向量知识点题型归纳资料

1、向量知识点题型归纳精品文档专题-平面向量一、4 rrrir入 1 r 3r(1)若 a (1,1),b (1, 1),c (1,2),则 c 答：a b ;22（2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是容祢*定父，向量既有大小又有K向的量nJ4J1卜b ,亡 来事可 J 或用有向线段的起点与跨点 的大与字母表小.如 丽¥零向里.长度为零的向重，记为6 0方向是任意肛等向量和 任何向量平行2单位I旬里模沏i个单位快度的向量一4-1平行（共线洞里户方向相同或相反的非零向童口il何平行向堂绕过平移 后.息可以移可同一条直线上4相等向矍4长度相等且知句相同的I口量.相等向 量绕过平移后

2、总可以重合十一i己为e =势怕反向量“与向量式长度相等，方向相反的向量， 叫做的相反向量*记作一 “十向堂的慎*向量的天小耳悯量的模（长度2记作Ei或I下尸1.向向量的相关概念、2.向量的线性运算A 1rA. eLrC. eurur(0,0), e2(1, 2) B. eiur(1,2),e2(5,7)uu(3,5)©ur uu 13(6,10) D. e (2, 3),e2 (-,-)（答:B）；八 uuur uuuunr r uuu(3)已知AD,BE分别是 ABC的边BC,AC上的中线，且AD a,BE2r a34r、3b）；b ,则BC可用向量a,b表示为（4）已知 ABC中

3、，点D在BC边上，且CD 2 DB , CD r AB sAC ,贝U r s的值是（答：0）:实数 与向量a的积是一个向量，记作 a,它的长度和方向规定如加法运等遍法运声1 .三角形法则¥2 .平行四边形法则。?多以形法则户遵循三角形法则同起 点，连接两向量终点，方 向指向被减向里1模关系|九*|二|1|1卜2内向关系/:图/略略门略“律户交换律。+b=&-|。+J结合律(dt + fe) + = f7 * (8 * E)/向量加减法互为逆运算， ab = a+-（一上）户+-1人（4十 g） -1+T（九十p.）a二九口十四卡模的性群1.3/S且同向.后十1|=|3|十|

4、司口2 a”否且反向:|2+51=|工 %合不平行;| a 4-S |<| a 14-1S | +1加3）一而 l=IM%W向量的表小方法：T:2当 >0时，"a的方向与"a的方向相同，当r r向相反，当 =0时，a 0,注意:五.平面向量的数量积<0时，"a的方向与"a的方uuu r uur r1.两个向量的夹角：对于非零向量a, b,作OA a,OB b, AOB0称为向量a , b的夹角，当 =0时，a , b同向，当 = 时，a , b反向，当 =一时，a , b垂直 22.平面向量的数量积：如果两个非零向量a , b ,它们的

5、夹角为r r,我们把数量|a|b|c°s叫1 .几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如 AB ,注意起点在前，终点在后；2 .符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如 a, b, c等；3 .坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与 x轴、y轴方向相同的两个单位向量i , j为 r r r-基底，则平面内的任一向量a可表示为a xi y j x, y ,称x, y为向量a的坐标，a= x, y叫做向量a的坐标表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。三.平面向量的基本定理：如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a,有且只有一对实数

6、 1、 2 ,使a= 1e1+ 2e2。如做a与b的数量积（或内积或点积），记作:- - _ r ra ? b ,即 a?b=a b cos规定：零向量与任一向量的数量积是0,注意数量积是一个实数，不再是一个向量 。如(1) ABC 中，| AB | 3 , | AC | 4 , | BC | 5,则 AB BC (彳 r r 1r 1r r rirrrrir(2)已知a (1-),b (0, ),c a kb,d a b, c与d的夹角为一，则k等于224-9）；.（答：1）；一23（4）已知a,b是两个非零向量，且a br r r r ra b ,则a与a b的夹角为:30°)r

7、3. b在a上的投影为|b|cos ,它是一个实数，但不一定大于 0。如收集于网络，如有侵权请联系管理员删除52 ar ra?a_ _r r为锐角时，a ? b >0,且& b不同向,uur uuuAD 3AB ,则C、D的坐标分别是两点间的距离：若A X1,y1a , a?b b?a ；已知|a|3,|b|5,且ab 12,则向量a在向量b上的投影为_r_4 . a?b的几何意义：数量积a?b等于a的模|a|与b在a上的投影的积。5 .向量数量积的性质：设两个非零向量a, b,其夹角为r r r r a b a?b 0 ；a , a Va-；当a与b反向时，a ? br ra

