第五章 数字PID及其算法

1、 计算机控制技术的主要任务是按照要求设计计算机的控制系统，而其中设计一个数字调节器是控制系统的核心。在设计数字调节器时，常用如下的控制方法：1、顺序控制、顺序控制 顺序控制是按预先规定的时间顺序来控制生产过程。顺序控制在各个时期给定的设定值可以不同，每次设定值的给出，不仅取决于时间顺序，还取决于对前段控制结果的逻辑判断。顺序控制广泛应用于生产自动线、机床控制等工业自动控制系统中。 2、 PID控制控制 控制系统中，调节器的输出是其输入的比例（Proportional）积分（Integral）、微分（Differential）的函数，简称PID控制。PID控制的参数易于调整，控制结构简单且易改变

2、，应用于工业生产过程控制中，可获得良好的控制效果。本章将重点介绍PID控制。 3、 直接数字控制直接数字控制 直接数字控制是应用采样理论将被控对象的数字模型进行离散，然后由计算机对离散后的数字模型进行控制。直接数字控制方法比PID控制有更强的针对性，设计出来的调节器品质更好。 4、 最优控制最优控制 最优控制要求控制系统能根据被测参数、环境等变化自动进行调节，使系统处于最优控制状态。最优控制包括性能估计、决策、修改三大环节，是计算机控制系统的发展方向，但实现时有难度。 5、 模糊控制模糊控制 模糊控制不需要精确求出系统的数字模型，而是按照人的思维方式去完成控制。模糊控制是将控制决策用模糊规则加

3、以描述，然后用计算机判断并实现控制。模糊控制的优点是结构简单，控制程序执行速度快，占用内存小，开发方便迅速。近几年来模糊控制得到了广泛的应用。 第一节 数字调节器设计的理论基础 信号是可表示为一个或多个独立变量的函数，若变量是连续的，称为连续信号，若变量是离散的，称为离散信号，若信号的幅度也是离散的，称为数字信号。计算机只能处理离散的数字信号，所以要将连续的数学模型变换为离散的数学模型，计算机才能处理。一、信号的变换（P12）（一）采样：将连续信号变换成脉冲序列的过程 y(t) y(kt)当连续信号经脉冲采样器采样，输出系列的脉冲序列： y*(t) = y(0)(t) +y(T)(t-T)+

4、+y(KT)(t-KT)+ (5.1) 式中(t)为单位脉冲函数 (t-KT) = t = KT 0 t KT令： T (t) = 则y*(t) = y(t) = y(t) T (t) =（5.2) (5.1)和(5.2)为采样信号在时域的表达式 , 上述采样过程可视为y(t) 对T (t) 脉冲序列的调制过程。kKTtkKTt0)()(kKTtKTyy(t) y*(t)T (t) 脉冲幅 值调制y(t)T(t)y*(t)（二）采样周期的确定（P15） 根据Shannon定理， 2 max 。理论计算采样周期太繁琐，工程上大都采用经验采样周期。 控制量流量 压力 液位 湿度 成分 采样周期（秒

5、） 12 35 68 1015 1520（三）信号的保持 采样信号仅在采样时刻有输出值，在两次采样的中间时刻信号需要保持。保持器根据两次采样的之间的信号用常数、线性函数和抛物线等进行逼近。保持器分为零阶、一阶和高阶。1、零阶保持器 将当前时刻的采样值Y(KT）保持到下一个采样时刻,形成高度为Y(KT)、宽度为T的矩形。h0(t)y(t)h0(t)可分解为两个函数之差： h0(t) = u(t) u(t-T)经拉氏变换零阶保持器的传递函数为H0（S）= 1/S e Ts/S = (1- e Ts)/Su(t)u(t-T) 当采样间隔足够小，零阶保持器复现原信号的效果相当好。零阶保持器具有低通和相

6、位滞后的特性。2、一阶保持器 用线性函数逼近两次采样的之间的信号为一阶保持器。可推导出一阶保持器的传递函数为：H1（S）= T（1+TS）(1-e Ts)/S2 根据幅频特性和相频特性分析，一阶保持器相位滞后大、幅频特性高，对控制系统的稳定性和动态特性不利。 二阶以上的保持器相当复杂并且不容易实现，故很少采用。二、Z变换 Z变换是分析离散系统的重要工具，由 Z变换导出Z传递函数、再分析线性离散系统的特性。（一） Z变换定义 y*(t) =(5.3)对上式进行拉氏变换L y*(t) = Y*(S) = 0)()(kKTtKTy0)(kKTSeKTy设Z = e TSZ变换为 Y(Z) = (5.

