第24章圆拓展题

1、第二十四章 圆24.1圆 专题一 利用圆中的半径相等求角的大小以及线段的长度1.如图，在平面直角坐标系中，OA,OB是O的半径，OAOB，点A的坐标为（2,3），点 B的坐标为（a，2），则a= .2.如图，CD是O的直径，A为DC的延长线上一点，点E在O上，EOD=81°，AE交O 于B，且AB=OC，求A的度数专题二 利用垂径定理求线段的长度3.如图所示，在O内有折线OABC，其中OA=8，AB=12，A=B=60°，则BC的长为（）A、19B、16 C、18D、20 4.【2012·陕西】如图，在半径为5的O中，AB、CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB

2、CD8，则OP的长为( )A3 B4 C D5.如图，ABC内接于O，ADBC，OEBC，OE=12BC（1）求BAC的度数；（2）将ACD沿AC折叠为ACF，将ABD沿AB折叠为ABG，延长FC和GB相交于点H，求证：四边形AFHG是正方形；（3）若BD=6，CD=4，求AD的长专题三 利用圆的轴对称性解题6.如图，MN是O的直径，MN=2，点A在O上，AMN=30°，B为弧AN的中点，P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为（）A. B. C.1 D.2 7.【 2012·贵港】如图， 为的直径，、是上的两点，过作 于点，过作于点，为上的任意一点，若，则的最小值是_

3、.专题四 利用圆心角、圆周角的关系证明或者计算8.如图，O的直径AB的长为10，弦AC长为6，ACB的平分线交O于D，则CD长为（）A.7B.7 C.8D.9 ABCDEO9.【2012·淄博】如图，AB，CD是O的弦，ABCD，BE是O的直径若AC=3，则DE= 10.如图，已知弧AD所对的圆心角AOD=90°，B,C将弧AD三等分，弦AD与半径OB,OC相交于E,F，求证:AE=BC=FD.专题五 利用圆的基本性质判定图形的形状或探求线段间的数量关系11.如图，点A、B、P是O上的动点，若ABP为等腰三角形，则所有符合条件的点P有（）A、1个B、2个 C、3个D、4个1

4、2. 【2012·黔西南州】如图，ABC内接于O，AB8，AC4，D是AB边上一点，P是优弧BAC的中点，连接PA、PB、PC、PD，当BD的长度为多少时，PAD是以AD为底边的等腰三角形？并加以证明13.如图，AB是O的直径，C、D是O上的两点，且AC=CD（1）求证：OCBD；（2）若BC将四边形OBDC分成面积相等的两个三角形，试确定四边形OBDC的形状知识要点：1.圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴.2.垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.3.平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.4.在同圆或等圆中，相等的圆心角、相等的弧、相等的

5、弦、相等的弦心距中只要有一组量相等，其他的量也相等.5.同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.6.半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.7.圆内接四边形的对角互补.温馨提示：1.圆中的半径相等，常常用来构造等腰三角形.2.圆中看到角时要记得去看看它是不是圆周角、圆心角，如果是的话是否可以利用圆周角、圆心角的性质解决问题；圆中看到线段时要记得去看看它是不是圆中的弦，如果是的话是否可以利用圆周角、圆心角的性质解决问题.3.利用垂径定理求弦长时，不要求成半弦长.方法技巧：1.垂径定理常常与勾股定理结合求圆中线段的长度.2.线段之

6、和最短问题常常转化为轴对称问题，利用勾股定理求解.3.在找角的关系时，外角是一个很好的桥梁.参考答案1.-3 2.【解】连OB，如图，AB=OC，OB=OC，AB=BO，A=2.1=A+2，1=2A.OB=OE，1=E.E=2A.EOD=A+E=81°，3A=81°，所以A=27°3.D 【解析】如图，延长AO交BC于D，作OEBC于E.A=B=60°，ADB=60°,ADB为等边三角形,BD=AD=AB=12.OD=4，又ADB=60°，DE=OD=2.BE=10.BC=2BE=20.4. C 【解析】过点O作OEAB，OFCD，垂