8、b 0是 为锐角的必要非充分条件；-r rr r当 为钝角时，a ? b <0,且&b不反向，a b 0是 为钝角的必要非充分条件；r r a?b - r r r r非布向重a , b夹角 的计算公式：cos 所击；|a?b| |a|b|。如 ab(1)已知a ( ,2 ) , b (3 ,2),如果a与b的夹角为锐角，则的取值范围是41(答：(答：(,)； 3六.向量的运算：1.几何运算：向量加法：利用“平行四边形法则”进行，但“平行四边形法则”只适用于不共线的向量，如此之uuu r uuir ruuiur r外，向量加法还可利用“三角形法则”：设AB a,BC b,那么向量A

9、C叫做a与b的和，即 rruuruuruuurabABBCAC;uur r uur r r r uuir uuur uuu向量的减法：用“三角形法则”：设AB a,AC b,那么a b AB AC CA ,由减向量的终点指向被减向量的终点。注意：此处减向量与被减向量的起点相同。如八 uuuuuuur uuruuuuuiriuuruuuuuiruuruuu(1)化简： ABBC CD ; ABADDC ;(ABCD)(ACBD) uuur uur r(答：AD ;CB;0);或 0且 1)；33(2)已知 OFQ的面积为S,且OF FQ 1,若1 S ,则OF , FQ夹角 的取值范围是22uu

10、u r uur r uuu r r r r(2)若正方形ABCD的边长为1, AB a,BC b,AC c,则|a b c户(答：272)； uuuuuuruuuuuuruuu(3)若。是VABC所在平面内一点，且满足 OBOCOBOC2OA,则VABC的形状为(答：直角三角形)；uuu uuu uuu r(4)若D为ABC的边BC的中点，ABC所在平面内有一点P,满足PA BP CP 0,设uuuLAt|,则的值为(答：2);|PD|一(5)若点。是4ABC的外心，且OA OB COr 0,则4ABC的内角C为 (答：120°);rr2.坐标运算：设 a (x1,y1),b (X2

11、,y2),则：r r向量的加减法运算：a b (X1 X2, y1 y)。如uuuiruuir uu ur uu已知作用在点A(1,1)的三个力匕(3,4), F2 (2, 5)E (3,1),则合力F与F2 F3的终点坐标是(答：(9,1)r实数与向量的积：ax1,y1K, y1。uuu若A(X1, y) B(X2, y2),则AB % X,y2%，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标。如uuu 1 uur 设 A(2,3), B( 1,5)，且 AC -AB ,311、(1；),( 7)；3r r平面向量数量积：a?b X1X2向量的模：|a| JX2y2, a

12、2 |a |2 x2 y2。如r ruu r已知a,b均为单位向量，它们的夹角为60°,那么|a 3b|=B X2,y2 ,则 |AB| 7 X2 X1 2 y2 y1 2。七.向量的运算律：r r r rr1.交换律：abba,a2.结合律:r r r rc, a b cr ra ?br r r ra?b a? b ;r，一 r(3)已知n (a,b),向重nirr uirm,且 Ing则m的坐标是3.分配律:r a,r rb ?cr r r r a ?c b ?c o（答：（b, 2）或（b,a）卜列命题中：a (bc)(bc)(a b) c ;22(a b) |a|十.线段的定

13、比分点：2|a| r rTa| b | | b |2 ;若 ar r _rrc b,贝U ac ;r2a ；提醒:1.定比分点的概念：设点P是直线P1P2上异于PP2的任意一点，若存在一个实数，使rbr r 0 r2 r2；(a b) a b ;ar rr2 r(a b)2 a 2ar r2b b 。其中正确的是（1）向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量， 切记两向量不能相除（相约）；（2）向量的“乘法”不满足结合律，即a（b?c） （a?b）c,为什

14、么?，一 一，r r八.向量平行（共线）的充要条件：a/brrr r 2 r r 2ab(a b)(|a |b |)x1y2%*2=0。如uuirPPuuiruuuuPP2,则 叫做点P分有向线段RP2所成的比，P点叫做有向线段2.的符号与分点P的位置之间的关系：当P点在线段P1P2上时P1P2的延长线上时v1;当P点在线段P2P1的延长线上时uuuuuiu1线段PP2所成的比为，则点P分有向线段P,P所成的比为一。如uur3若点P分AB所成的比为-4uuu,则A分BP所成的比为，一 r右向重ar(x,1),b (4, x),当 x =r r时a与b共线且方向相同3.线段的定比分点公式：（答：

