2021年文科数学回归教材7不等式

1、新课标回归教材不等式1、不等式的性质名称不等式名称不等式对称性a >b= b <a （充要条件）传递性a >b,b >c= a >c可加性a >b = a +c >b +c （充要条件） 同向不等式可加性：a >b,c>d = a+cb+d 异向不等式可减性：a >b, c<d=ac>bd可乘性a >b, c >0=> ac >bc a >b, c <0= ac <bc同向正数不等式可乘性：a >b >0, c >d >0 = ac >bd 异向正数不

2、等式可除性：a Ab>0,0 <c<d = %>%乘方法则a >b >0= an >bn(n W N ,n 之2)开方法则a >b >0: Va >vb(n w N ,n >2)倒数法则11ab >0,a >b=- <a b常用结论abu a3 ：>b3 （充要条件）注：表中是等价关系的是解、证明不等式的依据，其它的仅仅是证明不等式的依据.典例：1）对于实数a,b, c中,给出下列命题：a >bn ac2 Abc2 ；ac2 >bc2= a a b；2. 2 11 b a a <b &l

3、t;0= a >ab >b ； a <b <0= - c; a <b c03->-;a ba b a <b <0=|a|>|b|; ca:>bA0二 a;® a >b,- >-=> a >0,b < 0.c -ac -bab其中正确的命题是.2）已知1 Ex+y E1,1 Ex y M3,则 3x y 的取值范围是1,7;3）已知a >b >c，且a +b +c =0,则的取值范围是（2）.a，22、不等式大小比较的常用方法：（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出

4、结果；（2）作商（常用于分数指数哥的代数式）；（3）分析法；（4）平方法；（5）分子（或分母）有理化；（6）利用函数的单调性；（7）寻找中间量或放缩法；（8）图象法.其中比较法（作差、作商）是最基本的方法.1 t 1典例：1）设a >0且a *1,t A0,比较,logat和log a的大小2 21 t 1答案:当a A1时,一lOga t WlOga （在t =1时取=）;2 21 t 1当0 <a <1时,啮"至loga（在t=1时取="）；2 23 22）已知a >0,a #1,试比较p =aa ,q =aa的大小.（答：p >q ）3）

5、设 a >2 , p =a +,q =2w +* ,试比较 p,q 的大小（答：p >q ）;a -'24）比较 1+logx3 与 210gx2（x>0 且 x#1）的大小.4一 一答:当 0 <x <1 或 x > 时,1+ 10gx 3 > 2log x 2;3,44当 1 <x <一时,1+ 10gx 3 V 2log x2；当 x =_ 时,1+ logx3 = 2log x 2 335）若 a,b,cWR 书且 2a =1ogo.5 a,（0.5） b =1og 0.5 b,（0.5） c=1og2C,比较 a,b,c

6、的大小.（答:c>b>a）3.利用重要不等式求函数最值：正二定三相等，和定积最大，积定和最小”.1 ,一，A. y=x + 的取小值是2x2 3C. y=3的最小值是2x2 22）若x+2y =1,则2x +4y的最小值是典例：1）下列命题中正确的是（B ）B. y=23x4(x A0)的最大值是 2-473 xD. y =2 -3x - (x >0)的最小值是 2 -4/3 ; x2 2;8 2 3)已知x,y e R+且x + y =1,则8 +£的最小值为18; x y变式：已知0 <x <1,则8 + 的最小值为18 ;x 1 -x4 1：已知x

7、,ywR+且一+=9,则x+y的最大值为 1 ;x y：已知x, y w R由且xy =x +4y，则x + y的最小值为9 ;4.常用不等式 有:（1） 3a :b之亘12之JOb至彳2彳（a,bWR+当a=b时取=号） a b(2) a2 +b2 上(a +b) >2ab(a,b= R,当 a =b 时取二号)2和平方之半”不小于积两倍”.<b±m （糖水的浓度问题）.a m上式从左至右的结构特征为：平方和”不小于 真分数性质定理：若a >b >0,m >0 ,则b a典例：若a,bWR+满足ab=a +b +3,则ab的取值范围是19,收5、证明不

8、等式的方法：比较法、分析法、综合法和放缩法.比较法的步骤是：作差（商）后通过分解因式、配方、通分等手段变形判断符号或与1的大小，然后作出结论.）1111111常用的放缩技巧有：1 1=1< 12<1=1 1（右边当n±2时成立）n n 1 n（n 1） n n（n -1） n -1 nJk +1 -4=,1尸 1= <1=4 - 7k +1k 1 k 2. k k-1, k典例：1）已知 a >b >c，求证：a2b +b2c +c2a >ab2 +bc2 +ca2 ;2）已知 a, b,cw R,求证：a2b2 +b2c2 +c2a2 之abc（

9、a +b +c）;11x y3)已知 a,b, x, y 匚 R+,且> ,xAy,求证：>a bx a y b4)若 a,b, c是不全相等的正数，求证：lg -b +lg b-c +lgc-a >1g a +lgb +lg c; 2225)若 nWN*，求证：J(n + 1)2 +1 一(n + 1) < Vn2 + 1 -n ;11.16)求证:1 + + +| +-2- <2 . 23 n6.常系数一元二次不等式的解法：判别式-图象法步骤：(1)化一般形式:ax2 -bx -c _0(：二0)淇中 a . 0 ；(2)求根的情况：ax2 +bxc=0 2-

