最新定积分的概念教学案例设计

1、精品文档定积分的概念教学案例设计1教学目标及重点、难点1.1教学目标知识目标：1 .通过求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，了解定积分概念的实际背景意义；2 .借助于几何直观理解定积分的基本思想，了解定积分的概念，会应 用定积分的定义求函数的定积分.3 .理解掌握定积分的几何意义和性质；能力目标：体会“以直代曲”，“无限逼近”，“近似代替”等数学思想.情感态度价值观：体会定积分在实际问题中的应用，体会数学的强大威力.1.2 教学重点微元法思想和定积分的基本性质1.3 教学难点无限细分和无穷累积的思维方法2教学过程简录2.1 实例铺路，引出课题教师：“回忆前面曲边图形面积，变速运动的路程，变力

2、做功等问题的解决方法, 解决步骤是什么？”学生：招斗见直代曲T求而二取极限（逼近）教师：”对这四个步骤再以分析、理解、归纳，找出共同点.”师生共同归纳得出，以上两个例子尽管来自不同领域，却都归结为求同一结构的和式的极限.我们以后还将看到，在求变力所作的功、水压力、某些空间体的体积等许 多问题中，都会出现这种形式的极限，因此，有必要在数学上统一对它们进行研究.2.2 演示验证，直观感知教师：“让我们再次回顾解决曲边梯形的面积的方法，体会当中蕴含的数学思想 （教师动画演示对曲边梯形的分割过程）II 1IIT1'?A0n-ITTMi nF他IWJ楣I产杵47精品文档这是曲边梯形的过剩近似值的

3、拟合效果，请同学们再观察其不足近似值的动画演示，二二三三二一：二二 d .1- p d" p .p p p p ri up ri .1- dpi p p i.鼠 R,艮 h:1,.a F1,，U4P.二 1 一一FE三三EI 三二 3教师：体现了哪些数学思想，哪位同学说说？学生1:以上对曲边梯形的无限分割体现了 “无限逼近”的思想。学生2:还有“近似代替”的思想，用不足近似值和过剩近似值代替曲边梯形的面积，以及“以直代曲”的思想.教师：这种求面积的方法具有普遍意义，为此，引入定积分的概念.2.2.1 定积分的概念设函数f (x)在区间a,b上有定义，任意用分点a xo x x?Xn

4、b将a,b分成n个小区间，用xi xi为1表示第i个小区间的长度，在x,xi上任取一 点i ,作乘积f( i)为，i 1,2, ,n.再作和n f( i) Xi . i 1若当 max xj0时，上式的极限存在，则称函数f(x)在区间a,b上可积，并称此1 i n极限值为f (x)在a,b上的定积分，记作f(x)dx.即 abna f (x)dx limof ( i) xi .(1)a0 i 1其中f(x)称为被积函数，f(x)dx称为被积表达式，x称为积分变量，a,b称为积 分区包，a,b分别称为积分;1限和上限.许多实际问题都可用定积分表示.例如，若变速直线运动的速度为v(t),则在时间区

5、间a,b上，物体经过的路程为bs v(t)dt.(2)a同理，图51所示的曲边梯形面积可表为bA f (x)dx(3)a图51b变力做功W F(r)dr(4)aI . f(x)在a,b可积，是指不管对区间分划的方式怎样，也不管点i在小区问X 1,x上如何选取，只要 0,极限值总是唯一确定的.哪些函数是可积的呢？定理 在闭区间a,b上连续的函数必在a,b上可积；在区间a,b上有界且只有有 限个间断点的函数也必在a,b上可积.II .定积分是一个数，只取决于被积函数与积分区间，而与积分变量的记号无关，即bf(x)dx abf (u)du abf (t )dt .aIII .定义定积分时已假定下限a

6、小于上限b,为便于应用，规定当b a时,f (x)dxab f(x)dx .ba f(x)dx表示如图所示的曲ba f(x)dx A.af (x)dx 0.a2.2.2定积分的几何意义I .若f (x) 0 ,则积分 边梯形的面积，即特别地，当a b时，有b f (x)dx 0。a针对训练：用定积分表示下列图形的面积(两名学生上黑板板书)学生 1:12xdx03学生 2：4 sin xdx0随堂检测：利用定积分的几何意义求值(2) 2、,4 x2dx(请两名同学在黑板上板演，并解说自己的想法 )学生3:(略)学生4:被积函数丫="? 2,2表示圆心在原点，半径为2的半圆，此积分计算的

7、是半圆的面积绘笄为2W嫩b祺积分计算的是半圆周的面积。5 1(1) 2 (2x 4)dx 1 x dx学生5:(略)学生6:(略)bII .若f(x) 0,则积分 f(x)dx表示如图5 3所示的曲边梯形面积的负值，即 ab这是显然的，因为此时曲边梯形各点处的高是f(x)而不是f(x).对定积分的几何意义的几点补充说明：根据定积分的几何意义，如何用定积分表示图中阴影部分的面积 ？学生7:可以用两部分面积的差表示:bbb轴上方的图形面积减去X轴下方的图形面积：bf（x）dx A A2 A3, a2.2.3定积分的性质根据定积分的定义,b性质1 1dx ba不难得出定积分的如下性质:a性质2性质3

8、性质4bkf (x)dx abfi(x)abf(x)dxabk f (x)dx (其中k是不为0的常数) abbf2(x)dxf1(x)dxf2(x)dxaacbf (x)dx f(x)dx (其中 a c b)ac（定积分的线性性质）（定积分的线性性质）（定积分对积分区间的可加性）教师：你能将性质4可加性推广到更一般的情况吗？（学生展开讨论，选取几个油代表性的，师生共同归纳得出）说明：推广:推广:bafi(x) abf (x)dxaf2(x) LCif (x)dx afm(x)dxC2f (x)dxba fi(x)dxbba f2(x)dxba fm(x)a性质解释:性质1y= 1S

9、4;边梯形AMNB断边梯形 AMPC练习：1、学生8:2、L f (x)dxckS®边梯形CPNB根据定积分的可加性，可将下列定积分o (2x x2)dx 表小为?120(2x x2)dx计算定积分:5(1) 0(2x 4)dx22 xdx02x2dx0(2)o1 1x2dx学生2.39: （2）式表小半圆发散思考，深入探索不计算积分，比较下列各组积分的大小1xdx 012 .x dx0；;E（1,0）精品文档精品文档定积分的几何意义练习(2)2xdx11xdx0sin xdx22 .x dx；ln(1 x)dx ；2sin xdx0(四名同学板演，教师巡视，各小组共同讨论得出)学生10:在同一区间内，函数值大的，对应的定积分值大。学生11:同一函数在不同区间内的积分值比较大小，先看函数值的正负，再看区间范 围的大小.教师：表述更严谨应该怎么说？学生11:应该是区间长度的大小.教师：推广到一般情形呢？:学生12:若在区间a,b上，f(x) 0,则b _f(x)dx 0 .a学生13:若在区间a,b上，f(x) g(x),则bbf (x)dx g(x)dx . aa学生14:先画图再定值.bb比较积分区间上两函数大小，再由 f(x)dx g(x)dx即得 aa1令 F(x) x ln(1 x), F(x) 10, F(x) F(0) 0.1 x2.4归纳