第3-1不定积分的概念与性质

1、第三章 积分学微分法:)?()( xF积分法:)()?(xf互逆运算三、换元积分法三、换元积分法 一、一、 不定积分的概念不定积分的概念第一节不定积分(之一) 二、不定积分的性质二、不定积分的性质一、一、 不定积分的概念不定积分的概念定义定义3. 1 . 设f (x)在区间 I 上有定义, 若存在函数 F (x),使得任一 xI，都有)()(xfxF,d)()(dxxfxF或则称 F (x) 为f (x)在区间 I 上的一个原函数原函数 . 1. 原函数原函数1(),2 x 12xIx是在 上的称一个一个原函数原函数;例例:x()cos , x sincosxxI是在 上的称sin x一个一个

2、原函数原函数.在区间在区间I=(-,+ )内，内，在区间在区间I=(0,+ )内内研究原函数必须解决的两个重要问题研究原函数必须解决的两个重要问题: 1. 在什么条件下, 一个函数的原函数存在 ?2. 若已知某个函数的原函数存在, 如何把它求出 ? 定理定理1. ,)(上连续在区间若函数Ixf上在则Ixf)( 存在原函数 .初等函数在定义区间上连续初等函数在定义区间上有原函数初等函数在定义区间上有原函数,)()(的一个原函数是若xfxF定理定理 2. 的所有则)(xf原函数都可表示为CxF)( C 为任意常数 ) .证证: 1)的原函数是)()(xfCxF)(CxF)(xF)(xf，的任一原函

3、数是设)()()2xfxG)()(xfxG又知)()(xfxF )()(xFxG)()(xFxG0)()(xfxf故CxFxG)()()(为任意常数C即2.不定积分不定积分)(xf在区间 I 上的全体原函数称为Ixf在)(上的不定积分不定积分,xxfd)(其中 积分号积分号;)(xf 被积函数被积函数;xxfd)( 被积表达式被积表达式.x 积分变量积分变量;)()(xfxFCxF)( C 积分常数积分常数 不可丢不可丢 !例如例如,xxd2Cx 2xxdcosCxsin记作定义定义 . 例例1. 设曲线通过点(1, 2), 且其上任一点处的切线斜率等于该点横坐标的两倍, 解解: xxf2)(

4、xxxfd2)(Cx 2所求曲线过点 (1, 2) , 故有C2121C因此所求曲线为12 xyyx)2 , 1 (O设此曲线方程为 ( ),yf x求此曲线的方程.3. 不定积分的几何意义不定积分的几何意义:)(xf的原函数的图形称为)(xfxxfd)(的图形的积分曲线族积分曲线族.)(xf的积分曲线积分曲线 . 如例如例1中中,设曲线通过点(1, 2), 且曲线的切线斜率2x,求此曲线的方程.分析分析: xxxfd2)(Cx 2所求曲线过点 (1, 2) , 故有1C因此所求曲线为12 xy曲线方程 ( ),yf x积分曲线族积分曲线族一条积分曲线一条积分曲线12 |2xkxyx)2 ,

5、1 (O1)(xf二、不定积分的性质二、不定积分的性质dxxf)(. 3)(xdfxxfd)(d)(xxfdxxfd)(2.xdd或Cxf)()(. 1dxxf)(xf证明证明：xxfd)(CxF)()(xf证明证明：d)(xxfdd)(xxfdxxxfd)(证明证明：dxxf)(Cxf)(xxfkd)(. 4xxfkd)(xxgxfd)()(. 5xxgxxfd)(d)()0( k推论：注：当k=0时，xxfd)(0C0d)(0 xxf而xxfd)(0 xxfd)(01212( )( )( )( )( )( )nnf xfxfx dxf x dxfx dxfx dx基本积分表基本积分表 (P

