第五章内力计算

1、杆件内力计算杆件内力计算山东大学山东大学Mechanics of material 在小变形和线形条件在小变形和线形条件下，杆件所有内力分量下，杆件所有内力分量作用的效果，可以视为作用的效果，可以视为各个内力分量单独作用各个内力分量单独作用效果的叠加。效果的叠加。 yxzF1 F2FRMMzMyMxFs yFs zFNFs 杆件内力计算杆件内力计算山东大学山东大学Mechanics of material活塞杆计算简图：计算简图：压杆压杆拉杆拉杆杆件内力计算杆件内力计算山东大学山东大学Mechanics of material轴力轴力FN 分布内力系的合力分布内力系的合力, 0 xFFF NF

2、NFN拉为正拉为正(+)，压为负，压为负(-)杆件内力计算杆件内力计算山东大学山东大学Mechanics of material外力不能沿作用线移动。外力不能沿作用线移动。对变形体而言，力是定位矢量。对变形体而言，力是定位矢量。注意注意 截面不能切在外力作用点处截面不能切在外力作用点处，因为实际的力只因为实际的力只可能作用于一定微小面积内。可能作用于一定微小面积内。用用 平行于杆轴线的坐标平行于杆轴线的坐标 表示横截面的位置，绘出表示轴力与横截面位置关系表示横截面的位置，绘出表示轴力与横截面位置关系的图线，将正的轴力画在上侧，负的画在下侧。的图线，将正的轴力画在上侧，负的画在下侧。确定出最大轴

3、力的数值及其所在横截面的位置，确定出最大轴力的数值及其所在横截面的位置，即确定危险截面位置，为强度计算提供依据。即确定危险截面位置，为强度计算提供依据。杆件内力计算杆件内力计算山东大学山东大学Mechanics of material20KN20KN40KN112201NFkNFN40220KN20KN20KN20KN40KN一直杆受力如图示一直杆受力如图示, ,试求试求1-11-1和和2-22-2截面上的轴力。截面上的轴力。杆件内力计算杆件内力计算山东大学山东大学Mechanics of material4KN5KN2KNF2F4KN9KN3KN2KN杆件内力计算杆件内力计算山东大学山东大学

4、Mechanics of material150kN50kN4m3m1 5 0 k N5 0 k N4m3m杆件内力计算杆件内力计算山东大学山东大学Mechanics of material1、用截面法求轴力时，在切开的截面上建议假设正的轴、用截面法求轴力时，在切开的截面上建议假设正的轴力，解得的轴力正负号，就是该截面上内力的实际符号。力，解得的轴力正负号，就是该截面上内力的实际符号。3、集中外力作用的截面上，轴力图有突变，突变大小等、集中外力作用的截面上，轴力图有突变，突变大小等于集中力大小于集中力大小;突变方向看该集中力对后段杆的作用是正突变方向看该集中力对后段杆的作用是正（拉伸）或负（压

5、缩），正者向上突变，负者向下突变。（拉伸）或负（压缩），正者向上突变，负者向下突变。或或2、在画轴力图时，填充为下画线或无填充，不要画剖、在画轴力图时，填充为下画线或无填充，不要画剖面线形式；并注上面线形式；并注上 符号符号注意注意杆件内力计算杆件内力计算山东大学山东大学Mechanics of material解：取左侧解：取左侧x x 段为对象，段为对象，内力内力F FN( (x) )为：为：qq LxO20N21d)(Fkxxkxxx2maxN21)(kLxF图示杆长为L，受分布力 q = kx 作用。Lq(x)FNxO22kLFN(x)xq(x)杆件内力计算杆件内力计算山东大学山东大学

6、Mechanics of materialeMeM轴轴：以扭转为主要变形的构件称为轴：以扭转为主要变形的构件称为轴 （以（以圆截圆截面等直杆为主）面等直杆为主）。扭水龙头扭水龙头用钥匙扭转开门用钥匙扭转开门酒瓶软木塞的开瓶器酒瓶软木塞的开瓶器小轿车的方向盘工作小轿车的方向盘工作自行车的脚蹬工作自行车的脚蹬工作机器轴的转动机器轴的转动改锥上螺丝钉改锥上螺丝钉主轴主轴杆件内力计算杆件内力计算山东大学山东大学Mechanics of material一传动轴，转速为一传动轴，转速为 n转转/min ，轴传递功率由主动轮输，轴传递功率由主动轮输入，由从动轮输出。若功率为入，由从动轮输出。若功率为 P千

