龙华科技大学机械工程系微积分一网路教学李瑞贞老师ppt课件

1、 龍華科技大學 機械工程系 微積分一網路教學 李瑞貞老師 課程大綱 第一章 極限與連續性 1.1 極限的定義與根本性質 1.2 單邊極限 1.3 無窮極限 1.4 連續性 第二章 導數與不定式 2.1 導數與可微分 2.2 函數導數的根本公式 2.3 高階導數與隱函數的導數 2.4 三角函數與反三角函數的導數 2.5 指數函數與對數函數的導數 2.6 不定式 第三章 導數的應用 3.1 切線與法線方程式 3.2 極值的定義 3.3 函數的圖形 3.4 極值的應用題與相關變率 3.5 微分符號的應用 第四章 多變數函數的微分學 4.1 極值與連續性 4.2 偏導數與微分 4.3 鏈導法則與隱函數

2、的導數 4.4 二變數函數的極值 第一章 極限與連續性 1.1 極限的定義與根本性質 考慮一邊長為的正方形，如圖1.1.1 所示，則其面積 為邊長 的函數，即 2)(xxfx 我們仔細觀察二者的變化關係如下表所示:4 4.5 4.9 4.99 5 5.01 5.1 5.5 616 20.25 24.01 24.90 25 25.10 26.01 30.25 36由上表得知，當 趨近於 5 時，則 趨近於 25，因此我們說當 趨近於 5 時， 的極限值等於 25，我們用表示之。 x)( xf)(xfbxfax)(limx 因此，對於任何函數 ，當 的值趨近於( 但不等於 ) 時，假设 的值趨近

3、，則我們寫作 為了提到“極限值這個名詞，我們特別运用“趨近於(close) 這個語句去詮釋，事實上，我們亦可用“大約、大约、逼近於等語句來解釋“極限值這個名詞上所代表的意義。 )( xfxaa)(xfbbxfax)(lim定義1.1.1 極限值 ( limit ) axxfax000()(lim)(xf 定理1.1.1 極限值的根本定理 (1) 極限性的独一性:假设 存在，則其值必 為独一。 (2) 為實數常數。 (3)假设 且 ( 與 為實數常 數)，則 (a) (b) (c) 且)(limxfaxkkkax,lim)(lim xfax mmxgax)(limmxgxfxgxfaxaxax)

4、(lim()(lim()()(limmxgxfxgxfaxaxax)(lim)(lim()()(lim0)(,)(lim)(lim)()(limxgmxgxfxgxfaxaxax0m (d) 為實數常數。 (e) 當 為偶數正整數時則恆需 。 (f) kkxfkxkfaxax,)(lim()( lim ,)(lim)(lim1nnnaxnaxxfxf n0Nnxfxfnnaxnax,)(lim()(lim 例1. 試用趨近的觀念求以下各極值 (1) (2) (3) 設 試求 解: (1) (2) (3) 但 0602312132323lim221xxxxx243lim20 xxx2323lim

5、221xxxxx,1, 51, 23)(xxxxf53123433243lim223xxx123) 23 ( lim)(lim11xxfxx)(lim1xfx5) 1 (f 例2. 試利用通分與約分的技巧求以下各極值 (1) (2) (3)39lim23xxx)4121)(31(lim3xxxx43lim231xxxxx 解: (1) (2) 原式 3) 3)(3(lim39lim323xxxxxxx633)3(lim3xx)4)(2()2()4()(31(lim3xxxxxx)4)(2()3(2)(31(lim3xxxxx2) 1(12) 4)(2(2lim3xxx (3) 原式 4) 1(

6、lim)4)(1() 1)(1(lim11xxxxxxxxxx 524111 例3: 試利用有理化的技巧求以下各極值 (1) (2) 222lim2xxx273lim3xxx 解: (1) 2222222lim222lim22xxxxxxxx22242lim2xxxx2222lim2xxxx2221221lim2xx41221 (2) 2727273lim273lim33xxxxxxxx47273lim3xxxx3273lim3xxxx27327lim3xx42224 定理1.1.2 極限的不等式 假设 與 且 則 )(limxfax,)( limmxgax),()(xgxfm定理1.1.3