6、61)利用逆向思维利用逆向思维xkd) 1 ( k 为常数)Cxk xx d)2(Cx111xxd)3(Cx ln时0 x) 1( )ln()ln(xxx1xxdcos)6(Cxsinxxde)4(Cxexaxd)5(Caaxln积分运算和微分运算是互逆的，积分运算和微分运算是互逆的，可以根据求导公式得出积分公式可以根据求导公式得出积分公式. .xxdsec)8(2Cx tanxxdsin)7(Cx cosxxdcsc)9(2Cx cotxxxdtansec)10(Cx secxxxdcotcsc)11(Cx csc21d)12(xxCx arctan或Cx cotarc21d)13(xxCx

7、arcsin或Cx cosarc例例2. 求求2245(3 2).sin1xdxxx解解: 原式 =2213 2 d45 csc1xxdxxdxx32ln2xC4arcsinx5cot x例例3. 求求.d) 1(23xxx解解: 原式 =xxxxxd133223xxxxd)133(2Cdxxdxxdxxdx21133221xx3|ln3xx1例例4. 求求.d) 1(2222xxxxx解解: 原式 =xxxxxd) 1() 1(222xxd12xxd112|ln2xCxarctan例例5. 求求223d .1xxx解解: 原式 =22333d(1)xxx 3dx213d1xx3x3arcta

8、n xC例例6. 求求.d124xxx解解: 原式 =xxxd11) 1(24xxxxd11) 1)(1(222221dd) 1(xxxxCxxxarctan313例例7. 求求.d2cos2xx解解: 原式 =xxd2cos1xd21Cxxsin2121xx dcos21例例8. 求求.dtan2xx解解: 原式 =xxd) 1(sec2xxxddsec2Cxx tan例例9. 求求.d2cos2sin122xxx解解: 原式 =xxxd)2cos2(sin12xxd)2sin(12xx dcsc42Cxcot4问题问题cos2xdx sin2,xC 解决方法解决方法利用复合函数，设置中间变

9、量利用复合函数，设置中间变量. .过程过程令令2tx 1,2dxdtcos2xdxa 1cos2tdt 1sin2tC1sin2.2xC 三、换元积分法三、换元积分法1. 第一类换元法第一类换元法xxgxgfd)()()(d)(xguuuf三、换元积分法三、换元积分法设, )()(ufuF)(xgu 可导,xxgxgfd)()(CxgF)()(d)(xguuuf)()(xguCuF)(dxgFxxgxgfd)()(则有基本思路1. 第一类换元法第一类换元法定理定理1.,)(有原函数设uf,)(可导xgu 则有换元公式xxgxgfd)()(uufd)()(xgu )(d)(xgxgf(也称配元法

10、配元法即xxgxgfd)()(, 凑微分法凑微分法)注注 “凑微分凑微分”的主要思想是的主要思想是: :将所给出的积分将所给出的积分凑成积分表里已有的形式凑成积分表里已有的形式, ,合理选择合理选择 是凑微分的关键是凑微分的关键. .观察重点不同，所得结论不同观察重点不同，所得结论不同( )ug x . .例例0 0 求求.2sin xdx解（一）解（一） xdx2sin )2(2sin21xxd;2cos21Cx 解（二）解（二） xdx2sin xdxxcossin2 )(sinsin2xxd ;sin2Cx 解（三）解（三） xdx2sin xdxxcossin2 )(coscos2xx

11、d .cos2Cx 同一个积分用不同的方法计算同一个积分用不同的方法计算, ,可能得到表面上可能得到表面上不一致的结果不一致的结果, ,但是实际上都表示同一族函数但是实际上都表示同一族函数. .注注11d(32 )232xx (32 )x 132x 例例 求求1d32xx 解解132x 1d32xx 11(32 ) d232xxx 11d2uu 1ln |2uC1ln| 32|2xC xu23 12 Cxxx |lnd1对第一换元积分法熟练后对第一换元积分法熟练后, ,可以不再写出中间变量可以不再写出中间变量. . dxbaxf)( baxuduufa)(1一般地一般地例例1. 求.23dxe

