空间解析几何-第4章二次曲面一般理论

1、 一、平面二次曲线4.8.1 二次曲线方程的化简与分类 00; ,; ,; ,(,),; ,; ,O i jO ijoooO i jxyiijjO ijO i jo 标架的原点不同中的坐标为但两标架的坐标基向量相同，即有那么标架可以看成是由标架将原点平移到 点而得来的这种坐标变换叫做移轴（坐标平移）和与，在1.1.移轴移轴00 xxxyyy OOyyxxxPy(),00ijij; ,; ,( ,)(,)PO i jOijx yxy 设是 平 面 内 任 意 一 点 ， 它 对 标 架的 坐 标 分 别 为则 有和与，2 2转轴转轴 ; ,; ,() ; ,; ,; ,O i jO ijOOii

2、O i jOO i jO ij 若两个标架的原点相同，即但坐标基向量不同，且有则标架可以看成是由标架绕 点旋转角 而得来的,这种由标架到标架的坐标变换叫做转轴（坐标旋转）和，xyxyOij ijPcossinsincosxxyyxy ( 为坐标轴的旋转角 )3.3.平面直角一般坐标变换平面直角一般坐标变换为转轴公式，其中为转轴公式，其中为坐标轴的旋转角为坐标轴的旋转角. .00cossinsincosxxyxyxyy0000cossin(cossin)sincos(sincos)xxyxyyxyxy 或4.4.二次曲线方程的化简和分类二次曲线方程的化简和分类 定理定理5.6.1 5.6.1 适

3、当选取坐标系，二次曲线的方程适当选取坐标系，二次曲线的方程 总可以化成下列三个简化方程中的一个：总可以化成下列三个简化方程中的一个：2211223311222221322132223322()0,0;()20,0;()0,0.Ia xa yaa aII a ya xa aIII a yaa 定理定理5.6.2 5.6.2 通过适当选取坐标系，二次曲线通过适当选取坐标系，二次曲线的方程总可以写成下面九种标准方程的一种形式：的方程总可以写成下面九种标准方程的一种形式：222211 ()xyab椭 圆222221 ()xyab 虚 椭 圆222231 ()xyab双 曲 线222240()xyab点

4、或相交于实点的共轭虚直线222250()xyab两相交直线262()ypx抛 物 线227()ya两 平 行 直 线228()ya 两平行共轭虚直线290 ()y两 重 合 直 线例1 已知两垂直的直线 与 ，取 为 轴， 为 轴，求坐标变换公式。1:230lxy2:230lxy1l2lO xO y例3 化简二次曲线方程并画出它的图形225422412180 xxyyxy例2 化简二次曲线方程 ，并画出它的图形 22441210 xxyyxy 4.8.2 二次曲线与直线的相关位置221112221323332220axaxyayaxaya111213,aaa二次曲线的概念二次曲线的概念2211

5、1222132333( , )222F x ya xa xy a ya xa y a1111213( , )F x ya xa ya2122223( , )F x ya x a y a3132333( , )F x ya xa ya22111222( , )2x ya xa xy a y111213122223132333aaaAaaaaaa1112*1222aaAaa二次曲线的有关记号二次曲线的有关记号11122Iaa111221222aaIaa1112133122223132333aaaIaaaaaa11132223113332333aaaaKaaaa 222211xyab 222 267

6、40 xxyyxy22111222132333( , )222F x ya xa xya ya xa ya00 xxXtyyYt（1）（2）二次曲线与直线的相关位置二次曲线与直线的相关位置22211122211 012 01312 022 0232211 012 0 022 013 023 033(2)2 ()()(222)0(3)a Xa XY a Y ta xa yaXa xa ya Y ta xa x ya ya xa ya210020000(, )2(,)(,)(,)0(4)X YtF xyXF xyY tF xy(,)0X Y若，（4）是关于t的二次方程。210020000(,)(,

7、)(, )(,)F xyXF xyYX YF xy 1210.(4)(2)(2)(1).tt方程有两个不等的实根 与 ，代入得直线与二次曲线 的两个不同的实交点1220.(4)(2)(1).tt 方程有两个相等的实根 与 ，直线与二次曲线有两个相互重合的实交点30.(4)(2). 方程有两个共轭的虚根，直线与二次曲线交于两个共轭的虚点2.(, )0X Y ，这时又可分三种情况：1002001(,)(,)0.(4),(2)(1).F xyXFxyYt此时是关于的一次方程 直线与二次曲线有唯一实交点100200002(,)(,)0.(,)0. (4),(2)(1).F xyXFxyYF xy而是矛

8、盾方程 直线与二次曲线无交点100200003(,)(,)(,)0.(4),(2)(1).F xyXFxyYF xy此时是恒等式 直线全部在二次曲线上4.8.3 二次曲线的渐近方向、中心、渐近线1.1.二次曲线的渐近方向二次曲线的渐近方向 定义定义5.2.15.2.1满足条件满足条件( (X X, ,Y Y)=0)=0的方向的方向X X: :Y Y叫做二次曲线的叫做二次曲线的渐近方向渐近方向(asymptotic (asymptotic direction)direction)，否则叫做，否则叫做非渐近方向非渐近方向(nonasymptotic direction).(nonasymptoti

