随机过程第十二讲分析

1、5 均方极限 上面讨论了二阶矩过程的定义和基本性质。宽平稳过程是二阶矩中的一类，正交增量过程也属于二阶矩过程。以下各节将进一步研究二阶矩过程的一些性质，如讨论二阶矩过程的连续性、导数和积分等概念，即希望把数学分析中的一些方法推广到研究二阶矩过程。这部分内统称为随机分析。 连续性、导数和积分的基础是极限的概念，在随机分析中也是一样。为了研究二阶矩过程的连续性、导数和积分，也必须定义随机变量序列的极限。随机变量序列的极限有许多种定义的方法，本书中采用均方极限的概念，因此后面的讨论实际上研究二阶矩过程在均方意义下的随机分析。本书首先研究随机变量序列在均方意义下收敛的定义、性质以及均方收敛的判定准则。

2、定义 设有随机变量序列 , 3 , 2 , 1,nn存在二阶矩，即;, 3 , 2 , 1,2nnE又有随机变量，它也存在二阶矩， 即;2E如果02limnEn则称序列 n均方收敛于，或序列的均方极限为，用nnmi l . .表示之。 n（2） nnEEnEmi ln. .lim222即极限和取均值可以交换次序。但先取极限时，指的是取均方极限。定理一 设有存在二阶矩的随机变量序列 , 3 , 2 , 1,nn及二阶矩随，且,. .nnmi l则有： （1） nnnmi lEEE.lim机变量 证 （1） 利用许瓦兹不等式 nEEEEEnnn21由于nnmi l . .，即02limnEn故当

3、nnnnmi lEEEn. .lim时(2) 利用三角不等式2E22EEnEEEEnEnEnn2222nEnnEEEEE2212122222nEE222即 nEEnE222同理设 nn可得 nEnE22故 nEnEE2222E0,2nEn时 故DDnEEnEnnnmi llim. .lim222因而当 定理二 设有随机序列 , 3 , 2 , 1,nnn、和随机变量,且,. . .2mi lmi lnnnE 证 nnEnnEbababa22 利用三角不等式 02221222122nnnnEbEaEbaba所以 babami lnn. .,222EnEnEbabannnmi l. .为任意常数，

4、则ba,定理三 设随机变量序列 , 3 , 2 , 1,nnn、均存在二阶矩，随机,均有二阶矩，且,. .nnmi l则,. .nnmi l证 EEnmnmEnmmnEnmmnEEE 22222121EEEEmn所以 EEnmnmlim变量 EEnmnmlim02221 nmnmEE定理四 均方极限是唯一的，即设 n, 3 , 2 , 1n是具有二阶矩的为两个具有二阶矩的随机变量， 且则有,. . .nnnnmi lmi l随机变量序列，、所以 证 因为nnE EEEEnnnn上式两边取代入，右边用左边用nnn, 2EEEnnn 0 EEEEEEEEnnnnn故 即02E，因此均方极限是、唯一

5、的。则左边为右边为 如果已知二阶矩随机变量序列, 3 , 2 , 1,nn设想判定该序列是否是否存在，即使存在也不知道因此直接利用均方收敛的定义02nE来判定该序列 n收敛与否是困难的。 下面讨论两个常用的判定准则。 均方收敛。由于并不知道为何， 定理五 柯西准则设, 3 , 2 , 1;nn是随机变量序列，且 均方收则nnE,202limmnEmn证 利用三角不等式 mnmnEmnEEE221221222的充要条件是即nmi ln. .敛于如果序列 n，则 02limnEn02limmEm02limmnEmn上面仅证明了定理的必要性，没有证明充分性。然而该条件是充分必要的。由于证明充分性要利

6、用测度论的知识，这里就不再证明了。 均方收敛于故定理六 LOEVE准则则是随机变量序列，且, 3 , 2 , 1;2nEnn的充分条件是mnmnElim常数（c） 设 nnnmi l . .即均方收敛于 证 ：设利用许瓦兹不等式nnmi l . .nnEE22 因02 nnE 故0 nnE 或 nnnnmi lEEE. .lim2而 02222 mnmEnEnnnnEE02nnE即0mnmnE0limmnmnmnEEEE或 022limmnmnEEEE即cEEmnmn2lim已知 cEEmnmn2limmEEEnEmnEmnmn222故 02limccccmnEmn上面证明了必要性，下面证明其

7、充分性。根据柯西准则，必存在随机变量0. .nnmi l使例 设有一具有二阶矩的随机变量序列 nnn, 3 , 2 , 1;的相关 .,2121nnnnRE 并定义, 3 , 2 , 1,nan问应具备什么条件才能使 n为均方收敛序列。解 nkmiikikEmnEaa11nkmiikikRaa11,根据LOEVE收敛准则，如果 n为均方收敛，则要求 mnEmnlim=常数（c）函数为。若有序列 ,1nkkkna nkmiikikEaa11 即要求级数常数cikkiikRaa,11即要求ikkiikRaa,11为收敛级数。定理七 设有二阶矩变量序列, 3 , 2 , 1;nn及二阶矩随机变量，且

