第21讲 均匀平面波的反射及透射(1)

1、 边界条件边界条件入射波（已知）反射波（未知）入射波（已知）反射波（未知） 透射波（未知）透射波（未知） 现象现象：电磁波入射到不同媒质电磁波入射到不同媒质 分界面上时，一部分波分界面上时，一部分波 被分界面反射，一部分被分界面反射，一部分 波透过分界波透过分界 面面。均匀平面波垂直入射到两种不同媒均匀平面波垂直入射到两种不同媒质的分界平面质的分界平面 入入射射波波 反反射射波波 介介质质分分界界面面 iE ik rE iH rH rk o z y x 媒媒质质 1 媒媒质质 2 tE tH tk 透透射射波波 入射方式入射方式：垂直入射、斜入射；垂直入射、斜入射； 媒质类型媒质类型： 理想导

2、体、理想介质、导电媒质理想导体、理想介质、导电媒质 分析方法分析方法： 111、222、 沿沿x方向极化的均匀平面波从方向极化的均匀平面波从 媒质媒质1 垂直入射到与导电媒质垂直入射到与导电媒质 2 的分界平面上。的分界平面上。 z 0中，导电媒质中，导电媒质 2 的参数为的参数为均匀平面波垂直入射到两种不同媒均匀平面波垂直入射到两种不同媒质的分界平面质的分界平面 入入射射波波 反反射射波波 介介质质分分界界面面 iE ik rE iH rH rk o z y x 媒媒质质 1 媒媒质质 2 tE tH tk 透透射射波波 2111111111)1 (jjjjkcc21111211111111

3、)1 ()1 (jjcc媒质媒质1中的入射波：中的入射波：zcimyizimxiEezHEezE11e)(e)(1媒质媒质1中的反射波中的反射波：zcrmyrzrmxrEezHEezE11e)(e)(1媒质媒质1中的合成波中的合成波：11111111( )( )( )ee( )( )( )eezzirximxrmzzimrmiryyccEzEzEze Ee EEEHzHzHzee媒质媒质2中的透射波中的透射波：2122222222)1 (jjjjkcc21222212222222)1 ()1 (jjcczctmytztmxtEezHEezE22e)(,e)(2在分界面在分界面z = 0 上，电

4、场强度和磁场强度切向分量连续，即上，电场强度和磁场强度切向分量连续，即tmcrmimctmrmimEEEEEE211)(1)0()0()0()0(2121HHEE11111111( )( )( )ee( )( )( )eezzirximxrmzzimrmiryyccEzEzEze Ee EEEHzHzHzee 定义分界面上的定义分界面上的反射系数反射系数为反射波电场的振幅与入射波电为反射波电场的振幅与入射波电场振幅之比、场振幅之比、透射系数透射系数为为透射波电场的振幅与入射波电场振幅透射波电场的振幅与入射波电场振幅之比，则之比，则21221212,tmcrmimctmrmimEEEEEE211

5、)(12212tmcimccEE2121rmccimccEE 讨论：讨论：1 和和 是复数，表明反射波和透射波的振幅和相位与入射波是复数，表明反射波和透射波的振幅和相位与入射波都不同。都不同。01、 若媒质若媒质2理想导体，即理想导体，即 2= ，则，则2c= 0，故有，故有 若两种媒质均为理想介质，即若两种媒质均为理想介质，即 1= 2= 0，则得到，则得到imrmEEx媒质媒质1 1：媒质媒质2 2：111,2zz=0yiEiHikrErHrk媒质媒质1为理想介质，为理想介质，1 10 0媒质媒质2为理想导体，为理想导体，2 2故故01、媒质媒质1中的入射波：中的入射波：111( )e,(

6、 )ejzjzimiximiyEEze EHze媒质媒质1中的反射波中的反射波：111( )e,( )ejzjzimrximryEEze EHze 11 1, 111,则则20在分界面上，反射在分界面上，反射波电场与入射波电波电场与入射波电场的相位差为场的相位差为111111cos2)ee()(sin2)ee()(1111zEeEezHzEjeEezEimyzjzjimyimxzjzjimx 媒质媒质1中合成波的电磁场为中合成波的电磁场为合成波的平均能流密度矢量合成波的平均能流密度矢量0)cos2(sin2Re21Re21*111*11zEezEjeHESimyimxavtzEezHtzHtz

