高校力学经典课件-理论力学II-第12-15次课

1、第五章第五章刚体定点运动刚体定点运动自由刚体运动自由刚体运动刚体运动的合成刚体运动的合成陀螺仪近似理论陀螺仪近似理论补充： 矢量运算的矩阵形式一一 矢量的坐标列阵和方阵矢量的坐标列阵和方阵矢量a在坐标轴上ox、oy和oz上的投影为a1、a2和a3，则 123Taaaa 323121000aaaaaaa为矢量a在坐标系oxyz中的坐标列阵为矢量a在坐标系oxyz中的坐标方阵二二 矢量运算的矩阵形式矢量运算的矩阵形式设任意矢量a、b、c在坐标轴oxyz上的坐标列阵为 、 、 ， , , cabc = abc = ab 若则则四种矢量运算及其所对应的矩阵形式为：在坐标系oxyz中的坐标方阵为 、 、

2、 a b c a b c , b , bbkak ak a 若则 , Tka bk = ab若则 , ca bc = ab若则圆盘的运动分析 5 51 1 刚体绕定点运动的运动学描述刚体绕定点运动的运动学描述 刚体运动时，若体内或其外延部分上有一点在空间的位置刚体运动时，若体内或其外延部分上有一点在空间的位置 保持不变，则这种运动称为保持不变，则这种运动称为刚体绕定点运动刚体绕定点运动。1.1.运动方程运动方程 以定点以定点O为原点，为原点， 取定坐标系取定坐标系Oxyz 另取与刚体固结的动坐标系另取与刚体固结的动坐标系zyxOON节线节线 进动角进动角 自转角自转角 章动角章动角 欧拉角欧拉

3、角)()()(321tftftf，刚体绕定点运动的运动方刚体绕定点运动的运动方 程程 2. 欧拉角-节线ON相对坐标轴Ox的夹角，称为进动角；-坐标轴Oz相对坐标轴Oz的夹角，称为章动角； -坐标轴Ox相对节线ON的夹角，称为自转角；节线ON: 动坐标平面Oxy与定坐标平面Oxy的交线；坐标系Ox0y0z0到坐标系Ox3y3z3，位置变化可以通过以下三次连续转动来实现： Ox0y0z0首先绕Oz0轴转动角，到达坐标系Ox1y1z1 标的位置；在此基础上，坐标系Ox1y1z1 绕Ox1轴转动角,到达坐标系Ox2y2z2的位置。最后，坐标系Ox2y2z2绕Oz2轴转动角到达坐标系Ox3y3z3位置

4、。( )( )( )ttt012,00011 1222333OzOxOzOx y zOx y zOx y zOx y z 方向余弦矩阵及其性质112131ccc设某刚体相对定坐标系Oxiyizi绕O点运动，坐标系 Oxjyjzj为该刚体的连体坐标系；坐标系Oxjyjzj 位置可以用该坐标系的三根坐标轴在定参考系Oxiyizi的各方向余弦来刻画。设Oxj、Oyj 、Ozj轴在定坐标系Oxiyizi中的方向余弦为：122232ccc132333ccc排成矩阵111213212223313233ijcccccccccc 称为方向余弦矩阵方向余弦矩阵及其性质方向余弦矩阵的性质1. 方向余弦矩阵为正交矩

5、阵，行列式值为11Tijijjicccdet1ijc 2. 任意矢量a在坐标系 Oxiyizi和坐标系Oxjyjzj中坐标列阵（坐标方阵）之间满足关系 ijijaca Tijijijacac方向余弦矩阵及其性质方向余弦矩阵的性质4. 方向余弦矩阵存在等于1的特征值ikijjkccc3. 任意三套坐标系 Oxiyizi、Oxiyjzj和Oxkykzk之间的方向余弦矩阵满足 det0ijEc012,00011 1222333OzOxOzOx y zOx y zOx y zOx y z 欧拉与方向余弦矩阵的关系欧拉角和方向余弦之间的关系03011223cccc01cossin0sincos0001c

6、 121000cossin0sincosc 23cossin0sincos0001c 03coscossincos sincossinsincoscossinsinsincoscoscos sinsinsincoscoscoscossinsincossincoscosc 欧拉角的定义欧拉定理欧拉定理：做定点运动的刚体的任何位移，可以由此刚体绕过某轴的一次转动来实现。设O为定点，三角形OAB完全可以确定刚体位置。作三角形OAA及OBB的垂直平分面，交于直线OC，在直线OC上取一点D，则四面体ODAB与四面体ODAB全等整个刚体的方位变化可以看成是绕OC轴的一次转动设任意两套共原点的坐标系OXiY

