第3章35时域分析法ppt课件

1、3-5 控制系统的稳定性分析控制系统的稳定性分析n1.稳定性的概念稳定性的概念abcb 如小球平衡位置如小球平衡位置b点点,受外界扰动作用受外界扰动作用,从从b点到点到 b点，外点，外力作用去掉后力作用去掉后,小球围绕小球围绕b点作几次反复振荡点作几次反复振荡,最后又回到最后又回到b点点,这时小球的运动是稳定的。这时小球的运动是稳定的。如小球的位置在如小球的位置在a或或c点点,在微小扰动下在微小扰动下,一旦偏离平衡位置一旦偏离平衡位置,那么无论怎样那么无论怎样,小球再也回不到原来位置小球再也回不到原来位置,那么是不稳定的。那么是不稳定的。n稳定性定义稳定性定义:系统原处于某一平衡形状，假系统原

2、处于某一平衡形状，假设它瞬间遭到某一扰动作用而偏离了原来设它瞬间遭到某一扰动作用而偏离了原来的平衡形状，当此扰动吊销后，系统仍能的平衡形状，当此扰动吊销后，系统仍能回到原有的平衡形状，那么称该系统是稳回到原有的平衡形状，那么称该系统是稳定的。反之，系统为不稳定定的。反之，系统为不稳定n严厉的数学描画来自于李亚普诺夫严厉的数学描画来自于李亚普诺夫(1892)n线性线性系统的稳定性只取决于系统本身线性线性系统的稳定性只取决于系统本身的构造参数的构造参数,而与外作用及初始条件无关而与外作用及初始条件无关,是是系统的固有特性。系统的固有特性。n2. 系统稳定的充要条件系统稳定的充要条件闭环传送函数为闭

3、环传送函数为:10111011( )( )( )( )( )( )( )( )( )mmmmnnnnb sbsbs bC sM ssR sa sasasaD sM sC sR sD s设系统初始条件为零，遭到理想单位脉冲设系统初始条件为零，遭到理想单位脉冲 作作用，呼应为用，呼应为 。 假设假设)(t)(tc0)(limtct即输出趋于原平衡点，那么系统是稳定即输出趋于原平衡点，那么系统是稳定的的qjrknknkkjmiisspszsKssC11221)2()()()()(系统遭到理想单位脉冲系统遭到理想单位脉冲 作用，即作用，即)(t1)(sR系统输出为系统输出为teBCteBeAtckrk

4、nktnkkknknkkkkkrknktnkkktjpqjj)1sin(1)()1cos()(212211所以，系统脉冲呼应为所以，系统脉冲呼应为1) 一切闭环特征根都具有负实部时一切闭环特征根都具有负实部时 ，系统渐近稳定系统渐近稳定0)(limtct2)只需有一个特征根具有正实部，那么只需有一个特征根具有正实部，那么 ，系统不稳定系统不稳定)(limtct3)假设有一个以上纯虚根，其他特征根都具有假设有一个以上纯虚根，其他特征根都具有负实部，那么负实部，那么c(t)趋于常数或等幅正弦振荡，称趋于常数或等幅正弦振荡，称为临界稳定为临界稳定teBCteBeAtckrknktnkkknknkkk

5、kkrknktnkkktjpqjj)1sin(1)()1cos()(212211在古典控制中，只需渐近稳定的系统才称为稳在古典控制中，只需渐近稳定的系统才称为稳定系统，否那么，称为不稳定系统定系统，否那么，称为不稳定系统线性系统稳定的充要条件：闭环系统特征方程的一线性系统稳定的充要条件：闭环系统特征方程的一切根都具有负实部；或者说，闭环传送函数的极点切根都具有负实部；或者说，闭环传送函数的极点均严厉位于左半均严厉位于左半s平面平面Rej不稳定不稳定稳定稳定临界稳定临界稳定n3.劳思稳定判据劳思稳定判据n目的：不用求解特征方程的根目的：不用求解特征方程的根,而是直接根而是直接根据特征方程的系数据

