数学物理方程ppt

1、出出 版：电子科技大学出版社版：电子科技大学出版社( (成都市建设北路二段四号，邮编：成都市建设北路二段四号，邮编：610054)610054)责任编辑：徐守铭责任编辑：徐守铭发发 行：电子科技大学出版社行：电子科技大学出版社印印 刷：成都蜀通印务有限责任公司刷：成都蜀通印务有限责任公司开开 本：本：787mm787mm1092mm 1/16 1092mm 1/16 印张印张 16.625 16.625 字数字数 425425千字千字版版 次：次：20062006年年4 4月第一版月第一版印印 次：次：20072007年年8 8月第二次印刷月第二次印刷书书 号：号：ISBN 978ISBN 9

2、78 7 7 8111481114 098098 9 9印印 数：数：2001500020015000册册定定 价：价：28.0028.00元元 数学物理方程数学物理方程李明奇李明奇 田太心田太心 主编主编 版权所有版权所有 侵权必究侵权必究 邮购本书请与本社发行科联系。电话：邮购本书请与本社发行科联系。电话：(028)83201495 (028)83201495 邮编：邮编：610054610054。 本书如有缺页、破损、装订错误，请寄回印刷厂调换。本书如有缺页、破损、装订错误，请寄回印刷厂调换。目 录第一章 绪论笫二章 定解问题与偏微分方程理论第三章 分离变量法第四章 行波法第五章 积分变

3、换第六章 Green函数法第七章 Bessel函数第八章 Legendre多项式第九章 保角变换法第十章 非线性数学物理方程简介 第一章第一章 绪论绪论1.1 常微分方程基础常微分方程基础1.2 积分方程基础积分方程基础1.3 场论基本概念场论基本概念1.4 常用算符与函数常用算符与函数 1.5 常用物理规律常用物理规律1.1 1.1 常微分方程基础常微分方程基础一、一阶微分方程一阶常微分方程典则形式与对称形式分别为:( , ),yf x y ( , )d( , )d0p x yxq x yy1可分离变量的一阶微分方程( )d( )df xxg yy2齐次方程d( )dyyfxx( )uxuf

4、 u3一阶线性微分方程( )( )yp x yq x( )d( )de( )edp xxp xxyq xxc4Bernoulli方程( )( )nyp x yq x y(1) ( )(1) ( )un p x un q x(0, 1)n 二、高阶微分方程1可降阶的二阶微分方程( , )yf x y( , )yf y y( , )ppf y p 2n阶常系数齐次线性微分方程( )(1)(2)121( )( )( )( )0nnnnnya x ya x yax ya x y定理定理1 的特解可以通过方程 的特解之和求得。1L( )niiyf xL( ), 1, , iyf xin（1）特征方程有n

5、个不同的实根 ，则 ， 为任意常数；（2）特征方程有r个不同的实根 ，其重数分别为 ， ，则其中， 为任意常数。（3）若 ，特征方程有r个不同的复根 （ ），其重数分别为 ，所有复根重数之和为，则 12, , , n1einxiiycic定理定理2 n阶常系数齐次线性微分方程的通解为：12, , , n12, , , rnnn1=rkknn1, 0, 1, (1)1()eiirnxiiiiiyccxcx, i jc( )ia xR12, , , rkkki12, , , rnnn1, 0, 1, (1)11, 0, 1, (1)1()esin ()ecosiiiirnxiiiiiirnxiii

6、iiiyccxcxxddxdxx3二阶常系数非齐次线性微分方程的特解设设 为为 对应的齐对应的齐次方程的次方程的i ( )重根，其中，重根，其中， 与与 分别是次多项式，分别是次多项式， 为常数。为常数。则存在次多项式则存在次多项式 使非齐次方程使非齐次方程有如下形式的特解：有如下形式的特解：00( )exmypyqypx定理定理3:( )mpx( )npx00, 1, 2i ( )mqx0( )eximyx qx 与 分别是 次多项式， 与 为常数，则的特解为：定理定理4:( )mpx( )npx, m n000(0) 000e( )cos( )sinxmnypyqypxxpxx000e(

7、)cos( )sinxkllyxp xxq xx二阶非齐次线性微分方程定理定理5:)(xfqyypy 的特解为2112001212( )( )dd(, )(, )xxy fy fyyyyyyy 通解为21121122001212( )( )dd( )( )(, )(, )xxy fy fyyyC y xC yxyyyy 三、Euler方程在微分方程中，我们还经常遇到一类特殊的非常系数非齐次线性微分方程Euler方程的求解：( )1(1)011( )nnnnnnp x yp xypxyp yf x0D(D1)(D1)(e )ntn kkpkyf四、Bessel方程定义定义2 二阶线性微分方程 2

8、22()0 x yxyxy称为Bessel方程， 为非负常数。定义定义4 二阶线性微分方程 222102x yxyxmy称为半奇数阶Bessel方程。(m为整数)定义定义5 二阶线性微分方程 222()0 x yxyxy称为虚宗量Bessel方程。五、Legendre方程与SturmLiouville方程定义定义6 二阶线性微分方程 2(1)2(1)0, 1, 1xyxyn nyx 称为n阶Legendre方程。定义定义7 二阶线性微分方程dd ( )( )( )( )( )0ddy xk xxq xy xxxaxb称为SturmLiouville方程。六、微分方程解的理论基础定义定义8 对于