9、c direction). 定义定义5.2.25.2.2没有实渐近方向的二次曲线叫做椭圆型曲线没有实渐近方向的二次曲线叫做椭圆型曲线(elliptic quadratic curve)(elliptic quadratic curve)，有一个实渐近方向的二次曲线叫做抛物型曲线有一个实渐近方向的二次曲线叫做抛物型曲线(parabolic quadratic curve)(parabolic quadratic curve)，有两个实渐近方向的二次曲线叫做双曲型曲线有两个实渐近方向的二次曲线叫做双曲型曲线(hyperbolic quadratic curve).(hyperbolic quadr

10、atic curve).椭圆型曲线：椭圆型曲线：抛物型曲线抛物型曲线:双曲型曲线：双曲型曲线：111222122111222122111222122000aaIaaaaIaaaaIaa2. 2. 二次曲线的中心与渐近线二次曲线的中心与渐近线 定义定义5.2.3 5.2.3 如果点如果点C C是二次曲线的通过它的所是二次曲线的通过它的所有弦的中点有弦的中点(C(C是二次曲线的对称中心是二次曲线的对称中心) )，那么点，那么点C C叫做二次曲线的中心叫做二次曲线的中心(central point).(central point). 定理定理5.2.1 5.2.1 点点C(C(x x0 0 ,y ,

11、y0 0) )是二次曲线是二次曲线(1)(1)的中心，的中心，其充要条件是其充要条件是：1001101201320012022023(,)0(,)0F xya xa yaF xya xa ya 推论推论 坐标原点是二次曲线的中心，其充要条坐标原点是二次曲线的中心，其充要条件是曲线方程里不含件是曲线方程里不含x x与与y y的一次项的一次项. .二次曲线二次曲线(1)(1)的的中心坐标由下方程组决定：的的中心坐标由下方程组决定：11112132122223( , )0(*)( , )0F x ya xa yaF x ya xa ya 如果如果I I2 200，则，则( (* *) )有唯一解，即

12、为唯一中心坐标有唯一解，即为唯一中心坐标如果如果I I2 20 0，分两种情况：，分两种情况：131112122223(*).aaaaaa当时， 无解，没有中心131112122223(*).aaaaaa当时， 无数多解，直线上所有点都是二次曲线的中心，这条直线叫中心直线 定义定义5.2.4 5.2.4 有唯一中心的二次曲线叫有唯一中心的二次曲线叫中心二次曲线中心二次曲线(central(central conicconic) )，没有中心的二次曲线叫没有中心的二次曲线叫无心二次曲线无心二次曲线(noncentral(noncentral conic)conic)，有一条中心直线的二次曲线叫有

13、一条中心直线的二次曲线叫线心二次曲线线心二次曲线(line central conic)(line central conic)，无心二次曲线和线心二次曲线统称为无心二次曲线和线心二次曲线统称为非中心二次曲线非中心二次曲线(non-central conic)(non-central conic). . 定义定义5.2.55.2.5 通过二次曲线的中心，而且以渐近方向为方向的通过二次曲线的中心，而且以渐近方向为方向的直线叫做二次曲线的渐近线直线叫做二次曲线的渐近线(asymptotic line).(asymptotic line). 定理定理5.2.2 5.2.2 二次曲线的渐近线与这二次曲

14、线或者没有交点，或二次曲线的渐近线与这二次曲线或者没有交点，或者整条直线在这二次曲线上成为二次曲线的组成部分者整条直线在这二次曲线上成为二次曲线的组成部分. .4.8.4 二次曲线的切线 定义定义5.3.1 5.3.1 如果直线与二次曲线相交于相互重如果直线与二次曲线相交于相互重合的两个点，那么这条直线就叫做二次曲线的合的两个点，那么这条直线就叫做二次曲线的切线切线(tangent)(tangent)，这个重合的交点叫做，这个重合的交点叫做切点切点(tangent (tangent point)point)，如果直线全部在二次曲线上，我们也称它，如果直线全部在二次曲线上，我们也称它为二次曲线的

15、为二次曲线的切线切线，直线上的每个点都可以看作切，直线上的每个点都可以看作切点点. . 定义定义5.3.2 5.3.2 二次曲线二次曲线(1)(1)上满足条件上满足条件F F1 1( (x x0 0, ,y y0 0)=)=F F2 2( (x x0 0, ,y y0 0)=0)=0的点的点( (x x0 0, ,y y0 0) )叫做二次曲线的叫做二次曲线的奇异点奇异点(singular point)(singular point)，简称奇点；二次曲线的非奇异，简称奇点；二次曲线的非奇异点叫做二次曲线的点叫做二次曲线的正常点正常点(proper point).(proper point).

