2022年深圳市高三年级第二次调研考试——数学答案

1、2022年深圳市高三年级第二次调研考试数学 参考答案与评分标准一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 C C D A D A B C说明与略解：1选择 C最简形式的一元二次不等式求解，并集意义和区间表示法；亦可特值检验之2选择 C两边取模，利用模的性质求解；或视为关于 z 的方程解之；亦可设 z 的代数形式求之3选择 D逆向利用向量加法的三角形法则（“尾首相接，首尾相连”）和向量的坐标运算性质，AC = AB + BC = (2, 3) (0 ,1) + (3,1) = (1,

2、 3) C AC；亦可先求点 坐标，再得向量 坐标=1 4(0.005 + 0.04 + 0.09) 4选择 A利用间接法，得样本中服务时长超过 32 小时的个体频率= 0.46 = 7.20.46 = 3.312 3.3 ，由样本估计总体，得总体中服务时长超过 32 小时的个体数 （万4(0.005 + 0.040 + 0.090 + 0.065+ a) =1 a =0.050 人）；亦可由 先求得 ，再利用直接法1 1S r =V 3V球 r =V球 r = 35选择 D从极限角度理解 ，得 ，所以 ；亦可利用球的表面3 3球 球2 4 34r = 3 r r = 3 积和体积公式，得 ，

3、得 3 w = w w = 2k (k Z , k 0) f (x) 2 cos 1( 0) T = =6选择 A由 ， ，得 的最小正周期 ，2 |w | | k | Tmax = y = cosx Tmax = 所以 ；亦可以通过对 的图象进行伸缩变换，结合周期性意义，得 y = x37选择 B如图，作出三次曲线 ，利用其凹凸性和y对称性，直观想象得出结论：当点(a , b) 位于 y 轴右侧x时，当且仅当该点在 轴（过对称中心的切线）上方，C且在曲线下方时，过点(a , b) 可以作曲线的三条切线，y = x30 b 0极大值g(x)极小值 = g(a) = b a3 0 0 b f (

4、x) = P(X x) = P(X x) f (x) + f (x) = P(X x) + P(X x) =1若 0 ，则 ， ，A 正确；1因为 x 0 时， f (x) = P(X x) ， f (2x) = 2 f (x) 1 与 f (2x) P(| X | x) = P(x X x)y f (x) = P(X x)1 = P X x 2 ( )2 =1 2 f (x)x= 2 f (x) 1 ，D 正确11选择 AD分别取 0 ， 和 ，可以得到 ，A 正确； +a = ，x = x =1 x = 1 0 28 8 1 2a = a + a + a + 81 2 3| a | + |

5、 a | + | a | + +| a |= 38 (2 x) = a + a x + a x + 8 2B 不正确； ，不正确；在等式 1 2 3 8 0 1 2+ x x =1a x 1 2 2 3 38 a + a + a + +8a = 8两边对 求导后，再取 ，得 ，正确 8 8= 1 sin APB = 1 | OP | 2 , + )12选择 ACD利用平几知| AB | 2 1 ， ，而 的取值范围是 ，| OP |22 |OP| | AB| = 3 (APB) = 60 P(t , 2) AB所以 ， ，A 正确，B 不正确；设 ，则“切点弦”直线 min max数学参考答案

6、与评分标准 第2页（共11页）1tx + 2y =1 AB M (0 , ) AB 的方程 ，所以直线 过定点 ，正确；结合垂径定理和圆的定义可得2 中点在以线段OM 为直径的定圆上，D 正确三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。4 1 913 14 15 165 2 , 4说明与略解：4 cos sin 1 tan2 2 2a a a a = a a = =2 213填 利用二倍角余弦公式，得cos 2 cos sin ，亦可以5 cos2 a sin2 a 1 tan2 a+ + 直接利用万能公式1 4 1 4 1 x 4x 1 x 4x14填 由 ，得 x (1 x

7、) 5 5 2 9；9 0 x 1 + = + + = + + + =x 1 x x 1 x x 1 x x 1 x 亦可以构造函数，利用导数研究单调性再求出最小值1f x f (1) = f (1) ln 1 1 ln(e 1) + + = + 1k =15填 显然 ( ) 是偶函数的一个必要条件是 ， k k ， 2 e 21 x xk = ( ) = ln(e2 + e 2 ) f (x) = f (x) 容易验证 时， f x 是偶函数（充分性）；亦可以利用恒等式 ，212kx = x k =化简得恒等式 ，所以 2 , 4 y = t (2 t 2) x2 y2 =116填 直线 与

8、双曲线 的交点y2( 1+ t2 , t) y = x (t , t)坐标为 ，与渐近线 的交点坐标为 图形 被直线 所截得的两条线段与 轴垂直，G y = t (2 t 2) yOx它们分别是 y = t ( 1+ t2 x | t | , 2 t 2) ， 2y = t ( | t | x 1+ t , 2 t 2)2y (0 , t) 将它们绕 轴旋转一周，形成的旋转面是一个由圆心在 ，| t | 1+ t2 S = ( 1+ t2 )2 t2 = 半径分别为 和 的两个圆围成的圆环，其面积 S t (2 t 2) 4 由于 是与 无关的常数 ，根据祖暅原理，构造一个底面积为 ，高 为

