第5讲一次函数之存在性问题尖子班讲义

1、一次函数之存在性问题(讲义)一、 知识点睛函数背景下研究存在性问题，先把函数信息转化为几何信息，然后按照存在 性问题来处理.求坐标：.求函数表达式： 研究几何图形：L二、精讲精练1 .如图，直线y x 2与坐标轴分别交于A,B两点，点C在y轴上，且丝 -3AC 2直线CD，AB于点P,交x轴于点D.(1)求点P的坐标；(2)坐标系内是否存在点M,使以点B, P, D, M为顶点的四边形为平行四 边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.2 .如图，在平面直角坐标系中，直角梯形 OABC的边OC, OA分别与x轴、y轴重合，AB/OC, /AOC=90°, /BCO=45&#

2、176;, BC=672 ,点C的坐标为(-9, 0).(1)求点B的坐标.(2)如图，直线BD交y轴于点D,且OD=3,求直线BD的表 达式.(3)若点P是(2)中直线BD上的一个动点，是否存在点P,使以O, D, P 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点 P的坐标；若不存在，请说 明理由.19(3)在(2)成立的情况下, 若存在，求出点P的坐标;3 .如图，直线y=kx-4与x轴、y轴分别交于B, C两点，且OC 4(1)求B点的坐标和k的值.(2)若点A (x, y)是第一象Bg内的直线y=kx-4上的一个动点，则当点A运动 到什么位置时，小OB的面积是6?x轴上是否存在点P,使4

3、POA是等腰三角形? 若不存在，请说明理由.4 .如图，在平面直角坐标系中，点 A, B分别在x轴、y轴上，OA=6, OB=12, 点C是直线y=2x与直线AB的交点，点D在线段OC上，OD=2卮(1)求直线AB的解析式及点C的坐标；(2)求直线AD的解析式；(3) P是直线AD上的一个动点，在平面内是否存在点 Q,使以O, A, P, Q 为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.15 .如图，直线y -x 2与x轴、y轴分别父于A, B两点，点C的坐标为-3,0 , 21P (x, y)是直线y - x 2上的一个动点(点P不与点A重合).2(1)在P点运动过程

4、中，试写出 AOPC的面积S与x的函数关系式；(2)当P运动到什么位置时，zOPC的面积为27 ,求出此时点P的坐标；8(3)过P作AB的垂线分别交x轴、y轴于E, F两点，是否存在这样的点P, 使在OF0/XBOA?若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.三、回顾与思考【参考答案】 一、知识点睛 函数表达式求出或表达出坐标；线段长转坐标. 坐标代入；k, b几何意义. 坐标转线段长；k, b几何意义.二、精讲精练1.解：（1）方法一：由 y x 2知 A （0, 2）, B （- 26，0） 3 .OA=2, OB=2逐.OA 1. -AC 2 .AC=4,则点C坐标为（0, 6） 可

5、设 CD: y=kx+6又直线CD LAB.，3 _ d k 1 k= - 3 3y* .直线 CD: yV3x 6.3-联立y Tx 2 解得：x My .3x 6y 3 . P （ ,3,3）方法二：,3x 2知 OA=2, OB=2#3,且/ ABO=30 3.OA 1 AC 2 .AC=4, WJ OC=6v CDXAB/ BDP=60°OD=2,3过P作PELx轴于点E设 DE=m在 RtPDE 中，/ PDE=60° . PE= %3 m在 RtPBE 中，/ PBE=30° BE=3mDE+BE=BD,即 m+3m=2x/3 +273m=73 , M

6、 OE= 2#-痒 V3 . P (向 3)(2)存在；满足题意的点 M如图所示：V B (-2曲，0), D (2 卮 0), P (4,3)Mi(3.3, 3) , M2(5、3, 3), M3( 3, 3)2.解：(1)过点B作BEx轴于点E在RDBCE中，/BCO=45°, BC=672BE= CE=BC.2=6. C (-9, 0) .OC=9 . OE=OC-CE=9- 6=3 .B (-3, 6)(2) v AB/OC, BEXOC, AOXOC 四边形ABEO是矩形 .AO=BE. OD=3 .AD=AO-OD=3对于直线BD, kADAB31, b=OD3. .直线