7、瓦（千瓦（KW) 。eMP 30n从动轮从动轮主动轮主动轮从动轮从动轮e2e1e3m)(KN55.9m)(N9549nPnPMe若传递功率单位为马力（若传递功率单位为马力（PS)时时, 由于由于1PS=735.5Nm/sm)(kN7m)(N7024nPnPMe杆件内力计算杆件内力计算山东大学山东大学Mechanics of material, 0 xM由0mTmT得T称为截面称为截面n-n上上的的扭矩扭矩(。MexnnMeMexMex杆件内力计算杆件内力计算山东大学山东大学Mechanics of material右手螺旋法则右手螺旋法则右手拇指指向外法线方向为右手拇指指向外法线方向为 正正(

8、+),(+),反之为反之为 负负(-)(-)扭矩的正负号规定：扭矩的正负号规定：杆件内力计算杆件内力计算山东大学山东大学Mechanics of material用截面法求扭矩时，建议均假设各截面扭矩用截面法求扭矩时，建议均假设各截面扭矩T为正，由结果符号确定最终正负号。为正，由结果符号确定最终正负号。正的扭矩正的扭矩画在画在x x轴上方，负的扭矩画在轴上方，负的扭矩画在x x轴下方。轴下方。注意注意 扭矩扭矩图图：沿杆件轴线各横截面扭矩变化规律的图线。：沿杆件轴线各横截面扭矩变化规律的图线。 目目 的的扭矩变化规律；扭矩变化规律；|T|max值及其截面位置值及其截面位置 强度计算（危险截强度

9、计算（危险截面）。面）。杆件内力计算杆件内力计算山东大学山东大学Mechanics of material例例 试绘制图示圆轴的扭矩图试绘制图示圆轴的扭矩图杆件内力计算杆件内力计算山东大学山东大学Mechanics of material 一传动轴，其转速一传动轴，其转速 n n = 300r/min = 300r/min ，主动轮输入的功率为，主动轮输入的功率为有有 P P1 1 = 500 kW = 500 kW 。若不计轴承摩擦所耗的功率，三个从动轮输若不计轴承摩擦所耗的功率，三个从动轮输出的功率分别为出的功率分别为 P P2 2 = 150 kW = 150 kW 、P P3 3 =

10、150 kW= 150 kW及及P P4 4 = 200 kW= 200 kW。试。试做扭矩图。做扭矩图。ABCDP1P2P3P4n杆件内力计算杆件内力计算山东大学山东大学Mechanics of material解解:计算外力偶矩计算外力偶矩mkNnPM.9.1555.911mkNnPMmkNnMMP.37.655.9.78.455.944232最大扭矩在最大扭矩在 CA段内。段内。mkN56. 9maxT若调换主动轮若调换主动轮A A与从动轮与从动轮D D的的位置呢位置呢？+4.789.566.37xT(KN.m)杆件内力计算杆件内力计算山东大学山东大学Mechanics of mater

11、ial杆件内力计算杆件内力计算山东大学山东大学Mechanics of material以以弯曲变形弯曲变形为主要变形的杆件。为主要变形的杆件。梁梁杆件内力计算杆件内力计算山东大学山东大学Mechanics of material纵向对称面纵向对称面对称轴对称轴轴线轴线变形后的轴线变形后的轴线具有纵向对称面具有纵向对称面外力都作用在此面内外力都作用在此面内弯曲变形后轴线变成对称面内的平面曲线弯曲变形后轴线变成对称面内的平面曲线对称弯曲对称弯曲（或（或平面弯曲平面弯曲），可用梁的轴线代替梁。），可用梁的轴线代替梁。杆件内力计算杆件内力计算山东大学山东大学Mechanics of material

