第五章数字滤波器的基本结构

1、 第五章第五章 数字滤波器的基本结构数字滤波器的基本结构 w 5.15.1数字滤波器结构的表示方法数字滤波器结构的表示方法w 5.25.2无限长单位冲激响应（无限长单位冲激响应（IIRIIR）滤波器的基本结构）滤波器的基本结构w 5.35.3有限长单位冲激响应（有限长单位冲激响应（FIRFIR）滤波器的基本结构）滤波器的基本结构数字滤波器的系统函数表示数字滤波器的系统函数表示由上式所得系统输入输出关系的常系数线性差分方程由上式所得系统输入输出关系的常系数线性差分方程)()(1)(10zXzYzazbzHNkkkMkkkNkMkkkknxbknyany10)()()( 数字滤波器的功能数字滤波器

2、的功能就是把输入序列通过一定的运就是把输入序列通过一定的运算变换成输出序列算变换成输出序列实现数字滤波器方法：实现数字滤波器方法：（1 1）计算机软件）计算机软件（2 2）专用数字硬件、数字信号处理器及通用数字信）专用数字硬件、数字信号处理器及通用数字信 号处理器号处理器数字滤波器基本实现单元：数字滤波器基本实现单元：加法器、单位延时和加法器、单位延时和 常数加法器常数加法器基本单元表示法：基本单元表示法：方框图法和信号流程图法方框图法和信号流程图法例：二阶数字滤波器表示方法（例：二阶数字滤波器表示方法（常系数线性差分方程）常系数线性差分方程）120( )(1)(2)( )y na y na

3、y nb x nx(n)x(n)x(n)x(n)注意：注意：（1 1）本书都只采用信号流图来分析数字滤波器）本书都只采用信号流图来分析数字滤波器（2 2）运算结构中，不同存储单元影响复杂性，乘法）运算结构中，不同存储单元影响复杂性，乘法次数影响运算速度。不同运算结构的误差、稳定次数影响运算速度。不同运算结构的误差、稳定性是不同的。性是不同的。（1 1）系统的单位冲激响应）系统的单位冲激响应h(n)h(n)是无限长的。是无限长的。（2 2）系统函数）系统函数H(z)H(z)在有限在有限z z平面上有极点存在。平面上有极点存在。（3 3）结构上存在着输出到输入的反馈，即结构是递）结构上存在着输出到

4、输入的反馈，即结构是递归的。归的。直接直接I I型、直接型、直接IIII型、级联型和并联型型、级联型和并联型系统输入输出关系的系统输入输出关系的N N阶差分方程阶差分方程构成直接构成直接I I型特点：型特点：（1 1） 表示将输入及延时后的输入组表示将输入及延时后的输入组 成成M M节的延时网络，即横向延时网络，实现零点。节的延时网络，即横向延时网络，实现零点。（2 2）表示输出及其延时组成）表示输出及其延时组成N N节延时网节延时网 络，实现极点。络，实现极点。（3 3）总的网络由上面两个网络级联而成。）总的网络由上面两个网络级联而成。（4 4）直接）直接I I型需要型需要N+MN+M级延时

5、单元。级延时单元。0()Mkkb x nkNkMkkkknxbknyany10)()()(1()Nkka y nk线性移不变系统，交换其级联的子系统的次序，系线性移不变系统，交换其级联的子系统的次序，系统函数不变，也就是总的输入输出关系不改变。统函数不变，也就是总的输入输出关系不改变。特点：特点：（1 1） 只需只需N N个延时单元，实现个延时单元，实现N N阶滤波器所需要的阶滤波器所需要的 最少延时单元。最少延时单元。（2 2） 系数系数a ak k、b bk k对滤波器的性能控制作用不明显。对滤波器的性能控制作用不明显。（3 3） 极点对系数变化过于灵敏，从而使系统的频极点对系数变化过于灵