8、,. .mi ln设f（u）是一确定性函数，且满足李不西兹（Lipschite） vuMvfuf为常数。又设M条件，即其中 则均为二阶矩随机变量，和fn, 3 , 2 , 1 ffnnmi l. . ,nf证 因 nnMff222 nEnEMff222 而 02lim. .nEnnnmi l或故 02limffnEn即 ffnnmi l. .推论 设,. .nnmi l则对于任意有限的 ，均收敛于即若n则n的特征函数收敛于的特征函数，从而n的分布函数收敛于的分布函数。, t有,expexp. .jtjtnnmi l6 二阶矩过程的连续性 (一) 随机过程是一族样本函数，样本函数是过程的一次观测

9、所得的结果。如果他的每一样本函数在t点都是连续的，则可称该过程，即除了那足上述关系，则称该随机过程以概但是用这种方法来定义过程的连续性，其限制未免太严了一些。（二）今后用均方意义的极限来描述随机过程的连续性。均方连续的定义 设有二阶矩过程 t在每一个t点， 020limthtEh即 httmi lh. .0 t在t点连续。或用概率论中常用的办法 ： 如果0对几乎所有的样本函数满足 ttlim0些以零概率出现的样本函数才不满 率1在t连续。有,t 则称 t在任意一个t点是均方意义连续的，或称 t下连续的 随机过程，或称该二阶矩过程具有均方连续性。 是均方意义定理一 设有二阶矩过程 tsRTtt,

10、; 为自相关函数，则 t在Ttt0上均方连续的充要条件为它的自相关函数tsR ,在TTtt00,处连续。（三）均方连续的准则 证 （1）设TtstsRttt000, 在处连续 则 ttttttttthtRhRhRhhRE000000002,00当0h时，上式右方趋于0，故 00020limthtEh或 ttmi lhh000. .（2） 反之，若 t在Ttt0处均方连续，根据许瓦兹不等式 ttEkthtEttRkthtR, tkttktthtE tkttEktthtE tktEtEktEthtE22222121当0, 0,0khTtt时等式右边趋于0，这就意味着 TttRkhRttttkh,0

11、00000lim所以在 T上均方连续的充要条件是TttttsR;, 在上二元连续。 若TttttsR;, 在上二元连续，则 TTtst00,在上均方连续，即 tmi lttt0. .0 smi lsss0. .0于是根据5定理三得 tsEtsEtsts00lim00即如果tsR ,在对角线Tts/上每点连续，则在整个X平面上tsR ,也是连续的，两者是等价的。(四) 若二阶矩随机过程 t是在均方意义下连续的，则 tEhtEhlim0tsRtsRtsts00,lim00即证 根据均方意义下连续的定义知 020limthtEh 利用5中定理一即可得 htEtEhtEmi lhh. .lim00即在

12、均方连续的条件下，取平均和取极限的次序是可以交换的。但先取极限时指的是取均方极限。（五）上面讨论适用于一般的二阶矩过程。如果二阶矩过程是宽平稳随机过程，则有如下 的定理。 定理二 设 tt ,是宽平稳随机过程，则以下的各条件是等价的： t均方连续；在t=0点均方连续； t自相关函数 在R上连续； 自相关函数 0在R处连续。或者说，宽平稳随机过程 tt ,均方连续的充要条件是其 0在R处续。 证 （1） 先证明、的等价性。由于 t是宽平稳随机过程， thtthtEhttEthtEEE222 0200hRRRREhh相关函数则故是等价的，。（2）证明 000hEEhEhRR 022021EhEhE

13、（根据许瓦兹不等式） 根据假定 t是均方连续的，即 020limhEh故 0lim0RRhh (对所有 )因此 （3）在（2）的证明中，设（4）证明 hhhhERRRRRRtht02022如果条件成立，即相关函数 0在R处连续，则 00lim0RRhh 00lim0RRhh0，即可证明故 020limthtEh即 因此，判断一个平稳过程是否均方连续，只要研究它的相关函数 R是否连续；如果 0在R处连续，则该过程为均方连续的。判断随机过程均方连续例 7 均方导数(一) 随机函数能否求导？如果随机过程 t的所有样本函数 hththlim0存在，则 hththtlim0/就是它导数定义 设有随机过程

