九%)2<s2时，解y=*(x,xo,%,九)至少亦在区间aExWb上有定义，并且在区间a<x<b±,有(x,xo,yo,)-：(x,xo,y。,)定理7(初值问题的解对初值和参数的连续性)若方程(2.3.12)右端的函数f(x,y,A)在区域G；内连续且在G：内关于y一致地满足局部L-条件，L-系数L,(xo,yoJ“)wG；,则JUrU方程(2.3.12)的过点(xo,yo)WG&*Wa,Pw惭y=中仪4。，y0,九)作为x,%,%，的函数，在其存在区域内是连续的.4.初值问题的解对初值的可微性定理8若方程(2.1.

19、1)右端的函数f(x,y)及其对y的偏导数0f(x,y)均在域G内连续，二y则初值问题(2.1.1)、(2.1.2)的解y=(x,xo,yo)作为x,xo,yo的三元函数，在其存在域内是连续的、可微的.证事实上，由f(x,y)对y的偏导数讦(x,y)在G内连续可推知，f(x,y)在G内关于二y7y满足L-条件.又因f(x,y)在G内连续.故由定理5的推论3知，初值问题(3.1)、(3.2)的解y=5(x,x0,y0)作为x,x0,y0的三元函数，在其存在域V内连续.卜面证明解y=邛(x,%,y(j)作为x,%,y0的三元函数，在其存在域V内可微.由数学分析知识知，只需证明y=*(x,x0,y0

20、)对x,x0,y0的偏导数目更效均在,.x.x0Fy0V内连续.先证解y=9(x,x0,y0)对x的偏导数在V内连续.三x1的命题1知，因y=9%刈，丫0)是初值问题(2.1.1)、(2.1.2)的解.故由定理y=(x,x0,y0)是积分方程y=y0:f(,y)dx0的解，从而由解的定义，有x(x,x0,y0)三yO.f(,(,x0,y0)dx0又因f(x,y)在G内连续，中(x,x0,y0)在V内连续，故由复合函数的连续性知,f(xW(x,x0,y。)在V内连续.于是，由含参变量的积分的可微性知：(x,x°,y°)=fx,(x,x0,y°)(2.3.14)从而c

21、*(x,",九)作为x,x0,y0的三元函数，在其存在域V内连续.x其次证解y=*(x,%,y0)对飞的偏导数在V内连续.x因a(x,y)在G内连续，y=5(x,x0,y0)在V内连续.故由复合函数的连续性知,yfx,(x,x0,y°)在V内连续.于是，由含参变量的积分的可微性知f(x,x0,No)况二-fx0,(x0,x0,y0)xx：f(，My。)厂(，x0,y。)(x0,y0)JCx0二.d/评(x,%,%)济(xW(x,%,y)/(x,%、)dx(x,x0,y0)x0三f(x0,yo)XTo故抖（x,xo,y。）是初值问题Cxod®(x,x°,y

22、o)更(xW(x,x0,yo)抑(x,x0,yo)=.dxlSx0J6中cx0科(x,x°,yo).一、=_f(%,yo)a0x.的解.解上述初值问题，得：(x,xo,yo)-二-f(xo,yo)e.xoxxo(2.3.15)一一:（x,x0,vo）.显见一:N,y”作为x,xo,yo的三元函数，亦在其存在V域内连续.xo最后，证明解y=%x,xo,%）对yo的偏导数丁亦在V内连续.二yo由含参变量的积分的可微性知f（x,xo,yo）=1,X开，：（，xo,yo）”（,xo,yo）dMx04“d(抑(x,xo,yo)才(x,中(x,xo,yo)即(x,x0,yo)-dxf(x,xo,

23、yo)：:y。三1x=xg故叫x,xo,y。)是初值问题Nod:敬x,xo,yo);三讲(x,.(x,xo,y0).(x,x°,y°)dx、cyo)”cyo.(x,xo,yo)方yo的解.解上述初值问题，得f(x,x0,y()(2.3.16)显见,中（xx0'y0）作为x,X0,y0的三元函数，仍在其存在域V内连续.-y0这样，我们就证明了初值问题（2.1.1）、（2.1.2）的解y=Wx,x0,y0）作为x,x0,y0的三元函数，在其存在域V内连续、可微，且其微分为xf_1_,3d、f_A_3dd=fx,（x,x0,y°）dxf（%,y°）ex°二dx°ex00dy0显然，反复利用初值问题的解对自变量、初值的偏微商公式（2.3.14）、（2.3.15）、（2.3.16）及复合函数的微商法则，我们还可以得到初值问题的解对初值的高阶可微性例1设初值问题包二sinxydxy(x)x=xc=y0(2.3.17)(2.3.18)的解为y=<p(x,x0,Yo).试求:石中(x,x0,yO)瞪(x,X0,Yo)-,rXX0(,y0)30)"(xo,yo)=(O,0)解因f（x,y）=sinxy及、f（x