空间面板随机前沿模型及技术效率估计

1、空间面板随机前沿模型及技术效率估计空间面板随机前沿模型及 技术效率估计 林佳显 , 龙志 和 , 林 光平1 12 ( 1. 华南理工大学 经济与 贸 易 学 院 , 广 东 广 州 510006; 摘 要 : 随机前沿模型是测算技术效率 的重要方法之一 。通常 ,模型假设生产 单元之间彼此 独立 ,然而在技术扩散过 程中 ,空间外部性起着重要作用 。文章 结合随机前沿模型理论与空间经 济计 量分析方法 ,构建空间面板随机前沿模 型 , 同时考虑空间滞后因变量和空间误 差自相关 ,并 逐步放松模型设定条件 , 首先考虑技术效率时变 ,接着引入技术 无效率项的异方差性 ,之后考虑 观察数 据中潜

2、在的截面异质性 ,分别以引入随 机截面特有项和设定随机系数的形式来 表示截面 中图分类号 : F064. 1文献标识码 : A 文章编号 : 100022154 ( 2010 ) 05 20071 20、引言 随机前沿模型 ( SFM ) 的理论 最初 A igne r、Love ll 和 Schm id t (ALS) ( 1977 ) 2 1 , Meeu sen 和 V an denB roeck (MB )( 1977 ) 提出 , 并很快成为计量经济学 中一个引人注目的分支 ,被广泛应用于效率测算和生 3 产率分析 尤其是在 Jond row 等 ( JLM S) ( 1982 )指

3、出各个生产单元的技术无效率可以通 过条 件分布 u |i vi - ui 的期望 E ui | vi - ui 或模 M ode ui | vi - ui 来 估算以后 。随机前沿分析 ( SFA ) 始于 对生产最优 化的研究 , 经过 30 多年的发展 , 其在理论研究与实践应用 方面都得到了深入的发展 , 已被尝试性 地应用于 生产经济学以外的领域 , 如 劳动经济学 、公共经济学以及金融经济 学等 。 SFM 假定 , 生产单位于各 种组织 、管理及制度等非价格性因素导致生 产过程 中效率 的损耗 , 而 达不 到最佳的前沿技术水平。 SFM 的基本模型表述如下： Yi = f ( X

4、i ; B ) exp ( vi - ui ) 4 i = 1,2, ?, N ( 1 ) T Ei = exp ( - ui ) ( 2 ) 其中 ： Yi 代表第 i 个生产单 位的产出 ; Xi 代表第 i 个生产单位的 k X 维投入向量；f ( Xi ; B ) exp 是Vi ) 随机 生产前沿；B为待估计的参数向 量 ； T Ei = exp ( - ui ) 表示技术效 率 ； vi 是随机干扰项 。 通常 , SFM 假设 vi 、ui 都是独立同分布的 , 然而 ,空间和区域经济学的研究都指出 , 地理接近性是产生 外部性和一系列相 邻效应的关键因素 。在技术扩散过程 中

5、,空间外部性起着重要作用,生产单元彼此独立 的假设存在着很大漏洞 。 胡晶 、魏传华和吴喜之 ( 2007 )提 到 , “任何一个地区的经济都不可能独立 存在 ,它收稿日期 ： 2009 - 03 - ( 08JA790045 ) 基金项目 育部人文社会科学研究规划基金项目“面板数据随机前沿模型的空间计量经济 分 析 ” 作 者 简 介 : 林 佳 显( 1983 - ) , 男 , 广东陆丰人 , 华南理工大 学经济与贸易学院博士研究生 ,主要从事随机前沿分析和空 间经济计量的研究 ; 龙志和 ( 1954 - ) , 男 ,湖南安化人 , 华南理工大学经济与贸易学院教授,博士生导师 ,主