16、定理定理5.3.1 5.3.1 如果如果( (x x0 0, ,y y0 0) )是二次曲线是二次曲线(1)(1)的正常点，的正常点，那么通过那么通过( (x x0 0, ,y y0 0) )的切线方程是的切线方程是 ( (x x- -x x0 0) )F F1 1 ( (x x0 0, ,y y0 0)+ ()+ (y y- -y y0 0) )F F2 2 ( (x x0 0, ,y y0 0)=0)=0， ( (x x0 0, ,y y0 0) )是它的切是它的切点点. . 如果如果( (x x0 0, ,y y0 0) )是二次曲线是二次曲线(1)(1)的奇异点，那么通过的奇异点，那么

17、通过( (x x0 0, ,y y0 0) )的切线不确定，或者说过点的切线不确定，或者说过点( (x x0 0, ,y y0 0) )的每一条直线的每一条直线都是二次曲线都是二次曲线(1)(1)的切线的切线. . 推论推论 如果如果( (x x0 0, ,y y0 0) )是二次曲线是二次曲线(1)(1)的正常点，的正常点，那么通过那么通过( (x x0 0, ,y y0 0) )的切线方程是：的切线方程是：110120022013023033()()()0a x xax yxya y yaxxayya证明：设M0 (x0，y0) 是二次曲线（1)上的任一点，则过M0的直线l的方程总可以写成

18、下面的形式：00 xxX tyyY t当 ( X, Y ) 0时，必须使判别式210020000(,)(,)(, ) (,)0XF xyYF xyX Y F xy100200(,)(,)0X FxyYFxy 在二次曲线上， ，上式变为000(,)Mxy00(,)0F x y)200100:( ,):( ,)X YF x yF x y因此过二次曲线上的点 的切线方程为02000100(,)(,)xxF xy tyyF xy t00200100(,)(,)xxyyF xyF xy01000200()(,)()(,)0 xxF xyyyF xy即：000( ,)M x y 例例1 1 求二次曲线求二

19、次曲线x x2 2- -xyxy+ +y y2 2+2+2x x-4-4y y-3=0-3=0在点在点(2,1)(2,1)的切线方程的切线方程 例例2 2 求二次曲线求二次曲线 通过点通过点(2,1)(2,1)的切线方程的切线方程2210 xxyy4.8.5 二次曲线的直径 一一. .二次曲线的直径二次曲线的直径 定理定理5.4.1 5.4.1 二次曲线的一族平行弦的中点轨二次曲线的一族平行弦的中点轨迹是一条直线迹是一条直线. .00 xxX tyyY t210020000(,)2(,)(,)(,)0X Y tXF xyYFxytF xy由条件可得：100200(,)(,)0XF xyYF x

20、y120tt证明： 设 是二次曲线的一个非渐近方向，即 而 是平行于方向 的弦的中点，过 的弦为(,)0 xy00(,)xy:XY:XY00(,)xy12( ,)( ,)0XF x yYFx y111212221323()()0a Xa Y xa Xa Y ya Xa Y（1）这说明平行于方向这说明平行于方向 的弦的中点的弦的中点 的坐标满的坐标满足方程足方程:XY00(,)xy反过来，如果点反过来，如果点 满足方程（满足方程（1），那么方程（），那么方程（2）将有绝对值相等而符号相反的两个根，点将有绝对值相等而符号相反的两个根，点 就是就是具有方向具有方向 的弦的中点，因此方程（的弦的中点，

21、因此方程（1）为一族平行）为一族平行于某一非渐近方向于某一非渐近方向 的弦的中点轨迹的方程的弦的中点轨迹的方程00(,)xy00(,)xy:XY:XY 推论推论 二次曲线的一族平行弦的斜率为二次曲线的一族平行弦的斜率为k k，那么共轭于这族平行弦直径方程为那么共轭于这族平行弦直径方程为 F F1 1( (x x, ,y y)+)+kFkF2 2( (x x, ,y y)=0)=0 定理定理5.4.2 5.4.2 中心二次曲线的直径通过曲线的中心，无心二次中心二次曲线的直径通过曲线的中心，无心二次曲线的直径平行于曲线的渐近方向，线心二次曲曲线的直径平行于曲线的渐近方向，线心二次曲线的直径只有一条

22、，即曲线的中心直线线的直径只有一条，即曲线的中心直线 定义定义5.4.1 5.4.1 二次曲线的平行弦中点轨迹叫做二次曲线的平行弦中点轨迹叫做这个二次曲线的这个二次曲线的直径直径(diameter)(diameter)，它所对应的平，它所对应的平行弦，叫做共轭于这条直径的行弦，叫做共轭于这条直径的共轭弦共轭弦(conjugate (conjugate chords)chords)；而直径也叫做共轭于平行弦方向的直；而直径也叫做共轭于平行弦方向的直径径. . （a）中心曲线，直径是中心直线束（b）无心曲线，直径是平行直线束（c）线心曲线，直径是一条直线例例1 1 求椭圆或双曲线求椭圆或双曲线22