7、iZi和OXjYjZj，根据欧拉定理，从坐标系OXiYiZi到OXjYjZj 的位置变化，可以由坐标系OXiYiZi ，绕过点O的某轴线ON旋转一角度来实现。称轴线ON和转角为坐标系OXiYiZi到OXjYjZj 的欧拉轴线和欧拉转角；可以将坐标系OXjYjZj 相对坐标系OXiYiZi的方向余弦矩阵用欧拉轴线和欧拉转角表示。设ON的单位矢量在坐标系OXiYiZi的列阵为 ，坐标系OXjYjZj 相对坐标系OXiYiZi的方向余弦矩阵 就是关于n1，n2，n3和的函数欧拉定理方向余弦矩阵与欧拉轴欧拉转角的关系123TnnnijC211231322123223121322313(1 cos )c

8、os(1 cos )sin(1 cos )sin(1 cos )sin(1 cos )cos(1 cos )sin(1 cos )sin(1 cos )sin(1 cos )cosijnn nnn nncn nnnn nnn nnn nnn 刚体做定点运动时，可将时间区间t0,T分成若干小段其分点为。01210 , , , , , iiitt tttTtti t 在每一小段时间间隔t内，即刚体由ti时刻到ti+1时刻的刚体方位变化等价看成是绕某轴OC*i转过*i角。*iit平均角速度为平均角速度方向为OC*i瞬时角速度为*0limiitt 瞬时角速度的方向为OC*i极限位置OCi， OCi为t

9、i瞬时转轴位置结论：刚体绕定点运动可以看成是一系列绕瞬时转轴的转动合成。瞬时转轴在空间不断变化，它在定参考系空间形成以定点O为为顶点的锥面，称为静瞬时轴面，简称静锥。同样瞬时转轴在刚体内部的位置也不断变化，它在刚体上留下的轨迹构成动瞬时轴面，它也是以O点为顶点的锥面，简称动锥。静锥在定参考系中静止不动，动锥与刚体相固结。刚体做定点运动时可看成动锥在静锥上做无滑动滚动。3.3.瞬时转动轴瞬时转动轴角速度角速度角加速度角加速度 为描述刚体角速度的变化快慢，引入刚体角加速度的概念。瞬时角加速度为0limtt 思考？瞬时角加速度的方向是什么？与角速度同向吗3.3.瞬时转动轴瞬时转动轴角速度角速度角加速

10、度角加速度 3.3.瞬时转动轴瞬时转动轴角速度角速度角加速度角加速度 tttddlim0一般情况下一般情况下与与 不共线不共线 方向沿角速度矢量的矢端曲线的切线。方向沿角速度矢量的矢端曲线的切线。 定点运动刚体上各点的速度和加速度设某刚体相对定参考系ox0y0z0绕定点O运动，M是刚体上的任意一点。t时刻点M的矢径为r，t+t时刻矢径变为r，根据欧拉定理，刚体从t时刻到t+t的位置变化可以由刚体绕某一轴线ON旋转某一角度来实现。过M点做与轴线ON垂直的平面，垂足为O，显然M也在平面内。沿ON做单位矢n，过M点做单位矢e1,e22 nrenr1 MoeMo 12 sincos22rrere 设矢

11、量r与矢量n的夹角为 sinnrr直角三角形OOM中有： sinMor cosMOOOOMOO nrrnr 定点运动刚体上各点的速度和加速度 cosoor 22sincossin2rrnrnr 等腰三角形OMM中有： 2sinsin2rr因此：0 limtrvt 20002sincossin2lim limlimtttrnrnrrvnrtttr 定点运动刚体上各点的速度和加速度vr ()ddrardtdtrvrr矩阵表示，定参考系中 000vr vr 矩阵表示，连体坐标系中角速度合成定理aavr点的合成运动中的速度合成定理讨论刚体相对不同参考系的角速度之间的关系如图所示，某刚体相对固定坐标系o