7、三明治定理 ( 挾擠定理 )假设 且 存在，則 ， 為實數常數 ),()()(xhxfxg)(lim , )(lim)(lim xfxhxgaxaxax)(limxfax 1.2 單邊極限 定義1.2.1 單邊極限 (1)左極限: (2)右極限: axaxfax00()(limaxaxfax00()(lim)(xf)(xf 定理1.2.1 極限的存在定理 例1. 試求以下各極限值 (1) (2) (3) (4) )(lim)(lim)( limxfxfxfaxaxax2011limxxx2lim2xx) 2 2 2 ( lim 2xxxx30 limxxxxx 解: (1) 不存在 不存在 0

8、0 ) 2 ( lim 2 lim 22 xxxx) 2 ( lim 2 lim 2 2 xxxx2 lim 2 xx (2) 不存在 1 lim1 lim11 lim202020 xxxxxxxxxxx11) 1(lim 1 lim2020 xxxx1)( lim1 lim11 lim202020 xxxxxxxxxxx11) 1(lim) 1(1) 1(lim2020 xxxx2011limxxx (3) 不存在 00lim lim lim 303030 xxxxxxxxxxxxx3 03 0302lim)()(limlim xxxxxxxxxxxxxx212lim20 xx lim 30

9、 xxxxx(4) 不存在 00limlim lim 3 03 03 0 xxxxxxxxxxxxx303 03 02lim)()(lim lim xxxxxxxxxxxxxx212lim2 0 xx30 lim xxxxx 例2. 試求以下各極限值 (1) (2) 解: (1) 不存在 4lim2222xxxx42lim22xxx 0444lim4lim222222xxxxxx 2222222lim413lim4limxxxxxxx 4lim 2222xxxx (2) 無意義 (即不存在) 不存在 004422lim42lim2 22 xxxx 1114321 lim42 lim 2 2 2

10、 xxxx 42 lim 22xxx 1.3 無窮極限 定義1.3.1 無窮極限 ( infinite limits ) (1) (2) (3) ) )( 00 0 ()(lim kxfaxkxfax) )( 0 0 ()(limkxfaxakxfax) )( 0 0 ()(lim kxfaxakxfax (4) (5) (6) (7) (8) ) )(0 0 ()(lim1221 kxfkxkkxfx) )( 0 0 ()(limkxfaxakxfax)( 0 0 ()(limkxfaxakxfax) )(0 0 ()(lim1221 kxfkxkkxfx) )( 00 0 ()(lim k

11、xfaxkxfax (9) (10) )(0 0 ()(lim1221kxfkxkkxfx) )(0 0 ()(lim1221kxfkxkkxfx 定義1.3.1 在 或 的極 限值 (1) (2) x x )( 0 0 ()(limxfkxkxfx) )( 0 0 ()(limxfkxkxfx 例1. 試求以下各極限值 (1) (2) 解：原式 xxxxxx4119 lim419 2 2 lim313)41(lim19lim2xxxx419lim2xxx) 1 13 ( lim22 xxxxx(2) 原式 113) 113 )( 113 (lim222222 xxxxxxxxxxxxx113

12、)1()13(lim2222 xxxxxxxxx11324lim22 xxxxxx11324lim22xxxxxx2211113124limxxxxxx2114 1.4 連續定義1.4.1 連續 ( Continuity ) 函數 在 連續 由定義得知，假设函數 在 連續，則必須滿足 以下三個條件: (1) 函數值 存在 ( 即 必在函數 的定義域內)， (2) 極限值 存在，亦即極限值 且 成立， (3) ( 即“極限值等於函數值 )。)()(lim afxfaxax )(xf)(xfax )(afax )( xf)(limxfx)(lim xfxR)()(limafxfax定義1.4.2

13、左連續、右連續(1) 函數 在 為左連續 : (2) 函數 在 為右連續 : 定義1.4.3 假设函數 在 連續， I，則稱函數 在區間 I 內連續。 )()(limafxfax)()(limafxfax)(xf)(xfaxax)(xfax)(xfa 定理1.4.1 假设函數 在 內連續，而且 與 存在，則函數 在 內連 續。 )(xf)(xf) , (ba , ba)()(limafxfax)()(lim bfxfbx 下面幾個例子即是函數 在 不連續的情況:)(xfax 例1. 試討論以下各函數的連續性 (1) (2) (3) (4)1, 1 1, 11)(2xxxxxf3,33)(xxx