7、EezEtzEimytjimxtjcoscos2e)(Re),(sinsin2e)(Re),(1111111瞬时值形式瞬时值形式1011012|cos2)(| )(imxzimyzznSEezEeezHeJ理想导体表面上的感应电流理想导体表面上的感应电流 合成波的特点合成波的特点1 minzn 1min2nz 1max(21)4nz (n = 0,1,2,3,) (n = 0 ,1,2,3,) 媒质媒质1中的合成波是中的合成波是。 电场振幅的最大值为电场振幅的最大值为2Eim， 最小值为最小值为0 ；磁场振幅的最；磁场振幅的最 大值为大值为2Eim /1，最小值也，最小值也 为为0。1( )

8、zE 电场波节点（电场波节点（ 的最小值的位置）：的最小值的位置）： 电场波腹点（电场波腹点（ 的最大值的位置）的最大值的位置）1( ) zE1 min(21) /2zn tzEezHtzHtzEezEtzEimytjimxtjcoscos2e )(Re),(sinsin2e )(Re),(1111111 坡印廷矢量的平均值为零，不坡印廷矢量的平均值为零，不 发生能量传输过程，仅在两个发生能量传输过程，仅在两个 波节间进行电场能量和磁场能波节间进行电场能量和磁场能 的交换。的交换。 在时间上在时间上有有/ 2 的相移的相移 11、EH 在空间上错开在空间上错开/ 4，电场，电场的波腹（节）点正

9、好是磁场的波腹（节）点正好是磁场 的的波节腹）点；波节腹）点；11、EH 两相邻波节点之间任意两点两相邻波节点之间任意两点 的电场同相。同一波节点两的电场同相。同一波节点两 侧的电场反相侧的电场反相 例例1 一均匀平面波沿一均匀平面波沿+z+z方向传播，其电场强度矢量为方向传播，其电场强度矢量为100sin()200cos() V/mixyEetzetz 解解：(1) (1) 电场强度的复数表示电场强度的复数表示 zjyjzjxieeEe200ee1002（1）求相伴的磁场强度）求相伴的磁场强度 ；（2）若在传播方向上）若在传播方向上z = 0处，放置一无限大的理想导体平板，处，放置一无限大的

10、理想导体平板， 求区域求区域 z 0 中的电场强度中的电场强度 和磁场强度和磁场强度 ；（3）求理想导体板表面的电流密度。）求理想导体板表面的电流密度。)100200(11)(200jzjyzjxizieeeeEezHe则则 写成瞬时表达式写成瞬时表达式 (2) 反射波的电场为反射波的电场为 )21cos(100)cos(2001)(Re),(0ztezteezHtzHyxtjii反射波的磁场为反射波的磁场为12( )100e200ejjzjzrxyEzeee )ee100e200(1)(1)(200jzjyzjxrzreeEezH)cose200cos400(1sin400sine20021

11、01211zezeHHHzjezjeEEEjyxriyjxri06. 153. 0400200210210yjxyjxeeeeee在区域在区域 z 1时，时， 0，反射波电场与入射波电场同相反射波电场与入射波电场同相 当当21时，时， 0）当当1z=(2n1)/2，即，即z=(n/2+1/4)1 (n=0,1,2,)时，有时，有12211( )1e12cos(2)jzimimE zEEz1min( )1imE zE当当1z=n，即，即z=n1/2 (n=0,1,2,)时，有时，有1max( )1imE zE 合成波电场振幅合成波电场振幅（ 0）当当1z=(2n1)/2，即，即z=(n/2+1/

12、4)1 (n=0,1,2,)时，有时，有2/1 1 2/31 12 2/51 41431451491471 合成波电合成波电 场振幅场振幅 合成波电合成波电 场场z z 驻波系数驻波系数 S 定义为驻波的电场强度振幅的最大值与最小值之定义为驻波的电场强度振幅的最大值与最小值之比，即比，即11SSmaxmin11ESE 讨论：讨论： 当当0 时，时，S 1，为行波；，为行波； 当当1 时，时，S = ，是纯驻波。是纯驻波。 当当 时，时，1 S ，为混合波。，为混合波。S 越大，驻波分量越大，驻波分量 越越 大，行波分量越小；大，行波分量越小；01 例例2 在自由空间，一均匀平面波垂直入射到半无

13、限大的无耗在自由空间，一均匀平面波垂直入射到半无限大的无耗介质平面上，已知自由空间中，合成波的驻波比为介质平面上，已知自由空间中，合成波的驻波比为3，介质内传输，介质内传输波的波长是自由空间波长的波的波长是自由空间波长的1/6，且分界面上为驻波电场的最小点。，且分界面上为驻波电场的最小点。求介质的相对磁导率和相对介电常数。求介质的相对磁导率和相对介电常数。131S解解：因为驻波比因为驻波比由于界面上是驻波电场的最小点，故由于界面上是驻波电场的最小点，故6002rr又因为又因为2区的波长区的波长12 2121而反射系数而反射系数10,2202rr式中式中1291rr36rr02312r18r22