7、4)上述过程可记为: Y(Z) = Z y (t) = = y(0) + y(T)Z-1 + y(2T)Z-2 +(二) 常用函数的Z变换y(t)y(k) (t) 1(t) t (t-KT) a k e at Y(S) 1 1/S 1/S2 e kTS 1/(s+1) Y(Z) 1 z/(z-1) Tz/(z-1) 2 Z = e k z/(z-a) z/(z-e at )0)(kKZKTy0)(kKZKTy(三) Z反变换 已知Y(Z)求Y(KT)称Z反变换,记为: Y(KT) = Z 1Y(Z) 在离散系统中Y(Z)经Z反变换求得的Y(KT)仅是连续时间函数在各采样时刻的值。 Z反变换的主

8、要方法有：长除法，部分分式法，留数计算法。三、线性离散系统的数学描述 线性离散系统的输入和输出间的关系可用线性常系数差分方程描述。 y(KT) + a1 y(KT-T) + an y(KT-nT)= b0 r(KT) + b1 r(KT-T) + + bm r(KT-mT) （一）差分方程的解法 线性离散系统差分方程的解法：迭代法、古典法、Z变换法 1、迭代法 已知差分方程和输入序列、输入序列的初始值，可用迭代法逐步计算出输出序列。 迭代法用计算机实现容易，但不能得到输出的解析式。 2、古典法 与微分方程类似，差分方程的解也分为齐次方程的通解和非齐次方程的特解两部分，可按照求解微分方程的方式求

9、出。 3、Z变换法 在离散系统中用Z变换法求解差分方程，使求解运算变为代数运算，可简化系统的分析。用Z变换法求解差分方程的步骤：1、对差分方程作Z变换法（用Z变换的超前和滞后定理） Zy(KT-nT) = Z-nY(Z)2、利用初始条件求出y(0),y(T), 代入Z变换式3、求出Y (Z) = (b0 Zm + b1 Zm-1+ bm) / (a0Zn + a1Zn-1 +an)4、 Z反变换法，求出差分方程的解 Y（KT）例：求解差分方程 y(KT-2T) - 5y(KT-T) + 6y(KT) = r(KT)若已知系统输入 r(KT)=1 K0 , 初始条件为0解：对差分方程作Z变换 Z

10、-2Y(Z) 5Z-1Y(Z) 6y(Z) = Zr(KT) = 1/(1Z-1) 整理后Y(Z ) = 1/(Z-2 5Z-1+6)(1Z-1) 写成分部形式: Y(Z) = A/(1-Z-1)+B/(Z-12)+C/(Z-13) 求出待定系数: A=1/2 B=1 C=1/2 Y(Z) = 1/2(1Z-1) 1/2(10.5Z-1)+1/6(1Z-1/3) 用Z反变换求出差分方程的解:Y(KT) = 0.50.5 (0.5) K+1/6 (1/3) K (二) Z传递函数 1、Z传递函数定义G(Z) = ZY(KT) / Zr(KT) = Y(Z) / R(Z) R(Z)是输入信号r(t

11、)采样后r(KT)的Z变换, Y(Z)是系统输出y(t)采样后Y(KT)的Z变换。 离散系统的Z传递函数反映了系统的固有特性,它仅取决于描述离散系统的差分方程。 若已知R(Z)和G(Z)，系统的输出脉冲序列:Y（KT）= Z-1 Y(Z) = Z-1 R(Z) G(Z) 2、Z传递函数的求法（1）由连续系统的传递函数G(S)求G(Z) 求G(S)的拉氏反变换得到 h(t) = L-1 G(S) Y按选定的周期T对h(t) 采样，得到单位脉冲响应序列h(KT) G(Z)= Zh(KT) 例：设连续环节 G(S)= K0/(S+a)，求G(Z)h(t) = L-1YG(S) = K0e-at h(