6、要从事空间经济 计量理论 籍华人 ,美国波特兰州立大学经济系教和实证的研究;林光平 ( 1948 - ) ,男,美授 , 主要从事空间经济计量学 、数理 经 济 学 、 计 算 经 济 学 等 研 究 。总是与其他经济区域间存在着各种各样 的联系 。当某外生干扰对一个地区的经 济造成冲击时 ,其产生的影 5 响往往会向外扩散 ,波及临近地区甚至 更远的区域 。 ”如果生产单元间存在空 间相互作用 , SFM 中没引 入空间计量 分 析 可 能 会 导 致 模 型 设 定 偏 误 。 因此 ,本研究认为有必要把空间效应引 入 SFM 分析框架中 , 将一般 SFM 扩展到空间 SFM ,避免于

7、忽略空间效应所产生的模型估计偏误等问题 ,从而 能更加客观地评估生产单元的效率 ,且 进一步有助于开 展以效率测算为基础 的后续相关研究( 如全要素生产率增长的研究等 ) 。 当前文献上 , SFM 中引入空间因素的计量分析鲜见。D ru ska和Ho rrace ( 2004 )提出空间误差自相关固 定效应面板模型的 GMM 估 计 , 随之将其引入SFA 框架中 , 并对印度尼西亚的米业农场进行实证分析 , 结 果发现空间相关性确实影响农场效 率的估计和排名 6 ; Iglio ri( 2005 ) 测算巴西亚马逊区域各市农业 和牧 7 业的技术效率 ,并将空 间计量分析引入技术效率外生决

8、定因素 的研究中 的重要性Schm id t 等 ( 2009 )分析巴西中西部地区 370 个市区农场的生产率 ,将潜 在的空间结构引入 SFM 的单边误差项中 ,研究结果支持空间效应;胡晶 、魏传华和吴喜之 ( 2007 )构建了基 于横截面数据的空间误差自相关 SFM ,并采用极大似然方法对模型参数进行估计 。综合目前国内外关于SFM 空间计量分析的研究情况 ,尚存在 以下不足 : ( 1 ) 已有的空间 SFM 仅 考虑 空间误差自相关 ,缺乏对空间滞后 模型的研究 ; ( 2 ) 已有的面板模型仅采 用 GMM 估计方法研究固定效应 的 情形 ,未见涉及随机效应模型和极大似 然法 (

9、ML ) 的研究 ; ( 3 ) 当面板的时间 维度 T 较大时 ,技术效率非 时变 ( tim e2inva rian t) 的假设显得与实际不符 ; ( 4 ) 当技术无效率项存在异方差性时 , 其同方差的设定会使 模型参数估计有 偏 , 导致技术效率测算不可靠 ; ( 5 ) 如 果观察数据中存在非时变的潜在截面异 质性 ( la ten t c ro ss un it he te rogene ity) 与技术效率不相关 ,忽略截面 异质性的模型设定就会将这部分异质引 入技术无效 率项的估计值中 ,此得 出的技术效率测算有偏 。 有鉴于 此 ,作者在已有研究的基础上 , 进一步 将空间

10、效应引入 SFM 分析框架中 ,完善空间面板 SFM 的理论基础 ,同时考 虑空间滞后因变量和空间误差自相关 , 并逐步放松模型设定条件,建立若干不同形式 的空间面板 SFM。首先考虑技 术效率时变 ,接着引入技术无效率项的 异方差性 ,之后考虑观察数据中潜在 的 截面异质性 ,分别以引入随机截面特有 项 ( random firm sp ec ific te rm ) 和设 定随机系数的形式来表示 截面 异质 性 。针对各种模型设定形式提出相应的 参数估计方法 ,最后给出各种模型相应 技术效率的估计 。 二 、空间面板 随机前沿模型及其估计(一 ) 基本模型及其 M L 估计 在 SFM 中

11、 与横截 面 数 据 相 比 较 , 面 板 数 据更能提供生产单元技术 效 率 可 靠 的 估 算 。 P itt 和 L ee( 1981 )Sick le s ( 19面 SFM 扩展到面板, Schm id t 和 10 将横截 SFM。早期的面板模型都基于技术效率非时变的 假设 ,当面板的时间维度 T 较大时 ,这一假设显得与实际不符 。随后 , Co rnwe ll 、 Schm id t 和 Sick le s ( 1990 ) , Kum bhaka r ( 1990 ) , L ee 和 Schm id t ( 1993 ) , B a tte se 和 Coe lli (