10、>0(=0,<0);(3)由图写解集：考虑y =ax2 +bx +c(a >0)图象得解.2 .1典例：斛不等式-6x -x +2 <0 .(答：xW(-oo, 11一，司)3 2注：解一元二次不等式的过程实际上是一种函数、方程与不等式思维的转换过程，从中我们不难看出“三个二次”关系是核心 ，即一元二次不等式解集定值端点 (非正负无穷大)是对 应一元二次方程(函数)的根(零点).典例：若关于x的不等式ax2+bx+c >0的解集为x|x>m,或x <n( n <m <0),解关于x的不11等式 cx -bx +a >0 .(答：x |

11、x 父一，或x a)n m7.简单的一元高次不等式的解法：标根法：其步骤是：(1)分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；(2)将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根右上方依次通过每一点画曲线(奇穿偶回)；根据曲线显现f(x)的符号变化规律，写出不等式的解集.典例：1)解不等式(x -1)(x+2)2 >0.(答:x|x 21 或 x = 2);2)不等式(x 2)dx2 2x 3 20 的解集是x|x3x=1；3)设函数f(x)、g(x)的定义域都是 R,且f(x)之0的解集为x|1Ex<2,g(x)之0的解集 为0,则不等式f(x) ,g(x) >

12、0的解集为(3,1)U2,y)；4)要使满足关于x的不等式2x2 -9x+a<0(解集非空)的每一个x的值至少满足不等式2281x 4x+3<0和x 6x+8 <0中的一个，则实数a的取值范围是7,一)._8_8.分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0,再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正 ，最后用标根法求解.解分式不等式时，一般不能去分母，但 分母恒为正或恒为负时可去分母 .典例：1)解不等式2 5x <1(答：(-1,1)U(2,3);x -2x -32)关于x的不等式 axbA0的解集为(1,收),则关于x的不等式

13、型士b>0的解集为x 2(-二,-1)U (2,二).注注口一元二次不等式一样，不等式解集的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有 意义范围的端点值.9.绝对值不等式的解法:(了解)(1)分域讨论法(最后结果应取各段的并集)典例：解不等式|2 _x户2 |x + l|;(答：x亡R);42(3)利用绝对值的定义;(3)数形Z合；典例：解不等式 |x|+|x1|>3;(答：(*, _1)U(2, y)(4)两边平方典例：若不等式|3x+2以2x+a|对xwR恒成立，则实数a的取值范围为f310、含参不等式的解法：通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类正是关键.” 注意:解完之

14、后要写上：综上，原不等式的解集是，”.按参数讨论，最后应按参数取值分别说明其解集；但若按未知数讨论，最后应求并集.2 2典例：1)右loga - <1，则a的取值氾围是a >1,或0 <a(一 ;3 322)解不等式ax >x(aWR).ax -111(答：a =0 时，x| x <0; a>0 时，x|x>-或 x<0； a<0 时，x|<x<0,或 x<0) aa含参数的一元二次不等式的解法：三级讨论法.一般地，设关于x的含参数a的一元二次形式的不等式为：f (a) x2 +g (a) x +r (a) >0(&

15、lt; 0).(1)第一级讨论：讨论二次项系数f(a)是否为零；(2)第二级讨论：若f (a) #0时，先观察其左边能否因式分解，否则讨论心的符号；(3)第三级讨论：若f(a) #0,A>0时，先观察两根x,x2大小是否确定，否则讨论两根的大小 注意：每一级的讨论中，都有三种情况可能出现，即“>"，"="，“<”，应做到不重不漏 典例：1)解关于x的不等式ax2 -2x +a <0(a R R).答：当 a ±1 时，x w;当 0 <a <1 时，x w (1 ,1)； aa1 - 1 - a2 1-1 -a2 当

16、a=0 时，xW(0, g；当1Wa<0 时，xqgj、,“f，代)aa当ac时，xWR2)解关于x的不等式ax2 -2 >2x -ax(a R R).答：当 a>0时，xqq,lL2,收)；当 a=0时，xW(q, 1a22当-2<a <0 时，xW2,T;当 a=-2 时，x 引1；当 a <-2 时，x-1,- aa提醒：解不等式是求不等式的解集，最后务必有集合的形式表示.11.不等式的恒成立、能成立、恰成立等问题：不等式恒成立问题的常规处理方式？常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题，也可抓住所给不等式的结构特征利用数形结合法.1) .恒成

17、立问题若不等式f (x )>A在区间D上恒成立，则等价于在区间 D上f (xn >A若不等式f(x)<B在区间D上恒成立，则等价于在区间 D上f(xax<B典例：1)设实数x, y满足x2十(y -1)2 =1,当x + y +c至0时，c的取值范围是J2 -1,依);2)不等式x -4 +x -3 >a对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围a <1;2，.7-1313)若2x -1 >m(x - 1)对满足|m E2的所有m都成立，则x的取值范围(七一,.);-2,3)(_1)n 14)若不等式(1) a <2 +(- 对于任意正整数n恒成立，

18、则实数a的取值范围是 n5)若不等式x2 2mx +2m +1 >0对0 <x E1恒成立，则m的取值范围2) .能成立问题D± f (xax>A；D 上的 f(x*n <B.若在区间D上存在实数x使不等式f (x)aA成立，则等价于在区间 若在区间D上存在实数x使不等式f (x)<B成立，则等价于在区间 注意：若方程a = f (x)(x W D)有解，则等价于a W y | y = f (x),x W D典例：1)已知x -4 + x -3| <a在实数集R上的解集不是空集，求实数a的取值范围a >1 122)已知 P =x|- <x <2,函数 y =log2(ax -2x +2)的定义域为 Q .若pc