12、x解解: 令,23 xu则,d3dxu 故原式原式 =ueud3131Ceu2331xeC注意换回原变量原式原式 =2331xeC)3(3123xdex2熟悉后，可直接凑微分熟悉后，可直接凑微分 dxbaxf)( baxuduufa)(1例例2. 求.dlnxxxxxlndln解解: 原式 =Cx2)(ln21 xxxfd1)(ln )lnd()(lnxxf例例3. 求.dtanxx解解:xxxdcossinxxcoscosdCx cosln?dcotxxxxxsindcosCx sinlnxxsinsindxxdtan类似 xxxfdcos)(sin xxxfdsin)(cos xxfdsi

13、n)(sin xxfdcos)(cos内容小结内容小结1. 不定积分的概念 原函数与不定积分的定义 不定积分的几何意义 基本积分表 (见P61)3. 直接积分法:利用恒等变形恒等变形, 及 基本积分公式基本积分公式进行积分 .常用恒等变形方法分项积分加项减项利用三角公式 , 代数公式 ,积分性质积分性质2.不定积分的性质常见的凑微分类型有常见的凑微分类型有 xbaxfd)( xxbaxfmmd)(1 )(d)()1(111baxbaxfmamm )0()(d)(1abaxbaxfa21dxfxx 11dfxx xxxfd1)(ln )lnd()(lnxxf xeefxxd)()d()(xxee

14、f xxxfd)()d()(2xxf xxxfdsec)(tan2 xxxfdcsc)(cot2 xxxfd11)(arcsin2 xxxfd11)(arctan2 xxxfdcos)(sin xxxfdsin)(cos xxfdsin)(sin xxfdcos)(cos xxftand)(tan xxfcotd)(cot xxfarctand)(arctanCxf )(ln(arcsin )darcsinfxx ( )d( )fxxf x d ( )( )f xf x 作业作业练习题练习题3.1（P69）1，2，3（1）（）（2）（）（4）思考与练习思考与练习1. 证明 xxxx1arcta

15、n2)21arccos(),12arcsin(和.12的原函数都是xx2. 若则的原函数是,)(exfx d)(ln2xxfx提示提示:xe)(e)(xxfxlne)(ln xfx1Cx 2213. 若)(xf是xe的原函数 , 则xxxfd)(ln提示提示: 已知xxfe)(0e)(Cxfx01)(lnCxxfxCxxxf021)(lnCxCxln104. 若)(xf;sin1)(xA;sin1)(xB的导函数为,sin x则)(xf的一个原函数是 ( ) .;cos1)(xC.cos1)(xD提示提示: 已知xxfsin)(求即B)()(xfxsin)( ?或由题意,cos)(1Cxxf其

16、原函数为xxfd)(21sinCxCx5. 求下列积分:.cossind)2(;)1 (d) 1 (2222xxxxxx提示提示:)1 (1)1 (1) 1 (2222xxxxxxxx2222cossincossin1)2(xx22cscsecxx22cossin22111xx)(2x2x6. 求不定积分解：解：.d1e1e3xxxxxxd1e1e3xxxd1e) 1(e) 1e(e2xxxxxd) 1ee(2Cxxxee2127. 已知已知22221d1d1xxBxxAxxx求 A , B .解解: 等式两边对 x 求导, 得221xx22211xxAxA21xB2212)(xxABA120

17、ABA2121BA牛顿牛顿(1642 1727) 伟大的英国数学家，物理学家, 天文学家和自然科学家。 他在数学上的卓越贡献是创立了微积分。 1665年他提出正流数 (微分) 术 ， 次年又提出反流数(积分)术,并于1671年完成流数术与无穷级数一书 (1736年出版)。 他还著有自然哲学的数学原理和广义算术等。 Newton受巴罗的受巴罗的“巴罗微分三角形巴罗微分三角形”启发发明启发发明微积分，所以巴罗在微积分发展史上功不可没。微积分，所以巴罗在微积分发展史上功不可没。 Newton从从16651665年到年到16951695年，对微积分的创造性成果为：年，对微积分的创造性成果为： 1665

