第三章控制系统的数学模型

1、13.13.1 物理系统建模物理系统建模3.2 3.2 非线性系统模型的线性化非线性系统模型的线性化3.3 3.3 系统的传递函数系统的传递函数3.4 3.4 传递函数方框图及其简化传递函数方框图及其简化END23.1.1 3.1.1 系统数学模型的定义系统数学模型的定义3.1.2 3.1.2 建立数学模型的基础建立数学模型的基础3.1.3 3.1.3 提取数学模型的步骤提取数学模型的步骤本节主要内容本节主要内容Back3系统框图系统框图恒温箱自动控制系统恒温箱自动控制系统Back4系统框图系统框图系统构成的要点系统构成的要点Back 系统是否能正常地工作，取决各个物理量之间相互作用与相系统是

2、否能正常地工作，取决各个物理量之间相互作用与相互制约的关系。互制约的关系。存在物理量的变换存在物理量的变换; ;存在能量传递和形式的转换存在能量传递和形式的转换; ;由动态到最后的平衡状态由动态到最后的平衡状态-稳定运动稳定运动由若干个元件相互配合起来就构成一个完整的控制系统由若干个元件相互配合起来就构成一个完整的控制系统5数学模型定义数学模型定义n 解析法解析法 依据系统及元件各变量之间所遵循的物理或化学规律依据系统及元件各变量之间所遵循的物理或化学规律列写出相应的数学关系式，建立模型。列写出相应的数学关系式，建立模型。n 实验法实验法 人为地对系统施加某种测试信号，记录其输出响应，人为地对

3、系统施加某种测试信号，记录其输出响应，并用适当的数学模型进行逼近。这种方法也称为并用适当的数学模型进行逼近。这种方法也称为系统辨识系统辨识3. 建立数学模型的方法建立数学模型的方法 描述系统变量间相互关系的动态性能的运动方程，也描述系统变量间相互关系的动态性能的运动方程，也称为称为动力学方程动力学方程或或系统微分方程系统微分方程。6Back4. 数学模型的形式数学模型的形式时间域：时间域： 微分方程微分方程差分方程差分方程状态方程状态方程n 复数域：复数域： 传递函数传递函数结构图结构图( (方框图方框图) )n 频率域：频率域： 频率特性频率特性7Back 微分方程（连续系统）微分方程（连续

4、系统）( ),dyy tdt数学模型的准确性和简化数学模型的准确性和简化差分方程差分方程 （离散系统）（离散系统）(), ()y kTy kTT8机械运动的实质：机械运动的实质： 牛顿定理、能量守恒定理牛顿定理、能量守恒定理阻尼阻尼质量质量弹簧弹簧1. 机械运动系统的三要素机械运动系统的三要素9(1) (1) 机械平移系统机械平移系统微分方程的系数取决于系统的结构参数微分方程的系数取决于系统的结构参数2 2）阶次等于独立储能元件的数量）阶次等于独立储能元件的数量！静止（平衡）工作点作为零点，以消除重力的影响静止（平衡）工作点作为零点，以消除重力的影响。10机械旋转系统机械旋转系统11Back2

5、. 电气系统三元件电气系统三元件电阻电容电感电学：欧姆定理、基尔霍夫定律电学：欧姆定理、基尔霍夫定律。12RLC 串联网络电路串联网络电路ui(t)L13 划分环节划分环节 写出每一环节写出每一环节( (元件元件) ) 运动方程式运动方程式 消去中间变量消去中间变量 写成标准形式写成标准形式141. 划分环节划分环节负载效应负载效应 根据元件的工作原理和在根据元件的工作原理和在系统中的作用，确定元件的输系统中的作用，确定元件的输入量和输出量入量和输出量( (必要时还要考必要时还要考虑扰动量虑扰动量) )，并根据需要引进，并根据需要引进一些中间变量。一些中间变量。由运动方程式由运动方程式 ( (

6、一个或几个元件的独立运动方程）一个或几个元件的独立运动方程）(1)按功能按功能( (测量、放大、执行测量、放大、执行) )152. 写出每一环节写出每一环节( (元件元件) ) 运动方程式运动方程式找出联系输出量与输入量的内部关系，并确定反映这找出联系输出量与输入量的内部关系，并确定反映这种内在联系的物理规律。种内在联系的物理规律。数学上的简化处理，（如非线性函数的线性化，考虑数学上的简化处理，（如非线性函数的线性化，考虑忽略一些次要因素）忽略一些次要因素）。3.消去中间变量消去中间变量4. 写成标准形式写成标准形式 例如微分方程中，将与输入量有关的各项写在方程例如微分方程中，将与输入量有关的