7、足分别为点E和点F，连接AO，OEAB，.在RtOAE中，OA5，由勾股定理可得，OE3，同理可得OF3，因此四边形OEPF是正方形，OEPE3，在RtOPE中，由勾股定理可得. 5.【解】（1）连接OB和OC,OEBC，BE=CE.OE=BC，BOC=90°，BAC=45°.（2）证明：ADBC，ADB=ADC=90°.由折叠可知，AG=AF=AD，AGH=AFH=90°，BAG=BAD，CAF=CAD，BAG+CAF=BAD+CAD=BAC=45°.GAF=BAG+CAF+BAC=90°.四边形AFHG是正方形.（3）由（2）得，

8、BHC=90°，GH=HF=AD，GB=BD=6，CF=CD=4.设AD的长为x，则BH=GHGB=x6，CH=HFCF=x4在RtBCH中，BH2+CH2=BC2，（x6）2+（x4）2=102.解得，x1=12，x2=2（舍去）.AD=12 6.B 【解析】作A关于MN的对称点Q，连接MQ，此时AP+PB=QP+PB=QB，根据两点之间线段最短，PA+PB的最小值为QB的长度.连接AO，OB，OQ，B为弧AN中点，BON=AMN=30°.QON=2QMN=2×30°=60°.BOQ=30°+60°=90°.直径

9、MN=2，OB=1.BQ=.则PA+PB的最小值为7. 【解析】延长BD交圆O于点B，连接BA，过B向AC的延长线作垂线，垂足为E,在RtA BE中，AE=8+6=14，BE=8+6=14，所以A B=，即的最小值是.8.B 【解析】如图，作DFCA，交CA的延长线于点F，作DGCB于点G，连接DA，DBCD平分ACB，ACD=BCD.DF=DG，弧AD=弧BD.DA=DBAFD=BGD=90°，AFDBGD.AF=BG易证CDFCDG，CF=CG设AF=BG=x，BC=8，AC=6，得8x=6+x，解x=1.CF=7.CDF是等腰直角三角形，CD=79.3 【解析】BE为直径，BD

10、E=90°，BDC+CDE=90°ABCD，ACD+BAC=90°又BAC=BDC，ACD=CDE，=，=，DE=AC=310.【证明】连接AB,DC.B,C将弧AD三等分， 弧AB=弧BC=弧CD.AB=BC=CD.AOD=90°,AOB=BOC=COD=30°.BAD=30°.OA=OB,OAB=OBA=（180°-AOB）=75°.AEB=180°-(OBA+BAD)=180°-(75°+30°)=75°.AB=AE.同理：DC=DF.AE=BC=DF.11.

11、D 【解析】根据垂径定理，分两种情况：以AB为底边，可求出有点P1、P2；以AB为腰，可求出有点P3、P4故共4个点12.【解】当BD4时，PAD是以AD为底边的等腰三角形证明：P是优弧BAC的中点弧PB弧PC，即PBPC，又BDAC4，PBDPCA，PBDPCA，PAPDPAD是以AD为底边的等腰三角形 13.【解】（1）证明：AC=CD，弧AC=弧CD,ABC=CBD.OC=OB，OCB=OBC.OCB=CBD.OCBD；（2）OCBD，不妨设平行线OC与BD间的距离为h，SOBC=OC×h，SDBC=BD×h，因为BC将四边形OBDC分成面积相等的两个三角形，SOBC

12、 =SDBC.OC=BD.四边形OBDC为平行四边形.OC=OB，四边形OBDC为菱形24.2点、直线、圆和圆的位置关系 专题一 求利用圆的性质求角的度数1.【2012·鄂州】如图OA=OB=OC且ACB=30°,则AOB的大小是（ ）A.40°B.50° C.60°D.70 2.如图，两圆相交于A，B两点，小圆经过大圆的圆心O，点C，D分别在两圆上，若ADB=100°，则ACB的度数为（）A.35° B.40° C.50° D.80°3.【 2012·安徽】如图，点A、B、C、D在O