9、一阶微分方程，称以下问题为Cauchy问题：00( , )()yf x yy xy 定义定义9 对于二阶微分方程，称以下问题为边值问题：12345( , , , )0, ( , )( )( )( )( )f x y yyta ya ya ya ya 设为 方程 的平凡解，若 ，当 时，对 ，有 ，则称 解稳定。定义定义10:0y ( , )yg x y 0000, , ( , )0, xIxy 00( , )yx 0 xx 00( , , )y x xy0y 定义定义11: 设 为方程 的平凡解，若 ，当 时， ，有 ，则 称解不稳定。 0y ( , )yg x y 0000, , 0, xy

10、0y10 xx100( , , )y xxy0y 1.2 1.2 积分方程基础积分方程基础定义定义1 积分号下含有未知函数的方程称为积分方程。若方程关于未知函数是线性的，则称之为线性积分方程；否则该积分方程称为非线性积分方程。定义定义2 若未知函数只出现在积分号下，称为第一类线性积分方程；若未知函数不仅出现在积分号下，还出现在其他部分，则称为第二类线性积分方程。定义定义3 若含参数齐次方程 ，在 有非零解，则 称为特征值，相应的解为特征函数。特征函数构成的空间称为线性空间，其维数称为 的重数。( )( , ) ( )dbay xk x t y tt000定理定理1 若 在 ， 在 内都连续，且

11、 ， ， 。级数 在 一致绝对收敛，并且为方程的唯一解。( )f x , xa b( , )k x t , , a ba b( )f xm( , )k x tM1M ba0( )iiix , xa b( )( )( , ) ( )dbay xf xk x t y tt定义定义4 若 ， 与 都线性无关，则 称为退化核。 为退化核，则方程变为代入原方程得1( , )( )( )niiik x txt( )ix( )it( , )k x t( , )k x t( )( )( , ) ( )dbay xf xk x t y tt1( )( )( ), ( ) ( )danbiiiiy xf xx y

12、yt y tti1,niiikkkyfy( )( )d , ( ) ( )d , 1, , bbikikiiaatttft f tt in1.3 1.3 场论基本概念场论基本概念一、散度与通量设S是一分片光滑的有向曲面，其单位侧向量为 ，则向量场 沿曲面S的第二类曲面积分0n( , , )x y zA0ddSSSASA n称为向量场通过曲面S向着指定侧的通量。如果S是一分片光滑的闭曲面，为外法向，V为S所包围的空间区域，由Gauss公式有0dd ( , , )d d( , , )d d( , , )d d ()d d dSSSxyzVSp x y zy zq x y zz xr x y zx

13、ypqrx y zASA n其中， 称为向量场的散度，记为 ，即xyzpqrdiv Adiv xyzpqrA二、环流量与旋度对于给定向量场( , , )( , , )( , , )( , , )x y zp x y zq x y zr x y zAijk设L为场内一有向闭曲线，L上与指定方向一致的单位切向量为 ，则称积分0 0ddLLsArA 为向量场沿有向闭曲线L的环流量。设S是以L为边界的有向曲面，曲线L的方向与曲面S的侧符合右手规则，由Strokes公式，有d( , , )d( , , )d( , , )d ()cos()cos()cos dLLyzzxxySp x y zxq x y

14、zyr x y zzrqprqpSAr其中，向量 为有向曲面S的单位法向量 的方向余弦，向量场的旋度记为 ，且cos , cos, cos 0nrot Arot ()()()yzzxxyrq iprjqpkA旋度是一个向量，它是由向量场产生的向量场，称为旋度场。1.4 1.4 常用算符与函数常用算符与函数一、常用算符求导算子D： D ( )( )f xfx梯度算子 与Laplace算子 是两个最基本的算符：, , xyz 222222xyz 设为向量场， 为数值函数，则有以下公式：( , , )uu x y zgrad uudiv AArot AA2 grad uuuu () uvu vu v

15、 定理定理1 设平面区域D由分段光滑的闭曲线L围成，函数 、 在L上具有一阶连续偏导数，则有Green公式：( , )p x y( , )q x y( , )d( , )d( , )( , )d dxyLDp x yxq x yyqx ypx yx y式中，L的方向为区域D边界曲线的正向。定理定理2 设曲线L为分段光滑的空间有向闭曲线，S为以L为边界的任意分片光滑的有向曲面。函数 、 、 在包含S的某一个空间区域内具有一阶连续偏导数，则有Strokes公式( , , )p x y z( , , )q x y z( , , )r x y zd dd dd d( , , )d( , , )d( ,