12、杆件内力计算杆件内力计算山东大学山东大学Mechanics of material尽管外力作用尽管外力作用 在形心上，在形心上，截面弯曲同时截面弯曲同时产生扭转产生扭转非对称弯曲非对称弯曲 ：梁不具有纵向对称面，或具有纵向对称面，：梁不具有纵向对称面，或具有纵向对称面，但外力并不作用在纵向对称面内但外力并不作用在纵向对称面内杆件内力计算杆件内力计算山东大学山东大学Mechanics of material简支梁简支梁Simple beam外伸梁外伸梁Beam with an overhang 悬臂梁悬臂梁Cantilever beamFAxFAyFByFAxFAyFByFAxFAyMA集中载荷

13、集中载荷分布载荷分布载荷集中力偶集中力偶静定梁静定梁杆件内力计算杆件内力计算山东大学山东大学Mechanics of material火车轮轴简化火车轮轴简化杆件内力计算杆件内力计算山东大学山东大学Mechanics of materialFNFSM0 xF0N F 0yF1ASFFFy 0McF)(1axFxFMAy F FS S剪力剪力平行平行于横截面的内力系合力于横截面的内力系合力 M M 弯矩弯矩垂直于横截面的内力系垂直于横截面的内力系的合力偶矩的合力偶矩FByFNFSMFAy杆件内力计算杆件内力计算山东大学山东大学Mechanics of material剪力与弯矩的符号规定：剪力与

14、弯矩的符号规定：弯矩：弯矩：下凸为正下凸为正， 反之为负反之为负剪力剪力： “左上右下左上右下”为正，为正， 反之为负反之为负杆件内力计算杆件内力计算山东大学山东大学Mechanics of material 若外力对截面形心取矩为顺时针若外力对截面形心取矩为顺时针力矩，则该力在截面上产生正的剪力矩，则该力在截面上产生正的剪力，反之为负的剪力（顺为正，逆力，反之为负的剪力（顺为正，逆为负）。为负）。向上的外力产生正的弯矩，向下向上的外力产生正的弯矩，向下的外力产生负的弯矩的外力产生负的弯矩建议：求截面FS和M时，均按规定正向假设，这样求出的剪力为正号即表明该截面上的剪力为正的剪力，如为负号则表

15、明为负的剪力。对于弯矩正负号也作同样判断。杆件内力计算杆件内力计算山东大学山东大学Mechanics of material例例 如图所示的悬臂梁，求截面如图所示的悬臂梁，求截面C及距及距A端为端为x处截面的内力。处截面的内力。AxFAyFAMAyF解：解：1.1.求支反力求支反力0, 0AxxFF2, 0qlFFFAyy83, 0)(2qlFlMFmAA杆件内力计算杆件内力计算山东大学山东大学Mechanics of material2.2.求截面求截面C的内力的内力2qlFFFFAySCSC右左8222qlFllFMMMAyACC右左注：对悬臂梁，可取截注：对悬臂梁，可取截面到自由端部分为

16、研究面到自由端部分为研究对象，可省略求支反力对象，可省略求支反力3.3.求距求距A为为x处截面的内力处截面的内力)()2(xlqFlxqFFAySx2)2(21lxqxFMMAxAx2)(2122qlFlxqlFqxAxFAMAyFMCFSCAxFAMAyFMxFSx杆件内力计算杆件内力计算山东大学山东大学Mechanics of material将剪力和弯矩沿梁轴线的变化情况用图将剪力和弯矩沿梁轴线的变化情况用图形表示出来，称为形表示出来，称为剪力图剪力图和和弯矩图弯矩图剪力、弯矩方程法剪力、弯矩方程法 )(SSxMMxFF 第一，求支座反力。第一，求支座反力。 第二，根据截荷情况分段列出第

17、二，根据截荷情况分段列出FS(x）和和M(x)方程。方程。分段点为分段点为集中力（包括支座反力）集中力（包括支座反力） 、集中力偶和分布、集中力偶和分布载荷的起止点处。载荷的起止点处。 第三，求控制截面内力，作第三，求控制截面内力，作FS、M图。一般每段的图。一般每段的两个端点截面为控制截面。在有均布载荷的段内，两个端点截面为控制截面。在有均布载荷的段内，FS=0的截面处弯矩为极值，也作为控制截面求出其弯矩值。的截面处弯矩为极值，也作为控制截面求出其弯矩值。并注明并注明 的数值。的数值。 maxmaxMFS和杆件内力计算杆件内力计算山东大学山东大学Mechanics of material 8