12、x0y0z0做定点运动，另有一动坐标系oxyz也相对固定坐标系做定点运动。刚体相对固定坐标系和动坐标系的的角速度为a和r，在该瞬时动坐标系相对固定坐标系的角速度为e。讨论三个角速度之间的关系rrvreevraer连体矢量对时间的导数、绝对导数与相对导数BAABrr 连体矢量对时间的导数刚体上任意两点的有向线段称为刚体的连体矢量设某刚体相对固定坐标系ox0y0z0做定点运动，有向线段AB是刚体的任一连体矢量，rA和rB分别表示点A和点B的矢径，有 ()BABABABAABdrdrd ABdtdtdtvvrrrrr 000000112233aa ea ea e绝对导数与相对导数的关系同一矢量对不同

13、参考系的变化率是不同的，那么这些变化率之间有什么关系？设某动坐标系Oxyz相对固定坐标系Ox0y0z0绕O做定点运动，其角速度为，设一变矢量a，该矢量在固定坐标系和动坐标系中的表达式为1 12 23 3aa ea ea e矢量a的绝对导数矢量a的相对导数000000312123dadadadaeeedtdtdtdt312123dadadadaeeedtdtdtdtdadaadtdt连体矢量对时间的导数、绝对导数与相对导数角加速度合成定理aaddt点的合成运动中的加速度合成定理讨论刚体相对不同参考系的角加速度之间的关系某刚体相对固定坐标系ox0y0z0做定点运动，另有一动坐标系oxyz也相对固定

14、坐标系做定点运动。刚体相对固定坐标系和动坐标系的的角速度为a和r，在该瞬时动坐标系相对固定坐标系的角速度为e。同样，有绝对角加速度a 、相对角加速度r 、和牵连角加速度e aerrrddteeddtaerer4.4.刚体上各点的速度和加速度刚体上各点的速度和加速度 vrddddddvrartttarvra1转动加速度转动加速度 大小为大小为2h方向垂直于方向垂直于 和和r指向如上图。指向如上图。2av向轴加速度向轴加速度 其大小为其大小为12h方向垂直于方向垂直于 和和v指向瞬轴。指向瞬轴。 刚体绕定点运动时，刚体内任一点的速度等于绕瞬轴刚体绕定点运动时，刚体内任一点的速度等于绕瞬轴 转动的角

15、速度与矢径的矢量积；该点的加速度等于绕瞬轴转动的角速度与矢径的矢量积；该点的加速度等于绕瞬轴的向轴加速度与绕角加速度矢的转动加速度的矢量和。的向轴加速度与绕角加速度矢的转动加速度的矢量和。例例 5 51 1求：齿轮上点求：齿轮上点M 的速度和加速度。的速度和加速度。 设设 OA=l， 已知：行星锥齿轮的轴已知：行星锥齿轮的轴OA以匀角速度以匀角速度 , ,绕铅直轴绕铅直轴OB 转动转动 1AC=r。解：解： 齿轮中心点齿轮中心点A 的速度为的速度为 sinAvOA 点点A 绕定点绕定点O 在水平面内作圆周运动在水平面内作圆周运动 1AvOA绕瞬轴绕瞬轴OC 转动的角速度的大小为转动的角速度的大

16、小为 sin1= =常量常量 它沿着它沿着OC 指向如图所示指向如图所示 点点M 的速度为的速度为 1112 cos2 sin2sinsinMvMErll它的方向垂直于平面它的方向垂直于平面 OMC 指向如图指向如图 行星齿轮的角速度为行星齿轮的角速度为 ddt因为因为 只改变方向不改变大小只改变方向不改变大小 而且它和而且它和z z 轴间夹角轴间夹角的大小保的大小保 持不变，所以它的矢端曲线是持不变，所以它的矢端曲线是水平的圆周。水平的圆周。1ddt沿此圆周的切线，沿此圆周的切线， 指向指向 转动的一转动的一 方方 1的大小为的大小为cotcossinsin21111现在计算点现在计算点M的

17、加速度。的加速度。 转动加速度转动加速度 的大小的大小 为为 1a21211sincoscotllOMa它垂直由它垂直由 和和OM 形成的平面，形成的平面， 指向如图指向如图 向轴加速度向轴加速度 的大小为的大小为 2a21222sin2sin2llMEa它的方向自它的方向自M 指向点指向点E（在铅直平面（在铅直平面OAC 内）内） 21aaa2cos22122212aaaaa将将 值代入上式，值代入上式， 21aa 、并注意到并注意到 22sincotlrrrl和和得得221)(9rlla 5 52 2 自由刚体的运动自由刚体的运动)()()()()()(654321tftftftfztfy

