6.5 广义积分初步

1、一一. 无穷限广义积分无穷限广义积分 ,b,a,af1.可可积积上上且且在在任任何何有有限限区区间间定定义义于于设设函函数数定定义义 .dxxf,a发发散散则则称称积积分分若若上上述述极极限限不不存存在在否否则则 b0dxxf.1.1 类类似似可可定定义义：注注：,flimbab存存在在若若极极限限 ,fa收收敛敛则则称称无无穷穷限限积积分分 .限限积积分分的的积积分分值值并并称称此此极极限限值值为为该该无无穷穷 adxxf ,dxxflimbaa 也也收收敛敛；则则称称无无穷穷限限积积分分均均收收敛敛若若取取定定某某点点 ccccfff,f, f, c.02,否否则则则则称称若若二二者者之之

2、一一发发散散,.f发发散散 即即 .dxxflimbab则此式仅为一则此式仅为一个符号个符号, 没有没有数值意义数值意义,. 3性性质质知知由由上上述述定定义义及及极极限限运运算算的的基基本本方方法法：（或或求求解解）判判定定无无穷穷限限积积分分敛敛散散性性 ,k,dxxfka为为常常数数其其中中,也也收收敛敛 adxxkf且且 agf.gfaa 先先求求常常义义积积分分再再取取相相应应极极限限 aaaagf,dxxkf,dxxg,dxxf2则则收收敛敛若若）为为常常数数（这这里里具具有有相相同同的的敛敛散散性性与与）ba,ba,.ff1ba可可能能则则由由极极限限发发散散的的含含义义发发散散

3、若若 aaf,f. 2,为为无无穷穷大大量量.也也可可能能并并非非无无穷穷大大量量xdxcos3dxe2dxx11.0 x12）敛敛散散性性：讨讨论论下下列列无无穷穷限限积积分分的的例例）解解： 1分）（求适当形式的常义积01则则任任取取1,A A12dxx1？1,A1-1Ax1-求相应极限）(201.A1-1limA原原式式注注意意表表达达简简洁洁规规范范！小小题题课课堂堂练练习习）第第,32.pdxx1.1p为为常常数数）（这这里里的的敛敛散散性性讨讨论论积积分分例例解答见黑板解答见黑板, 要求理解推导过程并熟记结论要求理解推导过程并熟记结论. 1p, 1p,1p1dxx1,1p经经讨讨论

4、论 1倒倒幂幂函函数数公公式式特特点点：*可直接使用哦！可直接使用哦！函函数数函函数数和和二二 .1. 引入引入: 01dxexx 试试判判定定.dxex,0. 20 x1收收敛敛广广义义积积分分时时结结论论： 对对? 积分积分为为一一确确定定值值从从而而任任给给0 x1dxex, 0* , 0,dxex0 x1 0负负指指数数幂幂函函数数特特点点：*10,.xxedx为关于 的函数 称为 函数 即函函数数一一） 函函数数基基本本性性质质： . 3 , 0,110 递递推推性性）.n, !n1n20正正整整数数阶阶乘乘性性） 熟记结论即可熟记结论即可函函数数二二） ,1,时时可可推推得得当当利利用用上上述述性性质质注注： . 112 10-1q-1pdxx-1x. 1试试判判定定引引入入：结结论论：2.,0q0p“收收敛敛”原原积积分分时时且且当当.dxx-1x0,q0,p*101-q1-p确确定定值值为为积积分分从从而而任任给给定定B函数函数对对? 积分积分q,p函函数数重重要要性性质质 . 3.B.,qp,dxx-1x,0q0p101-q1-p记记为为函函数数称称为为的的函函数数为为依依赖赖于于积积分分时时且且则则当当 qpqpqp,B 函函数数的的转转化化关关系系函函数数与与 02212121.dxex）及及（，），（求求典典型型例例熟熟记记最最终终