12、KT)= K0e-aKT G(Z)=K0Z/(Ze-aT )(2) 开环的Z传递函数 开环系统中有 串联、并联和带保持器三种。 串联 有采样开关隔开G(Z) = G1(Z) G2(Z) 无采样开关隔开G(Z) = ZG1(S) G2(S) 并联 G(Z) = ZG1(S) + G2(S) = G1(Z) + G2(Z) 带有零阶保持器零阶保持器的传递函数为: H0(S) = (1e-TS)/SHG(S) = H0(S) G(S) = G(S) (1e-TS)/SHG(Z) = (1Z-1) ZG(S)/S例: 带有零阶保持器的系统 , G(S) = a / (S+a)解: HG(Z) = (1

13、Z-1) Za/S(S+a) = (1Z-1) Z1/S+1/(S+a) = (1Z-1) 1/(1Z-1) 1/(1e-aTZ-1) = (1e-aT) / (Ze-aT)(3) 闭环Z传递函数r(t) R(Z) E(Z) T Y(Z) D(Z) H0(S) G(S) y(t) T T THG(Z)D(Z)为数字调节器, HG(Z)为带有零阶保持器Z传递函数。求闭环Z传递函数 GC(Z) 的步骤如下：+- 求带有零阶保持器连续对象的Z传递函数HG(Z) 写出前向通道上Y(Z)与E(Z)的关系式Y(Z) = D(Z) HG(Z) E(Z) 写出闭环回路中E(Z) 和 R(Z) 的关系式E(Z)

14、 = R(Z) Y(Z) = R(Z) D(Z)G(Z) E(Z)E(Z) = R(Z) / 1+D(Z)HG(Z) 求闭环Z传递函数 GC(Z) Y(Z) = R(Z) D(Z) HG(Z)/1+D(Z) HG(Z) GC(Z) = Y(Z) / R(Z) = D(Z) HG(Z)/1+D(Z) HG(Z) 实际应用中由于采样开关配置不同，闭环Z传递函数 GC(Z) 也不同。（）由差分方程求Z传递函数 已知系统的差分方程：y(KT) + a1 y(KT-T) + an y(KT-nT)= b0 r(KT) + b1 r(KT-T) + + bm r(KT-mT) 在初始条件为零时对上式作变换

15、，得到：y() + a1 Z-1Y() + an Z-n Y (Z)= b0 R(Z) + b1 Z-1 R(Z) + + bm Z-m R(Z) 求出 G (Z) = Y(Z)/R(Z) = (b0 + b1 Z-1+ bmZ-m) / (1+a1Z-1 +anZ-n)第二节 PID算法的优点 PID调节是连续系统中技术成熟，应用广泛的调节方式。PID调节是根据输入的偏差值，按比例、积分、微分的函数关系进行运算，并将运算结果用以输出控制。自30年代末出现模拟式PID调节器，直到如今PID调节仍在广泛的应用，其主要原因如下： 1、 PID调节技术成熟调节技术成熟 PID控制是连续系统理论中技术

16、最成熟的一种控制方法。在PID控制中，系统的参数整定方便，实现容易，并且可以根据不同情况采用不同的PID算法，如PI、PD、不完全微分、积分分离等控制方式。； 2、 不需要求出系统的数学模型 许多工业控制环节得不到精确的数学模型，因此不容易直接控制。PID调节器不需要精确的数学模型，可以解决数学模型不易求得的问题。3、控制效果好 经验证明，PID控制在大多数工业生产过程控制中都可得到较好的控制效果。 PID控制已大量地应用在冶金、石油、化工、电站、造纸等过程控制中。第三节 PID调节器的数学模型一、模拟系统的PID算法在模拟系统中，PID算法为：(5.2.1)对上式作拉氏变换写成传递函数形式

17、式中Kp为比例系数，Ti为积分时间常数，Td为微分时间常数，Ki = Kp/Ti为积分系数，Kd = KpTd为微分系数。dttdedtTpTdtteteKtui)(01)()()( )()()()(sSEKKsEKsUdSsEipSKKKsDdSipsEsV1)()()(模拟PID调节器的方框图:（P39）1、 PID调节器控制作用如下： 比例系数Kp决定控制作用的强弱，Kp加大时可减少系统的稳态误差，提高系统的动态响应速度，但Kp过大会引起振荡或导致系统不稳定。 积分项Ki/S用于消除系统的稳态误差，但积分项会使动态过程变慢，增大系统的超调量，使系统的稳定性变坏。 微分项KdS控制偏差的变