18、tfxOOO，自由刚体运动方程自由刚体运动方程 自由刚体内任一点自由刚体内任一点M 的速度的速度 aervvvOv设动点设动点M M 在动坐标系在动坐标系 中的矢径为中的矢径为Or刚体绕基点刚体绕基点 转动的瞬时角速度为转动的瞬时角速度为Or则则vrrr自由刚体内自由刚体内任一点的速度公式任一点的速度公式为为 MOvvrr由于牵连运动为平移，由于牵连运动为平移， 自由刚体内任一点的加速度合成式为自由刚体内任一点的加速度合成式为 reaaaa其中其中Oaaerrrrraara为刚体绕基点为刚体绕基点 转动的瞬时角加速度转动的瞬时角加速度 O自由刚体内自由刚体内任一点的加速度公式任一点的加速度公式

19、为为 rr2r121araaaaaaOM， 5 53 3 刚体运动的合成刚体运动的合成刚体的任何复杂运动都可以由几个简单运动的合成而得到。刚体的任何复杂运动都可以由几个简单运动的合成而得到。 1.1.平移与平移的合成平移与平移的合成 小车上任一点的速度：小车上任一点的速度： 21vvvvver12reaaaaa当刚体同时作两个平移时，刚体的合成运动仍为平移。当刚体同时作两个平移时，刚体的合成运动仍为平移。 加速度：加速度： 2.2.绕两个平行轴转动的合成绕两个平行轴转动的合成 齿轮齿轮IIII上任一点上任一点M 的速度的速度 Mv牵连速度的大小为牵连速度的大小为 Mrvvvee1eMO方向垂直

20、于方向垂直于MO1相对速度的大小为相对速度的大小为 2vO Mrr方向垂直于方向垂直于MO2这时点这时点M 的速度等于的速度等于 与与 的矢量和。的矢量和。vevr瞬轴与两轴间的距离分别为瞬轴与两轴间的距离分别为 和和CO1CO2在点在点C reCOCO2r1eer21COCO与与 同向的情形如图同向的情形如图 er2122OvOOO Cea齿轮绕瞬轴转动的角速度为齿轮绕瞬轴转动的角速度为 21222OvOOO CO CaeCOCOOO2121era方向根据方向根据 的方向确定的方向确定 2O 当刚体同时绕两平行轴同向转动时，刚体的合成运动当刚体同时绕两平行轴同向转动时，刚体的合成运动 为绕瞬

21、轴的转动，绝对角速度等于牵连角速度与相对角速为绕瞬轴的转动，绝对角速度等于牵连角速度与相对角速度的和；瞬轴的位置内分两轴间的距离，内分比与两个角度的和；瞬轴的位置内分两轴间的距离，内分比与两个角速度成反比。速度成反比。当当 和和 反向时如图反向时如图erCOCOOO2121rea绝对角速度的转向，绝对角速度的转向，与与 中较大的一个相同。中较大的一个相同。 er 当刚体同时绕两平行轴反向转动，当刚体同时绕两平行轴反向转动， 刚体的合成运动为绕瞬轴的转动，绝对刚体的合成运动为绕瞬轴的转动，绝对 角速度等于牵连角速度与相对加速度之角速度等于牵连角速度与相对加速度之 差，它的转向与较大的角速度的转向

22、相差，它的转向与较大的角速度的转向相同；瞬轴的位置外分两轴间的距离，在同；瞬轴的位置外分两轴间的距离，在较大角速度的轴的外侧，外分与两个角较大角速度的轴的外侧，外分与两个角速度成反比。速度成反比。当当 和和 等值而反向时等值而反向时er0a 当刚体以同样大小的角速度，同时绕两平行轴而反向转当刚体以同样大小的角速度，同时绕两平行轴而反向转 动时，刚体的合成运动为平移，这种运动称为动时，刚体的合成运动为平移，这种运动称为转动偶转动偶。转动偶3.3.绕相交轴转动的合成绕相交轴转动的合成 er1 12222COCBOACvvvhhAAOACOCBAA点点C 的绝对速度等于零。的绝对速度等于零。 直线直