7、 BD: y=-x+3(3)如图，作OD的垂直平分线交直线BD于点P,交丫轴于点E,则APOD 为等腰三角形一 13.OE=-OD=3-22一. P的纵坐标为3 2V 直线BD: y=-x+3.3-=-x+32解得：x=- 2如图，以。为圆心，以OD长为半径作圆，交直线BD于点P.,OD 1 OF OD=OF又F在直线BD上.F点即为P点,P (3,0)如图，以D为圆心，以OD为半径作圆，交直线BD于点Pi, P2,分别过点P,P2向y轴作垂线，垂足为G, H- k PG 1在 RD PGD 中,DG = PG =PD33. 2二 OG ODDG3.26 3.2 P32 P 26 3x2同理，

8、可得F2HDH3.22OH=ODDH3、26 3 23、.2 6 3、2、一P2(,)22综上，P点坐标为3-,-2 2、(3,0)3-26 3,23；2 6 3.2y=-4,故C的坐标是3.解：(1)在 y二kx-4 中，令 x=0, (0, -4) , OC=4,.OC 4OB 3；OB=3, WJ B 的坐标是：(3, 0), 把B的坐标代入y=kx-4,得：3k-4=0,解得:k= - °3(2) ,S=24 ,解得 x=6,代入 y=- x-4 W3得 y=4,.A点坐标为（6, 4）*O（3）如图所示:P2（2石，0）P3P44.(12, 0)(13, 0)3解：(1)

9、v OA=6, OB=12,.'A;直线(6,AB:0), B (0,y=-2x+1212)联立2x2x12C(2)6)如图，过点D作DEx轴于点E.在 RtAODE 中，0口=2而， .OE=2, DE=4D (2, 4).,直线 AD: y=-x+6(3)当OA=OP时，如图,Pi (0, 6), Qi (6, 6)当AO=AP时，如图，过点P2、P3分别作P2M，x轴于点M, P3N，x轴于点N在 RtzXAP2M 中，/OAP2=45°, AP2=6, AM=P2M = 3 2P2 (6-3&, 372)同理P3 (6+3应，-3亚)Q2 (-3V2 , 3拒

10、)，Q3(3V2 , - 3V2)当PO=PA时，如图，P4 (3, 3), Q4 (3, -3)综上，Qi (6, 6), Q2 (-3/，3/2), Q3 (3及，-372), Q4 (3, -3)15.解：(1)二.直线y x 2与x轴、y轴分别父于A, B两点 2 .A (-4, 0) , B (0, 2). C (-3, 0)OC=31- P (x, y)是直线y -x 2上的一个动点23x 343x 34(2)当x>-4时，由题意得：2783x+3=41 x=-2当x<-4时,3=278x=172179- P（ k，9） 24综上可得：p（L9p（-,-）,2 424(

11、3)如图， EOFABOAE (-2, 0), F (0,-4)直线EF解析式：y=-2x-4y 2x 4 x 4 联立 1 得：x 4y x 2 y 4 212 4 .P( 12,4) 5 5如图， EOFABOA E (2, 0), F (0, 4) 直线EF解析式：y=-2x+4y 2x 4x 4联立 1 得：x 4y x 2 y 424 12P (4 上)5 , 5综上可得：P ( -,4)或P (-,-).5 55 5一次函数之存在性问题(每日一题) 31 .如图，在直角坐标系中，一次函数 y二x 2的图象与x轴父于点A,与y3轴交于点B.(1)已知OCLAB于C,求C点坐标；(2)

12、在x轴上是否存在点P,使PAB为等腰三角形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.2 .如图，一次函数y= T3x 73的函数图象与x轴、y轴分别交于点A, B,以 线段AB为直角边在第一象限内作 RtABC,且使/ ABC=30° .(1)求 ABC的面积；3(2)如果在第二象限内有一点 P (m,),试用含m的代数式表小 APB的面积，并求当 APB与4ABC面积相等时m的值；(3)在坐标轴上是否存在一点 Q,使4QAB是等腰三角形？若存在，请直接写 出点Q所有可能的坐标；若不存在，请说明理由.3 .如图，在平面直角坐标系中，直线 y=x+1与y=-3x+3交于点

