第14章电磁感应

1、14-1长为长为a、宽为、宽为b的矩形导线环中有均匀磁场的矩形导线环中有均匀磁场 垂直穿过，垂直穿过，如图所示。矩形的一边以匀速如图所示。矩形的一边以匀速 向右滑动，则回路中电动向右滑动，则回路中电动势为势为 ，电流的方向为，电流的方向为 。Bab解解:（方法（方法1）由电动势定义求解由电动势定义求解ADADneADneDALnel dBl dEl dEl dE)(ADBdlBb（方法（方法2）用法拉第定律求解：设）用法拉第定律求解：设t时刻时刻AD边在边在x轴上的坐标为轴上的坐标为xdtdsBdtddtdsB bxdtdBdtdxBbBbl dELne电动势定义为电动势定义为neE其中其中

2、为回路中单位正电荷所受的非静电力为回路中单位正电荷所受的非静电力动生电动势回路中的动生电动势回路中的 ，为单位正电荷所受的洛伦兹力，即：，为单位正电荷所受的洛伦兹力，即：BqBqEneneEADCB选回路选回路L（即（即ABCDA）的正方向为）的正方向为 ABCDAxxBb 式中的负号表明，回路中电动势的方向与所选择的回路正方向反向，即电式中的负号表明，回路中电动势的方向与所选择的回路正方向反向，即电动势的方向为动势的方向为AD,为逆时针方向。若一开始就选择逆时针方向为为逆时针方向。若一开始就选择逆时针方向为L的正方向，的正方向，则则 ，式中无负号，表明，式中无负号，表明电动势的方向与所选择的

3、电动势的方向与所选择的L的正方向一致。的正方向一致。Bb回路中回路中ABCD这段没动，这段没动， ，相应的积分值为零；在，相应的积分值为零；在DA这段，各处的这段，各处的 均同均同向且竖直向下，而各处的向且竖直向下，而各处的 均同向且竖直向上，又各处均有均同向且竖直向上，又各处均有 ，故，故 0l dBBBdll dB对上式的说明：对上式的说明：(方向可由楞次定律判断方向可由楞次定律判断)Bb逆时针方向逆时针方向B14-2 一导线被弯成如图所示形状，一导线被弯成如图所示形状，acb是半径为是半径为R的四分之的四分之三圆弧，直线段三圆弧，直线段Oa长为长为R若此导线放在匀强磁场若此导线放在匀强磁

4、场 中，中，的方向垂直图面向内导线以角速度的方向垂直图面向内导线以角速度 在图面内绕在图面内绕O点匀点匀速转动，求速转动，求（1）导线中的动生导线中的动生电动势电动势 ；（；（2）O、b哪一哪一点的电势高？点的电势高？iBbrbObObOrdrBrdrBl drBlB0d)(解：解： OabBrl dc（ 的方向：按右手螺旋规则，四指指向导体旋转方向的方向：按右手螺旋规则，四指指向导体旋转方向 ，拇指指，拇指指向即为角速度方向。本题中，角速度矢量方向为垂直图面向外向即为角速度方向。本题中，角速度矢量方向为垂直图面向外 ）（1）如图，在导线）如图，在导线Oacb上上任取任取一一 ，方向沿，方向沿

5、Oacb ，其速度为：其速度为： rl d在图面内，大小为在图面内，大小为 ，方向如图所示，且，方向如图所示，且 。另外有。另外有rrBB的方向即为的方向即为 方向方向rrBB综上综上rdrrl dO另外，如右图，显然有另外，如右图，显然有rdl d再者，以前证明过再者，以前证明过rdrrdr225BRbrRrb5（2）式）式 中的负号表明，导线中电动势的方向与前面计算时选取的中的负号表明，导线中电动势的方向与前面计算时选取的由由Oacb的方向相反，即导线中电动势的方向为的方向相反，即导线中电动势的方向为bcaO225BR故，故，O点点电势高于电势高于b点的电势（在电源内部，沿电动势方向电势升

6、高！）点的电势（在电源内部，沿电动势方向电势升高！）14-3圆铜盘水平放置在均匀磁场中，圆铜盘水平放置在均匀磁场中， 的方向垂直盘面向上。的方向垂直盘面向上。当铜盘绕通过中心垂直于盘面的轴沿图示方向转动时，（当铜盘绕通过中心垂直于盘面的轴沿图示方向转动时，（C）B（A）铜盘上有感应电流产生，沿着铜盘转动的相反方向流动）铜盘上有感应电流产生，沿着铜盘转动的相反方向流动（B）铜盘上有感应电流产生，沿着铜盘转动的方向流动）铜盘上有感应电流产生，沿着铜盘转动的方向流动（C）铜盘上有感应电动势产生，铜盘边缘处电势最高）铜盘上有感应电动势产生，铜盘边缘处电势最高（D）铜盘上有感应电动势产生，铜盘中心处电势