14、xf1 , 11 , 1 )(xxxxfxxf)(解: (1) 的定義域，即函數值 存在。 即 在 不連續，但在 處均 連續。)(1xfx1) 1 (f1) 1)(1(lim11lim)(lim1211xxxxxxfxxx2) 1(lim1xx)1()(lim1fxfx)(xf1x1x1,11)(2xxxxfxxf)( (2) 的定義域即函數值 存在 即 在 為連續，在 處亦連續。)(0 xfx0)0(f0limlim)(lim000 xxxfxxx0)(limlim)(lim000 xxxfxxx0)0()(lim0fxfx0 x)(xf0 x (3) 的定義域即函數值 不存在 在 不連續，

15、但在 處均連續。)(3xfx)3(f)(xf3x3,33)(xxxxf3x (4) 的定義域即函數值 存在 )(1xfx211) 1 (f2) 1(lim)(lim11xxfxx1) 1(lim)(lim11xxxf)(lim1xfx 不連續，但在 1x 處均連續。 不 存在 )( xf1x1x 在1, 11, 1)(xxxxf 定理1.4.2 連續的根本性質 (1) 假设 與 在 均為連續函數，則 與 與 以及 為常數 且 在 均為連續函數。 (2) 假设 在 連續，且 在 連續， 則 在 連續。 (3)多項式函數、有理函數與三角函數、指數函數、對 數函數、雙曲線函數等超越函數在它們的定義域

16、內 均為連續函數。 )(gf fg)(gf )0)(ggf0 x)(kf)Rk k(ax )(xgax f)(agax )(xgf 例2. 試求以下各題; (1) 設 為連續函數，試求 值。 (2) 設 為連續函數，試求 值。 Rba,1,1,11)(2xaxxxxfa1,10 ,0,cos)(2xbxxxaxxxfba, 解: (1) 且 又 為連續函數 即 2) 1(lim11lim)(lim1211xxxxfxxxaf) 1 ()(xfafxfx)1 ()(lim12a (2) 且 與 又 為連續函數 即 1coslim)(lim00 xxfxxaxaxfxx)(lim)(lim2001

17、)(lim)(lim211axaxfxxbbxxfxx11lim)(limaf)0( bf) 1 ( )(xf) 0(1)(lim)(lim)(lim000faxfxfxfxxx) 1 (1)(lim)(lim11fbaxfxfxx2, , 1ba 第二章 導數與不定式 2.1 導數與可微分 定義2.1.1 函數 在 的導數 假设函數 在 為連續，而且極限值 存在，則稱 在 處為 可微分的( differentiable )，而且稱此極限 為 在 的導數 ( derivative )， 記為 ，即 )(xfaxax)(xfaxafxfax)()(lim)(xf)(xfaxax)(af axaf

18、xfafax)()(lim)( 由定義2.1.1得知，我們假设用 與 分別表示函數 在 的右導數與左導 數，則我們有 而且導數 其它型式如下: axafxfafax)()(lim)(axafxfafax)()(lim)()(xfax )()()(afafafhafhafafh)()(lim)(0 xxfxafx)()(lim0)(af 定義2.1.2 函數 的導數 假设 在區間 內為連續函數，則 稱為函數 在 的導數 ( derivative ) 或函數 對 的微分 ( differential )。 假设 存在，則稱 在 處為可微 分( 的 )。 )(xf)(xfy Ihxfhxfxfh)(

19、)(lim)(0 xxfxxfx)()(lim0)(xf)(xf)(xf)(xfxxx 函數 之導數 的其它型式為 事實上，導數的定義都是根據函數的幾何意義與其它 意義而來，我們說明如下:)(xfy )(xf ydxdyyDxfDdxxdfxfxx)()()( 1. 幾何上的意義:求切線的斜率 設 在區間 內為連續函數，考慮此函 數 在 平面上的圖形，假設 與 分別為圖形上的兩點，如圖2.1.1所示，則經 過 與 兩點之割線的斜率為)(xfy I)(xfy xy)(,(afaPIaxfxQ),(,(PQaxafxfxymPQ)()(tan 圖2.1.1 割線斜率 PQm 令動點 沿著曲線移動而