15、2）;r(2)已知ar(1,1)b (4,x),r r r r2b, v 2a b（答：4）;、L uuu(3)设 PAuuu (k,12),PBuuir(4,5), PC(10,k),则k=时,A,B,C共线(答：2 或 11)r九.向量垂直的充要条件：auuruuir uurunr,ABAC、 ，ABAC、(runrr Tnuurr)(irnrr yuuury)。r r r r|a b| |a b|为*2y1y2。.特别地ABACABACuuuuuu(1)已知 OA ( 1,2),OB (3,m)uuu,若OAuuuOB ,（2）以原点O和A（4,2）为两个顶点作等腰直角三角形 OAB,B

16、 90 ,则点B的坐标是（答：（1,3）或（3, 1）;uuuuPP2的以定比为的定>0;当P点在线段0 ;若点P分有向uuu设PA»）、BNyz）, P（x,y）分有向线段PP2所成的比为，则x11Vi1X2V2公式时，应明确x x1yy1X2(x, y),计算时应根据题设条件,(1)若 M (-3,-2),(2)已知 A(a,0), B(3,2（答：2或一4）线段P1P2的中点公式yK x22y1 y2。在使用定比分点的坐标2（xi,yi）、（X2,y2）的意义，即分别为分点，起点，终点的坐标。在具体灵活地确定起点,N (6,-1),且a),直线y - a 2分点和终点，并

17、根据这些点确定对应的定比_11MP - MN,则点P的坐标为 3uuuuix与线段AB交于M ,且AMuuir2MB ,则a等于. ，、，一 r十一.平移公式：如果点P(x,y)按向量a h,k平移至P(x,y), 则a=pp , x x h ;曲线 y y krf(x,y) 0按向量a h,k平移得曲线f (x h, y k) 0.注意：(1)函数按向量平移与平常”左加右减”有何联系？ (2)向量平移具有坐标不变性，可别忘了啊！ 如(1)按向量：把(2, 3)平移到(1, 2),则按向量：把点(7,2)平移到点(答：(-8, 3);(2)函数y sin 2x的图象按向量a平移后，所得函数的解

18、析式是 y cos2x 1,则2 =(答：(T)412、向量中一些常用的结论 ：(1) 一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；rrrrrrrrrrr rr(2) |a| |b| |a b| |a| |b|,特别地，当 a、b 同向或有0|ab| |a|b|r r r r r rr r r r r rrrr r r|a | |b| |a b| ;当& b 反向或有 0 |a b| |a| |b|a| |b| |a b| ;当& b 不共线r rrrr r|a | |b| |a b| |a| |b|(这些和实数比较类似).在ABC中，若A Xi，Yi,Bx2,y2,

19、Cx3, y3,则其重心的坐标为Gx1x2x3 一一线一y3。如若ABC的三边的中点分别为2, 1)、(-3,4)、(-1 , -1),则ABC的重心的坐标为 (答:2 4) 33UULT PGUW3(paLUUPBLUrPC)uiu uur unr rG为 ABC的重心，特别地 PA PB PC 0 P为 ABC的重心;uur uuu uuu Lur uur uuu PA PB PB PC PC PAP为ABC的垂心;uuuruur向量 (-Uur- -4S-)(0)所在直线过 ABC 的内心(是 BAC的角平分线所在直线)；|AB| |AC|uuuuuuuuruuuuuuuuu(4)向量P

20、A、PB、PC中三终点A、B、C共线 存在实数、使得PAPBPC且1.如平面直角坐标系中，。为坐标原点，已知两点 A(3,1), B( 1,3)，若点C满足OC 1 OA 2 OB ,其中1, 2 R且12 1,则点C的轨迹是(答：直线AB)12、向量与三角形外心.三角形外接圆的圆心，简称外心.是三角形三边中垂线的交点.(下左图)重心三角形三条中线的交点，叫做三角形的重心.掌握重心到顶点的距离是它到对边中点距离的 2倍.(上右图)三、垂心三角形三条高的交点，称为三角形的垂心.(下左图)四、内心三角形内切圆的圆心，简称为内心.是三角形三内角平分线的交点.三角形内角平分线性质定理：三角形内角平分线

21、分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例.(上右图)题型一：共线定理应用例一：平面向量a,b共线的充要条件是()A. a,b方向相 同B. a, b两向量中至少有一个为零向量C.存在 R, b a D存在不全为零的实数1, 2, 1 a 2 b 03NC ,M为BC的中点，则MN变式一：对于非零向量a,b, a b 0 ”是a/b ”的()变式二：在平行四边形 ABCg AB a , AD b , ANa,b表示)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件变式二：设a,b是两个非零向量(例二：在三角形ABC中，AB c, ACb,若点D满足BD 2DC,则

