第三讲-怎样分析两等量点电荷的连线上及中垂线上场强的变化规律

1、MNLh各点产生的场强 Ea、A证明：如图1所示，中垂线上任意一点C,令 OC=y AB=L,在 Rt AOC 和 Rt BOC 中,ACBC(2)2 y2怎样分析两等量点电荷的连线上及中垂线上场强的变化规律一、量等量异号点电荷的连线上及中垂线上场强的变化规律高中物理静电场部分，习题中往往要用到真空中两个等量异号点电荷的连线上场强E的变化规律和连线的中垂线上场强 E的变化规律。来考查两个场强矢量叠加的问题。 下面阐 述就此问题总结的两个规律的内容及其分析方法和过程。如图1所示，真空中两个等量异号点电荷的电量分别为Q、 Q ,连线为线段A B ,MN为AB中垂线，垂足为O。1.分析总结中垂线上

2、E的变化规律。中垂线MNL上各点场强的方向，可由电场线法或两点电荷在Eb按量矢量合成的平行四边形定则进行合成，通过画图可得到MNLh所有点合场强 E的方向都与OB平行且由A指向B,那 么E的大小有什么变化规律呢？很多资料上用电场线的疏密结合平行四边形定则，作出合 场强E的图形来定性的讨论总结E的大小变化规律，得出以上 结论。结论1 中垂线上O点处的E最大，沿射线 OM射线ON 方向E都逐渐减小，至无穷远处 E变为零。EaEbkq(AC)2Q、 Q在C点处的场强大小分别为Ea和Eb ,且kqz L 22(2)y显然以Ea、Eb为邻边作的平行四边形是菱形，且对角线代表的此点的和场强EcAB且 Ec

3、 2EAcos在Rt AOC中，有cosEc对上式进行讨论，因式中 k、q、L是常量，所以有:(1)当y=0时，Ec有最大值，且,、 L 2(2) 当y变大时，分母()223y22逐渐变大，那么Ec的值因单调递减而逐渐变小；(3)当y8时，即中垂线上距离。点无穷远处的位置E变为0,几乎不存在电场。从上述分析可以证明结论 1变化规律的正确性。2.分析总结AB两点连线上场强的变化规律此规律的总结如果仍用电场线理论和两场强矢量的叠加进行作图比较，归纳不出结论。但用类比的方法，把分子动理论中分子间相互作用的引力和斥力随距离变化的规律引用过来，就可以轻松准确地突破思维难关。如图所示，当分子间的距离a r

4、0时，分子间的引力和斥力相等，即用|二F斥。当a r0时，分子间的引力和斥力都要随着距离的增大而减小，但斥力比引力要减小得快， 总体表现为分子间的引力。当 a r0时，分子间的引力和斥力都要随着分子间的距离的减小而增大，但斥力比引力增加得快，总体表现为分子间的斥力。现在进行类比：如图1所示，在中点O处，有EaEbkq8 kqEm /，即中垂线上垂足。处的场强最大;由点电荷的场强公式,E kq2r可知E与r2成反比,那么从O开始沿OA方向每移动一个小微元段X,就有Q在D点产生的场强Ea增大， Q在D点处产生的场强减小，但是 Ea增加得快，而Eb减小得慢,即D点移动同样的距离，随 EA增加量比Eb

5、的减小量大，D点的合场强Ed Ea Eb一定要变大，即可得出从。点开始沿OA方向，OA上各点的场强要逐渐变大。同理从。点开始沿OB方向分析，每移动相同的距离段，Ea减小得慢，Eb增加得快，各点的合场强也是逐渐变大。由此可得到以下规律。结论2在等量异号的两个点电荷间的连线上，两端点处场强最大，中点处场强最小。不论由A到B方向上的点，还是由 B到A方向上的点，它们场强大小的变化规律总是先减 小后增大。证明：如图1所示，在线段 AB上任取一点D,令AD=x,则BD=L-x, Q在D点产生的场强为E kqEA2-2xQ在D点处产生的场强EBkq(L x)2由于Ea、Eb方向相同，且在同一条直线上，在D

6、点处的合场强为EDkq kqA EB-2X (L x)一 11,kq - 2 x (L x)为了讨论Ed随x的变化规律，现对函数 Ed求导，得_3311Ed kq 2x 2(L x) 2kq 3 - (L x) x下面对导函数进行讨论：(1)当x L时，Ed 0,则在(0,；L±,原函数Ed为 递减函数，就可以得出AO方向，线段 AO上各点的场强具有随 x的增大而减小的变化规律；(2)当x L时，Ed 0 ,则在：,L)上原函数Ed为递 增函数，就可以得出 OB方向，线段OB上各点的场弓II具有随 x的增大而增大的变化规 律；(3)当x 。时，Ed 0,则原函数Ed有最小值，即Ed8

7、kq1r这3种情况可通过图3的Ed x图像描述出来。由此证明了结论2的正确性。二、两等量同号点电荷的连线上及中垂线上场强的变化规律1.中垂线上电场强度的变化规律如图所示，A B是带电量均为 Q的固定点电荷，两者相距2L。试说明，在 AB连线的垂直平分线上的电场强度的变化 规律。如图4所示，设AB =2L, CAB/IQ . Q 2EA EB k - k cos r L由平行四边形定则可得Q 2E 2EAsin2k 干 cossin令 y= cos2 sin=(1 - sin2 ) sin= sin. 3-siny cos2-3sin coscos(1-3sin2 )sin2当sin4 WkQ9

8、L2方法二:4 cossin21222 、-(2sin cos cos )由于2sin22cos2cos2为定值。所以当且仅当2sin22cos2 ,2 一cos 时y取得最大值,tan21 .，解得当2.3_ 4.3kQsin 时，E有取大值-39L由以上推导可得出以下几点:(1)当0o时，即在。点,合场强E=0；(2)当 argsin N&时，E存在最大值，其最大值为 4理0 ；最大值时C到。点的距 39L2离为其L。2(3)90o时，合场强E=0;(4) 在AB的垂直平分线上的电场强度是先增大，后减小，方向始终是垂直于AB连线且背离。点的方向。2.在A B连线上的电场强度分布情况：如图4所示，在在线段 AB上任取一点D,令AD=k则BD=2 L-x , A处点电荷在 D点产 生的场强为kqEA 2 xB处点电荷在D点处产生的场强Ebkq(2L x)1 2 * 4由于ea、eb方向相同，且在同一条直线上,取向右为正方向。则在D点处的合场强为EdEa Eb驾船