18、/2qlq悬臂梁受均布载荷作用。悬臂梁受均布载荷作用。解：解：x lxqxxFS 0 lxqxxM02/2FSxMxql2/2qllqlFSmax2/2maxqlM4qx xM xFS杆件内力计算杆件内力计算山东大学山东大学Mechanics of material BAlFAYFBY图示简支梁图示简支梁C C点受集中力作用。点受集中力作用。解：解：00，BAMMF FAyAyFb/l F FByByFa/lx2FSxMxlFb/lFa/lFab/x1AC axlFbxFS110/ axlFbxxM1110/CB lxalFaxFS22/ lxalxlFaxM222/CFab杆件内力计算杆件内

19、力计算山东大学山东大学Mechanics of material集中力作用处剪力图有突变，变化值等集中力作用处剪力图有突变，变化值等于集中力的大小弯矩图上无突变，但斜于集中力的大小弯矩图上无突变，但斜率发生突变，折角点率发生突变，折角点在某一段上若无载荷作用，剪力图在某一段上若无载荷作用，剪力图为一水平线，弯矩图为一斜直线。为一水平线，弯矩图为一斜直线。杆件内力计算杆件内力计算山东大学山东大学Mechanics of material BAl图示简支梁图示简支梁C C点受集中力偶作用。点受集中力偶作用。解解：00，BAMMFAyM / l FBy -M / lx2lMa/x1AC axlMxF

20、S110/ axlMxxM1110/CBbxlMxFS220/bxlMxxM2220/lM /lMb/CMab在集中力偶作用处，弯矩图上发生突变，突在集中力偶作用处，弯矩图上发生突变，突变值为变值为,000mlamlbm而剪力图无改变。而剪力图无改变。杆件内力计算杆件内力计算山东大学山东大学Mechanics of material 32/32ql32/32qlBAl简支梁受均布载荷作用简支梁受均布载荷作用解：解：00，BAMMFAy FBy ql/2yxCx lxqxqlxFS02/ lxqxqlxxM02/2/2FSxMx2/ql2/ql8/2ql 在某一段上作用分布载荷，剪力图在某一段上

21、作用分布载荷，剪力图为一斜直线，弯矩图为一抛物线。为一斜直线，弯矩图为一抛物线。且弯矩且弯矩M最大值发生于最大值发生于F FS S=0=0处。处。杆件内力计算杆件内力计算山东大学山东大学Mechanics of material注意注意x取值范围等号的取法：取值范围等号的取法：1.1.若载荷为集中力若载荷为集中力( (剪力图中有突变剪力图中有突变) )，剪力方程中，剪力方程中x的取的取值没有等号；值没有等号；2.2.若载荷为集中力偶若载荷为集中力偶( (弯矩图中有突变弯矩图中有突变) )，弯矩方程中，弯矩方程中x的取的取值没有等号；值没有等号；3.3.对于某一截面，在无限接近的范围内，左右相等

22、才对于某一截面，在无限接近的范围内，左右相等才有有“”, ,即剪力图和弯矩图为连续时才有等号。即剪力图和弯矩图为连续时才有等号。(0 xa),(axl)(0 xl)杆件内力计算杆件内力计算山东大学山东大学Mechanics of materialv集中力作用处剪力图有突变，变化值等于集中集中力作用处剪力图有突变，变化值等于集中力的大小力的大小; ;弯矩图上无突变，但斜率发生突变，弯弯矩图上无突变，但斜率发生突变，弯矩图上为折角点。矩图上为折角点。v在某一段上若无载荷作用，剪力图为一水平线，在某一段上若无载荷作用，剪力图为一水平线，弯矩图为一斜直线。弯矩图为一斜直线。v在某一段上作用分布载荷，剪