16、 , )dLSy zz xx yp x y zxq x y zyr x y zzxyzpqr定理定理3 设分片光滑的有向闭曲面围成空间区域V。函数 、 、 在V上具有一阶连续偏导数，则有Gauss公式： ( , , )p x y z( , , )q x y z( , , )r x y z( , , )( , , )d d( , , )d d()d d dxyzSVp x y z dydzq x y zz xr x y zx ypqrx y z式中，S为空间区域V的外侧。二、 函数、函数与误差函数1 函数是指10( )e d , 0 xtxtt x2函数是指1110( , )(1)d , 0,

17、0pqp qttt pq函数的主要性质有：( , )( , )p qq p ( ) ( )( , )()pqp qpq3误差函数是指202erf( )edxtxt余误差函数是指ercf( )1erf( )xx 主要性质有：22461 e13 44 5 6ercf( )(1)2(2 )(2 )xxxxxx 三、常用结论命题命题1 ，其球坐标表示为 。n为以原点为球心，半径为r的球面的外侧，则( , , )uu x y z( , , )uu r ruun命题命题2 221111cos2212 cos()nnkkntktk| 1k 1.5 1.5 常用物理规律常用物理规律1Newton第二定律。平动

18、规律： ；转动规律： 。2Hooke定律。 （1）在弹性限度内，弹簧的弹力和弹簧的伸长成正比： 。其中，k为弹簧的弹性系数。负号表示弹力的方向和形变量的方向相反。（2）弹性体的应力p与弹性体的相对伸长成正比： 。其中，Y为杨氏模量，表示相对伸长。FmaMIfkx xpYu3Fourier实验定律（即热传导定律）。当物体内存在温差时，会产生热量的流动。在dt时间内，沿热流方向流过面积微元dS的热量为，其中k称热传导系数，它与物体的材料有关；式中的负号表示热量由高处流向低处；为温度沿热流方向的方向导数。热流密度q为d( , )d dnQqkux tS t 4Newton冷却定律。设 为周围介质的温

19、度， 为物体的温度。物体冷却时单位时间内流过单位面积放出的热量与物体和外界的温度差（ ）成正比，即热流密度q为 。5热量守恒定律。物体内部温度升高所吸收的热量，等于流入物体内部的净热量与物体内部的源所产生的热量之和。0usu0suu0sqk uu6扩散实验定律。当物体内浓度分布不均匀时会引起物质的扩散运动。沿粒子流方向流过面积微元dS的粒子质量为 ，其中k称为扩散系数，它与材料有关；负号表示粒子流由浓度高处流向低处， 为温度沿热流方向的方向导数。粒子流密度q为 。7电荷守恒定律。电荷既不能创造，也不能消灭，它们只能从一个物体转移到另一个物体，或者从物体的一部分转移到另一部分。d( , )d d

20、nMkux tS t nu( , )nqkux t 8Coulomb定律。放置于坐标原点的电量为e的点电荷所产生电场（介电常数为）的电位势为 。9Gauss定律。通过一个任意闭合曲面的电通量，等于这个闭曲面所包围的自由电荷的电量的倍。即 。其中， 为介电常数， 为体电荷密度。4eur11ddSVvES10JouleLenz定律。电流通过纯电阻的一导体时所放出的热量跟电流强度的平方、导线的电阻和通电的时间成正比。即 。11Kirchhoff定律。（1）第一定律。会合在节点的电流代数和为零，即 。（2）第二定律。沿任一闭合回路的电势增量的代数和为零，即 。2QRtI10nkkI11nnkkkkkI

21、 R12Faraday电磁感应定律。不论任何原因使通过回路面积的磁通量发生变化时，回路中产生的感应电动势与磁通量对时间的变化率的负值成正比，即式中，N为感应回路串联线圈的匝数。此即Faraday电磁感应定律。由该定律知，当闭合回路（或线圈）中的电流发生变化而引起自身回路的磁通量改变而产生的自感电动势为式中，L为自感系数。ddNt ddLt 2.1 波动方程及定解条件波动方程及定解条件2.2 热传导方程及定解条件热传导方程及定解条件2.3 稳态方程的定解问题稳态方程的定解问题2.4 方程的化简与分类方程的化简与分类2.5 二阶线性偏微分方程理论二阶线性偏微分方程理论2.6 函数函数笫二章笫二章

22、定解问题与偏微分方程理论定解问题与偏微分方程理论2.1 2.1 波动方程及定解条件波动方程及定解条件一、波动方程的建立细弦线横振动问题。设有一根均匀柔软的细弦线，一端固定在坐标原点，另一端沿x轴拉紧固定在x轴上的L处，受到扰动，开始沿x轴（平衡位置）上下作微小横振动（细弦线上各点运动方向垂直于x轴）。试建立细弦线上任意点位移函数所满足的规律。 u T1 0 x x+dx L x T2 gdx 2 1 二、定解条件1初始条件波动方程含有对时间的二阶偏导数。因此，一般要给出两个初始条件。对于做机械运动的物体，其初始条件可以从系统各点的初位移和初速度考虑，即00( )( )tttuxux2边界条件描