13、A,分别交x4轴于点B和点C,点D是直线AC上的一个动点.(1)求出点A, B, C的坐标；(2)在直线AB上是否存在点E,使得以点E, D, O, A为顶点的四边形是平 行四边形？如果存在，求出点 E的坐标；如果不存在，请说明理由.4 .如图，平面直角坐标系中，四边形 OABC为直角梯形，CB/OA, / OCB=90° , CB=1, AB=T5,直线y 2x 1过A点，且与y轴交于D点.(1)求点A、点B的坐标；(2)试说明：ADXBO;(3)若点M是直线AD上的一个动点，在x轴上是否存在另一个点N ,使以O, B, M, N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出 N点的坐标

14、，若不存在， 请说明理由.15 .如图，在平面直角坐标系中，直线li:y= -x 6分别与x轴、y轴父于点B,C,且与直线l2：y= x父于点A. 2(1)求出点A, B, C的坐标；(2)若D是线段OA上的点，且ACOD的面积为12,求直线CD的函数表达式；(3)在(2)的条件下，设P是射线CD上的点，在平面内是否存在点 Q,使以 O, C, P, Q为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点 Q的坐标；若不存 在，请说明理由.【参考答案】【1题】解：(1)如图，过C作CDLOB于点D. A ( 2 出,0), B (0, 2)在 RtzXABO 中，OB = 2, OA= 2>/3.A

15、B= .(2 3)2 22 4 ./ CAO = 30° ./ BCD =/ BOC=30°在 RtzXOCB 中，OB = 2,BC= 1 在 RtzXCBD 中，BD=二，CD= 22一 一 3 .OD=OB-BD= 32c (-冬 |)(2)Pi ( 2>/l 4 , 0), P2 (4 2>/l, 0),提示：如下图，以A为圆心，AB长为半径作圆，与x轴交于Pi, P2两点，Pi,P2即为所求.APi = AP2 = 4,结合A点坐标，可求得 Pi, P2坐标.P3 (2VI, 0)提示：如下图，以B为圆心，BA长为半径作圆，交x轴于A、P3两点，P3点

16、即 为所求.连接BP3,则BAP3为等腰三角形，利用三线合一的性质，求得点 P3 坐标.P4(-273, 0) 3提示：如下图，作线段AB的垂直平分线，交x轴于点P4,利用/ BAO=300求 此点坐标.23【2题】解：(1)由条件知：A (1, 0), B (0, 舟在 RtzXABO 中，AB=T?(屈 2在 RtAABC 中，./ABC=30°AC=AB 2.3. c 2 3 Sk ABC=31 (-m)2(2) S四边形 POAB= SaOBP+ SkAOB ' SkOBP =Sa AOB= , 1 33 =22二 SaAPB =当 SaAPB =二S四边形POAB=

17、 -S四边形POAB-Sa AOP= -工+2(m< 0)出时3即m=- 6(3)存在.Qi (-1, 0), Q2 (3, 0), Q3 (0, -73)提示：以A为圆心，AB长为半径作圆，分别交坐标轴于点 Qi, Q3, Q2.则QiA=Q2A=2,由A点坐标可知Qi、Q2坐标.连接AQ3,则4BAQ3为等腰三角形，由三线合一可得 Q3点坐标.Q4 （0, 2+5, Q5 （0, V3 2）提示：以点B为圆心，AB长为半径作圆，交y轴于点Q4, Q5 （因为4ABQ1为 等边三角形，则其与x轴交点即为Qi, A）.由BQ4=BQ5=2,结合B点坐标， 可得Q4, Q5坐标.Q6 （0

18、,）3提示：作AB的垂直平分线交y轴于点Q6 （因为 ABQi为等边三角形，则其与 x轴交点即为Qi）.由垂直平分线性质，可以在 RtAQ6O中，利用 /Q6AO = 30°,求得OQ6的长，即得点Q6坐标.【3题】解：（1） 丁点B是直线y= x+ 1与x轴的交点点B的坐标为（-1, 0）二,点C是直线y= - - x+ 3与x轴的交点 4点C的坐标为（4, 0）丁点A为直线y= x+ 1与直线y= -x 3的交点 4y x 1联立： 3y x 3871574x解得：y8 15 点A的坐标为（8J）7 729（2）如图1,当四边形OAED为平行四边形时v AB/ OD直线OD解析式