23、221xyab的直径的直径解 2222( , )10 xyF x yab 12( , )xF x ya22( , )yF x yb所以共轭于非渐近方向XY的直径方程是 220XYxyab例例2 2 求抛物线求抛物线22ypx的直径的直径解 2( , )20F x ypxy共轭于非渐近方向XY的直径为XypY1( , )F x yp2( , )F x yy 0XpYy即：例例3 3 求二次曲线求二次曲线 的共轭于非渐近方向的共轭于非渐近方向X XY Y的直径的直径22( , )22230F x yxxyyxy 解： 直径方程为12( ,)1( ,)1Fx yxyFx yxy (1)(1)0)(1

24、)0X xyYxyXYxy即：（又因为X：Y1所以直径方程为：x-y+1=0二二. .共轭方向与共轭直径共轭方向与共轭直径 中心二次曲线的非渐近方向的共轭方向仍中心二次曲线的非渐近方向的共轭方向仍然是非渐近方向，而在非中心二次曲线的情形然是非渐近方向，而在非中心二次曲线的情形是渐近方向是渐近方向. . 1211121312222311121222132312221112( , )( , )0(y)()0()()0():()XF x yYF x yX a xaaY a xa yaa Xa Y xa Xa Y ya Xa Ya Xa YXYa Xa Y 即二次曲线的与非渐近方向二次曲线的与非渐近方

25、向XY共轭的直径方程总可以写成共轭的直径方程总可以写成（5.41）的形式，而（）的形式，而（5.41）的方向是）的方向是 :XY我们称这个方向为非渐近方向我们称这个方向为非渐近方向X XY Y的共轭方向的共轭方向22111222121222111222111222211 22121112222( , )() 2 ()()()()(2)( , )X Ya a X a Ya a X a Y a X aY a a X aYaaaa Xa X Y a YIXY 因此有因此有5.4.3 5.4.3 中心二次曲线的非渐近方向的共轭方向仍然是非渐中心二次曲线的非渐近方向的共轭方向仍然是非渐近方向，而非中心二

26、次曲线的非渐近方向的共轭方向是渐近近方向，而非中心二次曲线的非渐近方向的共轭方向是渐近方向方向12221112111222():():()0:a Xa YXYa Xa YXYa XXaXYXYa YYX YXYX YXYXYX Y由，得二次曲线的非渐近方向X:Y与它的共轭方向之间的关系是两个方向与是对称的。因此，对于中心二次曲线来说，非渐近方向的共轭方向为非渐近方向，而非渐近方向的共轭方向为。 定义定义5.4.2 5.4.2 中心曲线的一对具有相互共轭中心曲线的一对具有相互共轭方向的直径叫做一对共轭直径方向的直径叫做一对共轭直径(conjugate (conjugate diameters).

27、diameters).111222221211,()0()0YYKKXXa XXaXYX Ya YYa KKaKKa设代入得这是一对共轭直径的斜率满足的关系式。222222221110 xyKKabKKbabKKa 例如：椭圆的一对共轭直径的斜率与有关系即222222221110 xyKKabKKbabKKa 双曲线的一对共轭直径的斜率 与有关系-即kkxyOll xykkOll椭圆的一对共轭直径椭圆的一对共轭直径双曲线的一对共轭直径双曲线的一对共轭直径11122222111222()020a XXaXYX Ya YYXYXYa Xa XYa YXY 在中，如果设：那么有，显然，此时， ： 为

28、二次曲线的渐近方向，因此，如果对二次曲线的共轭方向作代数推广，那么渐近方向可以看成自共轭方向，从而渐近线也就可以看成与自己共轭的直径。4.8.6 二次曲线的主直径和主方向 我们也可以定义二次曲线的主方向为一对既正交、我们也可以定义二次曲线的主方向为一对既正交、又共轭的方向又共轭的方向. 显然，主直径是二次曲线的对称轴，因此主直径显然，主直径是二次曲线的对称轴，因此主直径也叫做二次曲线的轴，轴与曲线的交点叫做曲线的顶也叫做二次曲线的轴，轴与曲线的交点叫做曲线的顶点点 定义定义5.5.1 5.5.1 二次曲线的垂直于其共轭弦的直二次曲线的垂直于其共轭弦的直径叫做二次曲线的径叫做二次曲线的主直径主直

29、径(principal diameter)(principal diameter)，主直径的方向与垂直于主直径的方向都叫做二次主直径的方向与垂直于主直径的方向都叫做二次曲线的曲线的主方向主方向(principal direction)(principal direction). .现在我们来求二次曲线 F(x，y) (1)的主方向与主直径如果二次曲线（1）为中心曲线，那么与二次曲线（1）的非渐近方向XY共轭的直径为（5.41）或（5.42）设直径的方向为X Y ，则由于两方向共轭，有 X Y :022233231322212211ayaxayaxyaxa)(2212YaXa)(1211YaXa

