概率论与数理统计7-3

1、数理统计数理统计 第三节第三节 区间估计区间估计置信区间定义置信区间定义置信区间的求法置信区间的求法单侧置信区间单侧置信区间小结小结 布置作业布置作业数理统计数理统计 引言引言 前面，我们讨论了参数点估计前面，我们讨论了参数点估计. 它是用样本算它是用样本算得的一个值去估计未知参数得的一个值去估计未知参数. 但是，点估计值仅仅但是，点估计值仅仅是未知参数的一个近似值，它没有反映出这个近似是未知参数的一个近似值，它没有反映出这个近似值的误差范围，使用起来把握不大值的误差范围，使用起来把握不大. 区间估计正好区间估计正好弥补了点估计的这个缺陷弥补了点估计的这个缺陷 .数理统计数理统计 譬如，在估计

2、湖中鱼数的问题中，若我们譬如，在估计湖中鱼数的问题中，若我们根据一个实际样本，得到鱼数根据一个实际样本，得到鱼数 N 的极大似然估的极大似然估计为计为1000条条. 若我们能给出一个区间，在此区间内我们若我们能给出一个区间，在此区间内我们合理地相信合理地相信 N 的真值位于其中的真值位于其中. 这样对鱼数的这样对鱼数的估计就有把握多了估计就有把握多了. 实际上，实际上，N的真值可能大于的真值可能大于1000条，也可条，也可能小于能小于1000条条.数理统计数理统计 也就是说，我们希望确定一个区间，使我们能也就是说，我们希望确定一个区间，使我们能以比较高的以比较高的可靠程度可靠程度相信它包含真参

3、数值相信它包含真参数值.湖中鱼数的真值湖中鱼数的真值 这里所说的这里所说的“可靠程度可靠程度”是用概率来度量的是用概率来度量的 ，称为称为置信度置信度或或置信水平置信水平. 习惯上把置信水平记作习惯上把置信水平记作 1 ，这里，这里 是一个是一个 很小的正数很小的正数.数理统计数理统计 置信水平的大小是根据实际需要选定的置信水平的大小是根据实际需要选定的.置信区间置信区间. 称区间称区间 为为 的的 1置信水平为置信水平为 的的( , ) 例如，通常可取置信水平例如，通常可取置信水平 =0.95或或0.9等等. 1根据一个实际样本，由给定的置信水平，我根据一个实际样本，由给定的置信水平，我小的

4、区间小的区间 ，使，使们求出一个尽可能们求出一个尽可能( , ) 1P 数理统计数理统计 一、一、 置信区间定义置信区间定义 满足满足设设 是是 一个待估参数，给定一个待估参数，给定, 0 X1,X2,Xn确定的两个统计量确定的两个统计量则称区间则称区间 是是 的置信水平（置信度的置信水平（置信度 )为为 的的置信区间置信区间. 1和和 分别称为分别称为置信下限置信下限和和置信上限置信上限. 若由样本若由样本1P 12(,)n XXX 12(,)n XXX () ( , ) 数理统计数理统计 这里有两个要求这里有两个要求:可见，可见， 对参数对参数 作区间估计，就是要设法找出两个作区间估计，就

5、是要设法找出两个只依赖于样本的界限只依赖于样本的界限(构造统计量构造统计量). 一旦有了样本，就把一旦有了样本，就把 估计在区间估计在区间 内内 . 12(,)n XXX 12(,)n XXX () ( , ) 数理统计数理统计 可靠度与精度是一对矛盾，一般是可靠度与精度是一对矛盾，一般是在保证可靠度的条件下尽可能提高在保证可靠度的条件下尽可能提高精度精度.1. 要求要求 以很大的可能被包含在区间以很大的可能被包含在区间 内，就是说，概率内，就是说，概率 要尽可能大要尽可能大 .即要求估计尽量可靠即要求估计尽量可靠. ( , ) P 2. 估计的精度要尽可能的高估计的精度要尽可能的高. 如要求

6、区间长度如要求区间长度 尽可能短，或能体现该要求的其它准则尽可能短，或能体现该要求的其它准则. 数理统计数理统计 在求置信区间时，要查表求分位点在求置信区间时，要查表求分位点.二、置信区间的求法二、置信区间的求法()1P aXb()()1P XbP Xa ()1,2P Xb()2P Xa 设设 , 对随机变量对随机变量X，称满足，称满足的点的点 为为X的概率分布的上的概率分布的上 分位点分位点. x01()P Xx定义定义()1P Xx数理统计数理统计 ()1P aXb()()1P XbP Xa若若 X 为连续型随机变量为连续型随机变量 , 则有则有12,ax 2.bx ()1,3P Xb2(