18、1665，“正流数术正流数术” 微分学；微分学； 16661666，“反流数术反流数术” 积分学；积分学； 16661666，“流数简论流数简论” 标志微积分的诞生；标志微积分的诞生； 16691669，“分析学分析学” 由此后人称以微积分为由此后人称以微积分为 主要内容的学科为数学分析主要内容的学科为数学分析 16711671，“流数法流数法” 16871687，“自然哲学的数学原理自然哲学的数学原理”简称简称“原理原理” 16911691，“求积术求积术”牛顿的微积分贡献牛顿的微积分贡献莱布尼兹莱布尼兹(1646 1716) 德国数学家, 哲学家. 和牛顿同为微积分的创始人 , 他在学艺杂

19、志上发表的几篇有关微积分学的论文中,有的早于牛顿, 所用微积分符号也远远优于牛顿 . 他还设计了作乘法的计算机 , 系统地阐述二进制计数法 , 并把它与中国的八卦联系起来 .莱布尼兹的主要成果莱布尼兹的主要成果 1675 1675年给出积分号年给出积分号“ ”“ ”，同年引入微分号，同年引入微分号“d” 1676 1676年给出公式年给出公式 ， 1677 1677年，表述微积分基本定理：年，表述微积分基本定理： 1684 1684年，年，“求极大与极小值和求切线的新方法求极大与极小值和求切线的新方法” 1686 1686年，年，“深奥的几何与不可分量的无限的分析深奥的几何与不可分量的无限的分

20、析”( )( )baydxz bz a 1aadxaxdx 111aax dxxa 毕达哥拉毕达哥拉斯斯与第一次数学危机与第一次数学危机 据西方国家记叙，毕达哥拉斯是最早证明了勾股定理。据说：毕达哥拉斯欣喜若狂，为此还杀了一据说：毕达哥拉斯欣喜若狂，为此还杀了一百头牛以作庆贺。因些，在西方称这个定理百头牛以作庆贺。因些，在西方称这个定理为为“毕达哥拉斯定理毕达哥拉斯定理”，还有一个带有神秘，还有一个带有神秘色彩的称号色彩的称号“百牛定理百牛定理”。“万物皆数”毕达哥拉斯学派的基本信条：l 他们认为“万物都可归结为整数或整数之比 （分数）”l 他们相信宇宙的本质就是这种“数的和谐”l 他们认为：

21、世界上只有整数和分数，除此以外，就不再有别的数了。毕达哥拉斯悖论与第一次数学危机毕达哥拉斯悖论与第一次数学危机具有戏剧性和讽刺意味的是，正是毕达哥拉斯在具有戏剧性和讽刺意味的是，正是毕达哥拉斯在数学上的这一最重要的发现，却把自己推向了两难的数学上的这一最重要的发现，却把自己推向了两难的尴尬境地。尴尬境地。他的一个学生他的一个学生希帕索斯希帕索斯，他勤奋好学，富于钻研，他勤奋好学，富于钻研，在运用勾股定理进行几何计算的过程中发现：在运用勾股定理进行几何计算的过程中发现：“当正方形的边长为当正方形的边长为1 1时，它的对角线的长不是一时，它的对角线的长不是一个整数，也不是一个分数，而是一个新的数。