18、化速度。微分能产生超前的校正作用，有助于减少超调和振荡，并能减少调整时间，从而改善系统的动态性能。 KPKi/SKd SE(S)e(t)U(S)u(t) e(t) Kpe(t) e(t)Ki(t)e(t) Kd(t) 2、几种PID调节器（1）比例调节器P(t)=Kp*e(t)Kp大：调节作用强，动态性能好，可能引起震荡。Kp小：调节作用弱，动态性能差，有稳态误差。 比例调节器对扰动大、惯性大的系统很难兼顾动、静态特性， Kp加大时可减少稳态误差。（2）比例积分(PI) P(t) = Kp e(t)+1/Tie(t)dt 可克服比例调节器的静态误差和积分调节器响应慢的缺点。缺点：可能引起积分饱

19、和和超调。（3）比例微分(PD) P(t) = Kpe(t)+Td de(t)/dt 由于微分与偏差的变化速度成比例，因此可提前给出调节作用，使偏差减小。（4）比例积分微分(PID)首先比例和微分作用，进行动态调节，然后积分作用，消除稳态误差。工业控制中，可根据需要选用PI、PD或PID。 二、数字二、数字PID算法算法 对式（5.2.1）进行离散，可得到数字PID算法。不同的离散方法可以得到不同的算式，数字PID主要有位置式和增量式两种。 常用的离散化方法如下：令当采样周期T取足够小时，这种逼近可相当精确。将上述离散化方法代入（5.2.1），得到位置式数字PID控制和位置式： （5.2.3）

20、 TTkTekTedttdejTeTdttekTetekTutukit)()()()()()()()()(10 )()()()()(1TkTEkTejTekTekkTuTTkiTTpdi对上式作Z变换 (5.2.4)Z传递函数 (5.2.5) 式中：Kp 为比例系数；Ki=Kp*T/Ti 为积分系数； Kd=Kp*Td/T 为微分系数。由5.2.3可导出增量式数字PID的控制算式： )()1 ()()(11)(1zEZzEkpzUTTdzzETiT )1 ()(111)()(1ZKKKZDdZipZEZU )2()(2)()()()(TkTeTkTekTekkTekTkTekTekdip)()

21、()(TkTukTukTu将上式中同一时刻的输入值合并，则增量式PID控制算式可写为：增量式数字PID控制算法有下列优点：（1）位置式算法需要计算偏差的累加值，容易产生累计误差， 而增量式算法只与三个采样值有关，误差可减少。（2）位置式的积分项可能产生积分饱和与超调，增量式克服了 上述缺点，使系统的过渡过程时间缩短，系统的动态性能 得到提高。（3）当过程控制系统中需要手动自动切换时，增量式易于实 现无冲击切换。在实际工程中，大量使用增量式算法。 ) 7 . 2 . 5 ()2()()2()()()(TkTekTkTekkkTekkkkTuddpdip三、三、PID算法的程序设计（算法的程序设计

22、（P42） 用软件可方便的实现PID算法，下面以增量式PID算法为例。设则（1）初始化程序中将e(KT-T),e(KT-2T)单元清0；（2）采样M(KT)的结果存入指定单元；（3）设定标准值R(KT)、KP、KI、KD；（4）调用程序计算U(KT)；（5）参数修正后返回。)2()(2)()()()()2()()(TkTeTkTekTeKkTukTeKkTuTkTekTeKkTuDDiIpP)()()()(kTukTukTukTuDIP第四节 PID参数的整定 在数字控制系统中，参数的整定直接影响控制中的调节品质。数字控制的参数整定包括采样周期T，比例系数Kp，积分时间TI和微分时间TD。一、