6、特征方程的系数,判别系统的稳定性判别系统的稳定性,逃避逃避求解高次方程的困难。求解高次方程的困难。系统的闭环特征方程为系统的闭环特征方程为0.122110nnnnnasasasasa 1劳思判据：劳思判据：系统稳定的必要条件：特征方程中一切项的系数均大系统稳定的必要条件：特征方程中一切项的系数均大于于0.只需有一项等于或小于只需有一项等于或小于0,那么为不稳定系统那么为不稳定系统系统稳定的充要条件系统稳定的充要条件: 劳思表第一列元素均大于劳思表第一列元素均大于0n2劳思表的列写劳思表的列写05423324150asasasasasa5s4s3s2s1s0s1313021caaaaa23150

7、41caaaaa1413231313cccaac245ca 151424132314cccccc5a1a2a3a4a5a00000a 系统稳定的充要条件系统稳定的充要条件: 劳思表中第一列元素全部大于劳思表中第一列元素全部大于0。 假设出现小于假设出现小于0的元素的元素,那么系统不稳定。那么系统不稳定。且第一列元素符号改动的次数等于系统正且第一列元素符号改动的次数等于系统正实部根的个数。实部根的个数。【例【例1】43223450ssss故系统不稳定故系统不稳定,且有且有两个正实部根。两个正实部根。 即有即有2个根在个根在S的的右半平面。右半平面。43210sssss1 3 52 41 5-6

8、05 对于简单的系统：如 一次方程: a1,a0同号那么系统稳定。二次方程: a1,a2,a0同号那么系统稳定。三次方程: a0,a1,a2,a3均大于0,且a1a2a3a0,那么系统稳定。001asa00122asasa0012233asasasa4324321034121601416312016sssssssss【例【例2 2】某系统闭环特征方程为】某系统闭环特征方程为0161243234ssss试判别其稳定性试判别其稳定性解：解：n3两种特殊情况两种特殊情况n情况情况1：劳思表中某一行的第一个元素为：劳思表中某一行的第一个元素为0,其它各元素不全为其它各元素不全为0。n处理方法：用恣意小

9、的正数处理方法：用恣意小的正数替代替代0元素。元素。继续劳思表计算并判别。继续劳思表计算并判别。阐明：阐明：假设劳斯表第一列中系数的符号有变假设劳斯表第一列中系数的符号有变化，其变化的次数就等于该方程在化，其变化的次数就等于该方程在S S右半平面右半平面上根的数目，相应的系统为不稳定上根的数目，相应的系统为不稳定假设第一列假设第一列上面项的系数与下面项的系数上面项的系数与下面项的系数符号一样，那么表示该方程中有一对共轭纯虚符号一样，那么表示该方程中有一对共轭纯虚根存在，相应的系统临界稳定也属不稳定根存在，相应的系统临界稳定也属不稳定43243210341216014163120( )16sss

10、ssssss【例【例2 2】某系统闭环特征方程为】某系统闭环特征方程为0161243234ssss试判别其稳定性试判别其稳定性解：列出系统劳斯阵解：列出系统劳斯阵第第1列出现列出现0时，用时，用替代替代当当很小时很小时048124812那么系统不稳定，并有两个正实部根那么系统不稳定，并有两个正实部根124816)4()2(16124322234sssssss进一步分析：实践上，将原式分解，得进一步分析：实践上，将原式分解，得得闭环特征根为得闭环特征根为22, 1s21514, 3js负实部根负实部根正实部根正实部根系统不稳定，并有两个正实部根。与劳斯系统不稳定，并有两个正实部根。与劳斯判据所得

11、结论一样判据所得结论一样【例【例3 3】知系统的特征方程式如下，判别其稳定性】知系统的特征方程式如下，判别其稳定性04473223456ssssss解：其劳斯表为解：其劳斯表为000431043147213456ssss出现全为零的行出现全为零的行情况情况2 2：劳斯表中某一行全为零：劳斯表中某一行全为零 处理方法：用系数全为零行的上一行系数构造辅助处理方法：用系数全为零行的上一行系数构造辅助多项式，并以这个辅助多项式导数的系数来替代表多项式，并以这个辅助多项式导数的系数来替代表中系数为全零的行，继续完成劳斯表的陈列中系数为全零的行，继续完成劳斯表的陈列阐明：阐明：相应方程中含有一些绝对值一样

