理论力学第八章

1、第七章点的合成运动研究动点相对两个不同参考系的运动关系。研究动点相对两个不同参考系的运动关系。 重点分析某一瞬时，点的速度合成和加速度合成的规律。重点分析某一瞬时，点的速度合成和加速度合成的规律。相对某一参考体的运动可由相对于其他参考体的几个运动的组合而成合成运动。合成运动。实例一：yxoMoyx M点运动点运动地面地面: :摆线，摆线，车箱车箱: :圆。圆。7-1相对运动牵连运动绝对运动两个坐标系定参考系（定系）一般固定在地球上，用Oxyz坐标系表示动参考系（动系）固定在相对于地球运动的物体上， 用Oxyz坐标系表示三种运动绝对运动：动点相对于定系的运动相对运动：动点相对于动系的运动牵连运动

2、：动系相对于定系的运动相对于某一个参考体的运动可由相对于其他参考体的几个运相对于某一个参考体的运动可由相对于其他参考体的几个运动组合而成动组合而成- 合成运动合成运动关键关键: :明确：站在什么地方看物体的运动，看什么物体的运动明确：站在什么地方看物体的运动，看什么物体的运动实例二回转仪的运动分析动点：点动系：框架CAD相对运动：圆周运动牵连运动：定轴转动绝对运动：空间曲线运动绝对轨迹绝对速度绝对加速度avaa 在动参考系上与动点相重合的那一点（牵连点）的在动参考系上与动点相重合的那一点（牵连点）的速度和加速度称为动点的牵连速度和牵连加速度。速度和加速度称为动点的牵连速度和牵连加速度。rvra

3、相对轨迹 相对速度 相对加速度evea牵连速度牵连加速度相对运动（点的运动）相对运动（点的运动）绝对运动（点的运动）绝对运动（点的运动）牵连运动（刚体的运动）牵连运动（刚体的运动）ab.牵连点某瞬时的固定点不同瞬时，点不同1.参考物与参考系有何区别?后者包含整个空间。后者包含整个空间。2.某瞬时，动点与牵连点有无相对运动?必有。必有。3.某瞬时，牵连点与动系有无相对运动?无。无。3-2-1 三种运动的概念三种运动的概念3-2 点的复合运动概念 动点动点 定系定系 动系动系 eevarvraavaa3-2 点的复合运动概念绝对运动绝对运动相对运动相对运动牵连运动牵连运动牵连点牵连点速度、加速度分

4、析速度、加速度分析 弄清动点的绝对轨迹、相对轨迹和牵连点的绝对轨迹。关键关键: :分析如下3例动点的速度和加速度。AOva3-2-1 三种运动的概念三种运动的概念3-2 点的复合运动概念AA动系为滑槽，动系为滑槽，动点为滑块动点为滑块A，三种轨迹三种轨迹avrveveaaanraraA3-2-1 三种运动的概念三种运动的概念3-2 点的复合运动概念动系为斜面，动系为斜面，动点为轮心动点为轮心O。OvaOvaavrvevOaeaaara3-2-1 三种运动的概念三种运动的概念3-2 点的复合运动概念运动方程 xx tyy t绝对运动运动方程 xx tyy t相对运动cossinsincosOOx

5、xxyyyxy动点：M，动系：Oxy利用坐标变换建立三种运动之间的关系利用坐标变换建立三种运动之间的关系)(txxOO)(tyyOO)(t动系相对于定系的运动可描述为：动系相对于定系的运动可描述为：例例7-1 点点M相对于动系相对于动系 沿半径为沿半径为r的圆的圆周以速度周以速度v作匀速圆周运动作匀速圆周运动(圆心为圆心为O1 ） ，动系，动系相对于定系以匀角速度相对于定系以匀角速度绕点绕点O作定轴转动，作定轴转动，如图所示。初始时如图所示。初始时 与重合，点与重合，点M与与O重合。重合。yxOyxOOxyyxOOxy求：点求：点M的绝对运动方程。的绝对运动方程。cossinsincosOOx