23、述物理问题在边界上受约束的状态，归结为三类边界条件。（1）第一类边界条件：给出未知函数u在边界上的分布值。例如，长为L的细弦线横振动，细弦线的两端固定在原点和x轴的L处，其边界条件为，称固定端。 （2）第二类边界条件：给出未知函数u在边界上的法向导数值。（3）第三类边界条件：第一类和第二类边界条件的线性组合。00, 0 xx Luu2.2 2.2 热传导方程及定解条件热传导方程及定解条件一、热传导方程 细杆的横截面积为常数A，又设它的侧面绝热，即热量只能沿长度方向传导，由于细杆很细，以致在任何时刻都可以把横截面积上的温度视为相同，密度为。试求细杆的温度分布规律。 x x x+dx L 0 二、

24、扩散方程的建立*设半导体材料每点的横截面积相等，其值为A；在这块材料中，有一种杂质正在扩散，我们用u表示杂质浓度，即单位体积内所含杂质的质量；由于各个横截面上杂质的浓度不一样，而且它又是随时间改变的（设同一时间同一横截面上各点处的浓度是相同的），所以浓度u既是位置x的函数，又是时间t的函数，即 。求 满足的规律。 A x x 0 x+dx ( , )u x t( , )u x t三、定解条件1初始条件热传导方程含有对时间的一阶偏导数，故只要一个初始条件初始时刻的温度分布。2边界条件（1）第一类边界条件，给定温度在边界上的值。若细杆在x=0端保持为零度， 端保持为 度，则有： ， 。（2）第二类

25、边界条件，给定温度在边界上的法向导数值。（3）第三类边界条件，给定边界上温度与温度的法向导数的线性关系。Tx L00 xux LuT2.3 2.3 稳态方程的定解问题稳态方程的定解问题一、静电场的电位方程设空间有一分布电荷，其体密度为 ，E表示电场强度， 表示电位，在国际单位制下，静电场满足：（1）静电场的发散性： ； （2）静电场的无旋性： ； （3）静电场存在场势函数： ( , , )x y z( , , )u x y zE0Eu E二、自由电磁波方程设空间中没有电荷，且和分别表示电场强度和磁场强度。由电磁场理论，描述介质中电磁场运动的Maxwell方程组的微分形式为00tt HEEHEE

26、H三、稳态场定解条件的提法1边界条件边界条件共分三类，第一类、第二类、第三类边界条件也是分别给出边界上未知函数值、未知函数的导数值或两者的线性关系。稳态场方程加上第一类、第二类、第三类边界条件构成的定解问题分别称为第一类、第二类、第三类边值问题，也依次称为Dirichlet问题、Neumann问题和Robin问题。2衔接条件性质性质1 在两种介质的分界面上，静电场电势的边值关系为式中， 与 分别为界面两侧介质的电势和介电常数；n是界面上由介质1指向介质2的法向单位向量； 是界面上的自由电荷面密度。211221, fuuuu nn12, uu12, f性质性质2 若为 导体的电势， 为绝缘介质的

27、电势， 为封闭面S所包围的电量的代数和，则在导体与介质分界面上电势u的边值关系为1u2ufQ12uu22fu n22dfSuSQ n3有限性条件例如，在静电场中常利用在坐标原点电势有限的条件（当原点无点电荷时）。4周期性条件由于物理量在同一点、在同一时刻有确定值，在采用球坐标系（或柱坐标系）时，就必然导致周期性条件，因为与 均表示空间同一点，由电势的唯一性可得, , 2, , u ru r , , 2r ( , , )r 2.4 2.4 方程的化简与分类方程的化简与分类一、方程的化简、特征方程二、方程的分类若在区域D中某点 ，有 （或 ），我们就称方程式在点为双曲型（或抛物型，或椭圆型）。若方

28、程在某个区域中的每一点均为双曲型（或抛物型，或椭圆型），我们就称方程在区域D上是双曲型（或抛物型，或椭圆型）。00, xy0 0, 0 2.5 2.5 二阶线性偏微分方程理论二阶线性偏微分方程理论一、叠加原理定义定义1 泛定方程是线性的，而且定解条件也是线性的，这种定解问题称为线性定解问题。定义定义2 对于一个算子T，若满足则称算子T为线性算子。1 1221122TTTcuc ucucu叠加原理叠加原理1 设满足线性方程（或线性定解条件） （ ）那么这些解的线性组合必满足方程（或定解条件）： 。叠加原理叠加原理2 设满足线性方程（或线性定解条件） （ ）且级数收敛，并满足算子中出现的偏导数与求

29、和记号交换次序所需要的条件，那么满足线性方程（或定解条件）Liiuf1, 2, , in1Lniiiuc fLiiuf1, 2, i 1Liiiuc f 叠加原理叠加原理3 设满足线性方程（或线性定解条件）其中，M表示自变量组；M0为参数组。且积分收敛，并满足中出现的偏导数与积分运算交换次序所需要的条件，那么满足方程（或定解条件）特别地，当满足齐次方程（或齐次定解条件）时，也满足此齐次方程（或齐次定解条件）。0L, uf M M00, dvU Mu M MM00L(), dvU Mf M MM二、齐次化原理齐次化原理齐次化原理1 设 满足齐次方程的Cauchy问题（这里，M是自变量组 为参数）