6、敏，从而使系统的频 率响应对系数的变化敏感，容易出现不稳定或率响应对系数的变化敏感，容易出现不稳定或 产生较大误差。产生较大误差。系统函数按零极点进行分解得系统函数按零极点进行分解得把共轭因子组合成实系数的二阶因子把共轭因子组合成实系数的二阶因子H(z)H(z)完全分解成实系数的二阶因子形式完全分解成实系数的二阶因子形式1221111111111110)1)(1 ()1 ()1)(1 ()1 (1)(NkNkkkkMkkkMkkNkkkMkkkzdzdzczqzqzpAzazbzH122111121111221111)1 ()1 ()1 ()1 ()(NkNkkkkMkkkMkkzzzczzz

7、pAzHkkkkkkkzHAzzzzAzH)(11)(221122112211221111zzzz1111 zz223113223113222112222112221111221111111111zzzzzzzzzzzz特点：特点：（1 1）调整一阶、二阶基本节的零极点不影响其它基）调整一阶、二阶基本节的零极点不影响其它基 本节，便于调整滤波器频率响应特性。本节，便于调整滤波器频率响应特性。（2 2）零、极点有不同的配对方式，因此对于配合与）零、极点有不同的配对方式，因此对于配合与 排列次序有最优化问题。排列次序有最优化问题。将因式分解的将因式分解的H(Z)H(Z)展成部分分式的形式，得到并联

8、展成部分分式的形式，得到并联IIRIIR的基本结构：的基本结构：当当M MN N时，时，H(z)H(z)表示为表示为NMkkkNkNkkkkkkkNkkkMkkkzGzdzdzgBzcAzazbzH01111111012)1)(1 ()1 (11)(121122111101011)(NkNkkkkkkkzzzzcAGzH111az22111101zazazrr并联型特点：并联型特点：各并联基本节间的误差相互没有影响，比级联型各并联基本节间的误差相互没有影响，比级联型的误差稍小。的误差稍小。转置定理：转置定理：如果将原网络中如果将原网络中所有去路方向倒所有去路方向倒转，并将输入转，并将输入x(n

9、)x(n)和输出和输出y(n)y(n)相互交换，则其相互交换，则其系统函数系统函数H(z)H(z)不不变。变。例：已知一个因果线性移不变滤波器的系统函数为例：已知一个因果线性移不变滤波器的系统函数为画出该系统以下形式的流图。画出该系统以下形式的流图。（1）直接）直接型型（2 2）直接）直接型型（3 3）级联型）级联型（4 4）并联型）并联型)7 . 01)(9 . 02 . 01 (875. 01)(1211zzzzzH（1 1）将系统函数表示为）将系统函数表示为z z-1-1的多项式的形式。的多项式的形式。321163. 076. 05 . 01875. 01)(zzzzzHx(n)x(n)

10、y(n)y(n)z z-1-1z z-1-1z z-1-1z z-1-10.8750.8750.50.5-0.76-0.760.630.63(2)(2)直接直接型型x(n)x(n)y(n)y(n)z z-1-1z z-1-1z z-1-10.8750.8750.50.5-0.76-0.760.630.63（3 3）级联型）级联型z z-1-1z z-1-1z z-1-10.70.70.8750.875-0.2-0.2-0.9-0.9x(n)x(n)y(n)y(n)（4 4）并联型）并联型对于并联结构，必须用部分分式展开。对于并联结构，必须用部分分式展开。121112121121112117 .