22、个整数，也不是一个分数，而是一个新的数。”这个数就是我们现在熟知的无理数这个数就是我们现在熟知的无理数2最后取最后取 ， 就得函数的导数为就得函数的导数为 。贝克莱悖论与第二次数学危机 在微积分创立之初，牛顿和莱布尼茨的工作都很不完善在微积分创立之初，牛顿和莱布尼茨的工作都很不完善因而，导致许多人的批评。然而抨击最有力的是爱尔兰主教因而，导致许多人的批评。然而抨击最有力的是爱尔兰主教贝克莱，他的批评对数学界产生了最令人震撼的撞击。贝克莱，他的批评对数学界产生了最令人震撼的撞击。 如贝克莱指出：牛顿在无穷小量这个问题上，其说不一如贝克莱指出：牛顿在无穷小量这个问题上，其说不一十分含糊，有时候是零

23、，有时候不是零而是有限的小量十分含糊，有时候是零，有时候不是零而是有限的小量, ,莱布莱布尼茨的也不能自圆其说。尼茨的也不能自圆其说。 例如，牛顿当时是这样求函数的导数的：例如，牛顿当时是这样求函数的导数的： 222)(2)(xxxxxxxxxxxxxy2)(220 xxy2贝克莱悖论与第二次数学危机约翰约翰伯努利伯努利CauchyWeierstrass欧拉欧拉( (瑞士瑞士, , 1694年医学博士、数学教授、英国皇家学会会员年医学博士、数学教授、英国皇家学会会员18世纪初分析学的重要奠基者之一世纪初分析学的重要奠基者之一, 欧拉欧拉(瑞瑞, 1707-1783)的老师的老师罗素悖论与第三次

24、数学危机罗素悖论与第三次数学危机整体一定大于部分整体一定大于部分-这是人们传统的观念这是人们传统的观念康托尔下了一个定义康托尔下了一个定义：“如果能够根据某一法则，如果能够根据某一法则，使集合使集合M与集合与集合N中的元素建立一一对应的关系，中的元素建立一一对应的关系，那么，集合那么，集合M与集合与集合N等势或者说具有相同的基数。等势或者说具有相同的基数。” 即即自然数集、正偶数集、自然数的平方等集合的数目一样多，都是可数自然数集、正偶数集、自然数的平方等集合的数目一样多，都是可数集。数轴上稀稀落落的自然数集与密密麻麻的有理数集也可建立一一对集。数轴上稀稀落落的自然数集与密密麻麻的有理数集也可

25、建立一一对应的关系。应的关系。所以所以部分能够等于整体部分能够等于整体。 无理数集、实数集是不可数集。无理数集、实数集是不可数集。 两条不同长度的线段，区间（两条不同长度的线段，区间（0 0，1 1）上）上的点与单位正方形上的点，直线与整个平面、与的点与单位正方形上的点，直线与整个平面、与n n维空间等都可建立一一维空间等都可建立一一对应关系。对应关系。 最后，康托尔用最后，康托尔用“超限基数超限基数”与与“超限序数超限序数”一起来刻画了无一起来刻画了无限，描绘出一幅无限王国的完整图景，它充分体现了康托尔那惊限，描绘出一幅无限王国的完整图景，它充分体现了康托尔那惊人的想像力。人的想像力。 在某

26、村，一个理发师宣布了这样一条原则在某村，一个理发师宣布了这样一条原则：他只给那些不给自己刮胡子的人刮胡子。他只给那些不给自己刮胡子的人刮胡子。问：理发师是否可以给自己刮胡子？问：理发师是否可以给自己刮胡子？ 如果他给自己刮胡子，那他就不符合他的如果他给自己刮胡子，那他就不符合他的原则，他就不应该给自己刮胡子；原则，他就不应该给自己刮胡子； 如果他不给自己刮胡子，按他的原则，他如果他不给自己刮胡子，按他的原则，他就应该给自己刮胡子。就应该给自己刮胡子。于是，无论如何也是矛盾的于是，无论如何也是矛盾的, ,看来，没有任看来，没有任何人能给理发师的刮胡子。何人能给理发师的刮胡子。 罗素悖论有多种通俗版本，其中最著