30、, ; w t M ( , , ), x y z232L , , 0, , ttMRttfMt齐次化原理齐次化原理2 设 满足Cauchy问题 , ; t M3L , , , tMRttfM则Cauchy问题30L( , ), , 00tuuf t MMRttu0, ; dtut M三、解的适定性一个定解问题提得是否符合实际情况，当然必须靠实践来证实。然而从数学角度来看，可以从三方面加以检验：（1）解的存在性：研究所归结出来的定解问题是否有解。（2）解的唯一性：研究定解问题是否只有一个解。（3）解的稳定性：即看当定解条件有微小变动时，解也相应地只有微小的变动，则称解具有稳定性。在具体问题中解的

31、稳定性是必需的，否则所得的解就无实用价值。2.6 2.6 函函 数数（1）对称性。 ，即 是偶函数。形式地作变量代换 ，对于任何连续函数 ，有这就说明了等式的合理性。更一般地，有对称性，即对任何连续函数，有把上式中的与变换位置，得 。（2）函数的导数。设 ，则由 定义的算符称为函数的导数。这个定义的合理性可由下面形式的分部积分看出：( )()xx( )xxt ( )x0() ( )d( ) ()d()(0)txxxtttt00()()xxxx000() ( )d() ( )d()xxxxxxxxx000() ()d( )xxxxx( ) ( )d( ) ( )( )( )d(0)x f xxx

32、 f xx fxxf 1( )f xC( ) ( )d(0)x f xxf 3.1 齐次弦振动方程的分离变量法齐次弦振动方程的分离变量法3.2 热传导方程混合问题分离变量法热传导方程混合问题分离变量法3.3 二维定解问题分离变量法二维定解问题分离变量法3.4 高维混合问题的分离变量法高维混合问题的分离变量法3.5 非齐次方程定解问题的解非齐次方程定解问题的解3.6 非齐次边界条件定解问题的解非齐次边界条件定解问题的解3.7 Sturm Liouville固有值问题固有值问题 第三章第三章 分离变量法分离变量法3.1 3.1 齐次弦振动方程的分离变量法齐次弦振动方程的分离变量法一、求解弦振动方程

33、的混合问题2000, 0, 00, 0( ), ( )ttxxxx Ltttua uxL tuuuxux其中为其中为 已知函数。已知函数。( ), ( )xx1当时当时 ，方程，方程 的通解为的通解为00XX( )eexxX xAB 2当时当时 ，方程，方程 的通解为的通解为。其中。其中A,B为两个任意常数。代入边界条件，得为两个任意常数。代入边界条件，得00XXXAxB(0)00, ( )0XABX LA LB3当时当时 ，方程，方程 的通解为的通解为00XX( )cossinX xAxBx二、级数解的物理意义1 ( , )(cossin)sinnnnn atn atn xu x tCDLL

34、L, sinsinnnnnn xux tNtL221, tan,nnnnnnnCn aNCDDL( , )u x t 是由一系列频率不同、相位不同、振幅不同的是由一系列频率不同、相位不同、振幅不同的驻波叠加而成的。所以分离变量法又称为驻波法。各驻波驻波叠加而成的。所以分离变量法又称为驻波法。各驻波振幅的大小和相位的差异，由初始条件决定，而圆频率振幅的大小和相位的差异，由初始条件决定，而圆频率与初始条件无关，所以也称为弦的固有频率。与初始条件无关，所以也称为弦的固有频率。nn aL三、解的适定性1解的存在性 2000, 0, 00, 0, ttxxxx Ltttua uxL tuuuxux11(

35、 , )(cossin)sinnnnnnn atn atn xuux tCDLLL可以验证上述可以验证上述Fourier解，既满足方程，又满足边界条件和初始条解，既满足方程，又满足边界条件和初始条件。为了保证解的存在性，我们需要以下两个充分条件：件。为了保证解的存在性，我们需要以下两个充分条件： 43, xCxC(0)( )(0)( )(0)( )0LLL2能量积分和解的唯一性弦振动的动能为 ，而位能为 ，弦振动的总能量称为一维波动方程的能量积分。在没有外力作用的情况下，总能量应该是守恒的。 201( )d2LtK tux201( )d2LxV tTux( )( )( )E tK tV t(

36、)E t3.2 3.2 热传导方程混合问题分离变量法热传导方程混合问题分离变量法在讨论热传导方程混合问题的求解时，如果所取的边界条件是第一类的，当使用分离变量法时，它与上节所运用过的求解方法相类似，这里就不再重复了。如果所取的边界条件其一端点上是第一类的，另一端点上是第二类的，那么当使用分离变量法时，其基本思路和步骤与上节所运用过的求解方法也是一致的，只是特征值问题有所不同。定理定理1（极值原理）（极值原理） 区域R为 ，为区域R的边界。假设函数 在闭域 ： 上连续，在上满足热传导方程，则该函数在区域上的最大值、最小值必在其边界曲线上取得，即0, 0 xLtT ( , )u x tR0, 0