9、的柱体，则该柱体的体积与图形 绕 轴旋转一周，形成的旋转体的体积相等，即 G y V = 4四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17解：（1） 2 3 ， ， 2 分S = a a +1 = S +1 S = (2a +1 3) (2a 3)n n n n n n n整理，得 a +1 = 2a ， nN+ n na1 = S1 = 2a1 3a =又 ， 1 3 4 分所以，数列a 是首项为 3，公比为 2 的等比数列na 的通项公式为 a = 32n1 ， nN+ 5 分n n1 1 1（2）由（1）知：数列 是首项为 ，公比为 的等比数列a

10、 3 2n数学参考答案与评分标准 第3页（共11页）1 1+ + 1 2 (1 1 ) 13+ = 7 分a a a 3 2n 201 2 n整理，得 又 ， 9 分2n 40 nN+ n =1, 2 , 3, 4 , 5n = 5所以，满足条件的最大整数 10 分18证明：（1）（法 1） 2 cos ，根据正弦定理，得 ， 2 分a+c = b A sin A+sinC = 2sin Bcos Asin A = 2sin Bcos A sin(A + B) = 2sin Bcos A (sin AcosB + cos Asin B) = = sin(B A)sin Bcos A cosBs

11、in A 4 分0 A B A 而 ， ，A+ B A = A = B A B = B = 2A( ) 或 ，即 （舍去）或 所以 B = 2A 6 分b + c a2 2 2（法 2） a+c = 2bcos A ，根据余弦定理，得 a + c = 2b ，2 分 2bcb = a + ac2 2 a2 + c2 b2 a2 + c2 (a2 + ac) c a cosB = = = ， 2ac 2ac 2a2 2 + 2 2 b c acos 2A = 2cos2 A 1= 2 1 2bc(a + ac) + c a a + c c a2 2 2 2= 1= 1=2( 2 + ) 2 2

12、2a ac c a acosB =cos 2A从而 ， 4 分0 B cos 0 0 2A 0 又 ， ， ， ，2b 2所以 B = 2A 6 分解：（2）（法 1） 4 ， ，又由（1）知 ，a = b = 6 B = 2A4 6= 4 6=根据正弦定理，得 ， ， 8 分sin A sin 2A sin A 2sin Acos A23 A = 2 A = 3 7cos A = sin 1 cos 1 = ， ，4 4 42cos cos 2 2cos 1 2 1B = A = 2 A = 3 = 1 4 82B = 2 B = 1 3 7，sin 1 cos 1 = 8 8 7 1 3

13、3 7 5 7sinC = sin(A+ B) = sin AcosB + cos AsinB = + = 10 分 4 8 4 8 16ABC 1 sin 1 4 6 5 7 15 7所以， 的面积 S = ab C = = 12 分2 2 16 4b c a2 + 2 2a+c = b A + = b2 = a2 + ac （法 2） 2 cos ，根据余弦定理，得 a c 2b ， 2bc将 4 ， 代入，得 ， 8 分a = b = 6 62 = 42 + 4c c = 5cosCa2 + b2 c2 42 + 62 52 9= = =2ab 2 46 16，数学参考答案与评分标准 第

14、4页（共11页）22 9 5 7sin 1 cos 1C = C = = 2 9 5 7sin 1 cos 116 16 10 分ABC 1 sin 1 4 6 5 7 15 7所以， 的面积 S = ab C = = 12 分2 2 16 4说明：其它解法，类比给分AM PCD CD PCD AM CD19证明：（1） 平面 ， 平面 ， 2 分ABCD CD AD 又底面 为正方形， CD AM CD AD AM AM 平面PAD AD 平面PAD 又 ， ， ， ，CD PAD平面 ，CD 平面ABCD又 4 分平面PAD 平面ABCD 6 分z解：（2）（法 1）设正方形 ABCD 的

15、边长为 2a ，PAD O BC Q 取 的 ， 的中点 ，由（1）知OA , OQ , OP 两两垂直MO OA , OQ , OP x y z以 为原点， 分别为 轴， 轴， 轴，O xyz建立空间直角坐标系 （如图），则DCA(a , 0 , 0) B(a , 2a , 0) C(a , 2a , 0) D(a , 0 , 0)， ， ， ，O QyP a ( 1 , 0 , 3 )(0 , 0, 3 ) M a a A， B2 2x 3 3AM = a a PB = (a , 2a , 3a) PC = (a , 2a , 3a)( , 0, ) ， ， 8 分2 2PBC n = (