7、各项写在方程的右边；与输出量有关的各项写在方程的左边。方程两的右边；与输出量有关的各项写在方程的左边。方程两边各导数项均按降幂排列。边各导数项均按降幂排列。 imimmmimmononnnonnxbdtxdbdtxdbxadtxdadtxda01110111式中式中,xo输出量输出量,xi输入量输入量,ai,bj(i=0,1,.,n,j=0,1,.,m)都是常系都是常系数数,且且nm.16 例例1 21 2级减速齿轮传动系统级减速齿轮传动系统折算转动惯量折算转动惯量折算力矩折算力矩折算阻尼系数折算阻尼系数17Back2 2级级RCRC无源网络无源网络18Back非线性系统模型的线性化非线性系统

8、模型的线性化3.2.1 3.2.1 常见非线性模型常见非线性模型3.2.2 3.2.2 线性化问题的提出线性化问题的提出3.2.3 3.2.3 线性化方法线性化方法19Back常见非线性模型常见非线性模型1. 常见非线性情况常见非线性情况饱和非线性死区非线性间隙非线性继电器非线性202. 单摆单摆( (非线性非线性) )是未知函数是未知函数 的非线性函数，的非线性函数，所以是非线性模型。所以是非线性模型。 线性微分方程线性微分方程中各阶导数前的系数不能是未知函数或变中各阶导数前的系数不能是未知函数或变量的非线性函数量的非线性函数.213. 液面系统液面系统( (非线性非线性) )是未知函数是未

9、知函数h h的非线性函数，所以是非线性模型。的非线性函数，所以是非线性模型。液位控制系统的数学模型描述液箱水位的微分方程为液箱水位的微分方程为： 当q0(m3/s)很小时，近似有 消去中间变量q0可得到： 若研究qi与q0的变化关系，则有：i0dhCqqdt20hq,Rs/mR为恒量，单位为idhRChRqdt00idqRCqqdt注意：注意：对于同一个物理系统，当研究的目的不同时，所得到的数学模型是不一样的。热力系统的数学模型描述 为使问题简化，假设：加热容器内的水的温度是均匀的，都具有和出口温度相同的温度。容器壁为绝热壁。容器中水的质量为M(kg),比热容cp,qi为加热器传输给水的热流增

10、量(kj/s)根据能量守恒关系有：根据能量守恒关系有：pipppiippipidTMcqQc TdtdTMcQc TqdtTdTMc+Qc T = q +Qc Tdt整理后为若考虑入水口温度的影响，并设其变化量为 则有：263.2.2 线性化问题的提出线性化问题的提出有条件存在有条件存在, ,只在一定的工作范围内具有线性特性只在一定的工作范围内具有线性特性. . 可以应用叠加原理，以及应用线性系统理论对系可以应用叠加原理，以及应用线性系统理论对系统进行分析和设计。统进行分析和设计。 线性系统缺点线性系统缺点 线性系统优点线性系统优点线性化定义线性化定义: : 将一些非线性方程在一定的工作范围内

11、用近似的线将一些非线性方程在一定的工作范围内用近似的线性方程来代替，使之成为线性定常微分方程。性方程来代替，使之成为线性定常微分方程。27Back3.2.3 线性化方法线性化方法以该微小偏差替代微分方程中的变量，则微分方程以该微小偏差替代微分方程中的变量，则微分方程中各变量就不是它们的绝对变化值，而是它们对额定工中各变量就不是它们的绝对变化值，而是它们对额定工作点的偏差。作点的偏差。假设：假设： 在控制系统整个调节过程中，所有变量与其稳态值在控制系统整个调节过程中，所有变量与其稳态值之间只会产生足够微小的偏差。之间只会产生足够微小的偏差。非线性方程非线性方程 局部线性增量方程局部线性增量方程1