13、上，O点在D的内部，四边形OABC为平行四边形，则OAD+OCD=_°.专题二 判定直线与圆的位置关系4.如图所示，MN是O的切线，B为切点，BC是O的弦且CBN=45°，过C的直线与O，MN分别交于A，D两点，过C作CEBD于点E（1）求证：CE是O的切线；（2）若CDE=30°，BD=2+2，求O的半径r5.如图所示，在RtABC中，C=90°，BAC=60°，AB=8半径为的M与射线BA相切，切点为N，且AN=3将RtABC顺时针旋转120°后得到RtADE，点B、C的对应点分别是点D、E（1）画出旋转后的RtADE；（2）求出

14、RtADE的直角边DE被M截得的弦PQ的长度；（3）判断RtADE的斜边AD所在的直线与M的位置关系，并说明理由6.如图，已知点，经过A、B的直线以每秒1个单位的速度向下作匀速平移运动，与此同时，点P从点B出发，在直线上以每秒1个单位的速度沿直线向右下方向作匀速运动设它们运动的时间为秒（1）用含的代数式表示点P的坐标；（2）过O作OCAB于C，过C作CD轴于D，问：为何值时，以P为圆心，1为半径的圆与直线OC相切？并说明此时圆P与直线CD的位置关系专题三 切线的性质及切线长定理7.如图，在ABCD中，DAB60°，AB15已知O的半径等于3，AB，AD分别与O相切于点E，FO在ABC

15、D内沿AB方向滚动，与BC边相切时运动停止试求O滚过的路程 8. 如图，O是等腰梯形ABCD的内切圆，切点为E、F、G、H，已知ADBC,DO=6cm，CO=8cm.求：（1）DC的长.（2）求等腰梯形的周长.9.如图，在ABC中，C90°，O切三角形的三边于D、E、F点.（1）连接OD、OF得四边形FCDO,你认为四边形FCDO是那种特殊四边形？证明你的观点.（2）在（1）的基础上，如果AF=3，O的半径等于2，你能求出三角形的面积吗？专题四 直线与圆、圆与圆综合题 10. 如图在8×6的网格图（每个小正方形的边长均为1个单位长度）中，A的半径为2个单位长度，B的半径为1

16、个单位长度，要使运动的B与静止的A相切，应将B由图示位置向左平移 个单位长度 11.如图为某机械装置的截面图,相切的两圆O1,O2均与O的弧AB相切,且O1O2l1( l1为水平线)，O1,O2的半径均为30 mm,弧AB的最低点到l1的距离为30 mm,公切线l2与l1间的距离为100 mm.则O的半径为( ) A.70 mm B.80 mm C.85 mm D.100 mm12.已知：如图，三个半圆以此相外切，它们的圆心都在x轴的正半轴上并与直线yx相切，设半圆1、半圆2、半圆3的半径分别是r1、r2、r3，则当r11时，r3 . 知识要点：1.直线与圆的三种位置关系：直线和O相交；直线和

17、O相切；直线和O相离.2.切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径.3.切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.4.圆与圆的位置关系：设两个大小不等的圆的半径分别为、（），圆心距为d.则两圆外离0<；两圆外切;两圆相交<d<两圆内切;两圆内含0d<.温馨提示：1.直线与圆的位置关系有3种，解题时不要漏掉其中的某种位置关系.2.圆与圆有五种位置关系，解题时注意分类讨论思想.3.圆中一弦对二弧对两个圆周角，不要漏掉.4.两圆相离包括外离和内含，两圆相切

18、包含外切和内切.方法技巧：1.锐角三角形的外心在锐角三角形内部，直角三角形的外心在斜边的中点，钝角三角形外心在钝角三角形的外部.2.直角三角形的两直角边为a，b，斜边为c，则其内切圆的半径为：或.3.证明圆的切线的两种方法：（1）直线过圆上一点时，需连过此点的半径，证明该直线与该半径垂直；（2）直线与圆没有已知的公共点时，通常过圆心作该直线的垂线段，证明垂线段的长等于半径.参考答案1.C 【解析】根据题意，以点O为圆心，以OA为半径作圆，如下图则有点A、B、C均在圆周上，故有AOB=2ACB=60°2.B 【解析】连接OA、OB.四边形AOBD内接于圆，ADB=100°，A