7、)3P Xa所求所求置信区间为置信区间为122(,)xx 所求所求置信区间为置信区间为1 23,ax 3.bx 1 233(,)xx 数理统计数理统计 标准正态分布的标准正态分布的上上 分位点分位点u()P Uu2( ,)UN 数理统计数理统计 分布的上分布的上 分位数分位数 )(2n 2 自由度为自由度为n的的22( )P n22( )n 数理统计数理统计 F分布的上分布的上 分分位数位数 ),(21nnF 自由度为自由度为n1,n2的的12(,)FF n n 12(,)P FF n n数理统计数理统计 N(0, 1)选选 的点估计为的点估计为 , ,X求参数求参数 的置信度为的置信度为 的

8、置信区间的置信区间. 例例1 设设X1,Xn是取自是取自 的样本，的样本， ,2已知 ),(2 N 1nXU 取明确问题明确问题,是求什么是求什么参数的置信区间参数的置信区间?置信水平是多少？置信水平是多少？寻找未知参寻找未知参数的一个良数的一个良好估计好估计.解解 寻找一个待估参数和寻找一个待估参数和统计量的函数统计量的函数 ，要求，要求其分布为已知其分布为已知.有了分布，就可以求出有了分布，就可以求出U取值于任意区间的概率取值于任意区间的概率.数理统计数理统计 ,1 对给定的置信水平对给定的置信水平查正态分布表得查正态分布表得,2 u对于给定的置信水平对于给定的置信水平, 根据根据U的分布

9、，确定一的分布，确定一个区间个区间, 使得使得U取值于该区间的概率为置信水平取值于该区间的概率为置信水平. 1|2unXP使使为什么为什么这样取这样取？数理统计数理统计 122unXunXP从中解得从中解得,1 对给定的置信水平对给定的置信水平查正态分布表得查正态分布表得,2 u 1|2unXP使使数理统计数理统计 ,22 unXunX也可简记为也可简记为2()Xun 122unXunXP于是所求于是所求 的的 置信区间为置信区间为 数理统计数理统计 从例从例1解题的过程，我们归纳出求置信区间解题的过程，我们归纳出求置信区间的一般步骤如下的一般步骤如下:1. 明确问题明确问题, 是求什么参数的

10、置信区间是求什么参数的置信区间? 置信水平置信水平 是多少是多少? 12. 寻找参数寻找参数 的一个良好的点估计的一个良好的点估计T(X1,X2,Xn) 3. 寻找一个待估参数寻找一个待估参数 和估计量和估计量 T 的函数的函数 U(T, ),且其分布为已知且其分布为已知. 数理统计数理统计 4. 对于给定的置信水平对于给定的置信水平 ，根据，根据U(T, )的分布，确定常数的分布，确定常数a, b，使得，使得 1 1 P(a U(T, )b) = 5. 对对“aS(T, )b”作等价变形作等价变形,得到如下形式得到如下形式: 1P 即即 1 于是于是 就是就是 的的100( )的置信区间的置

11、信区间. ( , ) 数理统计数理统计 可见，确定区间估计很关键的是要寻找一个可见，确定区间估计很关键的是要寻找一个待估参数待估参数 和估计量和估计量T 的函数的函数U(T, ), 且且U(T, )的分布为已知的分布为已知, 不依赖于任何未知参数不依赖于任何未知参数 . 而这与总体分布有关，所以，而这与总体分布有关，所以，总体分布的形式是总体分布的形式是否已知，是怎样的类型，至关重要否已知，是怎样的类型，至关重要.数理统计数理统计 休息片刻继续休息片刻继续数理统计数理统计 需要指出的是需要指出的是，给定样本，给定置信水平，给定样本，给定置信水平 ，置信区间也置信区间也不是唯一不是唯一的的. .

12、对同一个参数，我们可以构造许多置信区间对同一个参数，我们可以构造许多置信区间. .,2已知 例如，设例如，设 X1 , , Xn 是取自是取自 的样本的样本 ， ),(2 N求参数求参数 的置信水平为的置信水平为 的置的置 1N(0, 1)nXU 0.95 信区间信区间. 由标准正态分布表，对任意由标准正态分布表，对任意a、b，我们可以求得我们可以求得 P( aUb) .数理统计数理统计 N(0, 1)nXU 例如，由例如，由P(-1.96U1.96)=0.95)(ufu96. 196. 195. 096. 1,96. 1nXnX 我们得到我们得到均值均值 的置信水平为的置信水平为 1的的置信

13、区间为置信区间为0.95 数理统计数理统计 由由 P(-1.75U2.33)=0.95这个区间比前面一个要长一些这个区间比前面一个要长一些. .33. 2,75. 1nXnX )(ufu33. 275. 1置信区间为置信区间为我们得到我们得到均值均值 的置信水平为的置信水平为 1的的0.95 数理统计数理统计 我们总是希望置信区间尽可能短我们总是希望置信区间尽可能短. . 类似地，我们可得到若干个不同的置信区间类似地，我们可得到若干个不同的置信区间. . 任意两个数任意两个数a和和b，只要它们的纵标包含，只要它们的纵标包含f(u)下下95%的面积，就确定一个的面积，就确定一个95%的置信区间的