37、xLtT max, max, , min, min, RRu x tu x tu x tu x t定理定理2 热传导混合问题的解具有唯一性和稳定性。3.3 3.3 二维定解问题分离变量法二维定解问题分离变量法求解下列定解问题：其中，A为常数。0220222110, ()cosuuuuA3.4 3.4 高维混合问题的分离变量法高维混合问题的分离变量法例1 求边长分别为 的长方体中的温度分布，设物体表面温度保持零度，初始温度分布为 例2 求解三维静电场的边值问题：, , a b c( , , , 0)( , , )u x y zx y z0, 0, 0, 00, , , , 0, 0, , , 0

38、, , 00, , , , xxyyzzuuuxaybzcuy zu a y zu xzu x b zu x yu x y cx y3.5 3.5 非齐次方程定解问题的解非齐次方程定解问题的解I： 1211112222LL( , ), 0, ( , )( , )0(, )(, )0( , 0)( ), ( , 0)( )txxxtuuf x ttxxxa uxtu xta uxtu xtu xxu xx这里 ， 及分别是关于及的二阶常系数线性偏微分算子， 都是非负常数，。当 是一阶算子时，问题I中的初始条件只有： 。求解这类定解问题的一般方法有两种：固有函数法和齐次化原理法。 LtLx1212

39、, , , 220(1, 2)iiiLt( , 0)( )u xx3.6 非齐次边界条件定解问题的解非齐次边界条件定解问题的解现将解定解问题的主要步骤小结如下：1根据边界的形状选取适当的坐标系，选取的原则是使在此坐标系中边界条件的表达式最为简单。圆、圆环、扇形等域用极坐标系较方便，圆柱形域与球域分别用柱坐标系与球坐标系较方便。2若边界条件是非齐次的，又没有其他条件可以用来定固有函数，则不论方程是否为齐次，必须先作函数的代换使之化为具有齐次边界条件的问题，然后再求解。3非齐次方程、齐次边界条件的定解问题（不论初始条件如何）可以分为两个定解问题，其一是具有原来初始条件的齐次方程的定解问题，其二是具

40、有齐次定解条件的非齐次方程的定解问题。第一个问题用分离变量法求解，第二个问题按固有函数法求解或用齐次化原理求解。3.7 Sturm3.7 Sturm LiouvilleLiouville固有值问题固有值问题一、SturmLiouville方程定理定理1 对于第三类边值问题 ( )( )( )0, ( )( )0( )( )0k x yq x yx yaxby ahy ay bhy b 在条件k(x)及其一阶导数 和在 上连续，k(x)， ，在区间 内为正， 在 内连续，且在端点a和b上至多有一级极点，而k(x)与 至多有一级零点， ( )x , a b( )x( , )a b( )x( , )

41、a b( )x（1）固有值具有可数性。存在无穷多个实的固有值递增序列 ；与其对应的固有函数 。（2）固有值的非负性。 。（3）固有函数系的正交性。设 是任意两个不同固有值，则对应的固有函数 与在区间 以权函数 正交，即有123nlimnn 123( ), ( ), ( ), , ( ), ny xyxyxyx0nmn( )myx( )nyx , a b( )x( )( )( )d0, bnmax yx yxxmn4展开定理。定义在区间 上并满足固有值问题的边界条件的任意个具有一阶连续导数f(x)和二阶逐段连续导数的函数可按固有函数系 展成绝对且一致收敛的级数 , a b( )nyx1( )(

42、)nnnf xf yx其中 2( ) ( )( )d( )( )dbnanbnax f x yxxfx yxx称为展开式的系数或广义Fourier系数。 4.1 一维波动方程的一维波动方程的d Alembert公式公式4.2 半无界弦振动问题半无界弦振动问题4.3 高维波动方程高维波动方程Cauchy问题问题4.4 非齐次波动方程解法非齐次波动方程解法 第四章第四章 行波法行波法4.1 4.1 一维波动方程的一维波动方程的d d AlembertAlembert公式公式定义定义1 由过点 的两条斜率分别为 的直线在x轴所截得的区间 称为点的依赖区间。定义定义2 区间 的决定区域是指过 点作斜率

43、为 的直线 ，过点 作斜率为 的直线，它们和区间 一起构成的三角形区域。( , )x t1a, xat xat12 , xx1x1a1xxat2x1a2xxat12 , xx t (x, t) x 0 xat x+at x=x2at x=x1+at t x=x2at x=x1+at 0 x1 x2 x t x=x1at x=x2+at 0 x1 x2 x (a) (b) (c) 4.2 4.2 半无界弦振动问题半无界弦振动问题一、端点固定端点固定的半无界弦振动定解问题是20, 0( , 0)( ), ( , 0)( ), 0(0, )0ttxxtua uxu xxu xxxut 为了把半无界问