12、.微小偏差法微小偏差法( (增量法增量法) )282. 增量方程增量方程 将参考坐标的原点移到系统或元件的平衡工作点上，将参考坐标的原点移到系统或元件的平衡工作点上，对于实际系统就是以正常工作状态为研究系统运动的起对于实际系统就是以正常工作状态为研究系统运动的起始点，这时，系统所有的初始条件均为零。始点，这时，系统所有的初始条件均为零。注：导数根据其定义是一线性映射，满足叠加原理注：导数根据其定义是一线性映射，满足叠加原理。增量方程的数学含义增量方程的数学含义293. 多变量函数泰勒级数法多变量函数泰勒级数法增量方程增量方程静态方程静态方程304. 单变量函数泰勒级数法单变量函数泰勒级数法函数

13、函数y=f(x)y=f(x)在其平衡点在其平衡点(x(x0 0,y,y0 0) )附近的泰勒级数展开式为：附近的泰勒级数展开式为：注注：非线性系统的线性化模型，非线性系统的线性化模型，称为增量方程。称为增量方程。 y=f(xy=f(x0 0) )称为系统的静态方程称为系统的静态方程31例例1 单摆模型单摆模型(线性化线性化)32系统的传递函数系统的传递函数3.3.1 3.3.1 传递函数的定义传递函数的定义3.3.2 3.3.2 典型环节的传递函数典型环节的传递函数注注:本节是本章乃至本课程的重点本节是本章乃至本课程的重点.)33Back传递函数的定义传递函数的定义式中式中, Xi(s)系统输

14、入量的拉氏变换系统输入量的拉氏变换, , Xo(s)系统系统输出量输出量的拉氏变换。的拉氏变换。)()()()()(sXsXtxLtxLsGioio在零初始条件在零初始条件 ( (输入量施加于系统之前，系统处于稳输入量施加于系统之前，系统处于稳定的工作状态，即定的工作状态，即t 0 t 0 时，输出量及其各阶导数也时，输出量及其各阶导数也均为均为0 0 ) )下，线性定常系统输出量的拉氏变换与引起该下，线性定常系统输出量的拉氏变换与引起该输出的输入量的拉氏变换之比。输出的输入量的拉氏变换之比。34Back例例1: 1: 复杂机械系统复杂机械系统35例2:xixoc1mc2iooxcxccxm

15、121)(整理后：整理后：oxc 2)(1oixxc m 受力分析mxooooixmxcxxc 21)( 质量质量m的力平衡方程为的力平衡方程为设初始条件为零，且设初始条件为零，且)()()()(txLsXtxLsXiioo)()()()()()()(2111212ccmscsXsXssXcssXccsXmsioioo可得该系统的传递函数可得该系统的传递函数：36nnnnmmmmioasasasabsbsbsbsXsXsG11101110.)()()()().()().(11101110sXbsbsbsbsXasasasaimmmmonnnn初始条件为零时微分方程拉氏变换初始条件为零时微分方程

16、拉氏变换)()(.)()()()(.)()(1111011110txbdttxdbdttxdbdttxdbtxadttdxadttxdadttxdaimimmimmimononnonnon系统的传递函数系统的传递函数2 系统传递函数的一般形式系统传递函数的一般形式37Back3. 特征方程及放大系数特征方程及放大系数N(s)=0 系统的系统的特征方程特征方程 特征根特征根 特征方程决定着系统的动态特性。特征方程决定着系统的动态特性。 N(s)N(s)中中s s的最高阶次等于系统的阶次。的最高阶次等于系统的阶次。从微分方程的角度看，此时相当于所有的导数项都为零，从微分方程的角度看，此时相当于所有

17、的导数项都为零，K K系统处于静态时，输出与输入的比值。系统处于静态时，输出与输入的比值。)()()(sNsMsGmmmmbsbsbsbsM1110.)(nnnnasasasasN1110.)(系统的系统的放大系数放大系数或或增益增益KabGnm)0(384 零点和极点零点和极点M(s)=b0(s-z1)(s-z2)(s-zm)=0的根的根s=zi(i=1, 2, , m)，称称为传递函数的为传递函数的零点零点。N(s)=a0(s-p1)(s-p2)(s-pn)=0的根的根s=pj(j=1, 2, , n)，称，称为传递函数的为传递函数的极点极点。！系统传递函数的极点就是系统的特征根。系统传递

18、函数的极点就是系统的特征根。！零点和极点的数值完全取决于系统的结构参数。！零点和极点的数值完全取决于系统的结构参数。).()().()()(210210nmpspspsazszszsbsGnnnmmmmmasasasabsbsbsbsG11101110.)(395 零点、极点分布图零点、极点分布图 将传递函数的零、将传递函数的零、极点表示在复平面极点表示在复平面上的图形。上的图形。零点用零点用“O O”表示表示极点用极点用“”表示表示406 结论结论 传递函数是传递函数是复数复数s s域中域中的系统的系统数学模型数学模型。其参数仅取。其参数仅取决于系统本身的结构及参数，与系统的输入形式无决于系