14、 Ttt,和随机过程 Ttt,，设当0h时， 处的均方导数。 的样本函数。但该条件限制过严，因此今后也采用均方意义下的概 都能使 念来定义过程的导数。 hhtt00均方收敛于 ,0t其中 tt0/0，则用,00ThTtt表示，并称 t0为过程 t在tt0如在整个T内有 020limththtEh （1）则称 dttdtt/为随机过程 t在均方意义下的导数。但是（1）式中的 t一般并没有给出，因此往往不能用（1） t是否求导，于是采用 5的柯西准则来定义： 0200limktkththtEkh则称 t可以在均方意义下求导。如果 记 tdttdththtmi lh/0. .则称它为 t在t处的均方

15、导数或均方微商。(二) 均方可导的判断准则式来判断定理一 设有二阶矩过程 t，它的自相关函数为stR ,，则 t在Ttt0处具有均方导数的充要条件为ststR,2在tt00,附近tt00,处连续。 证 若 t在处均方可导，则要求 hhttmi lh000. .存在。根据eveLo准则，它存在的充要条件为存在且在t0 kkhhEttttkh000000lim存在。 现考虑下面的等式关系 kkhhEtttt0000ttttttttRhRkRkhRhk00000000,1若ttststR002,在存在，它意味着tttstR00,在的附近存在tttttttttttthRkhRthRhRkRkhR010

16、01000000000,其中101由于ttststR002,在存在且连续，则可以在一次利用中值定理khRtskhRkhRttttttt20102010010,且连续。根据中值定理，有因此 kRtskkhhEtttttt201020000,因tttsstR002,在处连续，故 lim00,2000000,tttsstRkkhhEttttkh于是定理得证。 由此可知，eveLo/准则包含有 00,20/0/,ttstRstEtt因此 Ttt,在T上均方可导的充要条件是在一切Tttt,ststR,2存在，且在（t，t）上连续。如果stRst,2在一切Tttt,上存在且连续，则有下列等式 stRths

17、tRshtRshthtEstEhh,limlim00/上 stRskstRkstRkskstEstEkk,limlim00/同理 stRtsstE,2/ 均方导数还有下列性质:(1)设 tt、为二均方可导的随机过程,a,b为常数,则 tbta也均方可导,且 dttdbdttdatbtadtd(2)设 t为均方可导的随机过程,f(t)为一确定性的可导的函数,则 ttf也是均方可导的,且 dttdtftdttdfttfdtd(3) 的数学期望为 dttdEhtEhtEhthtEhthtEtEhhhmi llimlim. .000,上式说明,如果 t为均方可导,则 t,的数学期望为 t数学期望的 t

18、E为确定性函数故可求导. t, t,导数,而(三)对于平稳随机过程,上述分析可以简化.如果 t为平稳随机过程,则 ,RstRstR其中st 若 R存在,T,而且在0处 R连续,则 t在Tt 内均方 RstE/它可以从二阶矩过程存在均方导数的条件中直接得到.由于 RstRstR, RdRdstRst222,可导,且st 当t=s时0,此时ststRst,2 0022RdRd 若平稳随机过程为实过程,此时相关函数 R为偶函数,即 RR.若该过程 t R在0处有二阶导数存在,即要求 R在0为连续函数, 0/在R也连续,因此 00/R tE=常数,那么它的均方 t/的数学期望为0,即 0/tEdtdt

19、E(四)求高阶导数存在均方导数，则要求由于平稳随机过程的数学期望导数如果二阶矩过程 t的均方导数 t/仍满足均方求导的条件,果二阶矩过程 t的均方导数则可以重复运用上面的原理求 t/ t.依次类推,如的相关函数有2n阶导数,且在对角线(t=s)上连 t有均方意义下的n阶导数 tn续，则,即 ttdnnntd存在因此 ,2ststEstRstRnnnnnnn tEdtdEtdtdnnnn ststEstRstRmnnmmnmn,如果 t是平稳随机过程,则 RdRnmnmmmndttEmn1设 t t、为两个二阶矩过程,则 stEstR, shthtEstEstmi lRh. .0/, stEsh

20、tEhh1lim0sttstshthRRRh,1lim0同理 stsEstRstRmnmnmnmn,求随机过程是否均方可微例(五)泰勒级数展开若 tt ,为平稳随机过程, R为它的自相关函数;是解析的,即 存在各阶导数,且 !00nnnnRR即可用泰勒级数展开,则 t可以用泰勒级数展开,t可以 !0nttnnn其中 tn代表随机过程 t的n阶导数,它是均方意义下的n阶导数.如果自相关函数 R R R表示成证 由于自相关函数 R的各阶导数均存在,故 tn是存在的. tntnnn!0设若能证明 02ttE(1)则就说明 !.0nttsmtnnn现证明(1)式如下: ttE2ttttE !0nttt