19、为：y=x点D为直线OD与直线AC的交点联立:解得:,.Ax3x 3412712712 127,78 15,7 720 27,7 7如图2,当四边形ODAE为平行四边形时. OE/ AC直线OE的解析式为：v= -x4点E为直线OE与直线AB的交点3y -x联乂： 44解得:7374 3、7，”31解得:如图3,当四边形OADE为平行四边形时. OE/ AC直线OE的解析式为：v= -x4点E为直线OE与直线AB的交点3 y x4y x 14737综上可得:20 27,E的坐标为（3，"）或（【4题】, 1(1)当y=0时，代入y - x 1解得x=2点A的坐标是(2, 0)过点B作

20、BFLAO于点F,则四边形BCOF是矩形 .OF=BC=1 .AF=2-1=1AB=押 在RtABF中，由勾股定理，BF=Jab2 AF2 点B的坐标为（1,2）、，, 1（2）法一：当x=0时，代入y -x 12解得y=1 点D的坐标为（0, 1） .OD=BC=1根据（1）的结论，四边形BCOF是矩形， .OC=BF=2 . AO= OC=2. OD=BC,/ AOD = /OCB = 90° , AO= OC.AODAOCB ./ OAD=/COB / COB+/AOB=90° ./ OAD+/AOB = 90° ./AEO=90° ,即：AD，B

21、O法二：二 BO所在的直线斜率为2, AD所在的直线斜率为 一2两条直线的斜率乘积是-1ADXBO（3）存在.由（1）知：点B的坐标为（1,2）当ON作为一边时，BM / x轴，且BM = ON1；M点纵坐标为2,代入y 2x 1解得：x= - 2.M点的坐标为（-2, 2） .BM=1- （-2） =1+2=3（i）点N在点。的左边时，ON = BM = 3点N的坐标为（-3, 0）（ii）点N在点。的右边时，ON = BM = 3.点N的坐标为（3, 0）1当ON作为对角线时，M点在x轴下万，且M点的纵坐标-2,代入y -x 1解得：x= 6.M点的坐标为（6,-2） BM的中点坐标为（7

22、,0）2ON的中点坐标为（7,0）2点N的坐标是（7, 0）综上所述，点N的坐标为（-3, 0）或（3, 0）或（7, 0）【5题】1解：（1） .4= x 6分别与x轴、y轴父于点B, C 2C （0, 6）, B （12, 0）.A为直线11、12交点L 62i x2x解得：y即 A (6, 3)(2)设 D (x,i-x) 0< x<62贝 SaCOD= 1 x2, 6= 3x= 1235x= 4D (4, 2)设直线CD表达式为：y=kx+ b,将C、D坐标代入得4k0解得y= - x+ 6(3)存在.提示：以点。为圆心，OC长为半径作圆，与射线CD交于点Pi,把APiOC

23、沿 PiC翻折，得到 PiQiC,则Qi即为所求.因为直线CD斜率为-1所以/OCD = 45° , Pi即为射线CD与x轴交点.此时 菱形为正方形.Q2 (3应，-3位)提示：以点C为圆心，CO长为半径作圆交射线 CD于P2点，将AOCe沿OP2 翻折得到 OQ2P2,则Q2点即为所求.过P2向y轴做垂线，交y轴于点E,则4CEP2是等腰直角三角形，可以得 P2 坐标，再由P2Q2/OC,且P2Q2 = OC,可得Q2坐标.Q3 (-3, 3)提示：作线段OC的垂直平分线交射线CD于点P3,将OCP3沿OC翻折得到 OCQ3,则Q3点即为所求.此时菱形为正方形.可得 Q3点坐标.一

24、次函数之存在性问题(随堂测试) .OC 11.如图，直线尸kx-1与“y轴分别交于邛两点，且OB -(1)求B点的坐标和k的值.(2)若点A (x, y)是第一象限内的直线y=kx-1上的一个动点，则当点A运动 到什么位置时， AOB的面积是2?(3)在(2)成立的情况下，x轴上是否存在点P,使4POA是等腰三角形？若 存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.49图2图1【参考答案】 1.解：(1)在 y kx 1 中，令x=0,则y=-1,C (0, -1), OC=1OC 1 一 -OB 2 .OB=2, B (2, 0): B在直线y kx 1上 2k 1 0.,1 k 2(2)由题

