工程力学第14讲 扭转：圆轴扭转和强度计算

1、提问 切应力互等定理 薄壁圆筒横截面上切应力公式 剪切胡克定律4 圆轴扭转横截面上的应力 扭转试验与假设扭转试验与假设 扭转应力分析扭转应力分析 极惯性矩与抗扭截面系数极惯性矩与抗扭截面系数 例题例题 扭转试验与假设扭转试验与假设 当变形很小时，当变形很小时，各圆周线的各圆周线的大小与间距均不改变大小与间距均不改变试验现象一 各圆周线的形状不变各圆周线的形状不变, ,仅绕轴线作相对转动仅绕轴线作相对转动从试验、假设入手从试验、假设入手, ,综合考虑几何、物理与静力学三方面综合考虑几何、物理与静力学三方面试验现象二各横截面如同刚性平面，仅绕轴线作相对转动各横截面如同刚性平面，仅绕轴线作相对转动扭

2、转平面假设acbdabdcddxxdd xGdd TAA d d2p AAI pIT 极惯性矩极惯性矩acbdabdcddxmax pmaxWT RIWpp 抗扭截面系数抗扭截面系数RITITRpp 公式的适用范围：公式的适用范围：圆截面轴；圆截面轴； max ppIT 圆截面的圆截面的 极惯性矩与抗扭截面系数极惯性矩与抗扭截面系数 空心圆截面空心圆截面 44p132 DI 43pp1162 DDIWDd 圆截面的圆截面的 极惯性矩与抗扭截面系数极惯性矩与抗扭截面系数 实心圆截面实心圆截面324pdI 163pdW 0 例例 题题例例 4-1 已知已知MC= 2MA= 2MB=200Nm；AB

3、段，段，d=20mm；BC段，段，di=15mm，do=25mm。求各段最大扭转切应力。求各段最大扭转切应力。AMT 143op116 dWaMP7 .63oidd 解：p1max1,WT CMT 2aMP9 .74p2max2,WT 163pdW 3max1,16dMA )1(16430max2, dMC5 圆轴扭转强度与合理设计 扭转失效与扭转极限应力扭转失效与扭转极限应力 圆轴扭转强度条件圆轴扭转强度条件 圆轴合理强度设计圆轴合理强度设计 例题例题 扭转失效与极限应力扭转失效与极限应力塑性材料塑性材料屈服屈服断裂断裂脆性材料脆性材料断裂断裂扭转扭转屈服应力屈服应力 s ，扭转强度极限扭转

4、强度极限 b 扭转极限应力扭转极限应力 u圆轴扭转圆轴扭转屈服时横截面上的最大切应力屈服时横截面上的最大切应力扭转屈服应力扭转屈服应力圆轴扭转圆轴扭转断裂时横截面上的最大切应力断裂时横截面上的最大切应力扭转强度极限扭转强度极限扭转极限应力扭转失效形式 圆轴扭转强度条件圆轴扭转强度条件max nu maxpmax WT pmaxmaxWT 等截面圆轴等截面圆轴: :变截面或变扭矩圆轴变截面或变扭矩圆轴: : u材料的扭转极限应力材料的扭转极限应力 n - 安全因数安全因数塑性材料塑性材料： =（0.50.577） s s 脆性材料脆性材料： = （0.81.0） s st 为保证轴不因强度不够而

5、破坏，要求轴内的最大扭转切应力不得超过扭转许用切应力危险点处于纯剪切状态，又有危险点处于纯剪切状态，又有 圆轴合理截面圆轴合理截面1. 合理截面形状合理截面形状若若 Ro/d d 过大过大将产生皱褶将产生皱褶空心截面比空心截面比实心截面好实心截面好2. 采用变截面轴与阶梯形轴采用变截面轴与阶梯形轴注意减缓注意减缓应力集中应力集中 例例 题题例 5-1 已知已知 T=1.5 kN . m， = 50 MPa，试试根据强度条根据强度条件设计实心圆轴与件设计实心圆轴与 = = 0.9 的空心圆轴，并进行比较。的空心圆轴，并进行比较。解：1. 确定确定实心圆轴直径实心圆轴直径 316dT 316 Td

6、 mm 54 d取取：m 5350.0Pa)10(50)mN101.5(16363 max 163pmaxdTWT 2. 确定空心圆轴内、外径确定空心圆轴内、外径 )1(161643odT mm 3 .76)1 (1634o Tdmm7 .68oi dd mm 68 mm 76 io dd，取：取：3. 重量比较重量比较%5 .394)(422i2o ddd 空心轴远比空心轴远比实心轴轻实心轴轻 43op116 dW解：1. 扭矩分析扭矩分析例 5-2 R050 mm的薄壁圆管，左、右的薄壁圆管，左、右段的壁厚分别段的壁厚分别为为 d d1 1 5 5 mm，d d2 2 4 4 mm，m =

7、 3500 N . m/m，l = 1 m， 50 MPa，试校核圆管强度。试校核圆管强度。2. 强度校核强度校核危险截面危险截面：1202d d RTAA 2202d d RTBB 截面截面 A与与 BMPa 6 .442120 d d RmlMPa 9 .2722220 d d Rml6 圆轴扭转变形与刚度计算 圆轴扭转变形圆轴扭转变形 圆轴扭转刚度条件圆轴扭转刚度条件 例题例题 圆轴扭转变形圆轴扭转变形pddGITx xGITddp xGITld p pGITl 扭转变形一般公式GIp圆轴截面扭转刚度圆轴截面扭转刚度，简称简称扭转刚度扭转刚度常扭矩等截面圆轴 圆轴扭转刚度条件圆轴扭转刚度

8、条件pddGITx maxp GIT圆轴扭转刚度条件圆轴扭转刚度条件 单位长度的许用扭转角单位长度的许用扭转角 注意单位换算注意单位换算:)/m( 180m/rad 1 一般传动轴，一般传动轴， = 0.5 1 ( )/m利用刚度条件可以进行三类计算：利用刚度条件可以进行三类计算： 校核刚度：校核刚度： max 设计截面尺寸：设计截面尺寸： max GT Ip 计算许可载荷：计算许可载荷： max pGIT 圆轴扭转刚度条件圆轴扭转刚度条件 例例 题题例 6-1 已知：已知：MA = 180 N.m， MB = 320 N.m， MC = 140 N.m，Ip= 3105 mm4，l = 2

9、m，G = 80 GPa， = 0.5 ( )/m 。 AC=? ，校核轴的刚度。校核轴的刚度。解：1. 变形分析变形分析mN 1801 AMTmN 1402 CMTrad 101.502-p1 GIlTAB rad 101.172-p2 GIlTBC BCABAC rad 1033010171101.502-2-2- .2. 刚度校核刚度校核p11ddGITx p22ddGITx 21 TT 因因p11maxdddd GITxx 故故 m/ )( 43. 0180)m1010Pa)(3.010(80mN 180dd412-59max x注意单位换算！注意单位换算！满足刚度条件满足刚度条件例例 6-2 试求图示轴两端的支座约束力偶矩试求图示轴两端的支座约束力偶矩（静不定问题）（静不定问题）解：解：1. 问题分析问题分析(a) 0 , 0 MMMMBAx未知力偶矩未知力偶矩2个，平衡方程个，平衡方程1个，一度静不定个，一度静不定需要建立补充方程，才能求解需要建立补充方程，才能求解2. . 建立补充方程建立补充方程0 CBAC