6、xxyyyxy解解:yxoM动系：点点动点：动点：12 相对运动方程相对运动方程sincos111MOyMOOOx代入代入rvt求：点求：点M的绝对运动方程。的绝对运动方程。已知：已知：r, 相对速度相对速度v，t，00trvtryrvtrxsincos13 绝对运动方程绝对运动方程trvtrtrvtryxytrvtrtrvtryxxcossinsincos1cossinsinsincoscos1sincos求：点求：点M的绝对运动方程。的绝对运动方程。已知：已知：r, 相对速度相对速度v，t，00t0Ox0Oyrvt例例7-3 用车刀切削工件的直径端面，车刀刀尖用车刀切削工件的直径端面，车刀

7、刀尖M沿水平轴沿水平轴x作往复运动，如图所示。设作往复运动，如图所示。设oxy为定坐为定坐标系，刀尖的运动方程为标系，刀尖的运动方程为 。工件以。工件以等角速度等角速度 逆时针转向转动。逆时针转向转动。tbxsin求：车刀在工件圆端面上切出的痕迹。求：车刀在工件圆端面上切出的痕迹。3 相对运动轨迹42222bbyx)2cos1 (2sinsin2tbtbtOMy2 相对运动方程tbtbtOMx2sin2coscos解解: 1 动点：M, 动系：工件 yxoMOrrrrx iy jkzMMrr定系：xyz，动系：，：，动点：OxyzM为牵连点7-2点的速度合成定理目的：建立三种速度之间的关系目的

8、：建立三种速度之间的关系(M )ddrrvx iy jz ktddMeOrvtrx iy jz kddMaOrvrx iy jz kx iy jz kt导数上加“”表示相对导数。得aervvv 点的速度合成定理点的速度合成定理：动点在某瞬时的绝对速度等于：动点在某瞬时的绝对速度等于它在该瞬时的牵连速度与相对速度的矢量和。它在该瞬时的牵连速度与相对速度的矢量和。(M)可画出速度平行四边形avrvev例例7-4刨床的急回机构如图所示。曲柄刨床的急回机构如图所示。曲柄OA的的一端一端A与滑块与铰链连接。当曲柄与滑块与铰链连接。当曲柄OA以匀角速度以匀角速度绕固定轴绕固定轴O转动时，滑块在摇杆转动时，

9、滑块在摇杆O1B上滑动，并带上滑动，并带动杆动杆O1B绕定轴绕定轴O1摆动。设曲柄长为摆动。设曲柄长为OA=r，两轴间两轴间距离距离OO1=l。 求：曲柄在水平求：曲柄在水平位置时摇杆的角位置时摇杆的角速度速度.12. 运动分析运动分析 解解: 1动点：滑块动点：滑块A动系：摇杆动系：摇杆AB绝对运动绝对运动:绕绕O点的圆周运动点的圆周运动相对运动相对运动:沿沿O1B的直线运动的直线运动牵连运动牵连运动:绕绕O1轴定轴转动轴定轴转动sinsinrvvae22211rlrAOve已知已知:?:.,11求水平OAlOOrOA3.?aervvvr大小方向例例7-5 如图所示半径为如图所示半径为R、偏

10、心距为、偏心距为e的凸轮，的凸轮，以角速度以角速度绕绕O轴转动，杆轴转动，杆AB能在滑槽中上下平移，能在滑槽中上下平移，杆的端点杆的端点A始终与凸轮接触，且始终与凸轮接触，且OAB成一直线。成一直线。求：在图示位置时，杆求：在图示位置时，杆AB的速度。的速度。解：解：1、动点：、动点：AB杆上杆上A、动系：凸轮、动系：凸轮cotaeevvoAeoA 牵连运动：定轴运动（轴牵连运动：定轴运动（轴O） 相对运动：圆周运动（半径相对运动：圆周运动（半径R） 2、绝对运动：直线运动（、绝对运动：直线运动（AB）已知：已知：, ,ABe ACRv求。aervvv大小 ? oA ?方向 3、求：矿砂相对于

11、传送带求：矿砂相对于传送带B的速度。的速度。例例7-6 矿砂从传送带矿砂从传送带A落入到另一传送带落入到另一传送带B上，如图所示。站在地面上观察矿砂下落的速上，如图所示。站在地面上观察矿砂下落的速度为，方向与铅直线成度为，方向与铅直线成300角。已知角。已知传送带传送带B水平传动速度。水平传动速度。sm41vsm32v解：解：1、动点：矿砂、动点：矿砂M。动系：传送带。动系：传送带Barcsin(sin60 )46 12ooervv2v 牵连运动：平动（牵连运动：平动（ ）1v 2、绝对运动：直线运动（、绝对运动：直线运动（ ） 相对运动：未知相对运动：未知12aervvvvv大小 ?方向 ?