20、趨近於固定點 ，使得 且 ，則我們將得到函數 圖形上經過切點 的切線斜率為 QP0 x0y)(xfy PaxafxfxymaxxP)()(limlim0 顯然地，此斜率 即為函數 在 之導數的定義。此處 與 分別為 與 的增量 ( increment )，而且當 與 時，則 有 與 均表示極微小的量，亦有 ( 即， 在 的導數或 對 的微分可視為 除以 ) Pm)(xfy ax xyxy0 x0ydxx dyy xydxdyx0limyxyxdydx 2. 物理與化學工程上的意義:求瞬時變化率 考慮一連續之物理( 或化學 )工程的實驗，假設 某物體( 或物質 )在時間 時的數量為 且 時間 時

21、的數量為 ，則此物體( 或物質 ) 在時間 內數量的變化為 ，而且其平均變化為1t)(1tf2t)(2tf12ttt)()()(12tftftf1212)()()(tttftfttfm 令 即令 ，則我們將得到此物體( 或 物質 )在時間 的瞬時變化率為 顯然地，此時瞬時變化率即為函數 在 之導數的定義。此處 為連續函數且 與 分別為 與 的增量。 0t12tt 1t12120)()(lim)(lim12tttftfttfttt)(tfy 1tt )(tft)(tft)(tf 例1.試用導數定義求以下各函數的導數 (1) (2)解: (1) 1)(2xxxf3)(xxfhxfhxfxfh)()

22、(lim)(0hxxhxhxh11)()(lim220) 1)(1() 1()(1(lim220hxxhhxxhxxh (2) )1)(1(2lim2220hxxhhxhxhhxh2220) 1(2) 1)(1(2limxxxhxxhxxhxhhxhxhxfhxfxfhh3300)(lim)()(lim)(hxhxhhxxh332230)33(limhhxhhxh322033lim22203)33(limxhxhxh例3. 試求以下函數在 的導數 (1) (2) 解: (1) 2xxxf)(52)(2xxxf23) 52(lim2) 2 ()(lim) 2 (222xxxxfxffxx2) 4

23、)(2(lim282lim222xxxxxxxx6424lim2xx(2) 22lim2) 2 ()(lim) 2 (22xxxfxffxx)2)(2()2)(2(lim2xxxxx)2)(2(2lim2xxxx22122121lim2xx 解: )()2)(1 ()()2)(1 ()(xnxxxnxxxxf)0(f 0)0()(lim)0(0 xfxffx)()2)(1 ()()2)(1 (lim0 xnxxxnxxx1!321321nnnn例3. 設 試求 定理2.1.1 證明:令 ，則 xxDxxDxxsincos,cossinxxfsin)(hxfhxfxfDxDhxx)()(lim)

24、(sin0hxhxhsin)sin(lim0hxxxhsin)cossinhcosh(sinlim0hxxhcossin) 1)(cosh(sinlim0其中 與 同理，令 ，則)sinhlim)(cos)cosh1lim)(sin00hxhxhh1)(cos0)(sinxxxcos1sinhlim0hh0cosh1lim0hhxxfcos)(hxfhxfxfDxDhxx)()(lim)(cos0hxhxhcos)cos(lim0 我們得證hxxhsinhsin) 1)(cosh(coslim0)sinhsincosh)1)(cos(lim0hxhxh)sinhlim)(sin)cosh1li

25、m)(cos00hxhxhh) 1)(sin0)(cosxxxsinxxDxxDxxsincos,cossin 定理2.1.2 假设函數 在 處為可微分，則 在 處連續，反之不然。 證明: 在 處為可微分 存在 又 即得證 #)(xfax )(xfax )(xfaxaxafxfafax)()(lim)()()()()()(axaxafxfafxf)()()(lim)()(limaxaxafxfafxfaxax)(lim)()()(lim(axaxafxfaxax00)(af 註1.函數 在 為不連續， 則 在 “必定不可微分。 2.函數 在 連續，則 在 “不一定可微分。 (可微分 連續) (