12、1995 ) , L ee ( 2006 ) , A hn、 L ee 和 这 些有关技术效率时变的假设都遵从一个 严格的函数结构 ,如 L ee 和 Schm id t (1993 )建议 uit =8 ( t) ui某S 中3 ( t)= 刀虚拟变量；Kum bhaka r ( 1990 ) 提 出 8 (t) t dt , dt 是 t8 = 1+ exp (tte se 和 1 t +8 2t ) ； B a 2 - 1 Coe lli( 1995 ) 建议 8 (t)= exp - 8 (t -T ) 。 胡晶 、魏传华和吴喜之 ( 2007 )构建了基于横截面数据的空间误 差自相关

13、 SFM ,并采用极大似然方法 对模型参数进行估计 。现在本研究提出 以下基于面板数据的空间 SFM ,同时 考虑空间滞后因变量和空间 误差自相 关 ,并放松了技术效率非时变的约束,且不赋予时变技术效率一定的函数结 构 。为了便于描述 ,f(x,B采取对数线性 Cobb - Dougla s函数形式： yt = a + xt B + 入 W 1 yt + vt - u t vt = p W2 vt + n t( 3 )( 4 ) 其中：yt=y1 t , y2 t , ?, yN t 表示 N 个生 产单位在第t时段NX1维的产出(取对数 ) 向量 , xt 是 N 个生产单位 在第t时段K

14、X1维投入(取对数)向 量组成的N X维矩阵，t = 1,2, ?, T; B 为待估计的 K X1 维参数向量 ;a= aX 1, 1, ?, 1 是N X维的截距项向 量；u t = u1 t , u2 t , ?, uN t 0 是NX维的技术无 效率项向量，代 表生产单位在第 t 时段的技术无效率 程度 ; vt = v1 t , v2 t , ?, vN t 是 N X1 维的双边误差项 向量 , 代表不 可控的经济系统外部影响因素和数据测 度误差等；nt = n是N X1维的 随机干扰项向量；W 1、W 1 t , n 2 t , ?, n N '2是空间权重矩阵 , 表示

15、不同生产单位之间的空间相关 性 , W 1 yt 为空间滞后因变量 , W 2 vt为空间滞后误 差项；入是待估计的 空间自回归系数；P是待估计的空间误 差自相关系数 。为了进行 ML 估计 , 模型假定：2 + u tiid N(0, Z U), E ( u t u z ) = 0, t1 工 t2 ; vt iid N ( 0, Z v 1 t 2 2 2 W ) E ),刀=(I - p 2-1( I - p z W2 )- 1,n it和xit相互之间不相关 。E ( vt v' )= 0, t1 工 t2 ; n it iid N(0, Z v , i = 1,2, ?, N

16、 , t = 1,2, ?, T。另 外 , uit 、1 t 2 根据以上的假 定 , 可得到如下的分布密度函数 ： f ( u t )= 2 N冗挈N2exp - u - 1 / 2 u'u t Zu 2v't 2( 5 ) f ( vt )= 1 n Z 21 2 v NE E ex-pE Z2-21 v t - 1 ( 6 ) v f (u t , vt )= - 1 / 2 nZZ vexp - u 'ut t Z u 2-2v' t E 2 vt Z v 2( 7 ) 设 £则(u t , et= vt - u t , t ) 的联合分布密

17、度函数 为： f(u t , e )= 1 NnZZ u nZ uZ v2 1 - 1-t ' t a u ' u t 刀(£ +2 exp - 刀-1zu2 2N2 exp2)t2u t ) 21z 2 & t u I + z2+z 对 函数0- 1|Q = z2u I - 1 ( 10 )v 刀)u t 求积分 , 得到f (£t) u ,£)du1 Nu2 exp - 1 +z 2 v1( u t -du t刀expooa)t( 11 )1刀 2- 1 / 2z v z u- 122/ u t -ttt tuzv2uQ -t 0( u