22、AD ()A.若 a b a b 则 a b B.若 a b,贝 Uab a b.2 1 5 -2 一A. b c, B. c b,C.33332 ；11；2bc, D.bc,3333C.若a bab，则存在实数，使得ba baba D若存在实数，使得b a ,则例二:设两个非零向量e1与e2 ,不共线,(1)如果 AB eie2, BC 3e2e2,CD8ei2e2,求证：AC,D三点共线;变式一：(高考题)在三角形ABC中，点CA b,|1 1忖 2,则CD (). 1 2 -一21 八A.a b, B. a b, C.3333D在边AB上，CDF分角ACB而 a ,3 ,44-3;a b

23、, D. a b,5555(2)如果 AB eir *ie2,BC 2ei3e2,CD2eike2,且A,C,D三点共线，求实数k的值。变式一：设e与e2两个不共线向量，AB2eike2,CB s 3e2,CD 2G e2,若三点 A,B,D共线，求实数k的值，+&Ir-变式二：已知向量a,b,且AB a2b, BC5a2b,CD7a2b,则一定共线的三点是()A.A,B,D B.A,B,C C.B,C,D D.A,C,D题型二：线段定比分点的向量形式在向量线性表示中的应用例一：设P是三角形ABC所在平面内的一点，2BP BC BAU ()A. 0 PA PB B. 0 PC PA C

24、. 0 PB PC D. 0 PC PA PB变式一：已知。是三角形ABCf在平面内一点，D为BC边的中点，且0 2OA OB OC ,那么 il1-1ilJI()A. A0ODB. A02ODC. A03ODD. 2A0OD变式二：设D,E,F分别是三角形ABC的边BC,CA,AB上的点，且DC 2BD, CE 2EA, AF 2FB, M AD BE, CFBC ()A.反向平行 B. 同向平行 C.互相垂直 D.既不平行也不垂直变式三：在平行四边形ABCLfr, E和F分别是边CD和BC的中点，若AC AE AF ,其,R,则=变式四：在平行四边形ABCLfr, AC与BD交于点O,E是

25、线段OD的中点，AE的延长线与CD交一 一， 一一一一.1-1 -2-1 -1-1 -于点F,右 ACa,BDb,则 AF ( )A. a b, B. a b, C. a b, D.4233241 -2 a b,33题型三：三点共线定理及其应用例一：点P在AB上，求证：OP OA OB且二1(, R,)变式：在三角形ABC,点。是BC的中点，过点。的直线分别交直线AR AC于不同的两点M和 N,若 AB mAM； AC nAN,则 m+n=例二：在平行四边形ABCDKE,F分别是BC,CD的中点，DE与AF交于点H,设AB a, BC b,、重心例一：O是 ABC内一点，OC OA OB 0

26、,D.垂心变式一：在 ABC, G为平面上任意一点，证明:ABC勺重心则为GOABC的（）A.外心B.内心C重心gaGB GC ) O为则AH.2 r 4 ,_2 -4 ,A. a b, B. a b,5555C.4 -b, D.5变式二：在 ABC, G为平面上任意一点，证明:GOAC )O为ABC的重变式：在三角形AB/,点M是BC的中点,点N是边AC上一点且AN=2NC,AMT BN相交于点P,若AP PM,求的值。三垂心:题型四：向量与三角形四心内心例一：求证：在 ABC中，OAOB OB OCOCOAO为 ABC的垂心例一:ABCT在平面内一定点，动点P满足变式一 ：O是平面上一定点

27、，A,B, C是平面上不共线的三个点，动点 P满足OPOA,AB AC、（尸=J 尸=i）,【0，），则点P的轨迹一定通过 ABC勺（）A.外 z ABOP OA (AC),ABACAB COSBAC COSCR,则点P的轨迹一定通过 ABC的B.内心 C. 重心 D.垂心A.外心 B.内心 C. 重心D.垂心AB AC、二变式一：已知非零向量 AB与AC满足（尸=i 尸=i） BCABAC AB AC°,且同同四外心ABC为（）A.等边三角形B.直角三角形 C.等腰非等边三角形D.三边均不相等的三角形AB PCBCPACA PB 0 P 为ABC的内心例一：若O是 ABC勺外心，H