26、不連續 不可微分) )(xfax )(xfax )(xfax )(xfax )(pqqp 2.2 函數導數的根本公式 定理2.2.1 為常數。 定理2.2.2 ， 為常數。 定理2.2.3 kkDx, 0)()(xfkDxkfDxxk)()()()(xgDxfDxgxfDxxx 定理2.2.4 定理2.2.5 定理2.2.6 定理2.2.7 )()()()()()(xgDxfxfDxgxgxfDxxx0)(,)()()()()()()(2xgxgxgDxfxfDxgxgxfDxxxNnnxxDnnx,1RmmxxDxmx,1 例1.試求以下各函數的導數 (1) (2) 解: (1) (2) )

27、4523)(53()(242xxxxxxf15423)(22xxxxxf)4523)(32(24xxxxf) 5412)(53(32xxxx2222) 154 () 58)(23 () 16)(154 ()(xxxxxxxxxf 例2.試求以下各函數的導數 (1) (2) (3) 51)(xxxf3,3,)(2xxxxxf0,0,)(23xxxxxf解: (1) 1,65,61),5()1(51),5()1(5),5()1()(xxxxxxxxxxxxf1,65,61,2451,65,42xxxxxxx)1() 1( 1,不存在)5()5(5,不存在1, 251, 05, 2)(ffxffxx

28、xxxf (2) (3) )不連續3在)( 3,不存在3, 13,2)(xxfxxxxxf)0)0()0(0, 00,20,3)(2ffxxxxxxf 定理2.2.8 連鎖律 ( Chain Rule ): 合成函數的導數 (1) 設 在 處可微分且 在 處可微 分，假设 ，則 在 處可 微分且 (2)設 與 在 處均可分，則 (3) )(xf)(xfxg)()(xfgxh)(xhx)()()(xfxfgxh)(tgy)(tfx t)(1)(tftgdxdtdtdydtdxdtdydxdyRmxfxfmxfDmmx);()()(1 例3.試求以下函數的導數 (1) (2) (3) 321222

29、312)2()3()(xxxxxfxxxxf333)(3416)(xxf 解: (1) (2) 221222312)2()3(3)(xxxxxf)32()3(2322112xxxx)24()2(2132122xxxx21)333(21)(xxxxf)3233()33(21321xxx(3) 3416)(xxf22即016,162或2即016,16434434xxxxxxx)的定義域)(2(2,不存在22),4()16(312或2),4()16(31)(33243324xfxxxxxxxxxxf 例4. 試討論以下函數的連續性與可 微分性 (1) (2) (3) 1, 21,11)(2xxxxx

30、f0, 10,)(xxxxxfxxf)( 解: (1) 又 在 為連續 1, 21,11)(2xxxxxf) 1 (2) 1(lim11lim)(lim1211fxxxxfxxx)(xf1x) 1)1 ()1 ( 1, 11, 1)(ffxxxf (2) 即 且 在 不連續 0, 10, 10, 1)(xxxxxxxxf1)(lim0 xfx1)(lim0 xfx)(xf0 x0,不存在0, 0)(xxxf (3) 又 在 連續 0,0,)(xxxxxf)(lim)(lim0lim)(lim0000 xxfxxfxxxx)0(0)(lim0fxfx)(xf0 x0,不存在0, 10, 1)(x

31、xxxf 例4.試求出一切常數 及 的值使 得函數 在 可微分 解: 在 可微分 在 連續mbxbmxxxxf,sin)(x)(xfx)(xfx 即 由 得知 )(lim)(lim)(limxfbmxxfxxx0sinlimxx0)(limbmbmxxxmxxxf,cos)(1cosmbm, , 1 例5.設 且 ， 試求 解: 令 ，則 ， 即 )21()(xxfxF3)(yyf)(xF21xxy)()(yfxF233)2() 1()2()21( )()(xxxxxyyyyfxF23)2(3)21(xxx 例6.假设 ，試求 解： 其中 tssuuuy,) 13(,12320tdtdydtd

32、sdsdududydtdy22) 1(3) 1()2() 1(uuuududytdtdsssdsdu21,) 13(23) 13(323131331420) 13(2() 1(3(sutsudtdy0)21(tt181611)31( 例7.假设 且 ，試求 解: 而且 12 xy12xu?dudydxdudxdydudy1,22xxdxduxdxdyuxxxxdudy2121222 2.3 高階導數與隱函數的導數 定義2.3.1 高階導數 假设 為可微分函數，則其高階導數為 (1) 一階導數: 記號: )(xfy hxfhxfxfh)()(lim)(0yDxfDdxdydxxdfyxfxx),