18、t zI z2- 1(- 1u( 8 )刀jnZ'z t 2 - 1 / 2 刀-1 exp -1) Q ( u exp - u ) t ' t t +z 2 v 其中 :at£ ( 9 ) zu (zu I 将式 ( 8 ) 的分布密度= = ot N|I 1- a)t z v 't 2+uv刀 Q -2 口 e O tt)是多元标准正态分布函数,其中：(Q-1 / 2 卩t= - Zu2 2ZuI +Z v 刀Zv- - 1- 1 /2-1 /2e t( 12 )基于式 (11 )， 可得到模型的对数似然函数 ：)=N T ln ( 2 )- ll (a，

19、B，Zuv， X，p NT2n )ln( 2vTlnZu 2 I +Zv22 - 1/ 21 T 2 2e-'ZI t +Z2ut = 1Tet+刀ln O (Qt1卩)t ( 13 ) FM 框架中显得更加突出 ,尤其是 当异方差性存在于单边误差项 uit 中 时。异方差性可以出 现在单边误差项 uit 或双边误差项 vit 中 ,将之忽略不但 会影响生产技术参数和误差项参数的估 计推断，也E ( yt )= ( I -入W 1 )1-1 a - n 2 Zi u N + (I - X W 1)- 1 xt B( 14 ) 其中 ：iN =1 ?1 N X1 ,其它变量、参数定义参见

20、前文。 + 2 下面假设技术无效率项 uit 存在异方差，uit iid N ( 0, Z u i ), 观察忽略异方差性所产生的问题 。此 时, 式(14 )将变成： n其 中：ei是N X1维向量,第i个分 量为 1, 其它分量为 0。比较式( 14 ) 和式 ( 15 ) , 忽略 uit 中的异方 差性将导致截距项的估计是有偏的 , 而 此导致生产技术参 数的估计也是有偏 的。此时 , 技术无效率项 uit 的估计 式中 (参见第三部分 ) ,Zui 将代替 Zu。i = 1 E ( yt )= ( I -入 W1 )- 1 Na - 刀2Z + ( I -入 W u i ei 1)

21、- 1xt B ( 15 ) 当然，正如Kum bhaka r 和 Love ll ( 2000 ) 所说的，在 仅有横截面数据的情形下 , 估计每个生 产单位的Z u i显然不可能，而当面板数据的截面维 N 远 大于时间维 T 时 ,Zui 的估计 也 不 大 可 行 。 Kum bhaka r 和)代替Z u i ,这样可大大有效减少待估计的参数 , 而又不会 Love ll ( 2000 ) 建议采用相关变量 zi 的函数 g ( zi ; S 222 忽略uit 的异方差性。 2 2 +) ,在前文模型假设的基础上 , 考虑技术无 效率项 uit的异方差性,令uitiid N ( 0，

22、Zu i ) ，=Zgu( izi ;下面给出模型的 ML 估计。+) ， u t于 uit iid N( 0， g ( ziSN= u1 t ， u2 t ， ?， uN t的分布密度函数式 ( 5 )变为 := f ( ut )=n i = 12 2uit exp -) 2g(zi ;Sng ( zi ;S) 2N2 N1Nn 2 exp - ni = 1 NS)g ( z i ;刀2g ( z; S)i =1uiti2( 16 )因此Ju t 与 vt 的联合分布密度函数式 ( 7 ) 变为 :f ( u t , vt ) =1 NN 1 ) g ( zi ;SnvZ ni = 1刀 0