12、 3、已知：已知：rvvv求：求：。s3m, sm421sm6 . 360cos222eaearvvvvv例例7-7 圆盘半径为圆盘半径为R，以角速度，以角速度1绕水平轴绕水平轴CD转动，支承转动，支承CD的框架又以角速度的框架又以角速度2绕铅直的绕铅直的AB轴轴转动，如图所示。圆盘垂直于转动，如图所示。圆盘垂直于CD，圆心在，圆心在CD与与AB的交点的交点O处。处。求：当连线求：当连线OM在水平位在水平位置时，圆盘边缘上的点置时，圆盘边缘上的点M的绝对速度。的绝对速度。解：解：1、动点：、动点：M点。动系：框架点。动系：框架 BACD222212aervvvR21arctanarctaner

13、vv 牵连运动：定轴转动（牵连运动：定轴转动（AB轴轴) 相对运动：圆周运动（圆心相对运动：圆周运动（圆心O点）点） 2、绝对运动：未知、绝对运动：未知 已知：已知：12,MROMv 水平，求21aervvvRR大小 ? 方向 ? 3、此类问题解题步骤此类问题解题步骤1.选动点，动系，动点相对于动系有运动，动点和选动点，动系，动点相对于动系有运动，动点和动系不能在同一个物体上，相对运动要简单；动系不能在同一个物体上，相对运动要简单；2.分析三种运动和三种速度；每个速度都有大小和分析三种运动和三种速度；每个速度都有大小和方向两个要素，只要知道方向两个要素，只要知道4个要素就能画出速度个要素就能画

14、出速度平行四边形；平行四边形；3.根据速度合成定理，做出速度平行四边形，注意，根据速度合成定理，做出速度平行四边形，注意，绝对速度是对角线；绝对速度是对角线；4.根据几何关系求出未知量。根据几何关系求出未知量。7-7-牵连运动是平移时点的加速度合成定理牵连运动是平移时点的加速度合成定理0dtkddtjddtid相对导数与绝对导数相同相对导数与绝对导数相同dtvddtvdarrr动系平移，各点速度和加速度相同动系平移，各点速度和加速度相同eooeaadtvddtvd又根据速度合成定理aervvvrereaaaadtvddtvddtvda牵连运动是平移时点的加速度合成定理：牵连运动是平移时点的加速

15、度合成定理：牵连运动为平移时，动牵连运动为平移时，动点在某瞬时的绝对加速度等于该瞬时它的牵连加速度与相对加速点在某瞬时的绝对加速度等于该瞬时它的牵连加速度与相对加速度的矢量和度的矢量和常矢量常矢量例例7-9如图所示平面机构中，曲柄如图所示平面机构中，曲柄OA=r，以，以匀角速度匀角速度O 转动。套筒转动。套筒A沿沿BC杆滑动。已知：杆滑动。已知：BC=DE，且，且BD=CE=l。求：图示位置时，杆求：图示位置时，杆BD的角速度和角加速度。的角速度和角加速度。解：解：1 动点：滑块动点：滑块A，动系：，动系：BC杆杆绝对运动：圆周运动（绝对运动：圆周运动（O点）点）相对运动：直线运动（相对运动：

16、直线运动（BC）牵连运动：平动牵连运动：平动2 速度速度0?aervvvr大小方向 0rvvvaerlrBDveBD0BDBDOAlCEBDDEBCrOA,0求：求：常数常数已知：已知：3 3 加速度加速度220?naeerBDaaaarl大小方向 沿沿y轴投影轴投影30sin30cos30sinneteaaaalrlraaaneate3)(330cos30sin202203)(3lrlrBDateBDBDBDOAlCEBDDEBCrOA,0求：求：常数常数已知：已知：yryneyteyaaaaa)()()()(7-47-4牵连运动是定轴转动时点的加速度合成定牵连运动是定轴转动时点的加速度合成