25、意知x 2,当x 2时，过点A作AD，x轴于点D,如图1.c1 1 c 1, CS>aaobOB AD 2 x 12222 x 6 2 ,满足题意. 1.丁点A在直线y x 1上2 .A (6, 2)(3)由(2)得OA 2屈,如图2.当OA=OP时，以O为圆心，OA的长为半径作圆，得 P 2710,0 , P2 2而,0当OA=AP时，以A为圆心，OA的长为半径作圆，得 P3 12,0当OP=AP时，取OA的中点为E,过点E作OA的垂线，交x轴于点P4.在 RtA ADP4 中，P4D=OD-OP4=6-OP4,AP42 AD2+P4D22 一2 OP42 + 6 OP410310存在

26、点P,使4POA是等腰三角形,P12710,0 , P2 2410,0 ,10 -P3 12,0 或 P4 ,0 3一次函数之存在性问题(作业)1 .如图，将RtAOB放入平面直角坐标系中，点 。与坐标原点重合，点A在 x轴上，点B在y轴上，OB=2J3,/BAO=30°,将4AOB沿直线BE折叠，使得边OB落在AB上，点。与点 D重合.(1)求直线BE的解析式；(2)求点D的坐标；(3) x轴上是否存在点P,使4PAD是等腰三角形？若存在，求出点 P的坐 标；若不存在，请说明理由.2 .如图，四边形ABCD为矩形，点D与坐标原点重合，点C在x轴上，点A 在y轴上，点B的坐标是(3,

27、 4),矩形ABCD沿直线EF折叠，点A落在 BC边上的G处，点E, F分别在AD, AB上，且F点的坐标是(2, 4).(1)求点G的坐标；(2)求直线EF的解析式；(3)坐标系内是否存在点M,使以点A, E, F, M为顶点的四边形为平行四 边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.3 .如图，在平面直角坐标系中，直线 y=-x+8与x轴、y轴分别交于点A, B, 点P (x, y)是直线AB上一动点(点P不与点A重合)，点C (6, 0), O是 坐标原点，设 PCO的面积为S.(1)求S与x的函数关系式.(2)当点P运动到什么位置时， PCO的面积为15?(3)过点P作AB的

28、垂线分别交x轴、y轴于点E, F,是否存在这样的点P,使 zEOF0 BOA?若 的坐标； 说明理【参考答案】1 .解：（1）在 RtAABO 中 / BAO=30°/ ABO=60°折叠之后点O、D重合丁. / EBO=30°在直角 BEO中/EBO=30°0 = 73OE又丁点B （0, 2邪）所以直线 BE: y=，,3x+2、,3（2）如图，过D作DGLOA于点G, ./ DEA=60° ,又 : DGXAO丁. / EDG=30°, = /3", ob= 2V3 OEOE=2在 RtADGE 中，/ EDG=30&

29、#176; , OE=2GE=1 , DG = 8,OG=1+2=3,.ED （-3,病（3）存在点P,使 PAD是等腰三角形；P （此时0）；如图，以点D为圆心DA长为半径画圆，与x轴交于异与点A的点点P与点O重合），连接DR,则DAR是等腰三角形，所以P1 （0,y*如图，以点A为圆心，以AD长为半径画圆，交x轴与点P2、P3,连接DP2、 /BAO=30。，OB= 2志,OA=6在 RtAADE 中， /DAE=30°, DE=2,AD=2 3. ap，= ap3= AD= 2 .3 OP2 =6+273 OR=6- 2M ?.点 P2 -6-2向,0，点 P3 273- 6,0如图，过线段AD的中点M,作线段AD的中垂线MR交x轴与点R ,连接DP,，则 ADP4是等腰三角形；YA在 RtAMP4 中，AM=1AD = T3, / MAP4=30° 2AP4 =2OP4=4,则点 P4 -4,0273-6,0、存在点P,使 PAD是等腰三角形，p (0, 0)、P2 -6-273,0 , P3R -4,02.解：(1) VF(2, 4), B (3, 4),四边形