16、x , y , z) PB n = 0 PC n = 0 设平面 的法向量 ，则 ， + =ax 2ay 3az 0 ,z = 2 x = 0 y = 3 取 ，得 ， ，ax + 2ay 3az = 0. PBC n = (0, 3 , 2)平面 的一个法向量为 10 分AM PBC q 记 与平面 所成的角为 ，则3 3| 0 + 0 3 + 2| AM | 2 2 7nsinq =| cos |= = =| | | 3 3AM n 272 + + + +0 0 ( 3) 22 2 2 2 2 2AM PBC 7所以 与平面 所成角的正弦值为 12 分7P （法 2）分别取 AB , PC

17、 , AD 的中点 E , F , N ，连结 EF , EC , FM , PN M 是 PD 中点， ABCD 是正方形，1 1MF = DC AE /DC AE = DC MF /DC ，且 ，又 ，且 ，2 2 MF /AE ，且 MF = AE ，从而 AEFM 为平行四边形，M FDC EF /AM NA E B数学参考答案与评分标准 第5页（共11页）AM PBC EF PBC 与平面 所成角与 与平面 所成角相等8 分PAD N AD PN AD 侧面 是正三角形， 是 中点， PAD ABCD PN ABCD 而平面 平面 ， 平面 ABCD 2a E PBC h 设正方形

18、的边长为 ，三棱锥 的高为 ，PN = 3a BN = CN = 5a PB = PC = 2 2a SD = a2 SD = a 则 ， ， ， ， 7 2 EBCPBC1 1V =V 7a h = a 3aSD h = SD PN 2 2由 ，得 ， ，E PBC P EBC PBC EBC3 3 21h = a 7 10 分h 21 1 7EF = a EF PBC q3 sinq = = a = 又 ，记 与平面 所成的角为 ，则EF 7 3a 7AM PBC 7所以 与平面 所成角的正弦值为 12 分720解：（1）第一场比赛，业余队安排乙与甲进行比赛，业余队获胜的概率为1 2 1

19、5P = p + p = p； 2 分 13 3 3 9 第一场比赛，业余队安排丙与甲进行比赛，业余队获胜的概率为1 1 1 2P = p + (1 p) p = p2 + p 4 分 23 3 3 3 1 1 1 1 1p P P = p2 p = p(p ) 0 P P ， ， 1 2 1 23 3 9 3 3所以，业余队第一场应该安排乙与甲进行比赛 5 分（2）由己知 X = 4.5 万元，或 X = 3.6万元 7 分由（1）知，业余队最优决策是第一场应该安排乙与甲进行比赛5P = p 此时，（法 1）业余队获胜的概率为 ，192 1 2 8 8专业队获胜的概率为 ，P = (1 p)

20、 + (1 p) = p33 3 3 9 9 8 1 P(X = 4.5) = P + P = p所以，非平局的概率为 ， 1 39 31 1P(X = 3.6) =1 P P = + p平局的概率为 9 分1 39 31 1 2 2 1 1P(X = 3.6) = (1 p) + p = + p （法 2）平局的概率为 ，3 3 3 3 9 3P X = = P X = = 1 + 1 p = 8 1 p非平局的概率为 ( 4.5) 1 ( 3.6) 1 9 分 9 3 9 3 X的分布列为：X 4.5 3.6P X 8 1 1 1 ( ) p +P X 8 1 1 19 3 9 3p数学参

21、考答案与评分标准 第6页（共11页）8 1 1 1E(X ) = 4.5( p) + 3.6( + p) = 4.4 0.3pX的数学期望为 （万元）11 分9 3 9 31 1而 p ，所以 的取值范围为 （单位：万元）12 分 0 x 1 f (x) 1 f (x) 0 ( ) 在 上单调递减，在 上是单调递增 2 分f x ( , 1) (1, + ) 1当0 a 2ex ( , 1) 1 (1, ln 2a) ln 2a (ln 2a , + ) f x( ) 0 0 f (x) 极大值 极小值 f (x) 在 ( , 1) 上单调递增，在(1, ln 2a) 上单调递减，在(ln 2

22、a , + ) 上单调递增5 分（2）先证明：当 f (x) 存在小于零的极小值时， f (x) 在 (0 , + ) 上是增函数1a f (x) (0 , + )由（1）知，当 时， 在 上是增函数； 6 分2e 1当 时， 存在极小值， ， 在 上是增函数a f (x) f (x)极小值 = f (ln 2a) f (x) (ln 2a , + )2ef (ln 2a) = a(ln 2a)2 + 2a2 a (ln 2a)2 2a +1 02e数学参考答案与评分标准 第10页（共11页）g x = x x + g(x) = 2(ln 2x x) h(x) = ln 2x x h (x) 1 x( ) (ln 2 ) 2 12 =设 ，则 再设 ，得 x x0 x 0 h(x) (0 ,1)当 时， ， 在 上单调递增；x h(x) 0 h(x) (1, + )当 1时， ， 在 上单调递减h(x)最大值 = h(1) = ln21 0 h(x) 0 g(x) 0 g(x) (0 , + ) ， ，从而 ， 在 上单调递减1 1g( ) = 0