14、121(1)(1)2222221Re22imavxyzEEHSeee媒质媒质2中的平均功率密度中的平均功率密度媒质媒质1中沿中沿z方向传播的平均功率密度方向传播的平均功率密度21*21Re21imziiiavEeHES*22111Re22ravrrzimE SEHe 电磁能流密度电磁能流密度由由2211111Re(1)22imavzESEHe12avavSS入射波平均功率入射波平均功率密度减去反射波密度减去反射波平均功率密度平均功率密度 例例3 入射波电场入射波电场 ，从空，从空气（气（z 0区域区域 r=1 、r = 4 。求区域。求区域 z 0的电场和磁场的电场和磁场 。 V/m)1010

15、3cos(1009ztx eEi 解解：z 0区域的本征阻抗区域的本征阻抗 602120220222rr透射系数透射系数 667. 0601206022212媒质媒质1媒质媒质20,1110,222zxyiEiHiSrErHrStEtHtS相位常数相位常数 故故 rad/m20210310389200222rV/m)20103cos(67. 6)20103cos(10667. 0)cos()cos(9921222ztezteztEeztEeExxmxmxA/m)20103cos(036. 0)20103cos(6067. 6199222ztezteEeHyyz 例例 4 已知媒质已知媒质1的的

16、r1=4、r1=1、1=0 ； 媒质媒质2 的的r2=10、r2 = 4、2= 0 。角频率。角频率5108 rad /s 的均匀平面波从媒质的均匀平面波从媒质1垂垂直入射到分界面上，设入射波是沿直入射到分界面上，设入射波是沿 x 轴方向的线极化波，在轴方向的线极化波，在t0、z0 时，入射波电场的振幅为时，入射波电场的振幅为2.4 V/m 。求：。求： (1) 1和和2 ； (2) 反射系数反射系数1 和投射系数和投射系数 ； (3) 1区的电场区的电场 ； (4) 2区的电场区的电场 。),(1tzE),(2tzE解解:（1） rad/m33. 32103105881100111rrrad

17、/m54.104101031058822002rr60210110111rr9 .751040220222rr117. 09 .7560609 .751212（2 2） （3 3） 1 1区的电场区的电场33. 3sin234. 0e )117. 01(4 . 2sin2e )1()ee (e )1 ()ee ()()()(33. 311111111zjezjEeEeEezEzEzEzjxzjimxzjzjzjimxzjzjimxri（4）zjimxzjtmxEeEezE22ee)(2故故 12. 1221282( , )2.68cos(5 1010.54 )xEz tetz或或 zjxzjx

18、rieEzzz33. 333. 31281. 04 . 2)()()(eeEEE)33. 3105cos(281. 0)33. 3105cos(4 . 2e )(Re),(8811zteztezEtzExxtj10.5410.541.12 2.4e2.68ejzjzxxee 电磁波在多层介质中的传播具有普遍的实际意义。以三种介质电磁波在多层介质中的传播具有普遍的实际意义。以三种介质形成的多层媒质为例，说明平面波在多层媒质中的传播过程及其形成的多层媒质为例，说明平面波在多层媒质中的传播过程及其求解方法。求解方法。 如图所示，当平面波自媒质如图所示，当平面波自媒质向分界面垂直入射时，在媒质向分界面

19、垂直入射时，在媒质和和之间的分界面上发生反射之间的分界面上发生反射和透射。当透射波到达媒质和透射。当透射波到达媒质和和的分界面时，又发生反射与透的分界面时，又发生反射与透射，而且此分界上的反射波回到射，而且此分界上的反射波回到媒质媒质和和的分界面上的分界面上时再次发时再次发生反射与透射。生反射与透射。由此可见，由此可见， 0dz 1, 1k1iH1iE1ik1rH2iE2ik2iE1rH1rk2rE2rH2rk3iH2iE3i 2, 2 3, 3x界面界面1 1界面界面2 2 媒质媒质和和中存在两种平面波，其一是向正中存在两种平面波，其一是向正 z 方向传播的波，方向传播的波，另一是向负另一是

20、向负 z 方向传播的波，在媒质方向传播的波，在媒质中仅存在向正中仅存在向正 z 方向传播方向传播的波的波 。因此，各个媒质中的电场强度可以分别表示为。因此，各个媒质中的电场强度可以分别表示为 111111111111111( )(ee)(ee)( )(ee)jzjzjzjzximrmximjzjzimyzEEEEH zEeee)ee ()(ee ee)()(2)(2112)(2)(11)(2)(22222222dzjdzjimydzjdzjimxdzjrmdzjimxEezHEeEEezE)(31213)(121)(33222e)(ee)(dzjimydzjimxdzjimxEezHEeEez