21、EtttEnnn根据 R存在各阶导数,故 Rm也存在各阶导数. Rm可用 !00nnnnmmRR泰勒级数展开因此 tnttEtttEmnnnm0! 0!0011 nnmnnmmmRR而 ,!0mttmmm它是 tm的线性组合,因此0tttE把R在附近展开成泰勒级数 !0nnnnRR取,得 !001nnnnnRR !0001nnnnnRRR tttE 0!0!001 ntnttEnnnnnnnRR因此 02ttE 即 !.0nttsmtnnn8 随机积分 （一） 定义 设 btabtat为定义在,上的二阶矩过程，, th为定义在a，b上的任意确定性函数，其中 为一参数；现把 a，b分成n个间隔b

22、attttn210并设 ttttttiiiiiini, 3 , 2 , 1,11为中的一点；又设 tttttttsiniiininiihiih111,于是 为以sn为参数的随机函数；如果存在 ，且不依赖于的选择有 020maxlimsnEtniti或 01,lim20maxniiiiEtttthni则称 tthsn，并称均方收敛于在a，b上均方可积，仿 sn的均方极限为 dttthab,即 tttmi lininabiihtdttthi10max,. .,数学分析中黎曼积分的表示法，记并称 tthdtthab,为在a，b上的均方积分。可以仅是t的函数f（t）。一般概率方面的书籍是用f（t）,

23、th定义均方积分的。 , th而不是用本书考虑到今后均方积分要用于卷积，所以采用了这样的方法定义它。除用均方积分外，也可以从样本函数来定义随机积分。若 t是随机过程的一个样本函数，, th为确定性函数，那么对 , tht作一黎曼积分，这是一个普通函数的积分，即 tttininbacaiihtdttthi10max,lim由于过程在每次试验中得到的样本函数是不同的，因而上由此提出一个问题，两种方式定义的随机积分是否等价？下面 t述积分是一随积变量。用概率论中的一个定理来说明之。定理 设有一定义在概率空间p, 的随机变量序列 n均方收敛于某一极限，以概率收敛于另一个极限，则着两个极限以概率1相等。

24、 由于 sn是一随机序列， sn均方收敛于 ,sm而另一个方 ca，因此，根据上述定理，两者以 casm和的下标去仅用 表示之。 面从样本函数积分定义了概率1相等。为了简便起见，今后可以把掉，(二)均方可积的准则定理 tth,在a，b上均方可积的充要条件是 dtduuhthRbaba, 存在。证 利用veLoe/准则来证明。 tttsininiih1,是一随机序列，它是对有限可作另一种分割，区间a，b作一种分割下得到的。对a，b得到另一随机序列 uuuskmknkkh1,于是 utuuttsskinimkmnkhkiihEE,11utututkinimkkiEkhih,11ututRutkin

25、imkkikhih,11上式中utRki,是随机过程 t的自相关函数。由于该过程为二阶矩过程，自相关函数是存在的，且是一个确定性函数。如果存在，则根据 ssmnmnElimveLoe/准则 sn收敛，即均方积分存在，因此当均方 dtduutuhthEutRssbabamnnmki,lim0max0max 存在时， tth,在a，b上的均方积分存在。 0,lim2baEdttthba若区间不是有限区间则应理解为 存在的条件应为 dtduutuhthR,此时 可以表示为 dttth, 上述等式应理解为均方意义下的等式。 （三）由于 本身是参数的随机函数，故可对 取均值， 21t乘积的均值，即可求

26、dttEthtthEEbaba, ,的相关函数 也可取 2121RE的均值为 的相关函数为 babadtduutuhthEER212121, dtduutuhthRbaba,21 （四）均方积分的一些性质（1）若 ,;baTtt为均方连续随机过程，则对一切Tt有 tatatataduuuEduuuEattaEdvvuEduu2证第二个不等是显然的，因此只需证明第一个不等式。设1,th，则 tatatatadudvvuEdudvvuEtaEduu2而 dudvdudvvuEdudvvuEtaEtatatatatatavEuEduu 22212 taduuE2212 duEatduEdvtatat

27、auu2221（2）设在a,b上均方连续，则 dubabauEduuE222121证 由于 t t在a，b上均方连续，则 vuEvuR,为,babavuR在上可积，故 duuba上式右方的积分也存在。 连续函数，于是 存在， niiinbauumi lEduuE122. .2121niiiuuEn1221lim duibaininuEuuE2221121lim或 duEbabauduuE2212上面的证明中应用了三角不等式。（3）设 t t、在a，c上均方可积，为常数，则有 dttdttdtttcacaca若cba，则 dttdttdttcbbaca（4）若 t在a，b上均方连续，设 duuttabta 则 t在a，b上均方连续，均方可导，且有 tt/证 均方连续是显然的，现证明 t均方可导。 、 ththtE2 httEhttEdutuhtduuh1122 tuEdutuEhhtuhtt22max122当0h时上式右边趋于0，故 t均方可导，且 tsmt/推论 若 t均方可导，且 t/均方连续，则 dttabba/9 随机微分方程这里仅讨