33、(,)(,),( (2)二階導數: 記號: (3)三階導數: 記號: ) )()()(lim)(10 xfhxfhxfxfhyDxfDdxyddxydyxfxx222222),(,),( ) )()()(lim)(0 xfhxfhxfxfhyDxfDdxyddxxfdyxfxx333333),(,)(,),( (4) 階導數: 記號: nhxfhxfxfnnhn)()(lim)()1()1(0)() )()1(xfnyDxfDdxyddxxfdyxfnxnxnnnnnn),(,)(,),()()( 例1.試求以下函數的 階導數 (1) (2) 且 解: (1) nNmxxfm,)(Rdcbad

34、cxbaxxf,)(0, , 0dc1)(mmxxf2) 1()( mxmmxf3)2)(1()( mxmmmxfnmnxnmmmmxf)1()2)(1()()(nmnmmnmxnmmmmnm當, 0當, !當,) 1()2)(1( (2) 22)()()()()(dcxbcaddcxbaxcdcxaxf2)(dcxbcabcdcxbcadxf 3)(2)()(24)(3)(2)()(cdcxbcadxf 1)1(1)()(!() 1)()(nnnncdcxnbcadxf 例2.假设 ，則 解: 且 xxf2cos)(?)2()10(fxxf2sin2)(xxf2cos2)(2 xxf2sin

35、2)(3 34當,2sin224當,2cos214當,2sin24當,2cos2)()(mnxmnxmnxmnxxfnnnnn 0Nm)2)2cos(2) 1(xnnn65cos2)6cos(2)12(1010)10( f32)23(2910例1.試求函數 的 與 解: 05322yxyxdxdy22dxyd010)(32dxdyydxdyxyx)32()103(yxdxdyyxyxyxdxdy10332222)103()103)(32()32)(103(yxdxdyyxdxdyyxdxyd 2)103(2929yxdxdyxy2)103(103)32(2929yxyxyxxy322)103(

36、29017458yxyxyx0)103(058)103()53(583322yxyxyxyx例4.假设 ，試在 與 時求 與解: 024232xxyyx1x2ydxdy22dxyd02)(4342dxdyxydxdyyx244)34(2yxdxdyyx234244yxyxdxdy22222)34()64)(244()44)(34(yxdxdyyyxdxdyyxdxyd2222)34()12241216()81612(yxdxdyyxyyxyy4312428421yxdxdy22122)124()43)(48482416()83248(yxdxyd 2.4 三角函數與反三角函數的導數1. 角的度

37、量單位:度度量(grade)與弳度量(radian)之間的 換算為度度量弳度量 度度量弳度量0130456090120135150180210018064323243656722545240342702330035315473306113602 圖2.4.1 度度量與弳度量 1. 圓弧長與扇形面積:設有一圓 ，半徑為 ，扇形 的圓心角為 ，則有 (1)弧長 (2)扇形面積 其中 為弳度量。OrOPQPOQrsPQrsrA21212 3. 三角函數的定義: (1)三角正弦函數 (2)三角餘弦函數 (3)三角正切函數 ryfsin)(rxfcos)(0,cossintan)(xxyf (4)三角餘

38、切函數 (5)三角正割函數 (6)三角餘割函數 0,sincostan1cot)(yyxf0,cos1sec)(xxrf0,sin1csc)(yyrf三角函數象 限第一象限 + + + + + +第二象限 + +第三象限 + + 第四象限 + + sincostancotseccsc 4. 三角函數的定義域與值域: 函 數 定 義 域 值 域sin)(fcos)(ftan)(fcot)(fsec)(fcsc)(fRRZkk,2)12(ZkkR,Zkk,2)12(ZkkR,1)()(ff1)()(ffRff)()(Rff)()(1)()(ff1)()(ff 5. 三角函數在特別角的值與三角函數

39、的圖形: (1) 三角函數在特別角的值001 01 001 01 1 01 1 2 -2 2 1 2 -2 sincostancotseccsc111164323243656745212121232323222222313133323232312122222221331313222222232333232222222 0 0 1 0 0 -2 2 1 -2 )(fsincostancotseccsc342335476112111121212323331323221333131222222222332(2) 三角函數的圖形: 6. 三角恆等式 (1)平方關係: (2)複角公式: 2222sect