19、统本身的结构及参数，与系统的输入形式无关关。 传递函数通过传递函数通过系统输入量系统输入量与与输出量输出量之间的关系来描之间的关系来描述系统的固有特性，即以系统外部的输入输出特述系统的固有特性，即以系统外部的输入输出特性来描述系统的内部特性。若输入给定，则系统输性来描述系统的内部特性。若输入给定，则系统输出特性完全由传递函数出特性完全由传递函数G(s)G(s)决定。决定。41Back 传递函数只适用于线性定常系统传递函数只适用于线性定常系统; ; 只适合于单输入单输出系统的描述只适合于单输入单输出系统的描述; ; 无法描述系统内部中间变量的变化情况无法描述系统内部中间变量的变化情况; ; 传递

20、函数原则上不能反映系统在非零初始条件下传递函数原则上不能反映系统在非零初始条件下的全部运动规律的全部运动规律; ; 传递函数中的各项系数和相应微分方程中的各项传递函数中的各项系数和相应微分方程中的各项系数对应相等，完全取决于系统结构参数系数对应相等，完全取决于系统结构参数。42Back典型环节的传递函数典型环节的传递函数设系统有设系统有b 个实零点个实零点; ; d个实极点个实极点; ;c 对复零点对复零点; ; e对复极点对复极点; ;v 个零极点个零极点).()().()()(210210nmpspspsazszszsbsGnnnnmmmmasasasabsbsbsbsG11101110.

21、)(b+2c = mv+d+2e = n1. 典型环节的产生典型环节的产生43ekkkkdjjvcllllbiisTsTsTssssKsG12211221) 12() 1() 12() 1()(比例环节比例环节一阶微分环节一阶微分环节二阶微分环节二阶微分环节积分环节积分环节惯性环节惯性环节振荡环节振荡环节sse延迟环节延迟环节纯微分环节纯微分环节44 环节是根据微分方程划分的，不是具体的物理装置环节是根据微分方程划分的，不是具体的物理装置或元件或元件. . 一个环节往往由几个元件之间的运动特性共同组成一个环节往往由几个元件之间的运动特性共同组成. . 同一元件在不同系统中作用不同同一元件在不同

22、系统中作用不同, ,输入输出的物理量输入输出的物理量不同不同, ,可起到不同环节的作用可起到不同环节的作用. .说明说明45ekkkkdjjvcllllbiisTsTsTssssKsG12211221) 12() 1() 12() 1()()()(tKxtxioKsXsXsGio)()()(运动方程式运动方程式：传递函数传递函数：环节的放大系数环节的放大系数2 放大环节放大环节/ /比例环节比例环节46例例1 齿轮传动齿轮传动 齿轮传动副如图所示齿轮传动副如图所示, , x xi i 、 x xo o分别为输入、输出轴的转速分别为输入、输出轴的转速, , z z1 1、z z2 2 分别为输入

23、和输出齿轮的齿数。分别为输入和输出齿轮的齿数。 齿轮传动副xiz1xoz2 当不考虑齿轮的弹性变形及传动当不考虑齿轮的弹性变形及传动间隙时，该传动副应满足如下关系间隙时，该传动副应满足如下关系相等）（单位时间转过的齿数12zxzxiokzzsXsXsGio21)()()(47例例2 共发射极晶体管放大器共发射极晶体管放大器483. 惯性环惯性环节节ekkkkdjjvcllllbiisTsTsTssssKsG12211221) 12() 1() 12() 1()()()()(tKxtxdttdxTioo1)()()(TsKsXsXsGio运动方程式运动方程式传递函数传递函数K环节的放大系数环节的

24、放大系数T环节的时间常数环节的时间常数说明说明: :惯性环节存在惯性环节存在储能元件和耗储能元件和耗能元件能元件输出落后于输输出落后于输入量入量, ,不立即复不立即复现突变的输入现突变的输入49例例1 弹性弹簧弹性弹簧弹簧能量的贮存和释放受制于阻尼器的耗能弹簧能量的贮存和释放受制于阻尼器的耗能50以上两例表明：以上两例表明：只要系统中含有只要系统中含有储能元件储能元件和和耗能元件耗能元件, ,系统就会具有惯性特性系统就会具有惯性特性。1)1) 不同的物理系统可以具有相同的传递函数。不同的物理系统可以具有相同的传递函数。例例2 2 图为一弹簧图为一弹簧- -阻尼系统。阻尼系统。x xi i为输入