23、力图为一斜直线，在某一段上作用分布载荷，剪力图为一斜直线，弯矩图为一抛物线。且弯矩弯矩图为一抛物线。且弯矩M M最大值发生于最大值发生于FS=0FS=0处。处。v在集中力偶作用处，弯矩图上发生突变，突变值在集中力偶作用处，弯矩图上发生突变，突变值为该集中力偶的大小，而剪力图无改变。为该集中力偶的大小，而剪力图无改变。总结杆件内力计算杆件内力计算山东大学山东大学Mechanics of material规定：分布载荷以向上为正。规定：分布载荷以向上为正。0d)()(d)()(, 0SSSxxqxFxFxFFy02dd)(d)()(d)(, 0)(SxxqxMxMxMxxFFMO)()(dSxqd

24、xxF)()(xFdxxdMS 杆件内力计算杆件内力计算山东大学山东大学Mechanics of material上式再对上式再对x一次微分，得一次微分，得)()(xFdxxdMS)()(22xqdxxMd弯矩图上某点处的斜率等于梁在该点处剪力的大小。弯矩图上某点处的斜率等于梁在该点处剪力的大小。弯矩图上某点处的斜率变化率等于弯矩图上某点处的斜率变化率等于梁在该点处的分布载荷集度。梁在该点处的分布载荷集度。剪力图上某点处的斜率等于梁在该点处荷载集度的大小。剪力图上某点处的斜率等于梁在该点处荷载集度的大小。)()(dSxqdxxF 杆件内力计算杆件内力计算山东大学山东大学Mechanics of

25、 material梁段上无荷载作用，即梁段上无荷载作用，即 q(x)0时，时，)(d)(dSxqxxF)(d)(dSxFxxM)(d)(d22xqxxM剪力剪力FS(x)=C(常数），常数），剪力图为剪力图为一条水平直线；一条水平直线；xFS(x)oxoM(x)弯矩弯矩M( (x) )C C x D D, ,即弯矩为即弯矩为x的一次函数，的一次函数，弯矩图为一斜直线，弯矩图为一斜直线，xFS(x)oxoM(x)杆件内力计算杆件内力计算山东大学山东大学Mechanics of material剪力剪力FS( (x) )为为x的一次函数的一次函数, , 剪力图为斜直线，剪力图为斜直线，而弯矩而弯矩

26、M(x) 为为x的二次函数，弯矩图为抛物线。的二次函数，弯矩图为抛物线。 若若q( (x) ) = =常数常数，)(d)(dSxqxxF)(d)(dSxFxxM)(d)(d22xqxxMxFS( (x) )oxFS( (x) )oxoM(x)xoM(x)杆件内力计算杆件内力计算山东大学山东大学Mechanics of material)(d)(dSxqxxF)(d)(dSxFxxM)(d)(d22xqxxM若某截面的剪力若某截面的剪力 ，根根据据 ，该截面的弯矩为极值。该截面的弯矩为极值。 0)(xFS0)(dxxdM在集中力在集中力F作用处，剪力图有突变作用处，剪力图有突变, ,突变值突变值

27、等于集中力等于集中力F F的大小，弯矩图为折角点；的大小，弯矩图为折角点；在集中力偶在集中力偶M作用处，剪力图不变，弯矩作用处，剪力图不变，弯矩图有突变，突变值等于力偶矩图有突变，突变值等于力偶矩M。FSmax出现的地方：出现的地方：集中力集中力F作用处；作用处；支座处；支座处；Mmax出现的地方：出现的地方：剪力剪力FS=0的截面；的截面；集中力集中力F作用处；作用处；集中力偶集中力偶M作用处。作用处。杆件内力计算杆件内力计算山东大学山东大学Mechanics of material 211S2SxxdxxqxFxF 21S12xxdxxFxMxM 以上两式表明，在以上两式表明，在x= =x

28、2 2和和x= =x1 1两截面上的剪两截面上的剪力之差，等于两截面间载荷图的面积；两截面力之差，等于两截面间载荷图的面积；两截面上的弯矩之差，等于两截面间剪力图的面积。上的弯矩之差，等于两截面间剪力图的面积。杆件内力计算杆件内力计算山东大学山东大学Mechanics of material 利用以上各点，除可以校核已作出的剪力图和利用以上各点，除可以校核已作出的剪力图和弯矩图是否正确外，还可以利用微分关系绘制剪弯矩图是否正确外，还可以利用微分关系绘制剪力图和弯矩图，而不必再建立剪力方程和弯矩方力图和弯矩图，而不必再建立剪力方程和弯矩方程，其步骤如下：程，其步骤如下：1 1求支座反力；求支座反