19、OB=180°100°=80°.ACB=AOB，ACB=×80°=40°3.60°【解析】四边形OABC为平行四边形，ABC=AOC，OAB=OCB.ADC=AOC，ADC+ABC=180°，ABC=AOC=120°.OABC，OAB=OCB=60°.(OAB+OAD)+(OCB+OCD)=180°，OAD+OCD=60°.4.【解】（1）证明：连接OB、OCMN是O的切线，OBMNCBN=45°，OBC=45°，BCE=45°OB=OC，OBC

20、=OCB=45°OCE=90°，CE是O的切线；（2）OBBE，CEBE，OCCE，四边形BOCE是矩形，又OB=OC，四边形BOCE是正方形.BE=CE=OB=OC=r在RtCDE中，CDE=30°，CE=r，DE=rBD=2+2，r+r=2+2.r=2，即O的半径为25.【解】（1）如图RtADE即为所求；（2）如图，过点M作MFDE，垂足为F，连接MP在RtMPF中，MP，MF4-31，由勾股定理易得PF，再由垂径定理知PQ2PF2；（3）AD与M相切连接MA、ME、MD，则SADESAMD+SAME+SDME，过M作MHAD于H， MGDE于G， 连接MN

21、， 则MNAE且MN，MG1，AC·BCAD·MH+AE·MN+DE·MG，由此可以计算出MH ，MHMN.AD与M相切6.【解】作PHOB于H 如图1，OB6，OA，OAB30°.PBt，BPH30°，BH，HP .OH，P，.图1图2图3当P在左侧与直线OC相切时如图2，OB，BOC30°，BC.PC . 由，得 s，此时P与直线CD相割当P在左侧与直线OC相切时如图3，PC.由，得s，此时P与直线CD相割综上，当或时，P与直线OC相切，P与直线CD相割.7.【解】连接OE，OA AB，AD分别与O相切于点E，F OEA

22、B，OE=3 DAB60°， OAE30°OA=6cm.在RtAOE中，AE= ADBC，DAB60°， ABC120° 设当运动停止时，O与BC，AB分别相切于点M，N，连接ON，OB 同理可得 BN=. O滚过的路程为 8.【解】(1)O是等腰梯形ABCD的内切圆， FDOEDO =EDF，ECOHCO=ECH.ADBC，EDF+ECH=180°. EDO+ECO=EDF+ECH=(EDF+ECH )= ×180°=90°. 在RtDOC中，由勾股定理得：,即 .解得 DC=10cm.(2) O是等腰梯形ABC

23、D的内切圆，DF=DE，CE=CH，AF=AG，BG=BH. AF+FD+BH+CH=AG+GB+DE+CE即AD+BC=AB+DC. 四边形ABCD是等腰梯形ABCD， AB=CD. AD+BC=2DC=20cm.所以等腰梯形ABCD的周长等于40cm.9【解】（1）四边形FCDO是正方形，理由如下： O切三角形的三边于D、F、E，CF=CD，AF=AE，BD=BE，OFAC，ODBC. ODCOFC90°.C90°，四边形FCDO是矩形. CF=CD，四边形FCDO是正方形 .（2）AF=AE，AF=3，AE=3. 四边形FCDO是正方形，O的半径等于2， CF=CD=

24、2. AC=5.设BD=x，则BE=x，AB=3+x，BC=2+x.在RtABC中，由勾股定理得，即.解得x=10.BC=12 .10. 2或4或612.B 【解析】如图，设O的半径为Rmm，依题意，得CE=10030=70.l2O1O2，CD=O1D=30，DE=CECD=7030=40，OD=OEDE=R40.在RtOO1D中，O1O=R30，O1D=30，由勾股定理，得O1D2+OD2=O1O2，即302+（R40）2=（R30）2，解R=80mm12.9 【解析】由三个半圆依次与直线yx相切并且圆心都在x轴上，yx倾斜角是30°，OO=2r，OO2=2r1，003=2r，r1