11、017206.09 .02 .019265.02794.0)(7206.09265.02794.007 .09 .0875.07 .02 .01)7 .01)(9 .02 .01 ()7 .09 .0()7 .02 .0()(7 .019 .02 .01)7 .01)(9 .02 .01 (875.01)(zzzzzHCBABCACBCAzzzzBCzACBCAzCzzBzAzzzzzHx(n)x(n)y(n)y(n)0.72060.7206z z-1-1z z-1-1z z-1-10.70.70.27940.27940.92650.9265-0.2-0.2-0.9-0.9例：求下列网络的系统

12、函数，并画出等价的直接例：求下列网络的系统函数，并画出等价的直接型型。x(n)x(n)y(n)y(n)2 22 2-1/2-1/21/21/2z z-1-1z z-1-122111111111114112324211211211211212112112)(2111211212)(zzzzzzzzzzzHzzzzHx(n)x(n)y(n)y(n)4 42 2-3/2-3/21/41/4z z-1-1z z-1-1有限长单位冲激响应有限长单位冲激响应h(n)h(n)的特点：的特点：（1 1）系统的单位冲激响应）系统的单位冲激响应h(n)h(n)有有限个有有限个n n值处不为零。值处不为零。（2 2

13、）系统函数）系统函数H(Z)H(Z)在在|z|0|z|0处收敛，在处收敛，在|z|0|z|0处只有零处只有零点，全部极点都在点，全部极点都在z=0z=0处。处。（3 3）主要是非递归结构，没有输出到输入的反馈。）主要是非递归结构，没有输出到输入的反馈。)1(110) 1() 1 ()0()()(NNnnzNhzhhznhzH系统差分方程为系统差分方程为是线性移不变系统的卷积和公式，是是线性移不变系统的卷积和公式，是x(n)x(n)延时链的延时链的横向结构，称为横截型结构或卷积型结构，也可称横向结构，称为横截型结构或卷积型结构，也可称直接型结构。直接型结构。)1() 1() 1() 1 ()()

14、0()()()(10NnxNhnxhnxhmnxmhnyNm将将H(z)H(z)分解成实二阶因子的乘积形式：分解成实二阶因子的乘积形式：若其中若其中N/2N/2是取是取N/2N/2的整数部分。的整数部分。特点：特点：（1 1）这种结构的每一节控制一对零点，因而在需）这种结构的每一节控制一对零点，因而在需 要控制传输零点时采用。要控制传输零点时采用。（2 2）其系数及需要的乘法次数比卷积型多。）其系数及需要的乘法次数比卷积型多。2122110101)()()(NkkkkNnzzznhzH例：一个例：一个FIRFIR滤波器的单位采样响应为滤波器的单位采样响应为（1 1）画出该系统的直接型实现结构）

15、画出该系统的直接型实现结构（2 2）计算系统函数）计算系统函数H(z),H(z),并利用系统函数画出并利用系统函数画出FIRFIR系统与一个系统与一个IIRIIR系统级联的结构图。系统级联的结构图。解解：（：（1 1） 直接型实现结构图如下所示：直接型实现结构图如下所示：其他060)(nanhn661601)()(zaazznhzHnnx(n)x(n)y(n)y(n)z z-1-1z z-1-1z z-1-1z z-1-1z z-1-1z z-1-1a aa a2 2a a3 3a a4 4a a5 5a a6 6azaz-1-1a a2 2z z-2-2a a6 6z z-6-61 1（2

16、2）系统函数为）系统函数为收敛域为收敛域为|z|0|z|0，H(z)H(z)可以用一个可以用一个IIRIIR系统与一个系统与一个FIRFIR系统级联来实现系统级联来实现IIRIIR系统为系统为FIRFIR系统为系统为因此该系统的另一种实现结构如下：因此该系统的另一种实现结构如下：772111)(11)(zazHazzH60171601)(1)()(nnnnnazazzaznhzHx(n)x(n)y(n)y(n)z z-1-1z z-6-6a aa a-7-7由由H(k)H(k)表示表示H(z)H(z)的内插公式（书的内插公式（书P112P112）上述公式提供了两部分级联组成的滤波器结构上述公式