7、最高）铜盘上有感应电动势产生，铜盘中心处电势最高OB14-4 如图所示，铜棒如图所示，铜棒AC在与垂直于纸面向内的磁场垂直的平在与垂直于纸面向内的磁场垂直的平面内绕面内绕O点以角速度点以角速度 转动，求转动，求AC棒上总的感应电动势棒上总的感应电动势 解：解：2320320AO92)(lBrdrBrdBvdllAO 2310310COCO181)(lBrdrBrdBvdll 222A6118192lBlBlBOCOAC l31l32AOC vvrdrd由由A指向指向C （即：（即：C点电势高）点电势高）AC 14-5 如图所示，半径为如图所示，半径为R的圆柱形空间内有一均匀磁场的圆柱形空间内有

8、一均匀磁场 ， 以以 的速率减小，在该磁场空间中，离轴线的速率减小，在该磁场空间中，离轴线O分别为分别为r1 处处的的A点以及点以及r2 处的处的C点各有一个由静止状态释放的电子，求两点各有一个由静止状态释放的电子，求两电子在释放时刻的加速度的大小和方向（电子在释放时刻的加速度的大小和方向（me ，e 已知）已知） BOACBBkdtdB解：解：由的柱对称性分布可知，在同一截面圆周上由的柱对称性分布可知，在同一截面圆周上Ei的大小相等，方向沿切线方向。由楞次定律的大小相等，方向沿切线方向。由楞次定律可知：可知：Ei的绕行方向为顺时针方向（如下图）的绕行方向为顺时针方向（如下图）当当rR时时：r

9、kEi2rEl dEii2当当rR时：时：rkREi122OACB22)(rkdtrdBdtd取半径为取半径为r的电力线为积分路径，方向沿顺时针的电力线为积分路径，方向沿顺时针方向，则：方向，则：rEl dEii222)(RkdtRdBdtd12rkEAi对对C点，点，r2R2212 rkRECiOACB对对A点，点，r1RAiECiE方向：顺时针切向（如图）方向：顺时针切向（如图）方向：顺时针切向（如图）方向：顺时针切向（如图）则则A、C二点由静止状态释放的电子各自所受的合外力即为二点由静止状态释放的电子各自所受的合外力即为感生电场施与的电力（忽略电子的重力）分别为感生电场施与的电力（忽略电

10、子的重力）分别为12rekeEamFAiAeA2212rekReEamFCiCeC12rmekaeA2212rmekRaeCAaCa及及 方向：逆时针切向（如图）方向：逆时针切向（如图）AaCa14-6两根平行的无限长直导线相距为两根平行的无限长直导线相距为d，载有大小相等方向，载有大小相等方向相反的电流相反的电流I，电流变化率，电流变化率 0，一个边长为，一个边长为d的正方形线圈的正方形线圈位于导线平面内与一根导线相距位于导线平面内与一根导线相距d，如图所示求线圈中的，如图所示求线圈中的感应电动势感应电动势 ，并说明线圈中感应电流的方向，并说明线圈中感应电流的方向 题18-8图dddII12

11、解：由习题解：由习题11-9的结果，易知，导线的结果，易知，导线1、2穿过穿过正方形线圈的磁通量大小分别为正方形线圈的磁通量大小分别为2ln201Id23ln202Id导线导线1、2的电流在线圈内的磁场反向，故，线圈总的磁通量为的电流在线圈内的磁场反向，故，线圈总的磁通量为34ln2)23ln2(ln20021IdId34ln234ln200ddtdIddtd则线圈中的感应电动势大小为则线圈中的感应电动势大小为由楞次定律，线圈中感应电动势方向为顺时针方向由楞次定律，线圈中感应电动势方向为顺时针方向线圈中感应电流的方向与感应电动势方向一致线圈中感应电流的方向与感应电动势方向一致14-7 矩形载面

12、螺线环（尺寸如图所示）上绕有匝线圈，矩形载面螺线环（尺寸如图所示）上绕有匝线圈，若线圈中通有电流若线圈中通有电流I ，通过螺线环截面的磁通量，通过螺线环截面的磁通量20NIh 求螺线环内外直径之比求螺线环内外直径之比 若若0.0 1,N= 200匝，求螺线环的自感系数，匝，求螺线环的自感系数， 若线圈通以交变电流若线圈通以交变电流 （ , 为为常数），求环内感应电动势。常数），求环内感应电动势。 21DD0ItIIcos0 解：解： 取半径为取半径为r的圆为闭合回路，由的圆为闭合回路，由环路定理环路定理 NIIrBldBL002内 螺线环螺线环 rNIB20D1D2rhdr1200ln2221

13、DDNIhhdrrNISdBrrs20NIh1ln12DDeDD121 1D2DIhH5247108210104104220hNINILn（2）)sin(0tILdtdiL感tLIsin0thINsin2020（3）14-8 在半径为在半径为R的长直螺线管中，磁感应强度的大小的长直螺线管中，磁感应强度的大小B以以dB/dt 的变化率增加有一根细金属杆的变化率增加有一根细金属杆AG垂直于磁场方向穿垂直于磁场方向穿过螺线管，如图所示，已知过螺线管，如图所示，已知AC = CD = DG = R ，求金属杆，求金属杆AG中的感应电动势，并指出中的感应电动势，并指出 A、G 两点哪一点的电势高两点哪一