28、是 ABC勺垂心s则OH OA OC变式一：已知点O, N, P在 ABCf在平面内，且OAOBOC , 0 NA NB NC , PA PB PB PCP依次是 ABC的（OBPC PA ,则 O, N,A.重心、外心、垂心B.重心、外心、内心变式二：4ABC的三内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c 设向量p (a c,b), q (b a,c a),C.外心、重心、垂心D外心、重心、 内心题型五：向量的坐标运算若pq,则/C的大小为(A:- B: - C:-题型七：平面向量的数量积D:3CA,CN 2CB，试求点 M,N和例一：已知 A(-2,4),B(3 , -1) , C(-3,

29、-4),且 CMMN的坐标变式一：已知平面向量为零的实数，(1)若xa (t 3)b, yka tb,其中t和k为不同时y ,求此时k和t满足的函数关系式k=f(t);(2) 若x/ y ,求此时k和t满足的函数关系式k=g(t).例一：(1)在 RtABC中，/C=90° ,AC=4,则 AB AC ( ) A: -16 B:-8 C:8D:16(2)(高)已知正方形ABCD勺边长为1,点E是AB边上的动点，则DE CB的值为;DE CB的最大值为(3)在ABC, M是 BC中点，AM=1,点 P在 AM上满足 AP 2PM , WJ PA (PB PC)等于( )A: -B:-C

30、: -D:-9339变式一：(高)如图所示，平行四边形 ABCDfr, APIBD垂足为P,且AP=3,则变式二：平面内给定3个向量a (3,2), b ( 1,2), c (4,1),回答下列问题。(1)求3a b 2c； (2)求满足 amb nc 的实数 m,n;(3)若(a kc) /( 2b a),求实数k； (4)设 d(x, y)满足(dc) /(a b)且 d c 1,求 d。题型六：向量平行(共线)、垂直充要条件的坐标表示例一：已知两个向量a (1.2),b ( 3,2),当实数k取何值时，向量ka 2b与2a 4b平行？AP AC =变式二：在ABC, AB=1, BC=

31、2 , ACV3 ,若O为AABC的重心s则AO AC的值为变式一：设向量a,b满足|a|= 2/5 , b= (2,1 ),且a与b反向，则a坐标为例二：(高)在矩形ABCm，AB=”，BC=2,点E为BC的中点，点F在边CD上，若AB AF 石，则AE BF的值是例二：已知向量 OA (k,12),OB (4,5),OC ( k,10)且 A,B,C 三点共线，则 k=()变式一：(高)在ABCt,A 900 , AB 1,AC=2.设点 P,Q满足124AP AB,AQ (1 )AC, R,若 BQ CP 2,则=()A: B: - C:-333D:2A: 3 B: 2 C:2 D:23

32、3 小 ,3 ,、.，变式一：已知 a (sin ), b (cos2321,一),且a/b ,则锐角_为3例三：已知向量a,b,c满足a b c 0,1,|b|2,|cV2,则 a b b c c a变式二：已知a与b均为单位向量，其夹角为变式一：在 ABC中，若|ab| 3, BC4, | AC 6,则 AB BC BC CA CA ABPi : a b 1p4 : a b 10,g); P2 : a 4 1(,;其中的真命题是(,有下列4个命题：(-2- , ; P3 : a 10,-)；33)A.P1,P4B.P1,P3C.P2, P3D.变式二：已知向量a,b,c满足a0,且a b,

33、fl1,|b2,则P2, P4变式三：已知向量a,b,c满足a0,且(a b) c,a b,若a1,则题型九：平面向量的模长例一：已知a |b 5 ,向量a与b的夹角为一，求a b , a题型八：平面向量的夹角例一：已知向量1 (1, <3), b (2,0)，则a与b的夹角是例二：已知a,b是非零向量且满足(a 2b)a,(b 2a) b,则a与b的夹角是ca 足 满变式二：已知向量a与b满足1,|b 2, a与b的夹角为一，则a b = 111131变式一：已知向量a, b,c满足1,|b| 2,cb, ac,则a与b的夹角是变式三：在ABC,已知 |aB 3, BC 4, ABC 600，求|ac|.变式二：已知a,b是非零向量且满足MMb,则a与a b的夹角是2例二：已知向量a与b的夹角为3S-JRnu贝变式三：若向量由b不共线，a b0,且c(ag)b,则a与c的夹角是 a b变式四：(高)若向量与满足5 ,则与的夹角的取值范围是例二：已知取值范围。1,1,且以向量 与 为邻边的平行四边形的面积为0变式一：(高)已知向量a<