29、力；2 2分段确定剪力图和弯矩图的形状；分段确定剪力图和弯矩图的形状；3 3求控制截面内力，根据微分关系绘剪力图和弯求控制截面内力，根据微分关系绘剪力图和弯矩图；矩图； 4 4确定确定 和和 。maxSFmaxM杆件内力计算杆件内力计算山东大学山东大学Mechanics of material一段梁上一段梁上的外力情的外力情况况剪力图的特征剪力图的特征弯矩图的特征弯矩图的特征最大弯矩所在最大弯矩所在截面的可能位截面的可能位置置q0向下的均布向下的均布荷载荷载无荷载无荷载集中力集中力FC集中力偶集中力偶mC上凸的二次上凸的二次抛物线抛物线在在FS=0的截面的截面一般斜直线一般斜直线或或在在C处有

30、突变处有突变F在在C处有尖角处有尖角或或在剪力突变在剪力突变的截面的截面在在C处无变化处无变化C在在C处有突变处有突变m在紧靠在紧靠C的某的某一侧截面一侧截面向右下倾斜向右下倾斜的直线的直线 水平直线水平直线 杆件内力计算杆件内力计算山东大学山东大学Mechanics of material解：解：1.1.求支反力求支反力kN25kN,35BAFF2.2.画剪力图画剪力图在在AC段，段，q=0，该段剪力图，该段剪力图(-)(-)在在AB段，段，q=C0，该段剪力图，该段剪力图()()在在A点，因有反力点，因有反力FA，剪力图有突，剪力图有突 变，突变值为变，突变值为= FA 。3.3.画弯矩图

31、画弯矩图在在CA段，段，q=0，FS0，弯矩图，弯矩图()()；在在AB段，段， q=C0, ,弯矩图弯矩图()()；在；在FS =0的截面处，的截面处，M图取极值；图取极值；在在A点，因有力偶点，因有力偶m，弯矩图有突，弯矩图有突 变，突变值为变，突变值为= m 。m.kN25.310m5 . 2maxS MFx处，处，图SFBFAF杆件内力计算杆件内力计算山东大学山东大学Mechanics of material试作下列具有中间铰的梁的剪力图和弯矩图。试作下列具有中间铰的梁的剪力图和弯矩图。 ABCDaaaqP=qa做做看做做看对称性与反对称性的应用：对称性与反对称性的应用： 对称结构在对

32、称载荷作对称结构在对称载荷作用下，用下，Q图反对称，图反对称，M图对称；对称结构在反对称图对称；对称结构在反对称载荷作用下，载荷作用下，Q图对称，图对称，M图反对称。图反对称。杆件内力计算杆件内力计算山东大学山东大学Mechanics of material立柱立柱刚节点刚节点横梁横梁立柱立柱刚节点刚节点横梁横梁平面刚架（平面刚架（：由在同一平面：由在同一平面内、不同取向的杆件，通过杆端相互刚性连接而内、不同取向的杆件，通过杆端相互刚性连接而组成的结构。组成的结构。刚节点处各杆轴线之间刚节点处各杆轴线之间的夹角保持不变。的夹角保持不变。内力内力:剪力、弯矩、轴力剪力、弯矩、轴力杆件内力计算杆件内力计算山东大学山东大学Mechanics of material(1) (1) 无需建立坐标系；无需建立坐标系；(2) (2) 控制面、平衡方程；控制面、平衡方程；(3) (3) 弯矩的数值标在受拉边弯矩的数值标在受拉边, ,不标正负号不标正负号; ;(4) (4) 轴力、剪力画在里侧和外侧均可，轴力、剪力画在里侧和外侧均可， 但需标出正负号；但需标出正负号；(5) (5) 注意节点处的平衡关系。注意节点处的平衡关系。 杆件内力计算杆件内力计算山东大学山东大学Mech