25、1.r3=924.3 正多边形与圆专题 利用正多边形与圆的性质解决问题1.如图，O是正方形ABCD的对角线BD上一点，O与边AB，BC都相切，点E，F分别在AD，DC上，现将DEF沿着EF对折，折痕EF与O相切，此时点D恰好落在圆心O处若DE=2，则正方形ABCD的边长是（）A.3 B.4 C. D.2.如图是一个组合烟花的横截面，其中16个圆的半径相同，点A、B、C、D分别是四个角上的圆的圆心，且四边形ABCD为正方形若圆的半径为r，组合烟花的高为h，则组合烟花侧面包装纸的面积至少需要（接缝面积不计）（）A26rh B24rh+rh C12rh+2rh D24rh+2rh知识要点：1.各边都

26、相等，各角也相等的多边形是正多边形.2.正多边形的外接圆的圆心叫这个正多边形的中心，外接圆半径叫做正多边形的半径，正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角.中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距.温馨提示：1.正多边形的中心角本质上是圆心角.2.正多边形的边是圆中的弦，正多边形的边心距是弦心距.3.利用勾股定理求弦长时，一定注意不要求成半弦长.规律总结：1.正n边形的中心角为；2.边长为a的正n边形的周长为na；3.正多边形的周长为，边心距为r，则其面积.4.边长为a的正三角形的面积为.5.正多边形与圆中的计算常常用“垂径定理”+“勾股定理”.参考答案1.C 【解析】如图：延长F

27、O交AB与点G，则点G是切点，OD交EF于点H，则点H是切点ABCD是正方形，点O在对角线BD上，OG=OH=HD=HE=AE，且都等于圆的半径在等腰直角三角形DEH中，DE=2，EH=DH=AEAD=AE+DE=+22.D 【解析】由图形知，正方形ABCD的边长为6r，其周长为4×6r=24r.截面的周长为24r+2r，组合烟花的侧面包装纸的面积为：（24r+2r）h=24rh+2rh24.4弧长和扇形面积专题一 套用公式求弧长和扇形面积1. 如图，依次以三角形、四边形、n边形的各顶点为圆心画半径为l的圆，且圆与圆之间两两不相交把三角形与各圆重叠部分面积之和记为S3，四边形与各圆重

28、叠部分面积之和记为S4，n边形与各圆重叠部分面积之和记为Sn则S90的值为 （结果保留）2. 在图中的五个半圆，邻近的两半圆相切，两只小虫同时出发，以相同的速度从A点到B点甲虫沿弧ADA1、A1EB1、B1FC1、C1GB路线爬行，乙虫沿路线弧ACB爬行，则下列结论正确的是（）A甲先到B点 B乙先到B点 C甲、乙同时到B点 D无法确定3.如图1，已知在O中，点C为劣弧AB上的中点，连接AC并延长至D，使CD=CA，连接DB并延长DB交O于点E，连接AE（1）求证：AE是O的直径；（2）如图2，连接EC，O半径为5，AC的长为4，求阴影部分的面积之和（结果保留与根号）专题二 圆柱的侧面展开图4.

29、 【2011·无锡】已知圆柱的底面半径为2cm，高为5cm，则圆柱的侧面积是（）A20cm2B20cm2 C10cm2D5cm25. 【2011·广安】如图所示，圆柱的底面周长为6cm，AC是底面圆的直径，高BC 6cm，点是母线上一点且一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是（ ） A（）cm B5cm Ccm D7cm6.【2012·青岛】如图，圆柱形玻璃杯高为12cm、底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处.则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 cm专题三 圆锥的侧面展开7.

30、将一个圆心角是90°的扇形围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的侧面积S侧和底面积S底的关系是（）A.S侧=S底 B.S侧=2S底 C.S侧=3S底 D.S侧=4S底8.已知O为圆锥的顶点，M为圆锥底面上一点，点P在OM上一只蜗牛从P点出发，绕圆锥侧面爬行，回到P点时所爬过的最短路线的痕迹如图所示若沿OM将圆锥侧面剪开并展开，所得侧面展开图是（）ABCD9.如图1，在正方形铁皮上剪下一个扇形和一个半径为1cm的圆形，使之恰好围成图2所示的一个圆锥，则圆锥的高为（）A. cm B. 4cm C. cm D. cm知识要点：1.半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长为.2.半径为R的圆中，n°的圆心角所对的扇形面积为=.3.沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，设圆锥的母线长为，底面半径为r，那么这个扇