21、E111rmimEEimimEE121imrmEE222imimEE2323222)1 (1221在在分界面分界面z = d上,2323223322)1 ()ee ()(1 ee )(2211)(2)(2112211)(2)(1122222imydzjdzjimyimxdzjdzjimxEEzHEEzeeeeE3121)(31213121)(121322e)(e)(imydzjimyimxdzjimxEEzHEEzeeeeE根据根据边界条件，在边界条件，在分界面分界面z = d上 ， 得得)()()()(3232dHdHdEdE、ee )1 (12222111djdjee 1)21122djd

22、j在在分界面分界面z =0上在在分界面分界面z = 0 上，上， ，得，得)0()0()0()0(2121HHEE、,111efefdjdj22ee1211djdjdjdjef2222eeee222等效波阻抗等效波阻抗)ee ()ee ()(ee ee )(222222222211)(2)(2112211)(2)(112djdjimydzjdzjimydjdjimxdzjdzjimxEEzHEEzeeeeE1111111111111111( )(ee)(1)( )(ee)(1)jzjzximximjzjzimimyyzEEEEH zEeeee23232djdjdjdjef2222eeee222

23、)tan(j(1)(1)tan(-j(1)(1)sin()cos()sin()cos()sin()cos()sin()cos(22222222222222222222dddjddjddjddjd)tan()tan(2322232djdjef2322233221 ,21 在计算多层媒质的第一个分界面上的总反射系数时，引入在计算多层媒质的第一个分界面上的总反射系数时，引入等效波阻抗概念可以简化求解过程。等效波阻抗概念可以简化求解过程。则媒质则媒质中任一点的波阻抗为中任一点的波阻抗为 ( )( )( )E zzH z2222()()2222()()22( )ee( )( )eejz djz djz

24、djz dzzHzE 定义媒质中任一点的合成波电场与合成波磁场之比称为该点定义媒质中任一点的合成波电场与合成波磁场之比称为该点的波阻抗的波阻抗 ，即，即( ) z在在z z0 0 处，有处，有22222222ee(0)eejdjdefjdjd 由此可见，由此可见， 即为媒质即为媒质中中z0 处的波阻抗。处的波阻抗。 ef 引入等效波阻抗以后，在计算第一层媒质分界面上的反射系引入等效波阻抗以后，在计算第一层媒质分界面上的反射系数数 时时 ，第二层媒质和第三层媒质可以看作等效波阻抗为，第二层媒质和第三层媒质可以看作等效波阻抗为 的的一种媒质。一种媒质。ef10dz 1, 1k1iH1iE1ik1r

25、H2iE2ik2iE1rH1rk2rE2rH2rk3iH2iE3i 2, 2 3, 3x界面界面1 1界面界面2 20z 1, 1k1iH1iE1ik1rH2E2k2E1rH1r efx界面界面1 1 利用等效波阻抗计算利用等效波阻抗计算n 层媒质的第一条边界上的总反射系数层媒质的第一条边界上的总反射系数时，首先求出第时，首先求出第 (n2) 条分界面处的等效波阻抗条分界面处的等效波阻抗(n-2)ef ，然后用，然后用波阻抗为波阻抗为(n-2)ef 的媒质代替第的媒质代替第(n1) 层及第层及第 n 层媒质。层媒质。 依次类推，自右向左逐一计算各条分界面处的等效波阻抗，直依次类推，自右向左逐一

26、计算各条分界面处的等效波阻抗，直至求得第一条边界处的等效波阻抗后，即可计算总反射系数。至求得第一条边界处的等效波阻抗后，即可计算总反射系数。123(n-2)ef(3)(2)(1)(n-3)12ef(1)123(n-2)(n-1)n(n-2) (n-1)(3)(2)(1)(n-3)123(n-2)(n-1)ef(n-2)(3)(2)(1)(n-3) 设两种理想介质的波阻抗分别为设两种理想介质的波阻抗分别为1 与与2 ，为了消除分界面，为了消除分界面的反射，可在两种理想介质中间插入厚度为四分之一波长（该的反射，可在两种理想介质中间插入厚度为四分之一波长（该波长是指平面波在夹层中的波长）的理想介质夹层，波长是指平面波在夹层中的波长）的理想介质夹层，如图所示。如图所示。 首先求出第二个分界面上的等效波首先求出第二个分界面上的等效波阻抗。考虑到阻抗。考虑到4d1242d为了消除反射，必须要求为了消除反射，必须要求 ，那么由上式得，那么由上式得1ef212212222tan()ta