14、置信区间. .0buuu)(ufaaabb950.950.950.数理统计数理统计 在概率密度为单峰且对称的情形，当在概率密度为单峰且对称的情形，当a =-b时求得的时求得的置信区间的长度为最短置信区间的长度为最短. .0buuu)(ufaaabb950.950.950.a =-b数理统计数理统计 即使在概率密度不对称的情形，如即使在概率密度不对称的情形，如 分布分布，F分布分布，习惯上仍取对称的分位点来计算未知参数，习惯上仍取对称的分位点来计算未知参数的置信区间的置信区间. .2 我们可以得到未知参数的的任何我们可以得到未知参数的的任何置信水平小置信水平小于于 1 的的置信区间，并且置信区间

15、，并且置信水平越高，相应的置信水平越高，相应的置置信区间信区间平均长度平均长度越长越长. .)(22n)(221n)(xfx)(2nX 数理统计数理统计 也就是说，要想得到的区间估计可靠度高，也就是说，要想得到的区间估计可靠度高，区间长度就长，估计的精度就差区间长度就长，估计的精度就差. .这是一对矛盾这是一对矛盾. . 实用中应在保证足够可靠的前提下，尽量使实用中应在保证足够可靠的前提下，尽量使得区间的长度短一些得区间的长度短一些 .数理统计数理统计 三、单侧置信区间三、单侧置信区间 上述置信区间中置信限都是双侧的，但对于上述置信区间中置信限都是双侧的，但对于有些实际问题，人们关心的只是参数

16、在一个方向有些实际问题，人们关心的只是参数在一个方向的界限的界限. 例如对于设备、元件的使用寿命来说，平均寿命例如对于设备、元件的使用寿命来说，平均寿命过长没什么问题，过短就有问题了过长没什么问题，过短就有问题了. 这时这时, 可将置信上限取为可将置信上限取为+ ，而，而只着眼于置信下限只着眼于置信下限 ，这样求得的，这样求得的置信区间叫置信区间叫单侧置信区间单侧置信区间.数理统计数理统计 于是引入单侧置信区间和置信限的定义：于是引入单侧置信区间和置信限的定义： 满足满足设设 是是 一个待估参数，给定一个待估参数，给定, 0 若由样本若由样本X1,X2,Xn确定的统计量确定的统计量则称区间则称

17、区间 是是 的置信水平为的置信水平为 的单侧置的单侧置信区间信区间. 1定义定义12(,)n XXX 1P ,) 称为称为 的置信水平为的置信水平为 的单侧置信的单侧置信下限下限. 1 对于任意对于任意 ,数理统计数理统计 满足满足若由样本若由样本X1,X2,Xn确定的统计量确定的统计量则称区间则称区间 是是 的置信水平为的置信水平为 的单侧置的单侧置信区间信区间. 112(,)n XXX 1P (, 称为称为 的置信水平为的置信水平为 的单侧置信的单侧置信上限上限. 1 对于任意对于任意 ,数理统计数理统计 设灯泡寿命服从正态分布设灯泡寿命服从正态分布. 求灯泡寿命均值求灯泡寿命均值 的的置

18、信水平为置信水平为0.95的单侧置信下限的单侧置信下限. 例例2 从一批灯泡中随机抽取从一批灯泡中随机抽取5只作寿命试只作寿命试验，测得寿命验，测得寿命X（单位：小时）如下：（单位：小时）如下：1050，1100，1120，1250，1280 ) 1(ntnSX 方差方差 未知未知2 解解 的点估计取为样本均值的点估计取为样本均值 , X数理统计数理统计 对给定的置信水平对给定的置信水平 ，确定分位点，确定分位点) 1( nt 1 1)1(ntnSXP使使即即 1) 1(nSntXP于是得到于是得到 的置信水平为的置信水平为 的单侧置信区间的单侧置信区间为为 1,) 1(nSntX 数理统计数理统计 将样本值代入得将样本值代入得 的置信水平为的置信水平为0.95的单侧置信下限是的单侧置信下限是1065小时小时 的置信水平为的置信水平为 的的单侧置信下限单侧置信下限为为 1即即nSntX) 1( 数理统计数理统计 请自己画一张表，将各种情况下的区间请自己画一张表，将各种情况下的区间估计加以总结估计加以总结.留作作业留作作业数理统计数理统计 随机地取炮弹随机地取炮弹 10 发做试验，得炮口速度的发做试验，得炮口速度的标准差标准差 ,