12、但符号不相应方程中含有一些绝对值一样但符号不同的特征根，相应的系统为不稳定同的特征根，相应的系统为不稳定 辅助方程式的次数普通为偶数，它的根即为辅助方程式的次数普通为偶数，它的根即为导致劳斯表出现全零行的缘由。导致劳斯表出现全零行的缘由。【例【例3 3】知系统的特征方程式如下，判别其稳定性】知系统的特征方程式如下，判别其稳定性04473223456ssssss解：其劳斯表为解：其劳斯表为43)(24sssF000431043147213456ssss出现全为零的行出现全为零的行用其上一行构造辅助方程用其上一行构造辅助方程43)(24sssFssdssdF64)(3对辅助方程求导对辅助方程求导用

13、用 的系数交换的系数交换dssdF)(654312741340134000ssss所以，该系统不稳定所以，该系统不稳定该系统具有纯虚根，该系统具有纯虚根，可由辅助方程求出可由辅助方程求出043)(24sssFjs2, 1特征根为特征根为【例【例4 4】知系统的特征方程式如下，判别其稳定性】知系统的特征方程式如下，判别其稳定性0161620128223456ssssss解：其劳斯表为解：其劳斯表为16122)(24sssF000161220161221620813456ssss出现全为零的行出现全为零的行用其上一行构造辅助方程用其上一行构造辅助方程160166024816122016122162

14、081038123456sssssss继续计算完成劳斯表继续计算完成劳斯表该系统具有纯虚根，该系统具有纯虚根，可由辅助非常求出可由辅助非常求出016122)(24sssF0)4)(2(22ssjjs2,2纯虚根为纯虚根为所以，该系统不稳定临界稳定所以，该系统不稳定临界稳定ssdssdF248)(3对辅助方程求导对辅助方程求导设系统特征方程为：设系统特征方程为：s4+5s3+7s2+5s+6=0劳劳 思思 表表s0s1s2s3s4517566601 劳斯表何时会出现零行劳斯表何时会出现零行?2 出现零行怎样办出现零行怎样办?3 如何求对称的根如何求对称的根? 由零行的上一行构成由零行的上一行构成

15、辅助方程辅助方程: 有大小相等符号相反的有大小相等符号相反的特征根时会出现零行特征根时会出现零行6s2+6=0对其求导得零行系数对其求导得零行系数: 12s112(0)继续计算劳思表继续计算劳思表6求解辅助方程得求解辅助方程得: s1,2=j由综合除法可得另两由综合除法可得另两个根为个根为s3,4= -2,-3EXERCISE！n4. 劳思判据的运用劳思判据的运用n不但可判别系统的稳定性不但可判别系统的稳定性,而且能判别特征而且能判别特征根的位置分布情况。根的位置分布情况。n可以选择使系统稳定的调理器参数的数值。可以选择使系统稳定的调理器参数的数值。n确定使系统稳定的特征参数的取值区间。确定使

16、系统稳定的特征参数的取值区间。n【例【例5】：选择】：选择K值是如下系统稳定值是如下系统稳定调节器被控对象检测元件R(s)E(s)-N(s)扰动被调量C(s)k210(1)(2)s ss解：闭环传送函数:3210( )(1)(2)( )20( )1(1)(2)103220kC ss ssskR ss ssksssk3232200sssk特征方程特征方程由劳思判据由劳思判据123020006200.3kka aa akk 0k0.3 那么系统是稳定的那么系统是稳定的例例:知系统的特征方程为知系统的特征方程为: 1试判别使系统稳定的试判别使系统稳定的k值范围值范围? 2假设要求特征值均位于假设要求特征值均位于s=-1垂线之左垂线之左,问问k值应如何调整值应如何调整?0325. 0025. 023ksss解解: 1特征方程为特征方程为: 列劳思表列劳思表:040401323ksss321014013401340401340sskkssk0325. 0025. 023ksss