40、an1 , 1cossin22csccot1ooosincoscossin)sin(ooosinsincoscos)cos(oootantan1tantan)tan(sin)sin(,cos)cos( (3)倍角公式與半角公式 cossin22sin2222sincossin211cos22cos,22cos1sin,22cos1cos222tan1tan22tan (4)和差化積公式 2cos2sin2sinsinooo2cos2sin2sinsinooo2cos2cos2coscosooo2sin2sin2coscosooo口語:scss2csss2cccc2sscc2 (5)積化和差公式

41、: )sin()(sin(21cossinooo)sin()(sin(21sincosooo)cos()(cos(21coscosooo)cos()(cos(21sinsinooo (6)正弦定律: (7)餘弦定律: (8) 三角形的面積 sinsinsincbacos2222bccbacos2222caacbcos2222abbacsin21sin21sin21abcabc 定理2.4.1 三角函數的導數 (1) (2) (3) (4) (5) (6) )()(cos)(sinxuDxuxuDxx)()(sin)(cosxuDxuxuDxx)()(sec)(tan2xuDxuxuDxx)()

42、(csc)(cot2xuDxuxuDxx)()(tan)(sec)(secxuDxuxuxuDxx)()(cot)(csc)(cscxuDxuxuxuDxx 例1. 試求以下各函數的導數 (1) (2) 解: ) 1(sec)(32xxf532csc)(xxxf) 1sec() 1sec(2)( ) 1 (33xDxxfx) 1( ) 1tan() 1sec() 1sec(23333xDxxxx) 1tan() 1(sec63322xxx53352csc)2(csc)( )2(xDxxDxxfxx2)2(512cot2csc2csc35455352xxxxxx 定義2.4.1 反三角函數 (1

43、)反三角正弦函數: (2)反三角餘弦函數: (3)反三角正切函數:22 , 11 ; sinarcsin)(1f0 , 11 ; cosarccos)(1f22 , ; tanarctan)(1f (4)反三角餘切函數: (5)反三角正割函數: (3)反三角餘割函數: 且 0 , ; cotsec)(1arcf22 , 1 ; csccsc)(1arcf00 , ; cotcot)(1arcf定理2.4.3 三角函數與反三角函數的關係: “三角函數與反三角函數互為反函數。 1.假设 則 此處 而且 2.假设 則 此處 而且 3.假设 則 此處 而且 ,sin xy ,sin1yx1,22yxy

44、xx)sin(sin,)(sinsin11,cos xy ,cos1yx1,0yxyyxx)cos(cos,)(coscos11,tan xy ,tan1yxRyx,22yyxx)tan(tan,)(tantan11 4.假设 則 此處 而且 5.假设 則 此處 而且 6.假设 則 此處 而且 ,cot xy ,cot1yxRyx,0yyxx)cot(cot,)(cotcot11,sec xy ,sec1yx1,2()2, 0yxyyxx)sec(sec,)(secsec11,csc xy ,csc1yx1,2, 0()0 ,2yxyyxx)csc(csc,)(csccsc11三角函數的圖形如

45、下:(僅考慮黑色實線部份，虛線部分表示不存在) 定理2.4.3 反三角函數的導數 (1) (2) (3) (4) (5) (6) )()(11)(sin21xuDxuxuDxx)()(11)(cos21xuDxuxuDxx)()(11)(tan21xuDxuxuDxx)()(11)(cot21xuDxuxuDxx)(1)()(1)(sec21xuDxuxuxuDxx)(1)()(1)(csc21xuDxuxuxuDxx例2. 試求以下各函數的導數(1) (2)解: (1) 2523sin)(1xxxf)11(tan)(1xxxf2523)2523(11)(xxDxxxfx21)2523(21)

46、2523(11xxxx2)25(5)23(3)25(xxx221)25(8)2523()2323(11xxxxx(2) xxDxxxfx11)11(11)(222)1 () 1)(1 (1)1 ()11(11xxxxx22)1 (2)11(11xxx 2.5 指數函數與對數函數的導數(一) 指數函數的介紹 1.指數函數的定義:以 為底的指數函為 且 2.指數函數的圖形: a0;)(aaxfx0)(, 1xfRxa 3.指數函數的根本性質:假设 且 與 且 ，則有 (1) (2)指數律 ，其中 與 為恣意函數。0(a) 1a0( b) 1b10auuvvuvuvuvuvuabaaaaaaaa)(