30、:+0X YX YXXYYXYYX 又因为与相互垂直，即或1222111211121222:():():():()X Ya Xa Ya Xa YX Ya Xa Ya Xa Y 代入得1 11 21 22 2(* )aXaYXaXaYY111212220(1)aaaaX X：Y Y成为中心曲线主方向的条件是成为中心曲线主方向的条件是其中其中 满足方程满足方程即：即：21 120(2)II 定理定理5.5.1 二次曲线的特征根都是实数. 证证 因为特征方程的判别式，因为特征方程的判别式，222121122112212221122124()4()()40IIaaa aaaaa 所以二次曲线的特征根都

31、是实数所以二次曲线的特征根都是实数 。 定义定义5.5.2 5.5.2 方程方程(1)(1)或或(2)(2)叫做二次曲线叫做二次曲线 的的特征方程特征方程(characteristic direction)(characteristic direction)，特征方，特征方程的根叫做二次曲线的程的根叫做二次曲线的特征根特征根(characteristic (characteristic root)root)( , )0F x y 定理定理5.5.2 5.5.2 二次曲线的特征根不能全为零。二次曲线的特征根不能全为零。证明：如果二次曲线的特征根全部为零，证明：如果二次曲线的特征根全部为零，由（由

32、（2）得：）得：120II21 12 21 12 21 20,0aaaaa1 11 22 20aaa即即 与二次曲线的定义矛盾，所以二次曲线的特与二次曲线的定义矛盾，所以二次曲线的特征根不能全为零。征根不能全为零。定理定理5.5.3 5.5.3 由二次曲线（由二次曲线（1 1）的特征根）的特征根 确定的主方向确定的主方向X XY Y， 当当 0 0时，为二次曲线的时，为二次曲线的非渐近主方向非渐近主方向(nonasymptotic principal direction)(nonasymptotic principal direction)；当当 0 0时，为二次曲线的时，为二次曲线的渐近主方

33、向渐近主方向(asymptotic (asymptotic principal direction)principal direction)证明：221 11 22 21 11 21 22 2(,)2()()XYaXaX YaYaXaYXaXaYY2222(,)()X YXYXY所以由（*）得(, )0X Y因因X、Y不全为零，故当不全为零，故当 0时，时，XY为二次曲线（为二次曲线（1）的非渐近主方向；）的非渐近主方向；(,)0X Y当当 0时，时，XY为二次曲线为二次曲线 的渐近主方向的渐近主方向 ( , )0F x y 定理定理5.5.4 5.5.4 中心二次曲线至少有两条主直径，中心二

34、次曲线至少有两条主直径，非中心二次曲线只有一条主直径非中心二次曲线只有一条主直径. .把它代入（5.61）或（5.61） ，则得到两个恒等式，它被任何方向 XY 所满足，所以任何实方向都是圆的非渐近主方向，从而通过圆心的任何直线不仅都是直径，而且都是圆的主直径，于是圆有无数多条对称轴如果特征方程的判别式 22112212()4aaa0，那么特征根为两不等的非零实根1，2，将它们分别代入（5.61） ，得到相应的两个非渐近主方向X1: Y1a12: (1a11)(1a22) : a12(2)X2: Y2a12: (2a11)(2a22) : a12(3)这两个主方向是共轭的，现证明它们也是垂直的

35、所以这两个主方向也相互垂直，因此非圆的中心二次所以这两个主方向也相互垂直，因此非圆的中心二次曲线有且只有一对互相垂直又互相共轭的主直径。曲线有且只有一对互相垂直又互相共轭的主直径。例1 求 的主直径与主方向.22(,)10Fx yxxyy例2 求 的主直径与主方向.22(,)240Fx yxxyyx4.8.7 4.8.7 应用不变量化简二次曲线的方程应用不变量化简二次曲线的方程1 1不变量与半不变量不变量与半不变量22111222132333( , )2220(1)F x ya xa xya ya xa ya二次曲线在任意给定的直角坐标系中的方程为二次曲线在任意给定的直角坐标系中的方程为 00

36、cossinT:sincosxxyxyxyy33231322212211222),(ayaxayayxaxayxF上式左端变为上式左端变为：设在直角坐标变换设在直角坐标变换下定义定义5.7.15.7.1 111233111233( ,)T( ,)(,)(,.)(,.),F x yfF x yFxyf aaaf aaa由的系数组成的一个非常数函数 ，如果经过直角坐标变换，变为时，有那么这个函数f 叫做二次曲线（1）在直角坐标变换T 下的不变量(invariant)如果个函数f的值只是经过转轴变换不变，那么这个函数叫做二次曲线（1）在直角坐标变换下的半不变量(semi-invariant)1112

37、131112111222312222312221321132333,.,.aaaaaIaaIIaaaaaIIIKaaa5 7 1定理二次曲线（1）在直角坐标变换下，有三个不变量 ， ， ，与一个半不变量：11132223113332333aaaaKaaaa,定理定理5.9.2 5.9.2 当二次曲线（当二次曲线（1 1）为线心曲线时，）为线心曲线时，K K1 1是直角坐标变是直角坐标变换下的不变量换下的不变量其次，如果 F (x，y) = 0 经过移轴（5.71）变成（III） ，则反过来（III）经过移轴（5.72）就变成 F (x，y) = 0，所以当线心二次曲线通过移轴其方程能化成（II