23、采样周期一、采样周期T的确定的确定 由采样定理，采样频率的上限fs2fmax时，系统可真实恢复原有的信号。实际控制中，采样频率取值都取得较高，一般要根据被测参数的情况进行变化。影响采样周期的因素有以下几个方面：（1）扰动频率 当扰动频率高时，采样频率应相对提高。（2）被控对象的动态特性 被控对象的滞后和时间常数应作为考虑的因素，采样周期T应与滞后时间基本相符。（3）控制的回路数 当回路多时，采样周期应加大。 （4）其它如采用的算法和执行器的类型、控制的精度等因素。采样周期的选择方法主要有两种：（1）计算法 根据控制系统各个环节时间常数和滞后通过计算确定周期T，此方法比较麻烦。（2）经验法 通过

24、工作实际上积累的经验与被控对象的特 点，先粗定一个周期T的值，进行实验反复修正，直到满意为止。 经验法采用的采样周期如表5-1。 被测参数 流量 压力 液位 温度 成分 采样周期 15 310 68 1520 1520 二、二、PID控制参数的整定控制参数的整定 1、试凑法、试凑法 此方法是通过仿真或实际运行，观察系统对典型输入作用的响应曲线，根据PID各参数对系统的控制作用，反复调节试凑得到满意的结果为止。试凑时按先比例、后积分、再微分的次序进行。（1）调整比例系数KP，由小变大观察响应曲线的变化，达到满意为止。（2）当KP不能达到控制效果时，须加入积分环节。将积分时间常数，由大逐渐减小，并

25、适当调整KP，观察系统特性，使其保持在良好的动态特性下消除稳定误差Ess。（3）若动态特性不能满意，则再加入微分环节，调整时，将微分时间常数由小到大，观察系统特性，再按步骤，反复试凑，直到满意为止。2、临界比例法、临界比例法 是一种简易的工程整定方法。临界比例法是基于模拟调节器使用的一种PID参数整定方法，操作的步骤如下：（1）选择一个足够短的采样周期；（2）将输入到计算机控制系统，只取比例控制，逐步缩小比 例度，直到系统产生等幅振荡，此时的比例度称临界比 例度，相应的振荡周期称为临界振荡周期。 （3）选择控制度 通常当控制度为1.05时，表示DDC系统和模拟系统的控制效果相当。 根据控制度，

26、查表5-2可求出T、KP、KI和KD值。 按照上方法求得的参数，通过实际运行观察控制效果，必要时可适当调整参数，直到获得满意的效果为止。 表5-2 扩充临界比例法整定参数表 (Tu 临界振荡周期, du临界比例度) 控制度 控制规律 T KP TI TD 1.05 PI 0.03Tu 0.53 0.88 Tu - PID 0.014 Tu 0.63 0.49 Tu 0.14 Tu 1.2 PI 0.05 Tu 0.49 0.91 Tu - PID 0.043 Tu 0.47 0.47 Tu 0.16 Tu 1.5 PI 0.14 Tu 0.42 0.99 Tu - PID 0.09 Tu 0.

27、34 0.43 Tu 0.20 Tu 2. 0 PI 0.22 Tu 0.36 1.05 Tu - PID 016 Tu 0.27 0.4 Tu 0.22 Tu 4、归一参数法、归一参数法 PID调节器参数的选定是一项繁琐而又费时的工作，特别是当一台计算机控制多个回路时更是如此，近年来国外推出一种简易的参数整定法，称为归一参数法。 归一参数法用人为假设约束条件，以减少参数选定的数目。例如：取T0.1TK , TI0.15TK , TD0.125TK 其中TK为纯比例控制下的临界振荡周期。将上述值代入增量式PID差分方式求出Z传递函数由上式看到，只须调整一个参数即可，大大简化了整定的过程.)2(25.1)(5.3)(45.2)()()(TkTeTkTekTeKTkTukTukTup1211)25.15 .345.2()(ZZZKpzD 第四节第四节 数字数字PID控制的改进控制的改进 为提高控制性能，可对PID控制进行改进，使PID控制具有更完善的功能。这里介绍几典型的改进算法。1、不完全微分算法、不完全微分算法 在PID算式中，当有阶跃信号输入时，微分项的输出急剧增加，引起高频干扰。为了抑制高频干扰，可在数字调节器中串接一个低通滤波器。如图5-3所示。可求得： 11)( )(SfTsUsUGfdttdedtTpdttdUfTdttete