17、定理，科氏加速度理，科氏加速度ddAAeArvrtAOrrkdd()ddOeOrkrkttddOOeOrvrt,eeeiijjkk先分析 k 对时间的导数。因为ddekkijt，、 ，得同理可得即22ddrrax iy jz kt22ddMeOrarx iy jz kt22dd2()MOratrx iy jz kx iyjzkx iy jz ka2ex iy jz k2erv2()2eeex iy jz kxiyjzk因为因为2ereraaava得得2Cerav令令称为科氏加速度称为科氏加速度erCaaaaa有 点的加速度合成定理：动点在某瞬时的绝对加速度等于该瞬时它动点在某瞬时的绝对加速度等

18、于该瞬时它的牵连加速度、相对加速度与科氏加速度的矢量和。的牵连加速度、相对加速度与科氏加速度的矢量和。 2rCravv2sinCrrav, v1832年年Coriolis(法法)研究发现。研究发现。大小大小: : 0rC/a v3-3-2 速度与加速度合成定理速度与加速度合成定理3-3 速度、加速度合成定理速度、加速度合成定理2Cerav令令称为科氏加速度称为科氏加速度方向方向: : 右手法则右手法则erv，垂直于垂直于 和和当牵连运动为平移时，动点在某瞬时的绝对加速度当牵连运动为平移时，动点在某瞬时的绝对加速度等于该瞬时它的牵连加速度与相对加速度的矢量和。等于该瞬时它的牵连加速度与相对加速度

19、的矢量和。00eCa，当牵连运动为平移时，当牵连运动为平移时，因此aeraaa此时有此时有10Ca课堂习题：已知课堂习题：已知 ，求，求1、2两处的两处的 大小。大小。r,vCa22Crav方向方向纸面向外纸面向外12rv3-3 速度、加速度合成定理速度、加速度合成定理做题方法和步骤做题方法和步骤1.合理选动点、动系合理选动点、动系 动点相对动系有运动动点相对动系有运动 相对轨迹要简明相对轨迹要简明2.正确画运动矢量图。由轨迹定方向。正确画运动矢量图。由轨迹定方向。3.灵活投影法求大小。灵活投影法求大小。例7-8刨床的急回机构如图所示。曲柄OA的一端A与滑块用铰链连接。当曲柄OA以匀角速度绕固

20、定轴O转动时，滑块在摇杆O1B上滑动，并带动杆O1B绕定轴O1摆动。设曲柄长为OA=r，两轴间距离OO1=l。 求:摇杆O1B在如图所示位置时的角加速度。解：解：1 动点：滑块动点：滑块A，动系：，动系：O1B杆杆绝对运动：圆周运动绝对运动：圆周运动2 速度速度相对运动：直线运动（相对运动：直线运动（O1B）牵连运动：定轴转动（牵连运动：定轴转动（O1轴）轴）? ?aervvvr大小方向 11,求：求：水平水平常数常数已知：已知：OAlOOrOAOA22cosrlrlvvar2222211rlrrlvAOvee3 3 加速度加速度222sinrlrvvae11,求：求：水平水平常数常数已知：已

21、知：OAlOOrOAOA方向大小rcrnetenavAOraaaaa11222?1 cos221rvaaarxaCte222232232221121rlrlrllrrlAOate22222rlrlrlCtexnaaaa11,求：求：水平水平常数常数已知：已知：OAlOOrOAOA沿沿轴投影轴投影xxcxrxnextexnaaaaaa)()()()()(求：该瞬时AB的速度及加速度。例7-10如图所示凸轮机构中，凸轮以匀角速度绕水平O轴转动，带动直杆AB沿铅直线上、下运动，且O，A，B 共线。凸轮上 与点A接触的为 ，图示瞬时凸轮上点 曲率半径为A ，点 的法线与OA夹角为，OA=l。AAA绝对运动绝对运动 :直线运动（直线运动（AB）相对运动相对运动 :曲线运动（凸轮外边缘曲线运动（凸轮外边缘）牵连运动牵连运动 :定轴转动（定轴转动（O轴）轴）1 动点（动点（AB杆上），动系杆上），动系 :凸轮凸轮O2 速度速度?aervvvl大小方向 ABABAAavCAOlOABAO,求：求：共线共线常数常数已知：已知：tantanlvveacoscoslvver3 3 加