38、I）时，K1不变现设线心二次曲线 F (x，y) = 0 经过任意的直角坐标变换t 变成 F (x，y ) = 0，下面证明 K1K1因为 F (x，y) = 0 为线心二次曲线，因此总存在直角坐标变换1t把 F (x，y) = 0 变成（III）的左端，因此反过来也一定可以通过直角坐标变换11t把（III）的左端变成 F (x，y)，再通过坐标变换 t 把 F (x，y) 变成 F (x，y )，也就是存在一个直角坐标变换121tt t 把（III）的左端变成 F (x，y )因此，根据前面已证明的，当通过直角坐标变换 t1把 F (x，y) = 0 变成（III）的左端时 K1不变，所以有

39、 K11K而通过直角坐标变换121tt t 把（III）的左端变为 F (x，y ) = 0 时，又有1K1K，所以1KK12 2应用不变量化简二次曲线的方程应用不变量化简二次曲线的方程 定理5.9.35.9.3 如果二次曲线（1）是中心二次曲线，那么它的简化方程为2231220IxyI 其中1，2是二次曲线的特征方程的两个根. 命题5.9.45.9.4 如果二次曲线（1）是无心曲线，那么它的简化方程为这里根号前的正负号可以任意选取.231120II yxI 定理5.9.55.9.5 如果二次曲线（1）是线心曲线，那么它的简化方程为01121IKyI21110KI yI 定理5.9.65.9.

40、6 如果给出了二次曲线（1），那么用它的不变量与半不变量来判断已知曲线为何种曲线的条件是： 1 椭圆： ； 2 虚椭圆： ；2130,0II I3 点椭圆（或称一对交于实点的共轭虚直线）： 4 双曲线： ；230,0II230,0II21 30,0II I5 一对相交直线： ；6 抛物线： ；7 一对平行直线： ；8 一对平行的虚直线： ；9 一对重合的直线： 230,0II11132223113332333aaaaKaaaa2310,0IIK2310,0IIK2310,0IIK11132223113332333aaaaKaaaa例2 2 求二次曲线 的简化方程与标准方程xya例1 1 求二次

41、曲线 的简化方程与标准方程2266210 xxyyxy 二、二次曲面022222244342414231312233222211=+azayaxayzaxzaxyazayaxa一、一、二次曲面二次曲面一些常见的记号一些常见的记号表示的曲面叫二次曲面表示的曲面叫二次曲面不全为零不全为零为实常数，且为实常数，且其中其中231312332211aaaaaaaij,在空间中在空间中, ,由三元二次方程由三元二次方程0=+2+2+2+2+2+2+),(44342414231312233222211azayaxayzaxzaxyazayaxazyxF为了以后讨论的方便，我们引进一些记号：为了以后讨论的方便

42、，我们引进一些记号：141312111+),(azayaxazyxF242322122+),(azayaxazyxF343323133+),(azayaxazyxF443424144+),(azayaxazyxFzayaxazyx1312111+),(zayaxazyx2322122+),(zayaxazyx3323133+),(yzaxzaxyazayaxazyx2313122332222112+2+2+),(记zayaxazyx3424144+),(),(+),(+),(+),(x),(4321zyxFzyxzFzyxyFzyxFzyxF则),(+),(+),(x=),(321zyxzzy

43、xyzyxzyx=332313232212131211*aaaaaaaaaA=44342414343323132423221214131211aaaaaaaaaaaaaaaaA的矩阵和分别称为二次曲面),(0),(zyxzyxF=zyxaaaaaaaaazyxzyx332313232212131211)(),(=1) 1(),(44342414343323132423221214131211zyxaaaaaaaaaaaaaaaazyxzyxF利用矩阵法可以写成利用矩阵法可以写成坐标系是空间的两个右手直角及设,;,;kjiOkjiO=),(000zyxO下的坐标是在点),(),(),(,3323

44、13322212312111ccccccccckji下的坐标分别为在=333231232221131211),(),(ccccccccckjikji则的过度矩阵到称为从其中矩阵)(ijcT =二、直角坐标变换),(),(zyxzyxP，下坐标分别是和在任一点)()(000kzjyixkzjyixPOOOOP+ +=+=)()()()(332313322212312111000kcjciczkcjcicykcjcicxkzjyix+=kzcycxczjzcycxcyizcycxcx)()()(333231023222101312110 从而有：从而有： zcycxczzzcycxcyyzcycx

45、cxx333231023222101312110TTTzyxxzyxxzyxx),(,),(),(0000 ，记记0333231023222101312110 xxTxzcycxczzzcycxcyyzcycxcxx 可以化为可以化为两个式子两个式子都称为点的都称为点的直角坐标变换公式直角坐标变换公式 333231232221131211cccccccccT其中其中0, 10, 10, 1333123211311233223213333223221312232222212323122211211231221211 ccccccccccccccccccccccccccc六个关系式为正交的条件，则