23、线OC 是刚体的瞬轴。是刚体的瞬轴。 ADA1AEAa1aAEADOACBOACBAAEOCAAD，11AEADOCOCa角速度角速度 的指向可由点的指向可由点A A 的速度方向确定。的速度方向确定。 a21a 当刚体同时绕两相交轴转动时，合成运动为绕瞬轴的转动，当刚体同时绕两相交轴转动时，合成运动为绕瞬轴的转动， 绕瞬轴转动的角速度等于绕两轴转动的角速度的矢量和。绕瞬轴转动的角速度等于绕两轴转动的角速度的矢量和。如果刚体绕相交于一点的如果刚体绕相交于一点的3 3个轴或更多的轴转动时个轴或更多的轴转动时 niin121 当刚体同时绕相交于一点的多轴转动时，合成运动为绕当刚体同时绕相交于一点的多

24、轴转动时，合成运动为绕 瞬轴的转动。绕瞬轴转动的角速度等于绕各轴转动的角速度瞬轴的转动。绕瞬轴转动的角速度等于绕各轴转动的角速度的矢量和，而瞬轴则沿此合矢量方向。的矢量和，而瞬轴则沿此合矢量方向。4.4.平移与转动的合成平移与转动的合成 （1 1）平移速度矢与转动角速度矢垂直的情形）平移速度矢与转动角速度矢垂直的情形 OvO C绕瞬轴转动的角速度绕瞬轴转动的角速度a等于绕动轴等于绕动轴 转动的角速度转动的角速度zO （2 2）平移速度矢与转动角速度矢平行的情形）平移速度矢与转动角速度矢平行的情形 刚体绕轴刚体绕轴 转动，同时又沿轴向运动转动，同时又沿轴向运动 螺旋运动。螺旋运动。zO 平移速度

25、与转动角速度的比值平移速度与转动角速度的比值 螺旋率。螺旋率。Ovp若以若以s表示刚体沿轴表示刚体沿轴 的轴向位移的轴向位移 zO 为刚体绕轴为刚体绕轴 的转角的转角 zO ddddOsvtt，螺旋率可写成螺旋率可写成 ddsp 一般情况下，螺旋率为一恒值，上式积分一次：一般情况下，螺旋率为一恒值，上式积分一次： ps 2sp2s s表示刚体转过一周沿轴前进的距离表示刚体转过一周沿轴前进的距离螺距螺距。 （3 3）平移速度矢与转动角速度矢成任意角的情形）平移速度矢与转动角速度矢成任意角的情形 刚体以角速度刚体以角速度 绕动轴绕动轴 转动，转动，zO 同时又以速度同时又以速度 平移，平移，OvO

26、v和和 之间的夹角为之间的夹角为 。 刚体的运动成为以刚体的运动成为以 的平移，和以的平移，和以 绕瞬轴绕瞬轴CC 的转动的转动 的合成运动的合成运动瞬时螺旋运动瞬时螺旋运动。2v例例 5 52 2已知：如图所示，系杆已知：如图所示，系杆 以角速度以角速度 绕轴绕轴 转动，半径转动，半径 为为 的行星齿轮活动地套在与系杆一端固结的轴的行星齿轮活动地套在与系杆一端固结的轴 上，上， 并与半径为并与半径为 的固定齿轮相啮合。的固定齿轮相啮合。21OOe1O2r2O1r求：行星齿轮的绝对角速度求：行星齿轮的绝对角速度 。 2以及它相对于系杆的角速度以及它相对于系杆的角速度 。 r解：解：er21rr

27、行星齿轮相对于系杆的角速度为行星齿轮相对于系杆的角速度为 e21rrr行星齿轮的绝对角速度为行星齿轮的绝对角速度为 e21er2)1 (rr2.2. 以逆时针为正以逆时针为正 1.1.211r2rrrre2re2r1e10，r2rer1e21rrre212)1 (rr例例 5 53 3已知：行星齿轮已知：行星齿轮IIII与固定锥齿轮与固定锥齿轮I I相啮合，可绕动轴相啮合，可绕动轴 转动，而动轴以角速度转动，而动轴以角速度 绕定轴绕定轴 转动。设在点转动。设在点C 处轮处轮I I的半径为的半径为 ，轮，轮IIII的半径为的半径为 。 2OOe1OO1r2r求：锥齿轮求：锥齿轮IIII相对于动轴