25、位移，为输入位移，x xo o为输出位移。为输出位移。该系统的动力学方程为：该系统的动力学方程为：弹簧阻尼系统kcxi(t)xo(t)iooooikxkxxcxcxxk)(对上式两边进行拉氏变换：对上式两边进行拉氏变换：)()()(skXskXscsXioo可得系统传递函数可得系统传递函数11)()()(TskcsksXsXsGio式中T=c/k 。514. 积分环节积分环节ekkkkdjjvcllllbiisTsTsTssssKsG12211221) 12() 1() 12() 1()()()(txdttdxTiosKsXsXsGio)()()(运动方程式运动方程式传递函数传递函数T 积分积

26、分环节的时间常数环节的时间常数)(1)(0tiodttxTtx52如当输入量为常值如当输入量为常值A A时时输出量须经过时间输出量须经过时间T T才能达到输入量在才能达到输入量在t = 0t = 0时的值时的值A A。AtTAdtTtxt11)(00积分环节具有明显的滞后作用积分环节具有明显的滞后作用积分环节具有记忆功能积分环节具有记忆功能.53例例1 1 如图有效面积为如图有效面积为A A的柱塞缸输的柱塞缸输入流量为入流量为q q, ,输出为位移输出为位移x x , ,其运动其运动方程方程Axq 柱塞缸示意图dttqAtx)(1)(积分环节具有积分环节具有“记忆记忆”作用！作用！sAsQsX

27、sG11)()()(及传递函数为及传递函数为:54例例2 积分运算放大器积分运算放大器55微分环节微分环节(理想微分理想微分)dttdxTtxrc)()(TssXsXsGrc)()()(运动方程式运动方程式传递函数传递函数说明说明:实际微分存在惯性实际微分存在惯性 (K 0即为理想微分即为理想微分) )1)()()(KsTssXsXsGrc56例例1 测速发电机测速发电机57例例2 RC2 RC微分网络微分网络图为微分运算电路，图为微分运算电路，u ui i为输入电压，为输入电压，u uo o为输出电压。为输出电压。由运算放大器的虚地概念可得系统的微分方程由运算放大器的虚地概念可得系统的微分方

28、程-+cR2R1uiuoii1微分运算电路dtducRuiiRiudtduciiooi1111则系统传递函数则系统传递函数CsRsUsUsGio1)()()(由于由于i i1 1与与i i的等式只是近似的的等式只是近似的, ,所以该微分关系也只是近似的所以该微分关系也只是近似的. .58二阶振荡环节二阶振荡环节ekkkkdjjvcllllbiisTsTsTssssKsG12211221)12()1()12()1()(传递函数传递函数:121)(2)(22222TssTsGsssGnnn或式中式中, ,n n为无阻尼固有频率为无阻尼固有频率; ;T T为振荡环节的时间常数为振荡环节的时间常数,

29、, T=1/T=1/n n; ; 为阻尼比为阻尼比. .)()()(2)(222tKxtxdttdxTdttxdTiooo微分方程微分方程：59当当001, 1, 输出为一振荡过程输出为一振荡过程, , 此时二阶环节此时二阶环节为为振荡环节振荡环节; ;当当11时时, ,输出为一单调指数上升曲线输出为一单调指数上升曲线, , 最后达到最后达到常数输出常数输出. . 此时此时, , 二阶环节为两个一阶惯性环节二阶环节为两个一阶惯性环节的组合的组合. .振荡环节是二阶环节，但二阶环节不一定是振荡环节。振荡环节是二阶环节，但二阶环节不一定是振荡环节。对二阶环节作对二阶环节作阶跃输入阶跃输入时时, ,