23、- 1 / 2 exp - 刀 i = 1v v v u t t - 2 ) 2 g ( zi ;SZ 2 i2刀-1(17 )1 Z 同样地，令 £t = vt - u t ,并且 Q = 2U1? 31 ;3? 3exp - 1 ) g ( zN ;3则式变为2 uN N f ( u t , e )t =1 NN 1 ) g ( zi ; 3 nZ v n i = 1 刀-1 / 2 刀 i = 12(e t + U t )'(zi ; 3Z v 2 刀-1t u+ )ut i t- 2 ) 2 g= 1NN 1 ) g ( zi ; 3 nZ vn i = 1 刀-1

24、/ 2exp1 ( u O ( u- i ) t ' 2 tt -y)texp - 1e其中 :t-QQ O- 1 Q e t 2O = Q + 刀 2ZvQ + - 1( 19 )I e t ( 20 ) 刀 Z 2 v同样地将式( 18 ) 对积分,式(11 ) e的分布密度函数变为： f ( e t ) =*0(u , e d u/ ttnZ 2 刀 Q + 2 v -1- 1exp -1f£t2©p 12Q -Q© Qet t- 1(21)其中 :© 2 pt=1Q +刀zv-11 2Q + 2zv -1 2 Q -Iet( 22 )因此

25、 ,可得到模型的似然函数：a , B ,ZZu入,p)= -ll (,2T NnZ V -ln( 2ln2T刀Q+ z2v- 11Te(Qt -f2t =1TE-Q©Q ) et+- 1ln (© 口) 21t t =1( 23 ) ) 可通过对式 ( 23 ) 求最大化而得到。参数向量(a , B , z u , z v ,入,p (三 ) 引入潜在的截面异质性 如果 观察数据中存在非时变的潜在截面异质 性 (可能是于遗漏非时变的投入变量或 忽视难于量化 或无法获得观测数据的 解释变量等而造成的)与技术效率不相关 ,忽略截面异质性的模型设定将会把 部分异质引入技术无效率项

26、 uit 中 , 此得出的 uit 的估计不仅包含真正意义 上的技术无效率 ,同时也测算了模型所忽略的截面异质性 ,这样势必会影响到 最后有关技术效率的估算 般 SFM 中 , Greene ( 2005 )的实证结果支持了以 上论述。 下面所建立的空间面板 SFM ,不仅考虑技术无效率项uit 的异方差性 ,还进一步将潜在的截面异 质性 引入模型中 ,分别以引入随机截面特有 项和设定随机系数的形式来表示截面异 质性 ,并采用模拟 ML ( sim u la ted ML )进行估计 ,给出模拟对数似然函 数 ( sim u la ted log like lihood func tion)

27、1. 引入随机截面特有项 yt = a + 3+ x B W 1 yt+ vt - u t t + 入 ut与£ t的条件联合分布密度为： 2 it 12 - 15 12 ,13 。在不考虑空间相关性的一。(24 )其中 ：3=31 , 32,?,3n将3看作已知的向量, 以3为条件, 则f ( U t , £ t| 3)=1 NvN 1 ) g(Zi ; 3nZNn i = i刀-1 / 2exp-N刀 i = 1u) 2 g ( zi ;)'(£ t + U t刀-1(£t+ u t )Zv 22= 1N1 ) g ( zi；S i= 1nZ

28、 vn刀-1 / 2exp-1 ( u，(u -1 t" a ) t0)2ttexp -1£(-01Q ) £ Q t - Q2t(25)1t 的表达式参见式(19 )及式(20 )。其中： 以3 为条件,£的条件分布密度函数为：£f (t|3)0ft( u ,£|3 ) du=tttoo1 Nn2Q +v刀Z2 v - 1-1211 - 1o1t 2 e-xp(Q-Q0Q)£ £t2 t( 26)其中：02 t的表达式参见式(22 )于 f (£)t =3t3等价于E(£|3) g (3f (