14、点的电势高OACDGMNB解：连接解：连接OA、OG构成闭合回路构成闭合回路OAGO，60 30等边等边面积面积 4321RS 扇形面积扇形面积 12360302 2 2RRSSBSd mSBSd)2(21SSBBR212233t ddmGOAGOAOAGOAOil dEOA而而同理同理090cosdiAOlE0GO方向为方向为AG，即，即G点电势高点电势高 tBRdd12233dtd2mAG14-9 如图所示，长直导线如图所示，长直导线AC中的电流中的电流I沿导线向上，并以沿导线向上，并以 的速度均匀增长，在导线附近放一个与之同面的直的速度均匀增长，在导线附近放一个与之同面的直角三角形线框，

15、其一边与导线平行，求此线框中产生的感应电角三角形线框，其一边与导线平行，求此线框中产生的感应电动势的大小和方向。动势的大小和方向。kdtdIxIB20bhICaAxxodxbhICaA解：取如图所示的解：取如图所示的x轴，在距原点轴，在距原点x远处取宽远处取宽度度dx的窄条，其高度为的窄条，其高度为)(xbabhh窄条面积为窄条面积为dxxbabhdxhdS)(长直导线长直导线AC中的电流中的电流I在窄条处的磁场为在窄条处的磁场为则穿过三角形线框的磁通量为则穿过三角形线框的磁通量为IhababahdxxbabhxISBbaam2lnb2)()(2d000则三角形线框中的电动势大小为则三角形线框

16、中的电动势大小为khababahdtdIhababahdtdm2lnb2)(2lnb2)(0000由楞次定律，由楞次定律， 方向为逆时针方向方向为逆时针方向14-10如图所示，长为如图所示，长为l的导线杆的导线杆ab以速度在导轨以速度在导轨adcb上平行上平行移动，杆移动，杆ab在在t = 0时位于导轨时位于导轨dc处如果导轨处于磁感应强处如果导轨处于磁感应强度为度为 的均匀磁场中（的均匀磁场中（ 为常数，为常数， 垂直纸面向垂直纸面向里，为常矢量），求里，为常矢量），求t时刻导线回路中的感应电动势时刻导线回路中的感应电动势 tBBsin00Baboxxcd解：取如图所示的解：取如图所示的x轴

17、，轴，t时刻时刻导线杆导线杆ab位于位于x处处则则t时刻穿过回路时刻穿过回路abcd的磁通量为：的磁通量为：ttlBtlxBBStsinsin)(00由法拉第电磁感应定律，回路由法拉第电磁感应定律，回路abcd中的电动势大小为：中的电动势大小为：tttlBdtttdlBdttdtcossin)sin()()(00tx以题设有以题设有由楞次定律，由楞次定律， 方向随时间变化（讨论略）方向随时间变化（讨论略）14-11同轴长电缆由两导体组成，内层是半径为同轴长电缆由两导体组成，内层是半径为R1的圆柱体，外层的圆柱体，外层是内外半径分别为是内外半径分别为R2、R3的圆筒，二导体内电流等值反向均匀分的

18、圆筒，二导体内电流等值反向均匀分布在横截面上，圆柱与圆筒的磁导率为布在横截面上，圆柱与圆筒的磁导率为 1，其间充满不导电的磁，其间充满不导电的磁导率为导率为 2的均匀介质，如图所示试求：圆柱与圆筒间单位长度的均匀介质，如图所示试求：圆柱与圆筒间单位长度的磁场能量的磁场能量 III解：电流分布，磁介质分布具有轴对称性，解：电流分布，磁介质分布具有轴对称性， 磁场分布也具有对称性。作半径为磁场分布也具有对称性。作半径为r 的的圆形环路，则：圆形环路，则： 内02IrHl dHrIH20内IRrIRr21201内时，2112 RrIH21112 RrIBIII1 2 1IIRrR内时，021rIH2

19、rIB222内时，032IRrRIRRRrI)()(2223222IRRrR)()(2223223)(2)(2223223RRrrRIH)(2)(22232231RRrrRIB0 H0B003内时， IRr222228222121rIrIrIBHwm(2)rdrrIdvwWRRVmm28212222122222ln4421RRIdrrIRRIII1 2 114-12如图所示，一如图所示，一半径为半径为r2、电荷线密度为、电荷线密度为的均匀带电圆的均匀带电圆环，里边有一半径为环，里边有一半径为r1、总电阻为、总电阻为R的导体环，两环共面同的导体环，两环共面同心（心（ ），当大环以变角速度），当大环以变角速度 绕垂直于环面的中心绕垂直于环面的中心轴旋转时，求小环中的感应电流，其方向如何？轴旋转时，求小环中的感应电流，其方向如何？12rr )(t)(tOr2r1解：半径为解：半径为R，电流为，电流为I的圆形电流在其轴线上离圆心的圆形电流在其轴线上离圆心x远远处一点的磁感应强度大小为（参见张三慧编处一点的磁感应强度大小为（参见张三慧编大学物理大学物理学学第三版上册第三版上册 P273，式（，式（11.11）232220)(2RxIRB则电流环在其圆心处的磁场为则电流环