28、的角速度相对于动轴的角速度 。 r解：解：1e2rOOOOe21e12rrrOOOO2.2.研究齿轮研究齿轮I I和和IIII相对于动轴相对于动轴 的运动的运动2OO如图所示如图所示 两齿轮相对于动轴两齿轮相对于动轴 的角速度分别为的角速度分别为 和和2OO1r2r传动比传动比211rr2rr将将 代入上式代入上式1er得得e21rr2rr1.1.例例 5 54 4已知：框架已知：框架K和轴和轴A一起以角速度一起以角速度绕轴绕轴I IIIII转动，半径转动，半径 为为 和和 彼此相固结的两个伞齿轮彼此相固结的两个伞齿轮B和和C 可在轴可在轴 A上自由转动。伞齿轮上自由转动。伞齿轮B与轴与轴I

29、I上半径为上半径为 的伞齿轮的伞齿轮 D 相啮合，伞齿轮相啮合，伞齿轮C与轴与轴IIII上半径为上半径为 的伞齿轮的伞齿轮E相相 啮合。轴啮合。轴I I的角速度的角速度 和轴和轴IIII的角速度的角速度 。1r2r1R2RIII求：框架的角速度求：框架的角速度和齿轮和齿轮B相对于框架的角速度相对于框架的角速度 。 Br解：解：IIIIrIIr，齿轮的传动关系如下齿轮的传动关系如下 22BrIIr11BrIrRrRr，和和 中必定有一个的转向与图示的转向相反中必定有一个的转向与图示的转向相反 IIrBr1221IIIRrRr2112II21I12RrRrRrRr)(I11Ir11BrrRrR)(

30、III211221BrRrRrRR例例 5 55 5求：求：t=1s时陀螺绕瞬轴转动的角速度。时陀螺绕瞬轴转动的角速度。 已知：陀螺绕定点运动时，如图所示已知：陀螺绕定点运动时，如图所示3 3个欧拉角表示的运动个欧拉角表示的运动 方程为方程为式中式中223246ttt，t以以s s计计 以以rad计计，解：解：24034t，当当t t=1s=1s时时2407，a因为因为0rad/s27.30cos222a 332123)180sin(arcsinattt246322， 5 54 4 陀螺仪近似理论陀螺仪近似理论陀螺现象陀螺现象 工程中把具有一个固定点，并绕自身的工程中把具有一个固定点，并绕自身

31、的 对称轴高速转动的刚体对称轴高速转动的刚体陀螺陀螺。设陀螺以设陀螺以 绕对称轴绕对称轴 转动转动zO 轴又以角速度轴又以角速度 绕定轴绕定轴Oz 转动转动ezO ea)e(ddOOMtL自转自转进动进动在一般情况下，在一般情况下，与自转轴与自转轴 不重合。不重合。) e (OOML，zO 其中其中 是陀螺对于对称轴是陀螺对于对称轴 的转动惯量的转动惯量zJzO 动量矩矢近似与对称轴动量矩矢近似与对称轴 重合重合zO 其大小等于其大小等于zJtLuOdd)e(OMu质点系动量定理的运动学解释质点系动量定理的运动学解释 赖柴定理赖柴定理质点系对某定点的动量矩矢端的速度等于外力对同一点的主矩。质点

32、系对某定点的动量矩矢端的速度等于外力对同一点的主矩。 zOJL)e(ddOOMtL1.1.自由陀螺保持自身对称轴在惯性参考系中的方位不变自由陀螺保持自身对称轴在惯性参考系中的方位不变 不计摩擦，外力对其质心不计摩擦，外力对其质心O 的力矩为零的力矩为零 自由陀螺自由陀螺0dd0)e(tLMOO，OL恒量恒量2.2.陀螺受力矩的作用，当力矩矢与对称轴不重合，对称轴将进动陀螺受力矩的作用，当力矩矢与对称轴不重合，对称轴将进动 )(PMuO根据赖柴定理根据赖柴定理在重力在重力 的持续作用下，的持续作用下，P对称轴对称轴 将绕将绕Oz 转动转动 zO 这种运动称为进动这种运动称为进动 zOJLuee)e(eOzMJsin)e(ezOJM3.3.陀螺效应和陀螺力矩陀螺效应和陀螺力矩 陀螺效应陀螺效应是