30、 输出有两种情况输出有两种情况: :振荡环节存在不同形式的储能元件振荡环节存在不同形式的储能元件, ,振荡过程就是元件振荡过程就是元件间能量转换的过程间能量转换的过程. .60cJMk 扭转惯量扭转惯量- -阻尼阻尼- -弹簧系统弹簧系统例例1 1 图所示为一作旋转的扭转惯量图所示为一作旋转的扭转惯量- -阻尼阻尼- -弹簧系统。弹簧系统。 在转动惯量为在转动惯量为J J的的转子上带有叶片与弹簧转子上带有叶片与弹簧, , 其弹簧扭转其弹簧扭转刚度与粘性系数分别为刚度与粘性系数分别为k k与与c c。当输入。当输入外扭矩外扭矩M M 时时, ,转子转角转子转角作为输出作为输出, , 系统的动力学

31、方程为系统的动力学方程为: :MkcJ 得传递函数为得传递函数为222211)()()(nnssKJksJcsJkcsJssMssG式中nkJcJkKJ;.21当当001, 1, 输出为一振荡过输出为一振荡过程程, , 此时系统为振荡环节此时系统为振荡环节. .61例例2 2 图所示为电感图所示为电感L L、电阻、电阻R R与电容与电容C C的串、并联线路的串、并联线路, ,u ui i为输入电压为输入电压, ,u uo o为为输出电压。电路的动力学方程为：输出电压。电路的动力学方程为：RCLCRooLiiiidtiCRiuudtdiLu1nL CRLC112;则G sssnnn( ) 222

32、2LRC电路与惯量电路与惯量-阻尼阻尼-弹簧的弹簧的机械系统相似机械系统相似.消去中间消去中间变量变量, ,得得: :iooouudtduRLdtudLC2211)()()(2sRLLCssUsUsGio其传递函数为其传递函数为 LRC 电路uiciRLuoRiciL62)()(txtxrcsrcesXsXsG)()()(运动方程式运动方程式：传递函数传递函数： 环节的时间常数环节的时间常数超越函数超越函数近似处理近似处理sssseess11.! 3! 21113322例例1 1：水箱进水管的延滞：水箱进水管的延滞63延迟环节与惯性环节的区别延迟环节与惯性环节的区别 惯性环节从输入开始时刻起就

33、已有输出，仅由惯性环节从输入开始时刻起就已有输出，仅由于惯性，输出要滞后一段时间才接近所要求的于惯性，输出要滞后一段时间才接近所要求的输出值。输出值。 延迟环节从输入开始之初，在延迟环节从输入开始之初，在0 -0 -时间内没有时间内没有输出，但输出，但t=t=之后，输出完全等于输入。之后，输出完全等于输入。64Back65Back主要主要2.4.1 2.4.1 传递函数方框图传递函数方框图2.4.3 2.4.3 方框图的绘制方框图的绘制 66方框图方框图按功能划分按功能划分67！脱离了系统的脱离了系统的物理物理模型模型! 系统数学模型的图解形式系统数学模型的图解形式依据信号的流向依据信号的流向

34、 ，将各，将各元件的方框连接起来组元件的方框连接起来组成整成整 个系统的方框图个系统的方框图形象直观形象直观地描述系统中各元地描述系统中各元件间的相互关系及其功能以件间的相互关系及其功能以及信号在系统中的传递、变及信号在系统中的传递、变换过程。换过程。68任何系统都可以由信号线、函数方块、信任何系统都可以由信号线、函数方块、信号引出点及求和点组成的方块图来表示。号引出点及求和点组成的方块图来表示。69信号引出点（线）信号引出点（线）/ /测量点测量点 表示信号引出或测量的位置和传递方向。同一信号线上引出的信号，表示信号引出或测量的位置和传递方向。同一信号线上引出的信号，其性质、大小完全一样。其

35、性质、大小完全一样。(1) (1) 信号线信号线 带有箭头的直线，箭头表示信号的带有箭头的直线，箭头表示信号的传递方向，直线旁标记信号的时间函数传递方向，直线旁标记信号的时间函数或象函数。或象函数。3. 3. 方框图构成要素方框图构成要素70函数方块函数方块( (环节环节) ) 函数方块具有运算功能函数方块具有运算功能(4) (4) 求和点（比较点、综合点）求和点（比较点、综合点）(a) (a) 用符号用符号“ ”及相应的信号箭头表示及相应的信号箭头表示. .(b) (b) 箭头前方的箭头前方的“+ +”或或“- -”表示加上此信号或减去此信号表示加上此信号或减去此信号. .! ! 注意量纲注