46、六个关系式为正交的条件，则T也是正交矩阵也是正交矩阵TTT 1则则都是右手系都是右手系及及,;,;kjiOkjiO 1),(),( kjikji1det333231232221131211 cccccccccT空间两个直角坐标系空间两个直角坐标系及及设设,;,;kjiOkjiO ),(000zyxO下的坐标是下的坐标是在在点点 000:zzzyyyxxx移轴公式为移轴公式为三、移轴变换换，简称为移轴，换，简称为移轴，的坐标变换称为平移变的坐标变换称为平移变到到换，简称转轴换，简称转轴这种坐标变换叫旋转变这种坐标变换叫旋转变重合得到的，重合得到的，分别与分别与使得使得旋转，旋转，绕原点绕原点可以

47、看成原坐标系可以看成原坐标系新坐标系新坐标系两个直角坐标系两个直角坐标系及及设设kjikjiOkjiOkjiO ,;,;321 , iOxyzkjiiii；，中的方向角分别为中的方向角分别为在直角坐标系在直角坐标系设设四、转轴变换;coscoscos,coscoscos,coscoscos333222111kjikkjijkjii ;coscoscos,coscoscos,coscoscos:333222111zyxzzyxyzyxx转轴公式为转轴公式为 ;,cossin,sincos:zzyxyyxx转轴公式为转轴公式为时时面面内内绕绕原原点点旋旋转转角角轴轴在在轴轴不不动动，特特别别是是：

48、当当xoyyxz,0521045122 zyxxyzx程程、利用移轴化简曲面方、利用移轴化简曲面方例例解：将原方程变形为解：将原方程变形为0125222 )()()(zyxx 12zzyyxx令令则在新坐标系中，曲面方程变为：则在新坐标系中，曲面方程变为：0522 zyxx为的二次锥面为的二次锥面表示顶点表示顶点的二次齐次方程，的二次齐次方程，这就是关于这就是关于),(,102 zyx的形状的形状、研究曲面、研究曲面例例xyz 2得：换，我们利用绕轴旋转变为了解决zzyxyyxxxycossinsincosyxyxyxyxz 2221222222cos)(sin)sin(cos)(sincos

49、 zzyxyyxxyx）（）（，得：，得：，令，令为了消去交叉项为了消去交叉项21214222121yxz 原方程变为原方程变为表示一个双曲抛物面表示一个双曲抛物面 )()()(zyzzyxyzyxxzxyzxyyx21261310276232222322用下列旋转化简用下列旋转化简、对于曲面方程、对于曲面方程例例027z3y3x3222原方程可化为：原方程可化为：的形状的形状、讨论曲面、讨论曲面例例04448448844222 zyxxyxzyzzyx014148814222 yxzxyzzyx)()()(解：把所给方程改写为：解：把所给方程改写为：做做平平移移变变换：换： zzyyxx10

50、44884222 yxzxzyzyx得：得： zyzzyxyzyxx3056130262513016152再作旋转再作旋转代入上式得：代入上式得：01025222 zyx得：得： zyzzyxyzyxx30561302625113016152可知最终的变换可知最终的变换也知曲面是二次锥面也知曲面是二次锥面0222222),(44342414231312233222211 azayaxayzaxzaxyazayaxazyxF设方程为设方程为yzaxzaxyazayaxazyx231312233222211222),( 记记 332313232212131211*aaaaaaaaaA 443424

51、14343323132423221214131211aaaaaaaaaaaaaaaaA的矩阵的矩阵和和分别称为二次曲面分别称为二次曲面),(0),(zyxzyxF zyxaaaaaaaaazyxzyx332313232212131211)(),( 1) 1(),(44342414343323132423221214131211zyxaaaaaaaaaaaaaaaazyxzyxF利用矩阵法可以写成利用矩阵法可以写成都是实对称矩阵都是实对称矩阵*,AAAATT 44aaaAAT*则则 xx1xaa1x44*),(),(),(),(AzyxaAzyxFzyxzyxFTTT 表示为表示为与与则则 zy

52、xT x又又令令： 342414aaaaT 令令过渡矩阵过渡矩阵到到是从是从,;,;coscoscoscoscoscoscoscoscos321321321kjiOkjiOT 得：得：代入代入),(1x1001x1xzyxFTT 1xaa1x1x100aa1001x1xaa1x44*44*44*aTTTATTaATaATTTTTTTTTxx),(),(* AzyxzyxFT的二次项部分为的二次项部分为仍是对称矩阵仍是对称矩阵其中其中TATAT* 可写为可写为对角矩阵，因此对角矩阵，因此使得使得可用正交阵可用正交阵阵阵根据高代结果：实对称根据高代结果：实对称0 ),(*zyxFTATTAT022