17、提供了两部分级联组成的滤波器结构其中第一部分为其中第一部分为这是一个这是一个FIRFIR子系统，由子系统，由N N节延时单元构成的梳状滤节延时单元构成的梳状滤波器。波器。1011)(1)1()(NkkNNzWkHNzzHNczzH1)(10)()(1)(NkkczHzHNzH令令则有则有它的频率响应为它的频率响应为( )10NcHzz 20,1,1jiNizeiN)2sin(21)(2NjeeeHNjNjjc2sin222122222222222NjejeejeeeeeeeeeNjNjNjNjNjNjNjNjNjNjNjNj因而幅度响应为因而幅度响应为相角为相角为| )2sin(|2| )(|

18、NeHjc20,024arg(),1,2222(1),jcmtoNNH emmtoNNmmmmtoNN级联的第二部分为级联的第二部分为它是由它是由N N个一阶网络并联组成，而这每一个一阶个一阶网络并联组成，而这每一个一阶网络都是一个谐振器网络都是一个谐振器令的分母为零，即令令的分母为零，即令得到一阶网络在单位圆上有一个极点得到一阶网络在单位圆上有一个极点也就是说，此一阶网络在频率为也就是说，此一阶网络在频率为处响应为无穷大。处响应为无穷大。( )kHz101101)()(NkkNNkkzWkHzH11)()(zWkHzHkNk110kNWz2jkkNkNzWe2kN缺点：缺点：极点在单位圆上，

19、由系数极点在单位圆上，由系数W WN N-k-k决定，当系数决定，当系数量化时，极点会移动，若极点移到量化时，极点会移动，若极点移到Z Z平面的单位圆平面的单位圆外，系统就不稳定了。外，系统就不稳定了。频率抽样结构修正：频率抽样结构修正：即将所有零极点都移动到单位即将所有零极点都移动到单位圆内某一靠近单位圆、半径为圆内某一靠近单位圆、半径为r r的圆上。的圆上。利用利用“时域序列的圆周卷积等效于频域的离散频谱时域序列的圆周卷积等效于频域的离散频谱的乘积的乘积”这一性质。具体方法如下：这一性质。具体方法如下：1 1、将、将x(n)x(n)和和h(n)h(n)变成变成L L点序列，点序列，2 2、

20、求、求x(n)x(n)和和h(n)h(n)各自的各自的L L点点DETDET X(k)=DETx(n) X(k)=DETx(n)，L L点点 H(k)=DETh(n)H(k)=DETh(n)，L L点点11( ),01( )01x nnNx nNnL22( ),01( )01h nnNh nNnL3.3.将将X(k)X(k)与与H(k)H(k)相乘得相乘得Y(k)Y(k)4.4.求求Y(k)Y(k)的的L L点点IDETIDET，得，得y(n)y(n)则则L L点的圆周卷积就能代表线性卷积点的圆周卷积就能代表线性卷积这就得到图这就得到图5.255.25的快速卷积结构。的快速卷积结构。( ) (

21、 )( )( )( )( )y nIDET y kIDET X k H kx nh n12( )( )( )( )* ( )02y nx nh nx nh nnNN如果如果FIRFIR滤波器单位冲激响应滤波器单位冲激响应h(n)h(n)为实数，为实数，且满足下列条件且满足下列条件偶对称偶对称奇对称奇对称则其对称中心在，则其具有严格线则其对称中心在，则其具有严格线性相位。性相位。01nN)1()(nNhnh)1()(nNhnh(1)/2nNn nh(n)h(n)n nh(n)h(n)N N为偶数，如图中为偶数，如图中N N1010N N为奇数，如图中为奇数，如图中N N9 9n nh(n)h(n)n nh(n)h(n)该滤波器结构讨论：该滤波器结构讨论：其冲激响应为其冲激响应为h(n), h(n), , ,满足上述对称条件，其满足上述对称条件，其系统函数为系统函数为当当N N为奇数时为奇数时在第二个和式中令在第二个和式中令n=N-1-m,n=N-1-m,再将再将m m换成换成n n，可得，可得代入线性相位奇偶对称条件代入线性相位奇偶对称条件 , ,可得可得01nN10)()(NnnznhzH112121121010)()21()()()(