29、£ t |3 ),从率分布g ( 3 ； 9中模拟抽取1 f/1 N3的联合概£3) 充分精确的估计 。足够多的样本 , 代入式 ( 26 ) , 并对其取平均 , 能够得到 E用3( r) 表示从 g (3;3 f (t|9)中的第r次抽样，r= 1, 2 ?, R, 可得:1 & f(t )=R r= 1R刀 nZ 2Q + E Z2 v- 1- 2 1exp - 1e 2 t3r Q-QQ-1e t 3 r 2口 |3t1 r ( 27 )基于式 ( 27 ) ,可得到模拟对数似然函数如下: Ta , 3 ,W P,IIS ,9=) EInt =1 1 Rr

30、= 1RE 1NnZ v 2( r)Q +EZ2-v11 -2 x2 ) exp -1 ( e| 3t) (Q -Q© Q) (e| t3- 11( r) t3 ( r)( 28)30, 其中30当然 , 为了使模拟 ML 实际可行 , 能够 在3的联合分布g ( 3 ； 9中抽取样本, 我们令 3 = 9的分布参数已知 ,比如 , 3服从联合正态分布 , 那么9就是其标准差,而 3 0N 0, I 。只要式( 28 ) 是平滑并且连续二阶可微的 , 以上模拟方法是可行的2.随机系数模型 12, 14, 15 。 于实际上积分不需要运算 , 一般来说 , 假设任何3的 分布都可以进行

31、模 拟抽样 , 构建模拟对数似然函数 。 在模型式 ( 24) 的基础上 ,放宽确定性 斜率系数 3的设定,让其具有随机性+ vt - u tyt = a +w +xti + 入 W 1 y t3 i iidN( 3 , S )变量、参数定义及其它假设参见前文 。实质上 , 上述模型可等价于 :- u tyt = a + 3 + xt 3 + X W1 yt + vt vt iid N ( 0, Z v2 16 ,进一步考虑截面异质性 :(29 )( 30 )( 31 ) 刀+ M )( 32 )S xt 。其中 :M = x 't模拟似然函数的求解采 用刀 + Z 1( ) ( )

32、2 M代替式 25 至式28 中的然,在进行实证研究刀即可。 2 时,还需对3 i的方差协方差阵此 3 I,S的设定做进一步的研究,譬如一种简单可行的处理方法是令 S = Z时式(30 )变为B iiid N ( B，模型新增 一个待估计的参数 Z而当S = Ok模型k时,的形如果不就回复到式 ( 24 ) B I) 。, 式 , 不再具有随机系数 。考虑空间相关性,即刀=I,此时随机 系数模型相当于一般双异方差面板SFM , 同时考虑 vit 和 uit 的异方 差性。 22三、技术效率估计上述所有模型的参数估计不是最终目的,令人感兴趣的还有生产单位技术效率的估计 。AL S建议采用 1 -

33、 E ( u ) 来估计所有生产 单位的平均技术效率 ; L ee 和 Tyle r( 1978 ) 提出TE = E ( exp -JLM S( 1982 )指出各个生产单元的技术无效率项 u i 可以通 过 E ( u i | £ 或)Mode ( u i |i )来估算，第i个生产单位，其中u= E ( u i | £的技术效率 TEi = exp uu iae se 和 Coe lli ( 19) 则提出 TEi = E ( exp i ) 或 Mode ( i ) ; B基于 JLM S ( 1982 )的方法 ,给出针对前文所述各种模型的 技术效率估计。首先估计

34、模型式 ( 3 ) 及式 ( 4 )的技术效率 , u t 的条件分布 密度函数为： f ( u t ,£ 1 t1)=exp f ( u t |& = ( u- i t ) -'t1Q 2 f(& 2 t nN / 2| Q |愆 1 / 2 i t t )21 / 2=其中，| Q |- 1(u t - 11)( 33 ) ( 34 )1 Z u Z v(Z uI +Z 2 2 v 刀 ) 1 / 2 刀 -1 / 2 i Q、Q-1 / 2it分别参见式(9 )、式(10 )及式 ( 12 ) 。 ( 35 )+) 。易见式 ( 33 ) 是一个 N 维截尾正态分布 N (i ,t 因此匕, M ode ( uit |& = 1