53、244342414233222211 azayaxazayaxazayaxazyxzyxx1312111),(21),( 记记zayaxazyxzyxy2322122),(21),( zayaxazyxzyxz3323133),(21),( 的梯度向量的梯度向量称为称为),(),(),(),(),(),(),( 2),(321zyxzyxzyxzyxzyxzyxzyxzyxzyx ),(,;,;cos,cos,cosiiiiiiiiimnlkjiOxyzinml的坐标分别为的坐标分别为中，中，在坐标系在坐标系记记 321 ),(),(),(),(),(),(),(),(),(*33322211

54、133322211133322211132132132133231323221213121133322211121nmlknmlknmlknmljnmljnmljnmlinmlinmlinnnmmmlllaaaaaaaaanmlnmlnmlTATAT为对角阵为对角阵使得使得如果正交矩阵如果正交矩阵TATATT* ),(),(),(),(),(),(),(),(),(333222111333222111333222111nmlknmlknmlknmljnmljnmljnmlinmlinmli上述矩阵中只有对角线的项不为零，其他项均为零上述矩阵中只有对角线的项不为零，其他项均为零kjnmlnmlk

55、nmlj 又垂直于又垂直于即垂直于即垂直于向量向量可知：可知：和和由由),(0),(0),(111111111共线共线与向量与向量向量向量kjinml ),(111111131111211111),(),(),(nnmlmnmllnml 就有：就有：113312311311231221121113112111nnamalamnamalalnamala 定义可知定义可知由由),(zyxi 222332232132222322221222213212211nnamalamnamalalnamala：类似，我们还可以得到类似，我们还可以得到 33333323313333233223123331331

56、2311nnamalamnamalalnamala 1113312311311123122112111131121111nnamalamnamalalnamala，还可以化为，还可以化为设上式的比值为设上式的比值为 nmlnmlA*将上述三式统一成矩阵形式为：将上述三式统一成矩阵形式为：0 nmlEA)(*整理得：整理得：的根的根为下列方程为下列方程条件是条件是方程组有非零解的充要方程组有非零解的充要032213 IIIEA)det(:*332313232212131211*333232322331313112212121123322111detaaaaaaaaaAIaaaaaaaaaaaaI

57、aaaI 其中其中321313322123211 III由根与系数的关系知：由根与系数的关系知：的三个根的三个根是是，若若032213321 III定义：定义：的特征方程叫做二次曲面方程0222222),(04434241423131223322221132213=+=+azayaxayzaxzaxyazayaxazyxFIII它的根称为二次曲面的特征根它的根称为二次曲面的特征根 的一个主方向的一个主方向为对应于为对应于，则称，则称使得使得，若非零向量，若非零向量对于二次曲面的特征根对于二次曲面的特征根 nmlnmlT:ppAp*命题命题1 1：二次曲面的三个特征根都是实数：二次曲面的三个特征

58、根都是实数命题命题2 2：二次曲面的三个特征根不全为零：二次曲面的三个特征根不全为零命题命题3 3：二次曲面的两个相异的特征根对应：二次曲面的两个相异的特征根对应的主方向一定垂直的主方向一定垂直定理定理1 1：对于任意的二次曲面，至少存在三个：对于任意的二次曲面，至少存在三个两两互相垂直的主方向两两互相垂直的主方向为二次曲面的特征根为二次曲面的特征根, , ,其中其中0 0= =a a+ +z za a2 2+ +y ya a2 2+ +x xa a2 2+ +z z+ +y y+ +x x具有如下形式：具有如下形式：程程曲面在新坐标系中的方曲面在新坐标系中的方的坐标向量，那么二次的坐标向量，

59、那么二次z zy yx x方向作为新坐标系O方向作为新坐标系O两两互相垂直的单位主两两互相垂直的单位主0如果选取曲面的三个0如果选取曲面的三个= =a a+ +z z2a2a+ +y y2a2a+ +x x2a2a+ +yzyz2a2a+ +xzxz2a2a+ +xyxy2a2a+ +z za a+ +y ya a+ +x xa a程为：程为：中，给定二次曲面的方中，给定二次曲面的方在直角坐标系Oxyz在直角坐标系Oxyz3 32 21 144443434242414142 23 32 22 22 21 144443434242414142323131312122 233332 222222

60、211110142241222 zyyzzyx曲面方程曲面方程：用旋转变换化简二次：用旋转变换化简二次例例0261441448422222 zyxyzxzxyzyx曲面方程曲面方程：用旋转变换化简二次：用旋转变换化简二次例例对于任意的二次曲面的方程，通过空间直角坐标变换对于任意的二次曲面的方程，通过空间直角坐标变换总可以把方程化为简单的形式，即标准方程，总可以把方程化为简单的形式，即标准方程，二次曲面共可以分为十七类，标准方程分别是：二次曲面共可以分为十七类，标准方程分别是：表表示示椭椭球球面面11222222 czbyax)(表表示示虚虚椭椭球球面面12222222 czbyax)(双双叶叶