44、题作为保持 的无界问题来处理，必须把 、 和 延拓到整个无界区域。 (0, )0ut ( , )u x t( )x( )x二、端点自由定解问题是20, 0( , 0)( ), ( , 0)( ), 0(0, )0ttxxtxua uxu xxu xxxut 同理，将dAlembert解代入，得11(0, )022xutatatatata又由于初始位移和初始速度独立，得, atatatat 可见， 及 均应为正常化的偶函数。 x x4.3 4.3 高维波动方程高维波动方程CauchyCauchy问题问题一、三维波动方程 的球对称解2ttuau将波函数u用空间球坐标（ ）表示。球对称就是指u与 都

45、无关。在球坐标系中，波动方程变为, , r , 22222222221111sinsinsinuuuurrrrrrat22222()1rururat二、三维波动方程Cauchy问题平均值法平均值法可以将三维无界空间的自由振动转化成球对称情形，把一维的dAlembert公式推广到三维。设在以 为中心、r为半径的球面 上的平均值为 。则( , , , )u x y z t( , , )M x y zMrS( , )u r t211( , )(, )d(, )d44MMrrSSu r tu MtSu Mtr三、二维波动方程Cauchy问题的降维法二维波动方程Cauchy问题是2, , , 0, ,

46、0, , , , 0, ttxxyytuauux ytu x yx yux yx y （）21(, )dd4MMatatSSu M tSSattt dS M at y 0 x z d 四、波动方程Cauchy问题一维、二维、三维的比较考查二维和三维波动方程Cauchy问题200, , , 0( , ), ( , )tttttuaux ytux yux y 200, , , , 0( , , ), ( , , )tttttuaux y ztux y zux y z 1 是一个任意函数。令则 是函数 在区间 上的算术平均值，积分的大小依赖于区间的中点x和区间的半径长。2函数 ，总满足方程 。3如果

47、要求 还满足初始条件 ，则只需将被积函数 换成 。如果 还要求满足初始条件 ，只需将 换成 。两者都换了以后， 就成为波动方程一维初值问题的解。( ) x1( , )( )d2x atx atV x tat ( , )V x t( ) , xat xat12( , )( , ), tV x tutV x tut2ttxxua u1u0( )ttux( )x( ) x2u0( )tux( )x( )x12uu五、Poisson公式的物理意义4.4 4.4 非齐次波动方程解法非齐次波动方程解法为了求解无界空间中非齐次波动方程定解问题200( , , , ) , , ( , , ), ( , , )

48、tttttuauf x y z tx y zux y zux y z ，将定解问题化为200 , , ( , , ), ( , , )tttttuaux y zux y zux y z ，200( , , , ) , , 0, 0tttttuauf x y z tx y zuu ，5.1 Fourier变换变换5.2 Fourier变换的应用变换的应用5.3 Laplace变换变换5.4 Laplace变换的应用变换的应用5.5 其他的积分变换其他的积分变换 第五章第五章 积分变换积分变换5.1 Fourier5.1 Fourier变换变换一、Fourier变换的定义定理定理1 若 ,且在一个

49、周期内只有有限个第一类间断点与极值点，则其中 ( )(2 )f xf xL01( ), cossin(0)(0)2, 2nnnf xxan xn xabf xf xLLx为连续点为不连续点1( )cosd1( )sindLnLLnLn xaf xxLLn xbf xxLL0, 1, 2, n 定义定义1 称为f(x)的Fourier变换，f(x)称为 的Fourier逆变换。( )f( )fFourier变换有多种形式。这些形式的差异主要体现在积分号前的系数以及被积函数中指数函数的指数符号。本书采用工程应用中典型的定义形式，这样的Fourier变换许多性质也可以从物理上得到解释。 二、正（余）

50、弦变换的定义定义定义2 Fourier余弦变换是指定义定义3 Fourier逆余弦变换是指0( )( )cosdcff xx x02( )cosdcf xfx( )定义定义4 Fourier正弦变换是指定义定义5 Fourier逆正弦变换是指0( )( )sindsff xx x02( )( )sindsf xfx三、Fourier变换的基本性质性质性质1 Fourier变换是一个线性变换：对于任意常数 、与任意函数 、 有1( )f x2( )fx1212F( )( )F( )F( )f xfxf xfx定义定义6 设 都满足Fourier变换的条件，则称为 的卷积。记为12( ), ( )

51、f xfx 12dfxf12( ), ( )f xfx1212( )( )()( )df xfxf xf性质性质2 的卷积的Fourier变换等于 的Fourier变换的乘积： 12( ), ( )f xfx12( ), ( )f xfx1212F( )( )F( )F( )f xfxf xfx11212( )( )F ( )( )f xfxff性质性质3 乘积的Fourier变换等于它们各自的Fourier变换的卷积再乘以系数 ，即 12( ), ( )f xfx1212121F( )( )( )( )2f x fxff性质性质4 F( )j( )fxf( )F( )(j ) ( )kkfx