36、意量纲71相邻求和点可以互换、合并、分解相邻求和点可以互换、合并、分解( (也就是代数运也就是代数运算的交换律、结合律和分配律算的交换律、结合律和分配律) )。求和点可以有多个输入，但输出是唯一的求和点可以有多个输入，但输出是唯一的. .7273几个环节串联，总的传递函数等于每个环节的传递函几个环节串联，总的传递函数等于每个环节的传递函数的乘积。数的乘积。74同向环节并联的传递函数等于所有并联的环节传递同向环节并联的传递函数等于所有并联的环节传递函数之和。函数之和。7576Backl 77781比较点分解比较点分解 7980Back。81n 82n 832. 2. 梅逊梅逊(S.J.Mason

37、)(S.J.Mason)公式公式梅逊公式的表达式为：梅逊公式的表达式为： nkkkPP1式中：式中： P P 总传递函数；总传递函数； 特征式，且特征式，且 kjijiiLLLLLL1n所有前向通路的条数；所有前向通路的条数；Pk第第k条前向通路的传递函数；条前向通路的传递函数；k在在中，将与第中，将与第k条前向通路相接触的回路除去后条前向通路相接触的回路除去后 所余下的部分，称为余子式；所余下的部分，称为余子式；Li所有回路的传递函数之和；所有回路的传递函数之和；LiLj所有两两互不接触回路的回路传递函数乘积之和；所有两两互不接触回路的回路传递函数乘积之和；LiLjLk 所有三个互不接触回路

38、的回路传递函数乘积之和。所有三个互不接触回路的回路传递函数乘积之和。 信号流图应用举例（一）信号流图应用举例（一）4433542321654321432141HGGHGGHGGHGGGGGGLLLLLii、回路互不接触回路互不接触 32543235423232 )(HHGGGGHGGHGGLLLLji32543244335423216543211 1HHGGGGHGGHGGHGGHGGGGGGLLLjii特征式3254324433542321654321654321111HHGGGGHGGHGGHGGHGGGGGGGGGGGGpP因为因为P P1 1= =G G1 1G G2 2G G3 3G

39、 G4 4G G5 5G G6 6，1 1=1 =1 ，所以，所以图中共有图中共有4 4个回路个回路 信号流图应用举例（二）信号流图应用举例（二）1G2G3G4G5G7G6G1H2H)(sR)(sC543211GGGGGP 54612GGGGP 7213GGGP 254324254632722141HGGGGLHGGGLHGGLHGL214321)(1LLLLLL1321111L25432254627214147215461543213322111)1 ()(1)()(HGGGGHGGGHGGHGHGGGGGGGGGGGGGPPPPsRsC4 4个回路：个回路：2 2个互不接触回路个互不接触回

40、路L L1 1L L2 2：3 3条前向通路：条前向通路：前向通路相应的余子式：前向通路相应的余子式：总传递函数：总传递函数：86:建立系统各部件的微分方程建立系统各部件的微分方程, ,明确信号的因果关系（输入明确信号的因果关系（输入/ /输出）。输出）。对上述微分方程进行拉氏变换对上述微分方程进行拉氏变换, ,绘制各部件的方框图绘制各部件的方框图. .按照信号在系统中的传递、变换过程，依次将各部件的方按照信号在系统中的传递、变换过程，依次将各部件的方框图连接起来，得到系统的方框图。框图连接起来，得到系统的方框图。87Back二二88Back89前向通道：前向通道：R(s)R(s)到到C(s)

41、C(s)的信号传递通路的信号传递通路反馈通道：反馈通道：C(s)C(s)到到B(s)B(s)的信号传递通路的信号传递通路系统闭环传递函数系统闭环传递函数: :反馈回路接通后反馈回路接通后, ,输出量与输入量的比值输出量与输入量的比值. .单独处理单独处理线性叠加线性叠加系统对系统对控制量控制量R(s)R(s)的闭环传递函数的闭环传递函数系统对系统对扰动量扰动量N(s)N(s)的闭环传递函数的闭环传递函数90系统工作在开环状态，系统工作在开环状态，系统开环传递函数：前向通道传递函数与反馈通道传系统开环传递函数：前向通道传递函数与反馈通道传 递函数的乘积。递函数的乘积。( (反馈信号反馈信号B(s)B(s)和偏差信号和偏差信号E(s)E(s)之间的传递函数之间的传递函数) )()()()()()(21sHsGsGsEsBsGk91 控制量控制量R(S)R(S)作用作用)()()(1)()()()(2121sHsGsGsGsGsRsCR假设扰动量N(s)=