47、,)( ,uubauv(二) 對數函數的介紹 1.對數函數的定義:以 為底的對數函數為 且 2.對數函數與指數函數的關係: “對數函數與指數函數互為反函數a0;log)(axxfaRxfxa)(, 0, 1即 (1) 假设 則 且 即 即 (2) 假设 則 且 即 即 ,xay 0;logayxa0, 1yRxa;log yxaaay0,logyyaya;loglogxaaayxRxxaxa ,logxyalog0;aaxyRyxa, 0, 1;loglogyaaaxyRyyaya,log;logxyaaax0,logxxaxa 3. 對數函數的圖形: 4. 對數函數的根本性質:假设 且 與

48、且 ，則有 (1) (2) ， (3) 1log, 01logaaa0,logloglogxaxxbba0(a) 1a0( b) 1bRxxaxa ,log0,logxxaxa (4) 其中 與 為恣意函數而且 (5) 且 (6) 且 (7) vuvuvuuvaaaaaaloglog)(log,loglog)(loguv0, 0vuRmxmxama,loglog0 xRmxmmxaa,log1log0, 0 xmabbalog1log (三) 自然指數函數的介紹 1. 自然指數函數的定義:以 為底的自然指數函數為 71828. 2e0)(,);()(xfRxxExpexfx2. 自然指數函數的

49、圖形 3. 自然指數函數的根本性質: (1) (2) 自然指數律 (四) 自然對數函數的介紹 1. 自然對數函數的定義:以 為底的自然對數函數為10euvvuvuvuvuvueeeeeeee)( ,71828. 2eRxfxxxxfe)(, 0;lnlog)( 2.自然對數函數與自然指數函數的關係: “自然對數函數與自然指數函數互為反函數。 即 (1) 假设 則 即 即 (2) 假设 則 即 即 ,xey 0,;lnyRxyx;liyxeey0,lnyyey;lnlnxeyxRxxex ,ln,ln xy Ryxexy, 0;lnlnyexyRyyey,ln;ln xyeex0,lnxxex

50、3.自然對數函數的圖形: 4.自然對數函數的根本性質: (1) (2) ， (3) ，Rxxex ,ln0,lnxxex;lnlnlogloglogaxaxxbba0, 1ba1b1, 1ln, 01ln1lnueee (4) 且 (5) 其中 與 為恣意函數，而且 (6) 且 (7) 且 0;lnlnlogloglnbexexxbb1bvuvuvuuvlnln)ln( , lnln)ln(uv0, 0vuRmxmxm,lnln0 x0;log1lnbebb1b 定理2.5.1 指數函數與對數函數的導數 (1) (2) (3) 且 RxuxuDeeDxxuxux)(),()()(0)(),()

51、(1)(lnxuxuDxuxuDxxRxuxuDxuxuDxx)(),()(1)(ln0)(xu (4) (5) 且 (6) 且 且 )()(ln)()(xuDaaaDxxuxux0);()(1ln1)(logaxuDxuaxuDxax, 1a0);()(1ln1)(logaxuDxuaxuDxax0)(xu, 1aRxu)(0)(xu 例1. 試求以下各函數的導數 (1) (2) 解:(1) (2) xxfx5log3)(xxxfx5coslog)(33ln3ln3xxeexxxln5ln1log5xxfx15ln13ln3)(xxxxeexxlnlnxx5cosln3ln15coslog3xxxxfx5cos13ln1)ln1 ()(xx525)5sin( 例2. 試把 兩邊同時對 微分 解: yxxyecsccos3x3ln)(cos3lncoscos3xyxyeexyxyyxyxyxy2)sin(3ln3cos)2()cotcsc(cscyyxyyxyxeyx 例3. 試利用對數微分法求函數 的導數 解: )(xf5242332)35() 13()54()32()25()53()(xxxxxxxf5252545332)35()54()13()32()25()53()(xxxxxxxf)54ln(52)32ln(53)53ln(2)(