52、F f x性质性质5 ( )F j( )fxf x性质性质6 设为任意常数，则设为任意常数，则 0 x0j0F ()eF ( )xf xxf x性质性质7 设 为任意常数，则 00j0Fe( )()xf xf性质性质8 1F( )d F ( )jxf ttf x性质性质9 1F ()()f atfaa性质性质10 F ( )( )f xgF ( )2 ()g xf性质性质11 +221( )d( ) d2xxff性质性质12 jj0F ( )ede1xxxxxx（ ）四、n维Fourier变换1 12 21212j()1212F(, , , )F ( , , , ) ( , , , )ed d

53、dn nnnxxxnnf xxxf xxxx xx12(, , , )nf xxx1 12 2j()12121F(, , , )eddd(2)n nxxxnnn n维Fourier变换具有的性质 1212FFFffff1212FFFffff121221FF F(2)f fffFjF , 1, 2, , kkffknxF F j, 1, 2, , kkfx fkn五、Fourier变换在常微分方程中的应用例3 求解 0yxy111F()( j)F()jjjxyFxyyiyyy2F()(j ) yy 221/2/2j1( )Feed2xRccy x5.2 Fourier5.2 Fourier变换的

54、应用变换的应用Fourier变换法求解步骤为：（1）对定解问题作Fourier变换；（2）求解像函数；（3）对像函数作Fourier逆变换。jF ( , )( , )ed( , )xu x tu x tx ut22jj2222dd( , )F( , )( , )ed( , )edddF( , )(j )( , )( , )xxttttxxutux tux txu x txttux tutut 5.3 Laplace5.3 Laplace变换变换一、Laplace变换的定义定义定义1 积分变换 称为 的Laplace变换，记作 称为 Laplace逆变换，记作0( )( )edsxf sf xx

55、( )f xL ( )( )f xf sjj1( )( )e d2jsxf xf ss ( )f s1L ( )( )f sf x二、Laplace变换的存在定理定理定理1 若f(x)函数满足下述条件：（1）当x0上的解为000222 3/2000( , )1()d d(, ) ()d2()()Vzx yu Mx yG MMf MVxxyyz 推论推论2 Laplace方程Dirichlet问题00()zuuM 在半空间z0上的解为00222 3/2000( , )1()d d2()()zx yu Mx yxxyyz 二、圆和半平面上的Green函数定理定理3 平面Poisson方程Diric

56、hlet问题222( , ), ( , )( , )xyRuf x yx yDux y 的解为222012200220001()()d22cos111 lnln( , )d2xyRMMMMDRru MMSRRRrrRf x yrr r推论推论3 平面Laplace方程Dirichlet问题2220, ( , )( , )xyRux yDux y 的解为222220022001()()d22cosxyRRru MMSRRRrr定理定理4 上半平面Poisson方程Dirichlet问题0( , )( )xxyyyuuf x yux的解的表达式为01221111( , )( )dlnln( , )

57、d()2MMMMDyu x ysSf x ysxyrr推论推论4 上半平面Laplace方程Dirichlet问题00( )xxyyyuuux的解的表达式为221( , )( )d()yu x ysssxy三、第一象限上的Green函数平面第一象限上的Green函数相当于求解定解问题000(), 0, 00, 0 xyGMMxyGG 10 8 6 4 2 0 2 4 6 8 10 10 8 6 4 2 0 2 4 6 8 10 M3 M2 M0 M1 6.6 Laplace6.6 Laplace方程与热传导方程的基本解方程与热传导方程的基本解一、Lu=0型方程的基本解定义定义1 方程 的解称为

58、方程 的Green函数，又称为基本解。放置于坐标原点的电量为的点电荷的场的势函数满足Poisson方程：L()uM L()uf M ( , , )( , , )u x y zx y z 定义定义2 方程 的解称为Poisson方程 的基本解。定理定理1 若U是一个基本解，u是相应齐次方程 的任一解，则 仍是基本解，而且方程的全体基本解都可以表示成这种形式。定理定理2 若 是连续函数， 满足方程 ，则卷积( , , )( , , )u x y zx y z ()uf M L0u UuL()uf M ()f M()U ML()uM 3000() ()dRUfU MMf MM二、Poisson方程的

59、基本解定理定理3 空间Poisson方程的特解为0L()/uM 30000()1()d4(, )RMu MMr M M其中， 2220(, )()()()r M Mxyz三、热传导方程Cauchy问题的基本解定理4 设 是连续函数，且存在，则定解问题(), (, )Mf Mt(, )(), (, )(, )U M tMU M tf M tL( , , , )( , , , 0)( , , )uuf x y z ttu x y zx y z的解为3300( , , , )(, )()(, )(, )d (, , , ), , d d d d(, , , ) ( , , , )d d dtRtRu

60、 x y z tU M tMU M tf MU xyztU xyztf 定理定理5（ 1）一维热传导方程Cauchy问题的基本解为（2）二维热传导方程Cauchy问题的基本解为（3）三维热传导方程Cauchy问题的基本解为221( , )exp42xU x ta tat22221( , , )exp42xyU x y ta tat322221( , , , )exp42xyzU x y z ta tat四、热传导方程边值问题的基本解定义定义3 定解问题 L , 0, 0(0, )( , )0( , 0)( )tuu txlutu l tu xx的解 称为( , )U x tL( , ), 0,